Soluzioni parte A
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RISPOSTA AL QUESITO “A” Teorema. Il prodotto di due numeri interi consecutivi è divisibile per 3 se e solo se la loro somma non è divisibile per 3. DIMOSTRAZIONE Ipotesi. n(n + 1) è divisibile per 3. Tesi. n + (n + 1) = 2n + 1 non è divisibile per 3. • Per l’ipotesi si ha che almeno uno dei fattori (e solo uno) è divisibile per 3. Allora se n è divisibile per 3, 2n è anche divisibile per 3 e quindi il successivo 2n + 1 non è divisibile per 3. Se, invece, n + 1 è divisibile per 3, 2(n + 1) = 2n + 2 è anche divisibile per 3 e quindi 2n + 1 = 2n + 2 − 1 non è divisibile per 3. Viceversa Ipotesi. n + (n + 1) = 2n + 1 non è divisibile per 3. Tesi. n(n + 1) è divisibile per 3. • Osservando che, dati tre numeri interi consecutivi, uno di essi è divisibile per 3, si ha che uno dei due numeri 2n + 1 − 1 = 2n e 2n + 1 + 1 = 2(n + 1) è divisibile per 3; da ciò segue che uno tra i numeri n e n + 1 è divisibile per 3 e quindi la tesi.
