CRITERIO DI DIVISIBILITÀ PER 2 un numero naturale è divisibile

CRITERIO DI DIVISIBILITÀ PER 2
ENUNCIATO del teorema:
un numero naturale è divisibile* per 2 se e solo se lo è anche la sua cifra delle unità
altri modi equivalenti di enunciare lo stesso teorema:


un numero naturale è multiplo** di 2 se e solo se lo è anche la sua cifra delle unità
un numero naturale è pari se e solo se lo è anche la sua cifra delle unità
*Precisazione sul concetto di divisibile: i numeri divisibili per 2 sono tutti i numeri la cui divisione intera per 2 dà come
resto 0, quindi poichè 0 : 2 dà resto 0, 2 : 2 dà resto 0, 4 : 2 dà resto 0, 6 : 2 dà resto 0, 8 : 2 dà resto 0, …, i numeri
divisibili per 2 sono:
**Precisazione sul concetto di multiplo: i multipli di 2 sono tutti i numeri che si ottengono moltiplicando 2 per un numero
naturale, quindi
ossia:
(vedi LIBRO DI TESTO a pag. 14)
IPOTESI
,
(consideriamo cioè un qualsiasi numero naturale composto da 4 cifre)
(la cifra delle unità è multiplo di 2)
TESI
(k è allora un multiplo di 2, k è divisibile cioè per 2)
L’idea della dimostrazione è far vedere che il numero k si può scrivere come somma di numeri tutti multipli di 2 e
quindi ricavare che anche k è multiplo di 2 (di fatto è un’applicazione dell’ ESERCIZIO 10 delle fotocopie, il
quale afferma che se a = b+c e “b” e “c” sono multipli di un numero “n”- in questo caso n=2 - allora anche la loro
somma “a” – in questo caso a=k - è multiplo di n.)
DIMOSTRAZIONE
Osserviamo innanzitutto che
,
cioè che tutte le potenze di 10 sono multipli di 2 (o divisibili per 2).
Quindi riscriviamo il numero k usando questa osservazione:
(prop. associativa)
(raccoglimento a fattor comune)
(per la seconda ipotesi)
( e
C.V.D.
sono operazioni interne a )
Osservazione finale: non solo abbiamo dimostrato che se la cifra delle unità è divisibile per 2 allora “tutto” il
numero k è divisibile per 2, abbiamo anche di fatto dimostrato che solo se l’ultima cifra è divisibile per 2 lo è
anche k (infatti se nel terz’ultimo passaggio scrivessimo che d è dispari, cioè d = 2m + 1, sarebbe immediato
verificare allora che anche k = 2n + 1, cioè anche k sarebbe dispari e quindi non divisibile per 2).