Lezione 08 - Brigantaggio.net
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Intervalli di Confidenza Intervalli di Confidenza Probabilità che un intervallo di confidenza contenga il nostro valore incognito m P ( a < µ < b) = 1 − α In realtà tutte queste quantità sono numeri (m è incognito ma è un In realtà tutte queste quantità sono numeri (m è incognito ma è un numero!). Di fatto P non è associato ad un evento numero!). Di fatto P non è associato ad un evento P ( a < x < b) = 1 − α Adesso P è associato ad un evento perché la media campionaria è una Adesso P è associato ad un evento perché la media campionaria è una variabile casuale. variabile casuale. Per calcolare al probabilità associata all’evento o per calcolare i valori a e b che ci restituiscono probabilità 1-a si può sfruttare la distribuzione della variabile casuale media campionaria 1 Intervalli di confidenza per la media Se X ~ ( ) N µ , σ 2 allora X P ( a < Z < b) = 1 − α x −µ P(a < < b) = 1 − α σ n x −µ < z α ) = 1− α 1− σ n 2 x −µ < < z α ) = 1− α 1− σ n 2 P( z α < P (− z 1− α 2 P(x − Caso σ2 nota Standardizziamo la media campionaria, otteniamo la Standardizziamonormale la media campionaria, otteniamo la standard normale standard P(a < x < b) = 1 − α 2 ~ σ2 N µ, n Se α=0.05 nelle tavole della Se α=0.05 nelle tavole della normale standard bisogna normaleil standard bisogna trovare valore che ci trovare il valore 0.975 che ci o restituisce probabilità restituisce probabilità 0.0025 per fare in modo0.975 che o 0.0025 per fareciinsia modo che sulle code sulle code ciunsia complessivamente 5% , complessivamente unz5% , chiamiamo questo valore 1-α/2 chiamiamo questo valore z1-α/2 Per la simmetria della Per laCasuale simmetria della Variabile Normale Variabile Casuale Normale σ σ z α < µ < x + z α ) = 1− α n 1− 2 n 1− 2 Gli estremi sono aleatori. E’ pertanto scorretto parlare di 1-a come della probabilità che estremi sono aleatori. E’ pertanto scorrettoDi parlare come della probabilità ilGli valore incognito sia contenuto nell’intervallo. fatto èdila1-a probabilità che l’intervalloche il valore incognito sia contenuto nell’intervallo. Di fatto è la probabilità che l’intervallo contenga il valore incognito m. contenga il valore incognito m. Intervalli di confidenza per la media Se X ~ ( N µ, σ 2 ) allora X ~ σ2 N µ, n Caso σ2 ignota x −µ ≈ N (0,1) σ n Nel caso di σ2 nota si divide una variabile casuale Nel casoladi σ2 nota si divide una casuale normale, media campionaria, per variabile una numero, e la media per una numero, e sinormale, ottiene ancora unacampionaria, variabile casuale normale; si ottiene ancora una variabile casuale normale; Se la varianza s2 non è nota deve essere stimata 2 varianza campionaria ⇒ s 2 = n 1 (x − x) ∑ ( n − 1) i =1 i nel caso di σ2 ignota anche al denominatore si ha una variabile σ2varianza ignota anche al denominatore si hauna unasua variabile nelcasuale, caso di la campionaria appunto, con casuale, la varianza campionaria appunto, con una distribuzione campionaria. Quello che si ottiene non è piùsua una distribuzione campionaria. si ottiene non è più una normale ma Quello una t diche Student normale ma una t di Student P(x − x −µ ≈ t( n−1) s n s s t ( n −1 ) , α < µ < x + t n −1 , α ) = 1 − α 1− n n ( ) 1− 2 2 Bisogna ora utilizzare le tavole della t di Student, che hanno sulla Bisogna utilizzare le tavole t di Student, che hanno prima riga ora i gradi di libertà (n-1) edella sull’asse delle y il valore disulla α prima riga i gradi di libertà (n-1) e sull’asse delle y il valore di α 2 S e X ≈ B in ( n , p ) a llo r a p (1 − p ) E(X ) = p e V (X ) = n Intervalli di confidenza per proporzione Se la variabile X è una Se la variabile X è una Binomiale, la media Binomiale, la media campionaria è di fatto la campionaria è di fatto la proporzione di successi nel proporzione di successi nel campione estratto campione estratto X = pˆ = Lo stimatore di una proporzione Lo stimatore di una proporzione campionaria incognita è di fatto campionaria incognita è di fatto una Binomiale, si è già mostrato una Binomiale, si è già mostrato che per n grande la v.c. che per n grande la v.c. Binomiale converge alla Binomiale converge alla Normale Normale P ( pˆ − pˆ (1 − pˆ ) n z α 1− 2 < p < pˆ + X n ° di successi = n n pˆ − p p (1 − p ) n pˆ (1 − pˆ ) n ≈ N (0,1) z 1− α 2 ) = 1− α 3
