Teoria dei numeri 2 marzo 2012 1. Si fattorizzi il numero n = 2701

Teoria dei numeri 2 marzo 2012
1. Si fattorizzi il numero n = 2701 con il metodo ρ, usando la funzione
f (x) = x3 + x + 1, x0 = 1. Si consiglia di considerare xk − xj dove
j = 2h − 1 se k è un intero con h + 1 cifre binarie. (ci si fermerà a
x6 − x3 ).
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2. Si calcoli 47
e 160465489
e si dia una stima del numero di operazioni
necessarie per calcolare ab , a, b ∈ N
3. Si dia la definizione di pseudoprimo di Eulero e si provi che se n è pseudoprimo di Eulero rispetto alla base b ∈ Zn , allora n è uno pseudoprimo
rispetto alla base b−1 .
4. Si dia la definizione di numero di Carmichael;
• si provi che c’è un numero finito di numeri di Carmichael del tipo
rpq con p, q primi, comunque si fissi il numero primo r.
• Esistono numeri di Carmichael del tipo pq, con p, q numeri primi?
Giustificare la risposta.
5. Data la curva ellittica R(GF (173 )) definita dall’equazione y 2 = x3 + 6,
si dica, giustificando le risposte:
• se esiste un campo K estensione di GF (173 )) in cui R(K) abbia
punti di ordine 17;
• si dica se R[3] è contenuto in R(GF (173 )).
• Si provi che R(GF (173 )) ha un solo punto di ordine 2 e lo si trovi;
• Si provi che | R(GF (173 )) | è divisibile per 2 ma non per 4. (non
occorre fare la potenza!!)
• Si provi se il punto P = (3, 4) ha ordine 3.
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