Esempio di Prova Finale

School of Economics and Management
Prova Finale di Statistica (esempio)
Nome_____________________Cognome_________________________Matr. ______________
Per ogni quesito, va barrata con una “X” la lettera associata alla risposta ritenuta corretta. In caso di errore è
possibile effettuare la correzione cerchiando la lettera associata alla risposta ritenuta erroneamente corretta.
Ogni risposta corretta vale 1 punto, la dimostrazione vale 2 punti. Per superare la prova è necessario
rispondere correttamente ad almeno 3 quesiti di teoria.
TEORIA
(per superare la prova è necessario rispondere correttamente ad almeno 3 quesiti)
16. Considerata la funzione di ripartizione F(x) di una variabile casuale discreta X indicare quale fra le seguenti
affermazioni risulta falsa
a) Fissato un valore x1< x2 della X risulta F(x1)≤ F(x2)
b) 0≤ F(x)≤1 per -∞< x <+∞
c) F(x) è una funzione a gradini, continua a destra e costante a tratti
d) F(x) è definita anche per valori che la X non può effettivamente assumere
e) calcolata in corrispondenza di un valore x, la F(x) fornisce la probabilità che la variabile X assuma quel particolare valore
17. Considerata una popolazione finita di N elementi in cui la variabile di interesse X ha distribuzione nota e considerato un
campione di n elementi estratto da questa popolazione, indicare quale fra le seguenti affermazioni risulta falsa
a) le n variabili casuali Xi “valore della variabile X sulla i-esima unità estratta” hanno una distribuzione di probabilità
uguale alla distribuzione del carattere X nella popolazione
b) le n variabili casuali Xi “valore della variabile X sulla i-esima unità estratta” sono indipendenti fra di loro quale che sia il
metodo di estrazione utilizzato (con o senza ripetizione)
c) le n variabili casuali Xi “valore della variabile X sulla i-esima unità estratta” hanno tutte la medesima distribuzione
N  n 1
d) il numero di campioni con ripetizione non ordinati che è possibile estrarre è pari a 


n
N
e) il numero di campioni senza ripetizione non ordinati che è possibile estrarre è pari a  
n

18. Considerata una variabile la cui distribuzione è caratterizzata da un solo parametro ignoto , indicare quale fra le
seguenti affermazioni risulta falsa
a)  è un valore numerico ignoto
b)  è una variabile casuale
c)  è un valore numerico che non può mai essere stimato con certezza assoluta
d) lo stimatore T di  è una variabile casuale
e) la stima t è il valore assunto dallo stimatore T di  sul campione effettivamente estratto
19. Considerato un intervallo di confidenza per un parametro  ad un livello di confidenza 1, indicare quale fra le
seguenti affermazioni risulta falsa
a) non si è mai certi che l’intervallo in questione contenga il parametro ignoto
b) gli estremi dell’intervallo sono variabili casuali
c) il livello di confidenza è un valore di probabilità che viene fissato abbastanza elevato, ma sempre inferiore ad 1
d) una numerosità campionaria crescente genera intervalli di confidenza più corti a parità di tutte le altre condizioni
e) tanto minore è il livello di confidenza utilizzato, tanto maggiore è la probabilità che il parametro cada all’interno
dell’intervallo
20. Indicare quale fra le seguenti affermazioni risulta falsa
a) l’ampiezza delle regioni di accettazione e di rifiuto dell’ipotesi nulla dipendono dal livello di significatività prescelto
b) la statistica test deve avere una distribuzione completamente nota sotto ipotesi nulla
c) le regioni di accettazione e di rifiuto devono essere disgiunte
d) l’ipotesi nulla è ritenuta falsa fino a prova contraria
e) i valori che delimitano la regione di rifiuto vengono chiamati valori soglia
ESERCIZI
21. Un dado è truccato in modo che le facce 1 e 2 hanno entrambe probabilità 1/20, la faccia 6 ha probabilità 3/20 e le
restanti facce sono tutte equiprobabili fra loro. Determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale X che
assume valore 0 se nel lancio del dado si ottiene una faccia pari e valore 1 se si ottiene una faccia dispari.
a)
b)
c)
d)
e)
x
P(x)
x
P(x)
x
P(x)
x
P(x)
x
P(x)
0
0.5
0
12/20
0
9/20
0
11/20
0
1/3
1
0.5
1
8/20
1
11/20
1
9/20
1
2/3
1.0
1.00
1.00
1.00
1.0
22. Data una popolazione di N=4 elementi su cui la variabile di interesse X assume i valori x1=0; x2=1; x3=2; x4=2, la
distribuzione di probabilità della media campionaria X per un campione di 2 elementi estratto senza ripetizione
corrisponde a
a)
b)
c)
d)
e)
x
0.0
0.5
1.0
2.0
Px 
1/6
2/6
2/6
1/6
1.0
x
Px 
0.5
1.0
1.5
2.0
1/4
1/4
1/4
1/4
1.0
x
0.5
1.0
1.5
2.0
Px 
1/6
2/6
2/6
1/6
1.0
x
0.0
0.5
1.0
1.5
Px 
2/16
6/16
6/16
2/16
1.0
x
0.5
1.0
1.5
Px 
1/3
1/3
1/3
1.0
23. Data una variabile casuale X con la seguente funzione di ripartizione F x 
atteso E(X) risulta
a) 0.0
b) -1.0
c) 0.5
d) 1.0
e) 1.5


1 3
x 1
2
per x 1;1, il valore
24 Data la variabile casuale doppia (X,Y)con funzione di densità congiunta f x, y 

6 2
x y
5

0  x  1, 0  y  1,
la funzione di densità marginale di X è
6x2  3
5
6x  2
d) f x x 
5
a)
f x x 
0  x 1
0  x 1
6x2
5
6x
e) f x x 
5
b)
f x x 
0  x  1 c) f x x 
6x3  3x
5
0  x 1
0  x 1
25. Siano X1 e X2 due variabili casuali indipendenti ciascuna con distribuzione normale di valore atteso 2 e varianza 5.
Calcolare P(2X1X2)>0.
a) 0.5
b) 0.3446
c) 0.5319
d) 0.6554
e) 0.4681
26. Da una popolazione in cui una variabile X si distribuisce in modo normale con varianza 2 = 9 è stato estratto un
campione di 16 elementi la cui media è risultata uguale a 6. L’intervallo di confidenza di  al livello di probabilità
1=0.95 risulta approssimativamente
a) (1.59; 10.41)
b) (4.8975; 7.1025)
c) (4.7664; 7.2336)
d) (2.2991; 9.7009)
e) (4.53; 7.47)
27. Su un campione di 9 elementi estratto da una popolazione normale di varianza nota 2=4 è stata ottenuta una media
campionaria pari a 148. Per la verifica dell’ipotesi H0:=150 al livello di significatività=0.05 si ottengono i seguenti
risultati
a) Il p-valore è pari a 0.0027. Si rifiuta H0
b) Il p-valore è pari a 0.1336. Non si ha motivo di rifiutare H0
c) Il p-valore è pari a 0.1336. Si rifiuta H0
d) Il p-valore è pari a 0.0027. Non si ha motivo di rifiutare H0
e) Il p-valore è pari a 0.005. Si rifiuta H0
28. Su due campioni provenienti da due popolazioni normali e omoschedastiche sono stati ottenuti i seguenti risultati
relativi alla numerosità, alla media e alla varianza corretta
n1=10, x1  8.2 , s12 12.5
n2=15, x2  6.5 , s22 16.2
Per la verifica dell’ipotesi H0: 1=2 al livello di significatività=0.05 si ottengono i seguenti risultati
a) la statistica test vale circa 0.7108 e il quantile di riferimento è pari a 2.0687. Non si ha motivo di rifiutare H 0
b) la statistica test vale circa 1.0842 e il quantile di riferimento è pari a 2.0687. Non si ha motivo di rifiutare H0
c) la statistica test vale circa 1.0842 e il quantile di riferimento è pari a 1.95996. Si rifiuta H 0
d) la statistica test vale circa 0.1152 e il quantile di riferimento è pari a 1.7139. Non si ha motivo di rifiutare H0
e) la statistica test vale circa 0.1807 e il quantile di riferimento è pari a 1.64485. Non si ha motivo di rifiutare H0
DIMOSTRAZIONE
29. Siano X e Y due variabili casuali discrete con funzione di probabilità congiunta P(x,y) e valori attesi rispettivamente pari
a E(X) e E(Y). Considerata la variabile casuale somma S=X+Y, dimostrare che il suo valore atteso è pari a E(S)=E(X)+E(Y)
Soluzione: 1)e 2)b 3)b 4)e 5)d 6)c 7)c 8)a 9)a 10)d 11)e 12)a 13)b