Esame di Teoria dei numeri

Esame di Teoria dei numeri - 23 giugno 2011
13 settembre 2011
1. Si dia la definizione di numero pseudoprimo e di numero di Carmichael
e si provi:
• se n è pseudoprimo rispetto alla base b è pseudoprimo rispetto alla
base b−1 ; se ne deduca che, se n non è un numero di Carmichael,
esistono al più ϕ(n)
2 basi rispetto a cui n sia pseudoprimo.
• un numero di Carmichael è privo di quadrati;
• c’è un numero finito di numeri di Carmichael del tipo 5pq con p,
q primi.
2. Dopo aver dato la definizione di residuo quadratico modulo p, si dica se
7411 è un residuo qudratico modulo 9283; si dia una stima del numero
di operazioni necessarie per arrivare al risultato.
3. Data la curva ellittica R(GF (235 )) definita dall’equazione y 2 = x3 + 8,
si dica, giustificando le risposte:
• se esiste un campo K estensione di GF (235 )) in cui R(K) abbia
punti di ordine 23;
• si dica se R[3] è contenuto in R(GF (235 ));
• Si dica se il 2-sottogruppo di Sylow di R(GF (235 )) è ciclico; (si
consiglia di considerare anche la curva R(GF (23)))
• si determini un punto di R(GF (235 )) di ordine 2;
• si determini la struttura del gruppo della curva su GF (23);
• dopo aver ricordato quale sia la possibile struttura del gruppo di
una curva ellittica su un campo finito, si determini la possibile
stuttura del gruppo abeliano R(GF (235 )).
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4. Sia E la curva ellittica di equazione y 2 = x3 + 2x + 1 sul campo
GF (41).Dato P = (0, 1) e Q = (30, 40) = kP , si vuole determinare k
con il metodo baby step, baby giant.
(a) Si dica per quale motivo è possibile usare questo algoritmo prendendo i punti iP con 1 ≤ i ≤ 7;
(b) si supponga quindi di avere la lista
iP = {(0, 1), (1, 39), (8, 23), (38, 38), (23, 23), (20, 28), (26, 9)} e di
aver calcolato Q − jmP per j = 0, 1, 2, ottenendo i punti
(30, 40), (9, 25), (26, 9). Si dica perchè possiamo ora determinare
k e lo si determini..
5. Si illustri il metodo rho di fattorizzazione s ei usi tale metodo per
fattorizzare il numero n = 4087, usando la funzione f (x) = x2 + x + 1,
x0 = 2. Si consiglia di considerare xk − xj dove j = 2h − 1 se k è un
intero con h + 1 cifre binarie. (ci si fermerà a x7 − x3 ).
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