Esercitazione sui numeri complessi

Esercitazione sui numeri complessi
Operazioni di base
1) 2i  3i  2i    12i3  12i
2) 2i  3i   3i  i3   3i   3i  2i  i 3  3i   3i  2i  i  3i   3i  0  0
2
3) 11i 7  i  4i    3i   11i 4  i3  i 16i 2    27i3   111  i   i  16   27i    11  16  27  i  0
2
3
4) Nel numero complesso
11i 2015  30i5102  41i5201  ki5012 ,
determinare il valore reale di k in modo che il numero sia immaginario puro.
Risposta: k=30
Soluzione
11i 2015  30i5102  41i5201  ki5012  11i 45033  30i 41275 2  41i 413001  ki 41253 
11 i 4 
503
 i3  30  i 4 
1275
 i 2  41 i 4 
1300
 i  k i 4 
1253
 11i3  30i 2  41i  k  11i  30  41i  k  k  30  30i
Il numero ottenuto è immaginario puro solo se k=30 ed il numero è 30i.
*** ***
5)
6)
1 3  i 
1  4i
1
i  4 3  i
3 3
43 7
1  4i  i 


 2 2  4i   i 
 i


i
3i
1
10
10
10
10
3

i
i  i 
3

i
3

i
  
1  2i 2  3i 3
2  i
2

1  2  1  3i  1
4  4i  i 2

1  3i 3  4i 3  4i  9i  12i 2 15  5i
3 1


  i

2
3  4i 3  4i
25
5 5
9  16i
Esercizi con la presenza di un parametro
7) Nel numero complesso z   5  ki  determinare per quali valori reali di k il numero è immaginario
2
puro.
Risposta: k  5
Soluzione
 5  ki 
2
 25  10ki  k 2i 2  25  k 2  10ki
Il numero è immaginario puro se e solo se k  5 . I due numeri corrispondenti sono z1  50i ,
z2  50i .
*** ***
8) Stabilire se esistono valori reali di k per i quali il numero complesso z 
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1  3i
è reale.
1  ki
Pagina 1
Risposta: Con k=3, si ha z=1
Soluzione
Si deve ridurre il numero complesso alla forma algebrica a+ib, quindi stabilire se il coefficiente della
parte immaginaria b può essere nullo.
z
1  3i 1  3i 1  ki 1  3k
3 k



i
1  ki 1  ki 1  ki 1  k 2 1  k 2
Il numero diventa reale se e solo se risulta 3  k  0 , quindi
se k  3 . Il numero z reale corrispondente è: z  1
*** ***
9) Considerato il numero complesso z 
3  ki
, con k parametro reale, stabilire se esistono valori di k
k i
tali che:
a) z sia un numero reale;
b) z sia un numero immaginario puro;
c) Il modulo z sia 5 .
Risposte a) nessun valore reale di k; b) k=0 e si ha z=-3i; c) k=1 e si hanno i numeri
z1  1  2i , z2  1  2i .
Soluzione
a. Riduciamo il numero complesso alla forma algebrica.
3  ki 3  ki k  i
2k
k2  3


 ...  2
 2
i Dalla forma ottenuta si evince che il numero
k i
k i k i
k 1 k 1
complesso non può diventare reale per alcun valore di k reale perché per ogni valore reale
di k il coefficiente della parte immaginaria è diverso da zero.
b. Il numero complesso diventa immaginario puro per k=0; il corrispondente numero
complesso è z=-3i.
c.
2k
k2  3
Il modulo del numero complesso è z  2  2 i 
k 1 k 1
4k 2   k 2  3 
2
k 2 1
Imponendo che il modulo sia 5 si ottiene l’uguaglianza
4k 2   k 2  3 
k 2 1
2
 5  k 4  10k 2  9  5  k 4  2k 2  1  k 4  1  k  1
Esistono dunque due numeri complessi che hanno la proprietà richiesta e sono
z1  1  2i , z2  1  2i .
*** ***
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10) Considerati i numeri complessi z1  1 
1
, z2  k  i determinare per quali valori del parametro
1 i
reale k il prodotto il prodotto z1z 2 è reale o immaginario puro.
Risposta
z1z 2 è reale per k=-1; z1z 2 è immaginario puro per k=1
Soluzione
Semplifichiamo l’espressione di z1 ed eseguiamo il prodotto risudendolo alla forma algebrica.
z1  1 
i 1  i 
1
1 1
i
 

  i.
1 i
1  i 1  i 1  i  2 2
k 1 k 1
1 1 

i
z1z 2    i   k  i   …=
2
2
2
2


Il risultato è un numero reale per k=-1 e risulta z1z2  1 ; il risultato è immaginario puro per k=1 e
risulta z1z 2  i .
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