Introduzione - Aracne editrice
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A Paolo Emilio Ricci Tecniche operatoriali polinomi e funzioni speciali Copyright © MMXV Aracne editrice int.le S.r.l. www.aracneeditrice.it [email protected] via Quarto Negroni, Ariccia (RM) () ---- I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell’Editore. I edizione: aprile In memoria di Rosalba Faraone Ricci Vittoria Scialoja (2003) - Rosalba Introduzione Questo volume è dedicato all’esposizione di alcuni argomenti riguardanti Polinomi e Funzioni speciali, seguendo uno schema espositivo sperimentato in alcuni corsi da me svolti presso il Dipartimento di Matematica “Istituto Guido Castelnuovo” dell’Università di Roma - Sapienza. Nel Primo capitolo vengono presentati i Polinomi di Bell e alcune loro applicazioni, la più importante delle quali senbra essere l’estensione delle formule di Newton-Girard al caso di successioni, il che consente di ritrovare ed estendere alcuni risultati relativi agli invarianti ortogonali degli operatori compatti positivi. Nel Secondo capitolo vengono introdotti i Polinomi di Lucas di prima e seconda specie generalizzati e ne vengono mostrate possibili applicazioni. È da notare il collegamento tra quelli di prima specie e le potenze di una matrice, e quello immediato con i polinomi di Chebyshev (rispettivamente di prima e seconda specie) in più variabili. Il Terzo capitolo è dedicato a un’esposizione introduttiva dei metodi operazionali, partendo da alcuni risultati contenuti in [20] - Cap.3. Una versione nelle lingue inglese e russa di tale lavoro è stata pubblicata dalla rivista Contemporary Mathematics and its Applications - (Sovremennaya Matermatika i ee Prilozheniya) (cfr. [36]). I metodi operazionali si possono già rintracciare nelle opere di Eulero e Lagrange, in relazione con la costruzione delle funzioni generatrici di successioni numeriche. iii ix x Introduzione G. Boole e O. Heaviside hanno successivamente osservato che il calcolo dei polinomi in una indeterminata x ha un suo preciso riscontro con quello delle equazioni alle differenze semplicemente cambiando xr con [x]r := x(x − 1)(x − 2)...(x − r + 1) e la derivata D con l’operatore Δ. Tale tecnica è un esempio di calcolo umbrale, un termine inventato da J.J. Sylvester, poiché l’esponente, ad esempio quello di xn , viene trasformato nella sua “ombra”, che appare in pn (x). La notazione moderna, in questo campo, è opera di E. Lucas. I metodi del calcolo umbrale sono stati resi rigorosi, più recentemente, da Gian-Carlo Rota [38] - Cap. 3. Una ricostruzione storica, relativa a questo argomento, si può trovare in [30] - Cap. 3. Un uso estensivo di metodi operazionali è stato recentemente proposto, da G. Dattoli e dai suoi collaboratori, in relazione allo studio di nuove classi di funzioni speciali, che includono i casi multi-dimensionale e multi-indice. Fra l’altro, l’uso dei metodi operazionali consente di costruire, in modo semplice, soluzioni formali per una vasta classe di problemi di valori al contorno per equazioni alle derivate parziali. Nell’ultima parte del testo viene introdotto un isomorfismo differenziale che consente la costruzione di vaste classi di nuove funzioni speciali, come è stato mostrato in [8] - Cap. 3. Il testo può essere utile agli studiosi di Fisica e di Ingegneria, che spesso si trovano a fare uso di funzioni speciali, oltre ovvamente a quelli di Matematica che vi possono trovare un approccio, talvolta inusuale, ad argomenti di generale interesse. Roma, Novembre 2014. Paolo E. Ricci iv Indice 1 Polinomi di Bell e Applicazioni 1 1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Richiami sui polinomi di Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Il problema di Blissard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Generalizzazione delle formule di NewtonGirard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Rappresentazione degli invarianti ortogonali per un PCO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Le formule di Robert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.7 Formule di riduzione per gli invarianti ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7.1 Una semplice dimostrazione delle formule di Robert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.8 Un’estensione dei polinomi di Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.9 Polinomi di Bell in due variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.10 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.10.1 Funzioni regolari implicitamente definite da una equazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.10.2 Il problema di Cauchy per le equazioni differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.11 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.11.1 I metodi di Rayleigh-Ritz e degli invarianti ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 v xi xii Indice 2 Polinomi di Lucas e di Chebyshev in più variabili 31 2.1 Una formula di rappresentazione per le funzioni analitiche di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 I polinomi di Lucas di prima e seconda specie generalizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.1 Una formula di rappresentazione per le funzioni Fk,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.2 La soluzione fondamentale - polinomi di Lucas di seconda specie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.3 La soluzione primordiale - polinomi di Lucas di prima specie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.4 Un esempio di applicazione dei polinomi di Lucas di prima specie generalizzati . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3 Tecniche operatoriali e Funzioni speciali 55 3.1 L’esponenziale di operatori differenziali . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1.1 Primi esempi di operatori di traslazione . . . . . . . . . . 55 3.1.2 Generalizzazione dei casi precedenti . . . . . . . . . . . . 57 3.1.3 Calcolo della ϕ(θ) in un caso particolare . . . . . . . . . 58 3.1.4 Esponenziali di somme di operatori . . . . . . . . . . . . 59 3.2 Tecniche di disaccoppiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2.1 Identità operatoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2.2 La formula di Blissard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.3 Polinomi di Hermite in due variabili . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.3.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.3.2 Esponenziali di “secondo livello” . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3.3 Legami dei polinomi di Hermite in due variabili con l’equazione del calore . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.4 Altre funzioni elementari contenenti l’operatore di derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 vi
