Seminario di Matema-ca e realtà “Modelli matema-ci nella vita reale” Modelli per ricorsione Cenni di Teoria dei numeri Autore: Prof. Salvatore MENNITI -­‐ Matema7ca email: [email protected] Successioni ricorsive • E’ possibile descrivere la natura ed il mondo che ci circonda a=raverso la costruzione di modelli matema-ci, i cui processi risolu-vi molto spesso sono di -po itera-vo, o ricorsivo. Relazione lineare ricorsiva • Def: Data una successione fn, una relazione lineare ricorsiva di grado k a coefficien- costan- è una relazione ricorsiva della forma: fn = p1fn-­‐1+p2fn-­‐2+…….+pkfn-­‐k+p, pi, p numeri reali, pk≠0 Se p=0, allora la relazione si dice omogenea, di grado k, ossia: fn = p1fn-­‐1+p2fn-­‐2+…….+pkfn-­‐k (1) Relazione lineare ricorsiva Analizzando il caso omogeneo, si cerca una soluzione del -po: fn= rn r = costante Pertanto rn sarà soluzione, se e solo se: rn -­‐ p1 rn-­‐1 -­‐p2 rn-­‐2 -­‐…….-­‐pk rn-­‐k=0, da cui dividendo per rn-­‐k segue: rk -­‐ p1 rk-­‐1 -­‐p2 rk-­‐2 -­‐…….-­‐pk = 0 [Equazione cara=eris-ca] (2) Ciò significa che fn = rn è soluzione della (1), se e solo se è soluzione dell’equazione cara=eris-ca (2). Relazione lineare ricorsiva omogenea di grado k Prop. 1 Data la relazione lineare ricorsiva omogenea, di grado k fn = p1fn-­‐1+p2fn-­‐2+…….+pkfn-­‐k Se l’equazione cara=eris-ca associata amme=e radici dis-nte r1, r2, …….., rk Allora una successione è soluzione di tale relazione ricorsiva se e solo se : fn = c1r1n + c2r2n +……………. + ckrkn c1, c2………………. ck = costan- Dove le costan- c1, c2………………. ck si determinano a par-re dalle condizioni iniziali f1, f2………………. fk . Esempio: Numeri di Fibonacci • Una coppia di conigli neona-, impiega- i primi due mesi a maturare, successivamente genera ogni mese un’altra coppia di conigli e così via. • Vogliamo sapere dopo n-­‐mesi quante coppie fn di conigli sono presen-. • Sia fn-­‐1 il numero di conigli presen- al mese n-­‐1. • Considerando che i conigli na- nel mese n sono tan- quante le coppie mature presen- nel mese n-­‐2, segue: fn = fn-­‐1 + fn-­‐2 Considerando le condizioni iniziali, risulta: dove è possibile osservare che i numeri di tale successione sono: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610…. I numeri di Fibonacci introdof nel 1202 da Leonardo Fibonacci, de=o il Pisano, con lo scopo di descrivere la crescita di una popolazione di conigli, sono presen- in molte situazioni concrete in natura. • Tra=andosi di una relazione lineare ricorsiva omogenea di grado 2, l’equazione cara=eris-ca associata è: r2 -­‐r – 1 = 0 le cui radici sono dis-nte e sono: Dalla Prop. 1 , le soluzioni dell’equazione ricorsiva iniziale sono del -po: • Dalle condizioni iniziali, segue: E quindi: Da cui e quindi infine: [Formula chiusa di BINET] • Ad esempio i girasoli contengono al loro interno spirali con 34 avvitamen- in un senso e 55 nell’altro (oppure 55 e 89,…) • I numeri di Fibonacci sono lega- al rapporto aureo o proporzione divina, la cui costruzione è mostrata nella figura seguente: • Ovviamente: dove la le=era greca φ è stata scelta in onore al famoso scultore greco Fidia (Atene, 490 a.C. – Atene, 430 a.C. circa). • I numeri di Fibonacci possiedono molte interessan- proprietà e alla fine del secolo scorso Édouard Lucas (Amiens, 4 aprile 1842 – Paris, 3 oJobre 1891) dimostrò che il numero: • n = 2127 – 1 • è numero primo. • In realtà i numeri Mp = 2p – 1, con p=primo, sono def numeri di Mersenne. • I numeri primi di Mersenne sono collega- con i numeri perfef. • Nel IV secolo a.C. Euclide dimostrò che se Mn=2n – 1 è primo, allora Mn(Mn + 1)/2 = 2n-­‐1(2n – 1) è numero perfe=o; nel XVIII secolo Eulero provò che tuf i numeri perfef pari hanno tale forma. • Vediamo ora un algoritmo, de=o Test di primalità di Lucas-­‐Lemher, per determinare se Mp è primo. • Consideriamo la seguente successione per ricorsione: • Se accade: • Dove mod è il resto della divisione per Mp, allora Mp è primo o numero di Mersenne. Torre di Hanoi • Anche nei giochi, se pensiamo alla famosa “ Torre di Hanoi”, cos-tuita da 3 aste (o torri) e da n-­‐dischi, di diametro decrescente infila- inizialmente nella prima asta, è possibile stabilire l’algoritmo risolu-vo di -po ricorsivo, per sistemare, gli n-­‐dischi (sempre in ordine decrescente) nell’ul-ma asta, cercando di eseguire il numero minimo di mosse. Torre di Hanoi Sia Mn-­‐1 il numero minimo di mosse necessario, per far passare gli n-­‐1 dischi superiori dalla torre 1, alla torre 2; una volta spostato il disco più grande nella torre 3 (1 mossa), occorrono nuovamente Mn-­‐1 mosse, per infilare gli n-­‐1 dischi superiori dalla torre 2, alla torre 3. Quindi abbiamo la formula per ricorsione: • Si ricava facilmente la formula chiusa: • Se il numero n dei dischi è primo, abbiamo che il numero minimo di mosse è un numero di Mersenne. • Se passiamo alla funzione f(x) = 2x – 1, con x reale, essa è evidentemente una funzione esponenziale; anche la funzione f(x) = 2x-­‐1 (2x – 1) è di -po esponenziale ed f(p), con p=primo è numero perfe=o. Bibliografia -­‐ Piacen-ni Ca=aneo Giulia Maria – Matema-ca discreta e applicazioni – Ed. Zanichelli , 2008 -­‐ Davenport Harold -­‐ Aritme-ca superiore. Un'introduzione alla teoria dei numeri – Ed. Zanichelli, 1994 -­‐ Hardy, G. H.; Wright, E. M. An introduc-on to the theory of numbers. Fivh edi-on. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1979.
