Numeri complessi

Nume r i
Il
comp l e s s i
calcolo
tradizionale
si
svolge
utilizzando
numeri
appartenenti all’insieme dei numeri reali ‘, del quale
fanno parte i numeri naturali Œ, relativi ‘, ecc. Tuttavia in
questo insieme non sono accettate le radici pari di numeri
negativi:
−1 = Impossibile
−1 " ‘
Per risolvere questo problema e poter eseguire calcoli con
qualsiasi tipo di numero, è stato creato l’insieme Š dei
numeri complessi. I numeri complessi non esistono nella
realtà. Sono solo un modello matematico molto pratico
per studiare la realtà.
Definizione del numero complesso
L’elemento che distingue i numeri complessi da quelli reali è il termine i o j. E’ definito come:
−1 = i
−1 c Š
Un generico numero complesso z è formato da una parte reale e una parte immaginaria:
z=x+y$i
≠(z) = parte reale = x
Æ(z)= parte immaginaria = y $ i
Dove: x = numero reale
y = numero reale
i = unità immaginaria, che vale i =
−1
Coniugato di Z
Definizione: il coniugato di z è il numero complesso che ha stessa parte reale e parte immaginaria
cambiata di segno
Significato grafico: il coniugato di z è il numero complesso simmetrico di z rispetto all’asse reale
delle X
Formula: x − y $ i
Simbolo: z = z &
z + z = 2 $ Re(z)
Proprietà: z 1 + z 2 = z 1 + z 2
z1 $ z2 = z1 $ z2
z=zgzcR
z − z = 2 $Im(z)
1= 1
z
z
Modulo di Z
Definizione: il modulo di Z è la radice quadrata della somma dei quadrati dei coefficienti della parte
reale e della parte immaginaria
Significato grafico: il modulo di z è la distanza dall’origine del punto che rappresenta z nel piano
Formula: x 2 + y 2
Simbolo: z
Proprietà: z 1 + z 2 < z 1 + z 2
z1 $ z2 = z1 $ z2
z = z
z 2 =z$z
z [ Re(z) + Im(z)
z1 + z2 m z1 + z2
Re(z) [ z Im(z) [ z
Forme di rappresentazione
Forma cartesiana
Forma del numero: ≠(z) + Æ(z)
Esempio: 5 + 4i
Grafico: piano cartesiano con assi perpendicolari
Asse X : è rappresentata la parte reale di z
Asse Y: è rappresentata la parte immaginaria di z
Forma polare
Forma del numero: z = ! $ (cos + i $ sen)
!= modulo del numero complesso, cioè il segmento OZ
= fase del numero complesso, cioè l’angolo tra il semiasse positivo X della
parte reale di z, e il segmento OZ
Esempio: 5 $ (cos 4 + i $ sen 4 )
Grafico: Il grafico di z si ottiene tracciando un segmento OZ di lunghezza ! che forma con il
semiasse positivo delle X un angolo .
Forma esponenziale
Forma del numero: z = ! $ e i$
!= Modulo del numero complesso z
= fase del numero complesso z
Esempio: z = 5 $ e 4 $i
Grafico: il grafico si realizza utilizzando il piano polare, come nella forma polare (vedi)
Da Cartesiana a Polare
Modulo ! = z = x 2 + y 2
Fase: Metodo A: =
x = ! $ cos()
y = ! $ sen()
Conversioni
⎧ = arcos x
⎪
!
d ⎨
y
⎪ = arcsen !
⎩
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
⎧ arctg( yx ) se y>0 ⎫
Metodo B: = ⎨
y
⎬
⎩ arctg( x ) + se y<0 ⎭
Da Polare a Cartesiana
Ricordando la forma polare:
Si può subito scrivere che:
z = ! $ (cos + i $ sen)
≠(z) = ! $ cos Æ(z)=! $ i $ sen Formule di Eulero
Le formule di Eulero legano le funzioni trigonometriche di variabili complesse con gli esponenziali.
Sono quindi lo strumento per svolgere i calcoli trigonometrici con variabili complesse.
i$x
−i$x
sen(x) = e − e
2 $ i −i$x
i$x
cos(x) = e + e
2
e i$x = cos(x) + i $ sen(x)
Operazioni
Sono dati due numeri:
z=x+y$i
z∏ = x∏ + y∏ $ i
Somma
Cartesiana
z + z ∏ = (x + x ∏ ) + (y + y ∏ ) $ i
Trigonometrica
z + z ∏ = !(cos + i $ sen) + ! ∏ (cos ∏ + i $ sen ∏ )
Esponenziale
z + z ∏ = ! $ e i$ + ! ∏ $ e i$
∏
Sottrazione
Cartesiana
z − z ∏ = (x − x ∏ ) + (y − y ∏ ) $ i
Trigonometrica
z − z ∏ = !(cos + i $ sen) − ! ∏ (cos ∏ + i $ sen ∏ )
Esponenziale
z − z ∏ = ! $ e i$ − ! ∏ $ e i$
∏
Moltiplicazione
Cartesiana
z $ z ∏ = (x + y $ i) $ (x ∏ + y ∏ $ i)
Trigonometrica
z $ z ∏ = ! $ ! ∏ $ [cos( + ∏ ) + i $ sen( + ∏ ) ]
Esponenziale
z $ z ∏ = ! $ ! ∏ $ e i$(+ )
∏
Divisione
Cartesiana
z
=z$
1
z∏
z
=
z
z∏
z∏
Metodo A: z ∏
Metodo B: z ∏
z
z∏
Trigonometrica
=
!
!∏
$
z∏
∏
=z$ z 2
z∏
(Razionalizzazione)
$ [cos( − ∏ ) + i $ sen( − ∏ ) ]
z
z∏
Esponenziale
=
!
!∏
∏
$ e i$(− )
Elevamento a potenza
Cartesiana
z n = (x + y $ i) n
Trigonometrica
z n = ! n $ [cos(n $ ) + i $ sen(n $ ) ]
Esponenziale
z n = ! n $ e i$n$
Radice
Le radici di un numero complesso sono tante quante l’esponente del numero complesso. Per trovare
le varie radici, si fa variare il parametro k:
n
z =
n
+ 2k + i $ sen + 2k
! $ cos n
n
n
n
per k=0, 2, 3, ..., n-1
Logaritmo
log e z = log e (!) + i $ ( + 2k) e Esistono infiniti logaritmi.
Logaritmo principale:− [ [ per convenzione
Equazioni complesse
Per risolvere le equazioni con i numeri complessi si possono seguire due metodi, il metodo
tradizionale e il metodo per sostituzione.
A) Metodo tradizionale
Si risolve l’equazione con i tradizionali metodi, e quando si ottiene
concetto è utile un esempio:
z 2 + 4z + 5 = 0
Si utilizza la normale formula risolutiva:
z 1,2 =
−1 si sostituisce i. Per spiegare il
−2 ! 4 − 5
= −2 ! i
1
z 1 = −2 + i V z 2 = −2 − i
B) Metodo per sostituzione
1) Nell’equazione si applica la sostituzione: z = x + i $ y
2) Si svolgono i conti
3) Si raccolgono i termini reali e i termini immaginari, in modo da ottenere la forma: A + B $ i = 0
⎧ A=0 ⎫
⎬ , perchè un numero complesso è nullo quando sono nulli sia la
⎩ B=0 ⎭
4) Si risolve il sistema ⎨
parte reale che la parte immaginaria.
Nota Bene: Il sistema ha come variabili i coefficienti x e y della parte immaginaria e della parte
reale di z. Poichè i coefficienti x e y sono reali per definizione, il sistema può avere solo soluzioni
reali, e non immaginarie.
⎧ x ⎫
⎬ risultato del sistema sono i valori dei coefficienti della parte reale e immaginaria
⎩ y ⎭
5) Le coppie ⎨
delle soluzioni complesse dell’equazione.
Esempio:
Applico la sostituzione:
Svolgo e raccolgo:
Risolvo il sistema:
z 2 + 4z + 5 = 0
(x + y $ i) 2 + 4(x + i $ y) + 5 = 0
(x 2 − y 2 + 4x + 5) + i $ (2xy + 4y) = 0
⎧ x 2 − y 2 + 4x + 5 = 0 ⎫
⎨
⎬
2xy + 4y = 0
⎩
⎭
Il sistema si divide in due sottosistemi:
⎧
M: ⎨
⎩
⎧
N: ⎨
⎩
⎧ x 1 = −2 ⎫ ⎧ x 2 = −2 ⎫
x = −2 ⎫
⎬ d Il primo sistema ha soluzioni reali, che risultano: ⎨
⎬ V⎨
⎬
y −1=0 ⎭
⎩ y 1 = −1 ⎭ ⎩ y 2 = +1 ⎭
⎫
y=0
⎬ d Il secondo sistema ha soluzioni complesse, e non è quindi accettabile.
x 2 + 4x + 5 = 0 ⎭
2
Le soluzioni dell’equazione sono quindi date dalle soluzioni di M:
z 1 = −2 − 1 $ i
z 2 = −2 + 1 $ i