Tavola relazioni Trigonometriche - gerlos

Tavola di relazioni trigonometriche
Funzioni trigonometriche dell'angolo
y
x
y
x
sin =
cos =
tan =
cot =
r
r
x
y
cosec=
1
sin 
sec =
x
1
cos 
r
la funzione seno è dispari, la funzione coseno è pari, la funzione tangente è dispari.

o
Relazioni fondamentali
sin 2 cos 2 =1
tan =
sin 
cos 
cot =
cos 
sin 
Espressione delle funzioni goniometriche mediante una di esse
sin 
cos 
sin =
sin
±1−cos 
±
cos =
±1−sin 
cos
±
tan =
±
2
2
sin 
±
1−sin 
1−sin 2 
±
cot =
tan 
2
±
sin 
cot 
tan 
1 tan
2
±

1
±
1 tan2 
1− cos2 
cos 
cos 
1− cos2 
1
1cot2 
cot 
1 cot2 
tan 
1
cot 
1
tan 
cot 
Angoli associati, complementari e che differiscono di  /2
sin−=sin 
cos− =−cos
tan −=−tan 
cot −=−cot 
sin=−sin 
cos=−cos
tan =tan 
cot =cot 
sin2 −=−sin 
tan 2 −=−tan 
sin− =−sin 
tan − =−tan 
cos2 −=cos
cot 2 −=−cot 
cos− =cos 
cot − =−cot 
sin/2−=cos
cos/2− =sin 
tan /2−=cot 
cot /2− =tan 
sin/2=cos
cos/2 =−sin
tan /2=−cot 
cot /2 =−tan 
Formule di addizione e sottrazione
sin±=sin  cos ±cos  sin 
cos±=cos cos ∓sin sin 
tan  ±tan 
tan ± =
1∓tan  tan 
cot ±=
cot  cot ∓1
cot ±cot 
Formule di duplicazione, triplicazione e bisezione
2
sin 2 =2sin  cos 
3

2
2
2
tan 2 =
cos 3=4cos −3cos 


1cos
cos =±
2
2
tan
2 tan 
2
1−tan 
3
3
sin 3=3 sin −4 sin 

1−cos
sin =±
2
2
2
cos =cos −sin =1−2 sin =2cos −1
tan 3 =
3 tan −tan 
1−3 tan 2 


1−cos 
sin 
1−cos
=±
=
=
2
1cos  1cos
sin 
Formule parametriche

2
sin =
2
1tan
2

2
cos=
2
1 tan
2
1− tan2
2 tan

2
tan  =
2
1−tan
2
2 tan
Formule di prostaferesi
sin ±sin =2 sin
±
∓
cos
2
2
coscos =2 cos
 
−
cos
2
2
cos−cos =−2 sin

 −
sin
2
2
y
Formule di Werner
1
sin sin = [cos−− cos ]
2
1
cos cos = [cos cos− ]
2
1
sin cos = [sin sin − ]
2
Teoremi sui triangoli
Triangoli rettangoli
b=a sin 
c=a sin 
b=a cos 
c=a cos 
Teorema di Pitagora
2
2
a =b c
b=c tan 
b=c cot 
c=b tan 
c=b cot 

b
2

a
a
b
c
=
=
=2R
sin  sin  sin 
Teorema delle proiezioni
a=b cos c cos 
Teorema del coseno o di Carnot
2
c

Triangoli qualsiasi
Teorema dei seni
2

a
2
b
2
a =b c −2b c cos 


b=c cos a cos 
2
c=a cos bcos 
2
2
b =c a −2c a cos 
2
2
c =a b −2a b cos 
Altro
Sviluppo di Taylor delle funzioni trigonometriche
3
sin =−
5
2
 
 
3! 5!
cos =1−
4
 
 
2! 4!
Formule di Eulero (esponenziale complesso)
±i
e
sin =
=cos ±i sin 
e i−e−i 
2i
cos =
e ie−i
2
Funzioni iperboliche
x
sinh x=
x
−x
e −e
sin i 
=
2
i
cosh x=
x
−x
e e
=cos i 
2
tanh x=
c
−x
sinh x e −e
=
cosh x e x e−x
il seno iperbolico è dispari, il coseno iperbolico è pari, la tangente iperbolica è dispari.
Valori delle funzioni trigonometriche di angoli particolari
gradi
radianti
seno
coseno
tangente
cotangente
0°
0
0
1
0
non definita
30°

6
1
2
3
3
2
3
3
45°

4
2
2
2
2
1
1
60°

3
3
2
1
2
3
90°

2
1
0
non definita
0
180°

0
-1
0
non definita
270°
3

2
-1
0
non definita
0
360°
2
0
1
0
non definita
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3
3