Esercizi integrativi

Varzi / Nolt / Rohatyn • Logica 2/ed
Esercizi integrativi
La struttura delle argomentazioni
1.A. Alcuni dei brani che seguono contengono argomentazioni, altri no. Individuare i primi ed elencarne premesse e conclusioni.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6 )
È da tante settimane che la Juve non perde. Domani perderà senz’altro.
È da tante settimane che la Juve non perde. Non perderà neanche domani.
Ho detto a tutti di non telefonare perché tu potessi studiare indisturbato.
Gli esseri umani sono animali, infatti appartengono alla classe dei mammiferi.
Gli esseri umani sono animali, quindi appartengono alla classe dei mammiferi.
Certo che ci sono filosofi disonesti! Tutti i filosofi sono saggi, ma non tutte le
persone sagge sono oneste.
(7) Molti statunitensi non sanno nemmeno se il loro paese sostenga la messa al bando internazionale delle mine anti-uomo o vi si opponga. Gli statunitensi sono
cittadini irresponsabili.
1.B. Le argomentazioni seguenti hanno una premessa o una conclusione implicita. Indicare in ciascun caso di quale asserzione si tratta.
(1)
(2)
(3)
(4)
I negozi sono chiusi di domenica, ma oggi è martedì.
Gli uomini sono animali, e gli animali sono mortali. Quindi Socrate è mortale.
Tutti i numeri positivi sono o pari o dispari, e sappiamo bene che 7 non è pari.
Sandro non è a casa. Non è neanche da Francesca e non può essere in biblioteca,
perché oggi è sabato e la biblioteca è chiusa. Quindi dev’essere andato al cinema.
(5) Sandro è a casa. Quindi non è in biblioteca.
(6) Gli studenti di filosofia sono terribilmente pignoli, e Beatrice detesta le persone
pignole. Non c’è dubbio che Beatrice detesterà anche tuo ftatello.
(7) Il cognato non ha nessun alibi. Aveva anzi ottimi motivi per uccidere la signora
Rossi. E poi sono stati visti insieme pochi minuti prima dell’ora del delitto.
1.C. Alcuni dei seguenti gruppi di enunciati formano delle argomentazioni, altri no. Per
tutti quelli che lo sono, evidenziare gli indicatori di inferenza, mettere le parentesi e
numerare le asserzioni, aggiungere eventuali premesse o conclusioni implicite, e costruire il diagramma corrispondente.
(1) Gli ha promesso di sposarlo e così questa è l’unica cosa che adesso dovrebbe fare. Se fa marcia indietro, sbaglia di grosso.
(2) Non ti posso certo aiutare se non sai dov’è l’errore; io non so proprio dove cercarlo. Non ti posso aiutare.
(3) Hitler prese il potere perché gli Alleati avevano distrutto l’economia tedesca dopo la prima guerra mondiale. Quindi, se gli alleati avessero contribuito alla ricoCopyright © 2007, The McGraw-Hill Companies, srl
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Capitolo 1
2
Varzi / Nolt / Rohatyn • Logica 2/ed
(4)
(5)
(6)
(7)
Capitolo 2
struzione economica della Germania invece di distruggerla, non avrebbero mai
dovuto affrontare Hitler.
Il padre dell’apostolo Paolo era un fariseo. Paolo non ricevette un’educazione
classica, poiché nessun fariseo avrebbe permesso al figlio di essere influenzato
dall’Ellenismo e nessuno con una qualche conoscenza del greco avrebbe potuto
scrivere le Epistole in un greco così scadente. (Will Durant, La Storia della Civiltà)
La terra dista circa 93 milioni di miglia dal sole, e la luna circa 250 000 dalla terra.
Quindi la luna è circa 250000 miglia più vicina al sole di quanto lo sia la terra.
Il punteggio è 3 a 2 per il battitore. Un giornata meravigliosa per il baseball qui a
Beantown. Sugli spalti più di 33000 persone in attesa. Ecco il lancio, il battitore
fa girare la mazza e sbaglia, terzo strike. Questo è il terzo strike out consecutivo
che Roger Clemens riesce ad inanellare in questa partita. Ha eliminato i battitori
uno dopo l’altro e sta facendo dei lanci da maestro.
Può semplicemente essere che il male non esiste? Ma allora perché dovremmo
temere ciò che non esiste e guardarcene? Se il nostro timore non ha fondamento, proprio il timore sarebbe un male perché senza ragione assilla e tormenta il
cuore, male tanto più grave quanto minore è il motivo di temere. Quindi o il male che temiamo esiste o il male consiste nel nostro stesso timore. (Sant’Agostino,
Confessioni)
Valutare un’argomentazione
2.A. Valutare le argomentazioni seguenti con riferimento al criterio 2; in altre parole, determinare se il loro ragionamento è di tipo deduttivo o induttivo, e, nel caso sia induttivo, se sia forte o debole (cioè se la sua probabilità induttiva sia alta o bassa).
(1) Gli esseri umani sono ampiamente superiori, sia intellettualmente che culturalmente, alle attuali scimmie.
∴ Gli esseri umani e le scimmie attuali non si sono evoluti da un antenato comune.
(2) Nessun essere umano ha mai raggiunto l’età di 200 anni.
∴ Nessuna persona attualmente in vita raggiungerà l’età di 200 anni.
(3) Nessun essere umano ha mai raggiunto l’età di 200 anni.
∴ Nessuna persona attualmente in vita raggiungerà l’età di 500 anni.
(4) Se esistesse più di un insieme vuoto (cioè privo di elementi), allora vi sarebbe più
di un insieme con esattamente lo stesso numero di elementi.
Non esistono due insiemi che abbiano lo stesso numero di elementi.
∴ Esiste al massimo un solo insieme vuoto.
(5) Tutte le argomentazioni sono o deduttive o induttive.
Quella che stai leggendo ora è un’argomentazione.
Quest’argomentazione non è deduttiva.
∴ Quest’argomentazione è induttiva.
(6) Se Topeka è negli Stati Uniti, allora si trova o negli Stati Uniti continentali, o in
Alaska, o nelle Hawaii.
Topeka non è in Alaska.
Topeka non è nelle Hawaii.
Topeka è negli Stati Uniti.
∴ Topeka è negli Stati Uniti continentali.
(7) È impossibile stabilire se le macchine siano in grado di pensare come noi.
∴ Le macchine non saranno mai in grado di pensare come noi.
(8) La maggior parte delle persone ha due gambe.
La maggior parte delle persone ha due braccia.
∴ Alcune persone hanno due braccia e due gambe.
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Esercizi integrativi
(9) Tutte la forme di vita che abbiamo potuto osservare fino ad ora sulla terra hanno un proprio DNA.
∴ Tutte le forme di vita terrestre hanno un proprio DNA.
(10) Tutte le opere umane sono destinate a scomparire.
Qualsiasi cosa sia destinata a scomparire è priva di significato.
∴ Tutte le opere umane sono prive di significato.
2.B. Diagrammare le argomentazioni seguenti e indicare con una ‘D’ o con una ‘I’ accanto
a ciascuna freccia del diagramma se il corrispondente passo dell’inferenza è deduttivo
o induttivo (forte o debole). Se l’argomentazione è complessa, indicare anche se è
globalmente deduttiva o induttiva (forte o debole).
(1) Le persone sarcastiche sono socialmente disadattate. Infatti il sarcasmo è una
forma di ostilità gratuita e l’ostilità gratuita è indice di disadattamento sociale, come dimostra il fatto che le persone socievoli non sono ostili.
(2) Quando Serena è al telefono, suo padre scappa in garage, e quando il padre di
Serena è in garage lo si sente sempre trafficare con gli attrezzi. Dal garage non
proviene alcun rumore di attrezzi. Quindi Serena non è al telefono.
(3) Così come senza calore non vi sarebbe il freddo, senza l’oscurità non vi sarebbe
luce, e senza dolore non vi sarebbe piacere, così pure senza la morte non vi sarebbe vita. Ecco perché le nostre morti individuali sono assolutamente necessarie per la vita dell’intero universo. La morte, quindi, è una fine serena verso cui
avvicinarsi spontaneamente, non qualcosa di terribile da cui fuggire con tutte le
nostre forze, egoisticamente e inutilmente.
2.C. Valutare ciascuna delle seguenti argomentazioni con riferimento ai quattro criteri discussi nel Capitolo 2: (a) verità delle premesse, (b) probabilità induttiva, (c) pertinenza
delle premesse rispetto alla conclusione, e (d) vulnerabilità a fronte di nuova evidenza.
(1) Una sovralimentazione abitudinaria può finire col causare un danno permanente
alla nostra salute.
La nostra salute è la cosa più importante che abbiamo.
∴ La cosa peggiore che possiamo fare è abbuffarci di cibo.
(2) All’età di 40 anni De Chirico ha abbandonato la sua pittura metafisica per tornare a
uno stile tradizionale.
In seguito a questo cambiamento, il suo lavoro ha perso d’intensità.
∴ Non vi è possibilità di ritorno per una mente creativa il cui inconscio sia stato
coinvolto nel dilemma fondamentale dell’esistenza moderna.
(3) Sergio ha affittato una casa estiva in Toscana.
Sergio ha affittato la casa di residenza della sua famiglia a Torino.
∴ Sergio ha affittato almeno due case.
(4) Non esiste il più grande numero primo.
Tra tutti i numeri primi a cui abbiamo mai pensato ve ne è certamente uno che è
più grande di tutti gli altri.
∴ Qualsiasi sia il più grande numero primo a cui abbiamo mai pensato, esistono
numeri primi più grandi.
(5) Il quadrato di un numero n qualsiasi è divisibile per n.
Ogni numero divisibile per un numero pari è a sua volta un numero pari.
∴ Il quadrato di qualsiasi numero pari è ancora un numero pari.
(6) 2 + 2 = 4
4 = 22
∴ 2 + 2 = 22
(7) 2 + 3 = 5
3 + 7 = 10
∴ 2 + 2 = 22
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3
4
Varzi / Nolt / Rohatyn • Logica 2/ed
Capitolo 3
La logica proposizionale
3.A. Formalizzare le asserzioni seguenti nel linguaggio della logica proposizionale usando
l’interpretazione indicata:
Lettera enunciativa
S
D
A
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
Interpretazione
Oggi è sabato.
Oggi è domenica.
Oggi i negozi sono aperti.
Se oggi è sabato, allora non è domenica e i negozi sono aperti.
Se i negozi non sono aperti, allora oggi è domenica.
Oggi i negozi sono aperti solo se non è domenica.
Oggi non è né sabato né domenica.
Oggi è domenica, ma i negozi sono aperti.
Oggi non è domenica, ma i negozi sono chiusi.
Oggi i negozi sono aperti, purché non sia domenica.
È domenica se e solo se i negozi non sono aperti.
I negozi sono chiusi se e solo se è o sabato o domenica.
O è sabato e i negozi sono aperti, oppure è domenica e i negozi sono chiusi, ma
non si dà il caso che sia sabato e i negozi chiusi.
3.B. Stabilire se la fbf seguenti sono tautologie usando le tavole di verità o gli alberi di refutazione:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(P & Q) ∨ (P & ∼ Q)
(P ↔ Q) ∨ (P ↔ ∼ Q)
((P → Q) & ∼ Q) → ∼ P
((P ∨ ∼ P) → Q) → (R → Q)
(P → (Q → R)) → (R ∨ ∼ (P & Q))
3.C. Stabilire se le seguenti forme argomentative sono valide usando le tavole di verità o gli
alberi di refutazione.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Capitolo 4
∼ (P → Q) |– P → ∼ Q
P ∨ Q |– (P ∨ ∼ Q) → P
P → (Q & R), ∼ R |– P → Q
P & Q, ∼ (P & R) |– ∼ (Q & R)
P & Q |– (R → P) & (∼ R → Q)
Il calcolo proposizionale
4.A. Usando sia le regole di base che quelle derivate, dimostrare le seguenti forme argomentative:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
P ∨ Q, ∼ P, ∼ Q |– R
∼ (P ∨ Q), R ↔ P |– ∼ R
P ↔ Q, Q ↔ R |– P ↔ R
P |– (P → (Q & P)) → (P & Q)
P, P → Q, ∼ R ↔ Q, ∼ R → ∼ S |– ∼ (S & P)
4.B. Usando sia le regole di base che quelle derivate, dimostrare i seguenti teoremi:
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Esercizi integrativi
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
|–
|–
|–
|–
|–
5
∼ (P & ∼ (Q → P))
(P → (Q & R)) → (P → R)
(P → ∼ Q) → ∼ (P & Q)
((P ∨ Q) & ∼ (P & Q)) → (Q ↔ ∼ P)
∼ (P ↔ Q) ↔ (∼ P ↔ Q)
La logica delle asserzioni categoriche
Capitolo 5
5.A. Formalizzare le seguenti inferenze dirette e determinare se sono valide utilizzando la
tecnica dei diagrammi di Venn. (Usare ‘S’ per ‘studente’ e ‘P’ per ‘cosa (o persona) che
protesta’.)
(1) Non ci sono studenti che protestano. Quindi nessuno degli studenti protesta.
(2) Non tutti quelli che protestano sono studenti. Quindi ci sono non-studenti che
protestano.
(3) Qualche studente protesta. Quindi non tutti gli studenti protestano.
(4) Non tutti gli studenti protestano. Quindi ci sono studenti che non protestano.
(5) Tra i protestanti ci sono degli studenti. Quindi tra gli studenti ci sono dei protestanti.
5.B. Formalizzare le seguenti argomentazioni sillogistiche e determinare se sono valide
utilizzando la tecnica dei diagrammi di Venn. (Usare ‘A’ per ‘attore’, ‘B’ per ‘barista’ e
‘C’ per ‘cantante’.)
(1) Ci sono baristi che cantano, e tutti i cantanti sono attori. Quindi tra i baristi ci
sono degli attori.
(2) Non tutti gli attori cantano. I baristi cantano tutti. Quindi ci sono basisti che non
sono attori.
(3) Qalche attore canta e qualche barista canta. Quindi qualche barista fa l’attore.
(4) Tra gli attori ci sono dei baristi, e tra i baristi ci sono dei cantanti. Quindi non è
vero che nessun attore canta.
(5) Ogni attore canta. Non ci sono baristi cantanti. Quindi non ci sono baristi attori.
La logica dei predicati
6.A. Formalizzare le asserzioni seguenti nel linguaggio della logica dei predicati usando
l’interpretazione indicata.
Simbolo
m
g
O
V
A
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Interpretazione
Marta
Gianni
è all’ospedale
(predicato a un posto)
è andato/a in vacanza (predicato a un posto)
è amico/a di
(predicato a due posti)
Marta e Gianni sono andati in vacanza.
Marta è all’ospedale, ma Gianni è andato in vacanza.
Marta è un’amica di Gianni che si trova all’ospedale.
Marta è all’ospedale, ma tutti i suoi amici sono andati in vacanza.
Tutti gli amici di Marta che non sono all’ospedale sono andati in vacanza.
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Capitolo 6
6
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(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
Gli amici di Marta sono in vacanza ma quelli di Gianni sono tutti all’ospedale.
Ogni amico di Marta che è andato in vacanza ha un amico che è all’ospedale.
Marta ha degli amici all’ospedale i cui amici sono anche amici di Gianni.
Gianni è l’unico amico di Marta che non è andato in vacanza.
Ttutti gli amici di Marta sono andati in vacanza, tranne Gianni.
Gianni ha degli amici che non sono amici di Marta.
Gianni non ha amici che non siano anche amici di Marta.
Solo uno degli amici di Gianni non è amico di Marta.
Nessuno degli amici di Gianni è amico di Marta.
Gianni e Marta hanno un amico in comune che si trova all’ospedale.
Marta ha degli amici in vacanza che sono all’ospedale.
Tutti gli amici di Marta hanno un amico in comune con Gianni.
Tutti gli amici di Marta hanno un amico in comune con un amico di Gianni.
Tutti gli amici di Marta che sono all’ospedale hanno un amico in comune con
qualche amico Gianni che si trova in vacanza.
(20) Solo gli amici di Marta che si trovano in ospedale hanno amici in comune con
qualche amico di Gianni.
6.B. Formalizzare le argomentazioni seguenti nel linguaggio della logica dei predicati usando l’interpretazione indicata.
Simbolo
p
r
i
R
S
F
P
W
Interpretazione
la logica proposizionale
la logica dei predicati
la logica dei predicati con identità
è un insieme di regole
è un sistema formale
è una formula di
è parte di
è una fbf di
(1) La logica proposizionale è parte della logica dei predicati. Perciò, la logica dei
predicati non è parte della logica proposizionale.
(2) Poiché ogni sistema formale è un insieme di regole, qualunque cosa che non sia
un insieme di regole non è un sistema formale.
(3) Non è vero che non esistono sistemi formali, dato che la logica dei predicati è
un sistema formale.
(4) Esistono formule della logica dei predicati. Quindi, esistono fbf della logica dei
predicati, poiché tutte le fbf della logica dei predicati sono formule della logica
dei predicati.
(5) Non ogni formula della logica dei predicati è una fbf della logica dei predicati.
Quindi, alcune formule della logica dei predicati non sono fbf della logica dei
predicati.
(6) Ogni fbf di un sistema formale è una formula di quel sistema. Perciò, esiste un
sistema formale le cui fbf non sono tutte formule di quel sistema.
(7) Se un sistema formale è parte di un altro sistema formale, allora ogni fbf del
primo è una fbf del secondo. La logica dei predicati è parte della logica dei predicati con identità, ed entrambe sono sistemi formali. Perciò, ogni fbf della logica dei predicati è anche una fbf della logica dei predicati con identità.
(8) Se una cosa è parte di un’altra e quella seconda cosa è parte di una terza, allora la
prima è parte della terza. La logica dei predicati è parte della logica dei predicati
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Esercizi integrativi
7
con identità. Perciò, se la logica proposizionale è parte della logica dei predicati,
allora la logica proposizionale è parte della logica dei predicati con identità.
(9) Ogni cosa è parte di se stessa. Quindi, se la logica dei predicati è identica alla logica proposizionale, allora la logica dei predicati è parte della logica proposizionale e la logica proposizionale è parte della logica dei predicati.
(10) La logica dei predicati e la logica proposizionale sono sistemi formali. La logica
proposizionale è parte della logica dei predicati, ma la logica dei predicati non è
parte della logica proposizionale. Quindi, ci sono almeno due diversi sistemi
formali.
6.C. Valutare le seguenti fbf rispetto al modello specificato:
Universo: le regioni dell’Italia
m
le Marche
u
l’Umbria
A l’insieme delle regioni che si affacciano sul Mar Adriatico
C
la relazione confina con
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
Am
∼ Cmu
Au → Cmu
∃x ∼ Ax
∃x(Ax & Cxm)
∀x ∼ (Ax → Cux)
∃x∀y∀Cxy
∀x∃yCxy
∀x∃y(∼ Ay & Cxy)
∃x∀y(Cxy → ∼ Ay)
∃x∃y((Ax & Ay) & ∼ Cxy)
∀x(∼ Ax → ∃y(Ay & Cxy))
∃x(Ax & ∀y(Ay → Cxy))
∀x∀y∀z((Cxy & Cyz) → Cxz)
∃x(Ax & ∃y∃z((Ay & Az) & (Cxy & Cxz)))
6.D. Determinare quali delle forme argomentative dell’esercizio 6.B sono valide costruendo in ciascun caso un albero di refutazione.
Il calcolo dei predicati
7.A. Dimostrare la validità delle seguenti forme argomentative.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
Fa ↔ Gb |– ∃xGx ∨ ∼ ∀xFx
∀x(Fx → Gx) |– ∼ ∃xGx → ∀x∼ Fx
∃x∃y(Fx & Gy) |– ∃x(Fx & ∃yGy)
∃x(Fx & ∃yGy) |– ∃x∃y(Fx & Gy)
∀x(Fx → ∀yGy) |– ∀x∀y(Fx → Gy)
∼ ∀x(Rxa → Sxa) |– ∃x∃y(Rxy & ∼ Sxy)
∀x∀y∀z((Rxy & Ryz) → Rxz), ∼ Rac |– ∼ Rab ∨ ∼ Rbc
∀xRxx |– ∃x∀y(x = y → Rxy)
∀x(Fx → Gx), Fa |– ∼ Gb → ∼ b = a
Fa & Fb, Rab & ∼ Rba |– ∃x∃y((Fx & Fy) & ∼ x = y)
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Capitolo 7
8
Varzi / Nolt / Rohatyn • Logica 2/ed
7.B. Dimostrare i seguenti teoremi:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
|– Fa → (Ga → ∃x(Fx & Gx))
|– ∀x(Fx → Gx) → (∼ Fa ∨ Ga)
|– ∀x(Fx → ∃y(Gy & ∼ Gy)) → ∼ ∃xFx
|– ∀x∀yRxy → ∀y∀xRxy
|– ∃x∃yRxy → ∃y∃xRyx
|– ∀x(Fx → ∀yGy) → ∀x∀y(Fx → Gy)
|– ∼ ∃x(Fx & Gx) → (∀xFx → ∼ ∃yGy)
|– ∀x∀y x = y → (Fa → Fb)
|– ∀x∀y((Fxy & x = y) → Fyx)
|– ∼ ∃x∀y(Rxy ↔ ∼ Ryy)
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Soluzioni agli esercizi integrativi
Capitolo 1 La struttura delle argomentazioni



(1) Premessa: È da tante settimane che la Juve non perde.
Conclusione: Domani la Juve perderà.
(2) Premessa: È da tante settimane che la Juve non perde.
Conclusione: Domani la Juve vincerà.
(3) Questa non è un’argomentazione: la parola ‘perché’ indica uno scopo, non una
premessa.
(4) Premessa: Gli esseri umani appartengono alla classe dei mammiferi.
Conclusione: Gli esseri umani sono animali.
(5) Premessa: Gli esseri umani sono animali.
Conclusione: Gli esseri umani appartengono alla classe dei mammiferi.
(6) Premessa: Tutti i filosofi sono saggi.
Premessa: Non tutte le persone sagge sono oneste
Conclusione: Ci sono filosofi disonesti.
(7) Premessa: Molti statunitensi non sanno nemmeno se il loro paese sostenga la
messa al bando internazionale delle mine anti-uomo o vi si opponga.
Conclusione: Gli statunitensi sono cittadini irresponsabili.
Esercizio
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Conclusione implicita: Oggi i negozi sono aperti.
Premessa implicita: Socrate è un uomo.
Conclusione implicita: 7 è un numero dispari.
Premessa implicita: Sandro è o a casa o da Francesca o in biblioteca o al cinema.
Premessa implicita: Non ci si può trovare in due loghi diversi allo stesso tempo.
Premessa implicita: Tuo fratello è uno studente di filosofia.
Conclusione implicita: La signora Rossi è stata uccisa da suo cognato.
Esercizio
(1)
➀ [Gli ha promesso di sposarlo] e così ➁ [questa
re]. ➂ [Se fa marcia indietro, sbaglia di grosso.]
Esercizio
è l’unica cosa che dovrebbe fa-
1
↓
2
↓
3
(2)
➀ [Non
ti posso certo aiutare se non sai dov’è l’errore]; ➁ [io non so proprio dove cercarlo.] ➂ [Non ti posso aiutare.]
1+2
↓
3
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1.A
1.B
1.C
10
Varzi / Nolt / Rohatyn • Logica 2/ed
(3)
➀ [Hitler
prese il potere perché gli Alleati avevano distrutto l’economia tedesca
dopo la prima guerra mondiale.] Quindi, ➁ [se gli alleati avessero contribuito alla ricostruzione economica della Germania invece di distruggerla, non avrebbero
mai dovuto affrontare Hitler.]
1
↓
2
(4)
➀ [Il
padre dell’apostolo Paolo era un fariseo.] ➁ [Paolo non ricevette un’educazione classica,] poiché ➂ [nessun fariseo avrebbe permesso al figlio di essere influenzato dall’Ellenismo] e ➃ [nessuno con una qualche conoscenza del greco avrebbe potuto scrivere le Epistole in un greco così scadente.]
1+3
4
 
2
(5)
➀ [La
terra dista circa 93 milioni di miglia dal sole,] e ➁ [la luna circa 250000 dalla
terra.] Quindi ➂ [la luna è circa 250000 miglia più vicina al sole di quanto lo sia la
terra.]
1+2
↓
3
Così com’è formulata, l’argomentazione è poco convincente, dato che la luna
potrebbe trovarsi dall’altra parte del sole rispetto alla terra. Risulterebbe cogente
in presenza se assumessimo che la luna si trovi in un punto della sua orbita che
la vede allineata tra la terra e il sole, ma non vi è motivo di supporre che il parlante stia dando questa premessa per scontata: forse sta semplicemente commettendo un errore.
(6) Questa non è un’argomentazione bensì un brano di cronaca sportiva: non si sta
cercando di dimostrare nulla.
(7) Può semplicemente essere che il male non esiste? Ma allora perché dovremmo
temere ciò che non esiste e guardarcene? ➀ [Se il nostro timore non ha fondamento, proprio il timore sarebbe un male] perché ➁ [senza ragione assilla e tormenta
il cuore], ➂ [male tanto più grave quanto minore è il motivo di temere.] Quindi
➃ [o il male che temiamo esiste o il male consiste nel nostro stesso timore.]
Questa è un’argomentazione piuttosto complessa e contorta. La domanda iniziale suggerisce comunque che la conclusione dell’intero ragionamento sia l’asserzione seguente:
➄ [Il
male esiste.]
Inoltre, è utile riscrivere l’asserzione 2 in modo più completo ed esplicito:
➁ [Un
timore privo di fondamento assilla e tormenta il cuore senza ragione.]
È ragionevole ipotizzare che quest’asserzione si accompagni alla seguente, che è
lasciata implicita:
➅ [Un
timore che assilla e tormenta il cuore senza ragione è un male.]
Insieme, queste due asserzioni fungono da premesse per la conclusione intermedia 1. Infine, si noti che l’asserzione 3 è semplicemente un commento e non
contribuisce nulla alla struttura logica del discorso. Se tutto ciò è corretto, allora
l’argomentazione può essere diagrammata come segue:
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Soluzioni agli esercizi integrativi
11
2+6
↓
1
↓
4
↓
5
Capitolo 2 Valutare un’argomentazione


(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
Induttiva (debole).
Induttiva (forte)
Induttiva (molto forte)
Deduttiva.
Deduttiva.
Deduttiva.
Induttiva (piuttosto debole).
Deduttiva.
Induttiva (forte).
Deduttiva.
Esercizio
(1)
➀ [Le
Esercizio
2.A
persone sarcastiche sono socialmente disadattate.] Infatti ➁ [il sarcasmo è
una forma di ostilità gratuita] e ➂ [l’ostilità gratuita è indice di disadattamento sociale,] come dimostra il fatto che ➃ [le persone socievoli non sono ostili.]

(2)
2+4
↓ I (forte)
2+3
↓ D
1
I (forte)
➀ [Quando
Serena è al telefono, suo padre scappa in garage,] e ➁ [quando il padre di Serena è in garage lo si sente sempre trafficare con gli attrezzi.] ➂ [Dal garage non proviene alcun rumore di attrezzi.] Quindi ➃ [Serena non è al telefono.]
1+2+3
↓ D
4
(3) Così come ➀ [senza calore non vi sarebbe il freddo,] ➁ [senza l’oscurità non vi sarebbe luce,] e ➂ [senza dolore non vi sarebbe piacere,] così pure ➃ [senza la morte non vi sarebbe vita.] Ecco perché ➄ [le nostre morti individuali sono assolutamente necessarie per la vita dell’intero universo.] ➅ [La morte 〈quindi〉 è una
fine serena verso cui avvicinarsi spontaneamente, non qualcosa di terribile da cui
fuggire con tutte le nostre forze, egoisticamente e inutilmente.]
1+2+3
↓ I
4
↓ I
5
↓ I
6
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I (debole)
2.B
12
Varzi / Nolt / Rohatyn • Logica 2/ed
Tutti e tre i passi di quest’argomentazione peccano di vaghezza ed è quindi difficile valutarli con precisione. Il primo non è forte perché non è in grado di stabilire un parallelo chiaro e significativo tra le coppie di opposti menzionati nelle
premesse (asserzioni 1, 2 e 3) e la coppia menzionata nella conclusione che se ne
trae (asserzione 4): tale conclusione potrebbe anche vera, ma non risulta credibile sulla base delle informazioni fornite nelle premesse. Anche il secondo passo è
meno forte di quanto possa sembrare: anche assumendo che senza morte non
ci è vita, non ne segue che tutti gli esseri viventi debbano morire, e nemmeno
che dobbiamo morire noi. Infine, la terza inferenza è a sua volta discutibile: sembra richiedere un’assunzione aggiuntiva, per cui noi dobbiamo accettare con entusiasmo e volontariamente ciò che è necessario alla vita dell’intero universo, ma
la verità di questa assunzione (che renderebbe il passo finale deduttivo) è tutt’altro che scontata. Così com’è presentata, l’argomentazione è tutt’altro che deduttiva e la sua forza induttiva è debole, per quanto non sia misurabile con precisione.
Esercizio

2.C
(1) (a) Le premesse, se non vere, possono essere ritenute tali in molti contesti; (b) la
probabilità induttiva è comunque piuttosto debole, visto che possiamo fare ben
di peggio che abbuffarci di cibo; (c) le premesse sono pertinenti; (d) non conosciamo evidenza contraria, ma non è escluso che si facciano scoperte che indeboliscano o contraddicano la prima premessa.
(2) (a) Entrambe le premesse sono vere; (b) la probabilità induttiva è bassa; (c) le
premesse sono moderatamente pertinenti, ma non giustificano la generalità della
conclusione (che non riguarda de Chirico ma tutti gli artisti); (d) è possibile che
si venga a conoscenza di elementi biografici su de Chirico che indeboliscano ulteriormente il nesso logico tra premesse e conclusione.
(3) (a) Il valore di verità delle premesse è ignoto; (b) la probabilità induttiva è molto
alta, e se si assume l’ovvia premessa implicita in base alla quale Torino non è in
Toscana l’argomentazione diventa deduttiva; (c) le premesse sono pertinenti;
(d) l’argomentazione non è vulnerabile, a meno che si ammetta la possibilità che
Torino sia in Toscana.
(4) (a) Le premesse sono entrambe vere; (b) l’argomentazione è deduttiva, quindi la
sua probabilità induttiva è massima; (c) le premesse sono pertinenti; (d) in quanto deduttiva, l’argomentazione non è vulnerabile a fronte di nuova evidenza.
(5) Come in (4).
(6) (a) Le premesse sono entrambe vere; (b) l’argomentazione è deduttiva; (c) le
premesse sono pertinenti, sebbene la conclusione non dipenda dalla loro verità
essendo logicamente necessaria (cioè vera in virtù della definizione delle operazioni di addizione e di esponenziazione); (d) in quanto deduttiva, l’argomentazione non è vulnerabile.
(7) Anche in questo caso la conclusione è logicamente necessaria, quindi l’argomentazione è deduttiva e invulnerabile. Contrariamente all’esercizio precedente
tuttavia, qui le premesse non sono direttamente pertinenti rispetto alla conclusione.
Capitolo 3 La logica proposizionale
Esercizio
3.A

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
S → (∼ D & A)
∼A → D
A → ∼D
∼ S & ∼ D oppure, in alternativa, ∼ (S ∨ D)
D&A
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Soluzioni agli esercizi integrativi
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)

13
∼D & ∼A
∼D → A
∼D ↔ ∼A
∼ A ↔ (S ∨ D)
((S & A) ∨ (D & ∼ A)) & ∼ (S & ∼ A)
(1) Non tautologica, come mostra la seguente tavola di verità:
P
V
V
F
F
Q (P & Q) ∨ (P &
V V V V V V F
F V F F V VV
V F F V F F F
F F F F F F F
∼ Q)
F
V
F
V
(2) Tautologica, come mostra la seguente tavola di verità:
P
V
V
F
F
Q (P ↔ Q) ∨ (P ↔ ∼ Q)
V V V V V V F F
F V F F V VV V
V F F V V F V F
F F V F V F F V
(3) Tautologica, come mostra la seguente tavola di verità:
P
V
V
F
F
Q ((P → Q) & ∼ Q) → ∼ P
V V V V F F V F
F V F F F V V F
V F V V F F V V
F F V F V V V V
(4) Tautologica, come mostra la seguente tavola di verità:
P
V
V
F
V
V
F
F
F
Q
V
V
F
F
F
V
V
F
R ((P ∨ ∼ P) → Q) → (R → Q)
V V V F V V V VVV
F V V F V V V FVV
F F V V F F V FVF
V V V F F F V VF F
F V V F F F V FVF
V F V V V V V V VV
F F V V V V V F VV
V F V V F F V VFF
(5) Tautologica, come mostra la seguente tavola di verità:
P
V
V
V
V
F
F
F
F
Q
V
V
F
F
V
V
F
F
R (P → (Q → R)) → (R ∨ ∼ (P & Q))
V V V V V V V V VF V V V
F V F V F F V F FF V V V
V V V F V V V V VV V F F
F V V F V F V F VV V F F
V F V V V V V V VV F F V
F F V V F F V F VV F F V
V F V F V F V V VV F F F
F F V F V F V F VV F F F
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Esercizio
3.B
14
Varzi / Nolt / Rohatyn • Logica 2/ed
Esercizio
3.C

(1) Valida, come mostra il seguente albero di refutazione:
1
2
3
4
5
6
7


∼ (P → Q)
∼ (P → ∼ Q)
P
∼Q
P
∼∼Q
X
1 ∼→
1 ∼→
2 ∼→
2 ∼→
4,6 ∼
(2) Valida, come mostra il seguente albero di refutazione:
1
2
3
4
5
6
7
P∨Q
∼ ((P ∨ ∼ Q) → P)
P ∨ ∼Q
2 ∼→
∼P
2 ∼→
q
p
P 1∨
Q 1∨
X 4,5 ∼
e i
P 2 ∼&
∼Q
X 4,6 ∼
X



2 ∼&
5,6 ∼
(3) Valida, come mostra il seguente albero di refutazione:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
P → (Q & R)
∼R

∼ (P → Q)
P
3 ∼→
∼Q
3 ∼→
q
p
∼P 1 →
Q & R 1∨
X 4,6 ∼
Q
R
X 5,7 ∼

(4) Valida, come mostra il seguente albero di refutazione:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P&Q
∼ (P & R)
∼ ∼ (Q & R)
P
1&
Q
1&

Q&R
3 ∼∼
Q
4&
R
4&
q
p
∼P 2∼&
∼R 2 ∼&
X
4,9 ∼
X
8,9 ∼



(5) Valida, come mostra il seguente albero di refutazione:
1
2
3


P&Q
∼ ((R → P) & (∼ R → Q))
P
1&
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Soluzioni agli esercizi integrativi
4
q
∼ (R → P) 2 ∼ &
R
5 ∼→
∼P
5 ∼→
X
3,7 ∼
5
6
7
8
Q
1&
p
∼ (∼ R → Q)
∼R
∼Q
X
15
2 ∼&
5 ∼→
5 ∼→
4,7 ∼
Capitolo 4 Il calcolo proposizionale

Esercizio
(1) P ∨ Q, ∼ P, ∼ Q |– R
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P∨Q
∼P
∼Q
P
R
P→R
Q
R
Q→R
R
A
A
A
H (per →I)
2, 4 CON
4, 5 →I
H (per →I)
3, 7 CON
7, 8 →I
1, 6, 9 ∨E
(2) ∼ (P ∨ Q), R ↔ P |– ∼ R
1
2
3
4
5
6
∼ (P ∨ Q)
R↔P
∼P & ∼Q
∼P
R→P
∼R
A
A
1 DM
&E
2 ↔E
4, 5 MT
(3) P ↔ Q, Q ↔ R |– P ↔ R
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
P↔Q
Q↔R
P
P→Q
Q→R
Q
R
P→R
R
Q→P
R→Q
Q
P
P→P
P↔R
A
A
H (per →I)
1 ↔E
2 ↔E
3, 4 →E
5, 6 →E
3–7 →I
H (per →I)
1 ↔E
2 ↔E
9, 11 →E
10, 12 →E
9–13 →I
8, 14 ↔I
(4) P |– (P → (Q & P)) → (P & Q)
1
2
3
4
5
P
P → (Q & P)
Q&P
Q&P
(P → (Q & P)) → (P & Q)
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A
H (per →I)
1, 2 →E
3 COM
1–4 →I
4.A
16
Varzi / Nolt / Rohatyn • Logica 2/ed
(5) P, P → Q, ∼ R ↔ Q, ∼ R → ∼ S |– ∼ (S & P)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Esercizio
4.B

P
P→Q
∼R ↔ Q
∼R → ∼S
S &P
Q
Q → ∼R
∼R
∼S
S
S & ∼S
∼ (S & P)
A
A
A
A
H (per ∼ I)
1, 2 →E
3 ↔E
6, 7 →E
4, 8 →E
5 &E
9, 10 &I
5–11 ∼ I
(1) |– ∼ (P & ∼ (Q → P))
1
2
3
4
5
6
7
P & ∼ (Q → P)
P
∼ (Q → P)
Q & ∼P
∼P
P & ∼P
∼ (P & ∼ (Q → P))
H (per ∼ I)
1 &E
1 &E
3 IE Esercizio Suppl. 4.5(6)
4 &E
2, 5 &I
1–6 ∼ I
(2) |– (P → (Q & R)) → (P → R)
1
2
3
4
5
6
P → (Q & R)
P
Q&R
R
P→R
(P → (Q & R)) → (P → R)
H (per →I)
H (per →I)
1, 2 →E
3 &E
2–4 →I
1–5 →I
(3) |– (P → ∼ Q) → ∼ (P & Q)
1
2
3
4
5
6
7
8
P → ∼Q
P&Q
P
Q
∼Q
Q & ∼Q
∼ (P & Q)
(P → ∼ Q) → ∼ (P & Q)
H (per →I)
H (per ∼ I)
2 &E
2 &E
1, 3 →E
4, 5 &I
2–6 ∼ I
1–7 →I
(4) |– ((P ∨ Q) & ∼ (P & Q)) → (Q ↔ ∼ P)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
(P ∨ Q) & ∼ (P & Q)
P∨Q
∼ (P & Q)
∼P ∨ ∼Q
Q
∼∼Q
∼P
Q → ∼P
∼P
Q
∼P → Q
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H (per →I)
1 &E
1 &E
3 DM
H (per →I)
5 DN
4, 6 SD
5–7 →I
H (per →I)
2, 9 SD
9–10 →I
Soluzioni agli esercizi integrativi
12
Q ↔ ∼P
13 ((P ∨ Q) & ∼ (P & Q)) → (Q ↔ ∼ P)
17
8, 11 ↔I
1–12 →I
(5) |– ∼ (P ↔ Q) ↔ (∼ P ↔ Q)
1
∼ (P ↔ Q)
2
((∼ P & Q) ∨ (P & ∼ Q))
3
∼P & Q
4
((∼ P & Q) ∨ (∼ ∼ P & ∼ Q))
5
∼P ↔ Q
6
(∼ P & Q) → (∼ P ↔ Q))
7
P & ∼Q
8
((∼ P & Q) ∨ (P & ∼ Q))
9
((∼ P & Q) ∨ (∼ ∼ P & ∼ Q))
10
∼P ↔ Q
11
(∼ P & Q) → (∼ P ↔ Q))
12
∼P ↔ Q
13 ∼ (P ↔ Q) → (∼ P ↔ Q)
14
∼P ↔ Q
15
P↔Q
16
P→Q
17
Q→P
18
∼P → Q
19
Q → ∼P
20
P → ∼P
21
∼P → P
22
P
23
∼P
24
P & ∼P
25
∼ (P ↔ Q)
26 (∼ P ↔ Q) → ∼ (P ↔ Q)
27 ∼ (P ↔ Q) ↔ (∼ P ↔ Q)
H (per →I)
1 IE Esercizio Suppl. 4.5(8)
H (per →I)
3 ∨I
4 IE Esercizio Suppl. 4.5(7)
3–5 →I
H (per →I)
7 ∨I
8 DN
9 IE Esercizio Suppl. 4.5(7)
7–10 →I
2, 6, 11 ∨E
1–12 →I
H (per →I)
H (per ∼ I)
15 ↔E
15 ↔E
14 ↔E
14 ↔E
16, 19 Esercizio risolto 4.12
17, 18 Esercizio risolto 4.12
21 Esercizio risolto 4.20
20 Esercizio risolto 4.20
22, 23 &I
15–24 ∼ I
14–25 →I
13, 26 ↔I
Capitolo 5 La logica delle asserzioni categoriche

(1) ∼ (Qualche S è P).
∴ Ogni S non è P.
La premessa è la negazione di un’asserzione categorica della forma I e ha il seguente diagramma di Venn:
La conclusione è un’asserzione categorica della forma E, il cui diagramma coincide esattamente con quello appena indicato. Ne segue che l’inferenza in esame è
valida.
(2) ∼ (Ogni P è S).
∴ Qualche non-S è P.
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Esercizio
5.A
18
Varzi / Nolt / Rohatyn • Logica 2/ed
La premessa è la negazione di un’asserzione della forma A e ha il seguente diagramma di Venn:
La conclusione è un’asserzione della forma I con soggetto complementare e ha
lo stesso diagramma. L’inferenza è dunque valida.
(3) Qualche S è P.
∴ ∼ (Ogni S è P).
La premessa è un’asserzione della forma I e ha il seguente diagramma di Venn:
Tale diagramma non corrisponde alla situazione descritta dalla conclusione, che
essendo la negazione di un’asserzione della forma A ha il diagramma seguente:
L’inferenza, quindi, non è valida.
(4) ∼ (Ogni S è P).
∴ Qualche S non è P.
La premessa è la negazione di un’asserzione della forma A e ha il seguente diagramma di Venn:
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Soluzioni agli esercizi integrativi
19
La conclusione, un’asserzione della forma O, ha esattamente lo stesso diagramma. L’inferenza è dunque valida.
(5) Qualche P è S.
∴ Qualche S è P.
La premessa è un’asserzione della forma I e ha il seguente diagramma di Venn:
La conclusione è l’asserzione di forma I ottenuta per conversione, e ha lo stesso
diagramma. L’inferenza è valida.

(1) Qualche B è C
Ogni C è A.
∴ Qualche B è A.
Il diagramma determinato dalle premesse è riportato di seguito. Notiamo che il
segno ‘×’ deve per forza trovarsi all’interno del cerchio A. Dal momento che appartiene anche ad B, se ne deduce che il diagramma rappresentata correttamente
la conclusione, dimostrando la validità dell’argomentazione.
(2) ∼ (Ogni A è C).
Ogni B è C.
∴ Qualche B non è A.
Il diagramma determinato dalle premesse rappresenta una situazione in cui la
conclusione potrebbe essere falsa, quindi l’argomentazione non è valida.
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Esercizio
5.B
20
Varzi / Nolt / Rohatyn • Logica 2/ed
(3) Qualche A è C.
Qualche B è C.
∴ Qualche B è A.
Il diagramma determinato dalle premesse, riportato di seguito, rappresenta una
situazione nella quale la conclusione potrebbe risultare falsa. Quindi l’argomentazione non è valida.
(4) Qualche A è B.
Qualche B è C.
∴ ∼ (Ogni A non è C).
Il diagramma determinato dalle premesse è riportato di seguito. Poiché non c’è
garanzia che il segno ‘×’ di sinistra cada all’interno del cerchio A, come vorrebbe
la conclusione, l’argomentazione non è valida.
(5) Ogni A è C
Ogni B non è C
∴ ∼ (Qualche B è A).
Il diagramma determinato dalle premesse è riportato di seguito. Poiché il diagramma rappresentata correttamente anche la conclusione, ne segue che l’argomentazione è valida.
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Soluzioni agli esercizi integrativi
21
Capitolo 6 La logica dei predicati

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Esercizio
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
Vm & Vg
Om & Vg
Amg & Om
Om & ∀x(Axm → Vx)
∀x((Axm & ∼ Ox) → Vx)
∀x((Axm → Vx) & (Axg → Ox)) oppure, in alternativa, ∀x(Axm → Vx) &
∀x(Axg → Ox)
∀x((Axm & Vx) → ∃y(Ayx & Oy))
∃x((Axm & Ox) & ∀y(Ayx → Ayg))
∀x((Axm & ∼ Vx) ↔ x = g) oppure, in alternativa, (Agm & ∼ Vg) & ∀x((Axm &
∼ Vx) → x = g)
Come (9)
∃x(Axg & ∼ Axm)
∼ ∃x(Axg & ∼ Axm)
∃x((Axg & ∼ Axm) & ∀y((Ayg & ∼ y = x) → Aym))
∼ ∃x(Axg & Axm)
∃x((Axg & Axm) & Ox)
∃x((Axm & Vx) & Ox)
∀x(Axm → ∃y(Axy & Ayg))
∀x(Axm → ∃y(Ayg & ∃z(Azy & Axz)))
∀x((Axm & Ox) → ∃y((Ayg & Vy) & ∃z(Azy & Axz)))
∀x((Axm & ∃y(Ayg & ∃z(Azy & Axz))) → Ox)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
Ppr |– ∼ Prp
∀x(Sx → Rx) |– ∀x(∼ Rx → ∼ Sx)
Sr |– ∼ ∼ ∃xSx
∃xFxr, ∀x(Wxr → Fxr) |– ∃xWxr
∼ ∀x(Fxr → Wxr) |– ∃x(Fxr & ∼ Wxr)
∀x(Sx → ∀y(Wyx → Fyx)) |– ∃x(Sx & ∼ ∀y(Wyx → Fyx))
∀x∀y(((Sx & Sy) & Pxy) → ∀z(Wzx → Wzy)), Pri & (Sr & Si) |– ∀x(Wxr → Wxi)
∀x∀y∀z((Pxy & Pyz) → Pxz), Pri |– Ppr → Ppi
∀xPxx |– r = p → (Prp & Ppr)
Sr & Sp, Ppr & ∼ Prp |– ∃x∃y((Sx & Sy) & ∼ x = y)
Esercizio
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
Vera.
Falsa.
Vera.
Vera.
Vera (per esempio, l’Abruzzo).
Falsa.
Falsa.
Falsa (le isole non sono regioni confinanti).
Falsa.
Vera (per esempio, il Piemonte).
Vera (per esempio, le Marche e la Puglia).
Falsa.
Esercizio
(7)
(8)
(9)


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6.A
6.B
6.C
22
Varzi / Nolt / Rohatyn • Logica 2/ed
(13) Falsa.
(14) Falsa.
(15) Vera (per esempio, l’Abruzzo confina con le Marche e con il Molise).
Esercizio
6.D

(1) Non valida; l’albero di refutazione consiste in un unico cammino aperto:
1
2
3

Ppr
∼ ∼ Prp
Prp
2 ∼∼
(2) Valida, come mostra il seguente albero di refutazione:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
∀x(Sx → Rx)
∼ ∀x(∼ Rx → ∼ Sx)
∃x∼ (∼ Rx → ∼ Sx)
∼ (∼ Ra → ∼ Sa)
∼ Ra
∼ ∼ Sa
Sa → Ra
e i
∼ Sa
Ra
X
6,8 ∼
X



2 ∼∀
3∃
4 ∼→
4 ∼→
1∀
7→
5,8 ∼
(3) Valida, come mostra il seguente albero di refutazione:
1
2
3
4
5
6


Sr
∼ ∼ ∼ ∃xSx
∼ ∃xSx
∀x∼ Sx
∼ Sr
X
2 ∼∼
3 ∼∃
4∀
1,5 ∼
(4) Non valida; l’albero di refutazione presenta due cammini aperti:
1
2
3
4
5
6
7
8

∃xFxr
∀x(Wxr → Fxr)

∼ ∃xWxr
∀x∼ Wxr
Far
∼ War

War → Far
e i
∼ War
Far
3 ∼∃
1∃
4∀
2∀
7→
(5) Valida, come mostra il seguente albero di refutazione:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∼ ∀x(Fxr → Wxr)
∼ ∃x(Fxr & ∼ Wxr)
∃x∼ (Fxr → Wxr)
∀x∼ (Fxr & ∼ Wxr)

∼ (Far → War)
Far
∼ War

∼ (Far & ∼ War)
e i
∼ Far
∼ ∼ War
X
6,9 ∼
X



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Publishing Group Italia, via Ripamonti, 89 – 20139 Milano
1 ∼∀
2 ∼∃
3∃
5 ∼→
5 ∼→
4∀
7 ∼&
7,9 ∼
Soluzioni agli esercizi integrativi
(6) Non valida, come mostra il seguente albero di refutazione (l’albero è incompleto,
ma il cammino più a sinistra è terminato ed è aperto):
1
2
3
4
5
6
7
∀x(Sx → ∀y(Wyx → Fyx))
∼ ∃x(Sx & ∼ ∀y(Wyx → Fyx))
∀x∼ (Sx & ∼ ∀y(Wyx → Fyx))
2 ∼∃

Sa → ∀y(Wya → Fya)
1∀

∼ (Sa & ∼ ∀y(Wya → Fya))
3∀
q
p
∼ Sa 4 →
∀y(Wya → Fya)
4→
e i
∼ Sa 5 ∼ &
∼ ∀y(Wya → Fya) 5 ∼ &

(7) Valida, come mostra il seguente albero di refutazione:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
∀x∀y(((Sx & Sy) & Pxy) → ∀z(Wzx → Wzy))
Pri & (Sr & Si)
∼ ∀x(Wxr → Wxi)
∃x∼ (Wxr → Wxi)
Pri
Sr & Si
∼ (War → Wai)
∀y(((Sr & Sy) & Pry) → ∀z(Wzr → Wzy))

((Sr & Si) & Pri) → ∀z(Wzr → Wzi)
q
p
∼ ((Sr & Si) & Pri) 9 →
∀z(Wzr → Wzi)
q p
War → Wai
∼ (Sr & Si) 10 ∼ &
∼ Pri 10 ∼ &
X
X
6, 12 ∼
X
5, 12 ∼



(8) Valida, come mostra il seguente albero di refutazione:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
∀x∀y∀z((Pxy & Pyz) → Pxz)
Pri

∼ (Ppr → Ppi)
Ppr
∼ Ppi
∀y∀z((Ppy & Pyz) → Ppz)
∀z((Ppr & Prz) → Ppz)
(Ppr & Pri) → Ppi)
q
p
∼ (Ppr & Pri) 8→
Ppi
e i
X
∼ Ppr 9 ∼ &
∼ Pri 9 ∼ &
∼ Ppr 4,11 ∼
X
2,11 ∼
3 ∼→
3 ∼→
1∀
6∀
7∀
8→
5 ,9 ∼
(9) Valida, come mostra il seguente albero di refutazione:
1
2
3
4
5
6
7
8
∀xPxx
∼ (r = p → (Prp & Ppr))
Prr
1∀
r=p
2 ∼→

∼ (Prp & Ppr)
2 ∼→
e i
∼ Prp 5 ∼ &
∼ Ppr 5 ∼ &
∼ Prr 4,6 =
∼ Prr 4,6 =
X
3,7 ∼
X
3,7 ∼

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3 ∼∀
2&
2&
3 ∼∀
1∀
8∀
9→
10 ∀
7,11 ∼
23
24
Varzi / Nolt / Rohatyn • Logica 2/ed
(10) Valida, come mostra il seguente albero di refutazione:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Sr & Sp
Ppr & ∼ Prp
∼ ∃x∃y((Sx & Sy) & ∼ x = y)
Ppr
∼ Prp
∀x∼ ∃y((Sx & Sy) & ∼ x = y)

∼ ∃y((Sr & Sy) & ∼ r = y)
∀y∼ ((Sr & Sy) & ∼ r = y)

∼ ((Sr & Sp) & ∼ r = p)
e i
∼ (Sr & Sp) 9 ∼ &
∼∼r = p
X
1,10 ∼
r=p
Ppp
∼ Ppp
X



2&
2&
3 ∼∃
6∀
7 ∼∃
8∀
9 ∼&
10 ∼ ∼
4,11 =
5,11 =
12,13 ∼
Capitolo 7 Il calcolo dei predicati
Esercizio
7.A

(1) Fa ↔ Gb |– ∃xGx ∨ ∼ ∀xFx
1 Fa ↔ Gb
2
∼ ∃xGx
3
∀x∼ Gx
4
∼ Gb
5
Fa → Gb
6
∼ Fa
7
∃x∼ Fx
8
∼ ∀xFx
9 ∼ ∃xGx → ∼ ∀xFx
10 ∃xGx ∨ ∼ ∀xFx
A
H (per →I)
2 SQ
3 ∀E
1 ↔E
4, 5 MT
6 ∃I
7 SQ
2–8 →I
10 IE Esercizio suppl. 4.5(4)
(2) ∀x(Fx → Gx) |– ∼ ∃xGx → ∀x∼ Fx
1
2
3
4
5
6
7
8
∀x(Fx → Gx)
∼ ∃xGx
∀x∼ Gx
∼ Ga
Fa → Ga
∼ Fa
∀x∼ Fx
∼ ∃xGx → ∀x∼ Fx
A
H (per →I)
2 SQ
3 ∀E
1 ∀E
4, 5 MT
6 ∀I
2–7 →I
(3) ∃x∃y(Fx & Gy) |– ∃x(Fx & ∃yGy)
1
2
3
4
5
6
7
∃x∃y(Fx & Gy)
∃y(Fa & Gy)
Fa & Gb
Fa & ∃yGy
∃x(Fx & ∃yGy)
∃x(Fx & ∃yGy)
∃x(Fx & ∃yGy)
A
H (per ∃E)
H (per ∃E)
3 ∃I
4 ∃I
2, 3–5 ∃E
1, 2–6 ∃E
(4) ∃x(Fx & ∃yGy) |– ∃x∃y(Fx & Gy)
1
2
∃x(Fx & ∃yGy)
Fa & ∃yGy
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A
H (per ∃E)
Soluzioni agli esercizi integrativi
3
Fa
4
∃yGy
5
Gb
6
Fa & Gb
7
∃y(Fx & Gy)
8
∃x∃y(Fx & Gy)
9
∃x∃y(Fx & Gy)
10 ∃x∃y(Fx & Gy)
2 &E
2 &E
H (per ∃E)
3, 5 &I
6 ∃I
7 ∃I
4, 5–8 ∃E
1, 2–9 ∃E
(5) ∀x(Fx → ∀yGy) |– ∀x∀y(Fx → Gy)
1
2
3
4
5
6
7
8
∀x(Fx → ∀yGy)
Fa
Fa → ∀yGy
∀yGy
Gb
Fa → Gb
∀y(Fa → Gy)
∀x∀y(Fx → Gy)
A
H (per →I)
1 ∀E
2, 3 →E
4 ∀E
2–5 →I
6 ∀I
7 ∀I
(6) ∼ ∀x(Rxa → Sxa) |– ∃x∃y(Rxy & ∼ Sxy)
1
2
3
4
5
6
7
∼ ∀x(Rxa → Sxa)
∃x∼ (Rxa → Sxa)
∼ (Rba → Sba)
Rba & ∼ Sba
∃y(Rby & ∼ Sby)
∃x∃y(Rxy & ∼ Sxy)
∃x∃y(Rxy & ∼ Sxy)
A
1 SQ
H (per ∃E)
3 IE Esercizio suppl. 4.5(6)
4 ∃I
5 ∃I
2, 3–6 ∃E
(7) ∀x∀y∀z((Rxy & Ryz) → Rxz), ∼ Rac |– ∼ Rab ∨ ∼ Rbc
1
2
3
4
5
6
7
∀x∀y∀z((Rxy & Ryz) → Rxz)
∼ Rac
∀y∀z((Ray & Ryz) → Raz)
∀z((Rab & Rbz) → Raz)
(Rab & Rbc) → Rac
∼ (Rab & Rbc)
∼ Rab ∨ ∼ Rbc
A
A
1 ∀E
3 ∀E
4 ∀E
1, 5 MT
6 DM
(8) ∀xRxx |– ∃x∀y(x = y → Rxy)
1
2
3
4
5
6
7
∀xRxx
a=b
Raa
Rab
a = b → Rab
∀y(a = y → Ray)
∃x∀y(x = y → Rxy)
A
H (per →I)
1 ∀E
2, 3 =E
2–4 →I
5 ∀I
6 ∃I
(9) ∀x(Fx → Gx), Fa |– ∼ Gb → ∼ b = a
1
2
3
4
5
6
7
8
∀x(Fx → Gx)
Fa
b=a
Fa → Ga
Ga
Gb
b = a → Gb
∼ Gb → ∼ b = a
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A
A
H (per →I)
1 ∀E
2, 4 →E
3, 5 =E
3–6 →I
7 TRAS
25
26
Varzi / Nolt / Rohatyn • Logica 2/ed
(10) Fa & Fb, Rab & ∼ Rba |– ∃x∃y((Fx & Fy) & ∼ x = y)
1
2
3
4
5
6
7
8
Esercizio
7.B

Fa & Fb
Rab & ∼ Rba
a=b
Raa & ∼ Raa
∼a = b
(Fa & Fb) & ∼ a = b
∃y((Fa & Fy) & ∼ a = y)
∃x∃y((Fx & Fy) & ∼ x = y)
A
A
H (per ∼ I)
2, 3 =E
3–4 ∼ I
1, 5 &I
6 ∃I
7 ∃I
(1) |– Fa → (Ga → ∃x(Fx & Gx))
1
2
3
4
5
6
Fa
Fb
Fa & Fb
∃x(Fx & Gx))
Ga → ∃x(Fx & Gx)
Fa → (Ga → ∃x(Fx & Gx))
H (per →I)
H (per →I)
1, 2 &I
3 ∃I
2–4 →I
1–5 →I
(2) |– ∀x(Fx → Gx) → (∼ Fa ∨ Ga)
1
2
3
4
∀x(Fx → Gx)
Fa → Ga
∼ Fa ∨ Ga
∀x(Fx → Gx) → (∼ Fa ∨ Ga)
H (per →I)
1 ∀E
2 IM
1–3 →I
(3) |– ∀x(Fx → ∃y(Gy & ∼ Gy)) → ∼ ∃xFx
1
∀x(Fx → ∃y(Gy & ∼ Gy))
2
∃xFx
3
Fa
4
Fa → ∃y(Gy & ∼ Gy)
5
∃y(Gy & ∼ Gy)
6
Gb & ∼ Gb
7
Gb
8
∼ Gb
9
P & ∼P
10
P & ∼P
11
P & ∼P
12
∼ ∃xFx
13 ∀x(Fx → ∃y(Gy & ∼ Gy)) → ∼ ∃xFx
H (per →I)
H (per ∼ I)
H (per ∃E)
1 ∀E
3, 4 →E
H (per ∃E)
6 &E
6 &E
7, 8 CON
5, 6–9 ∃E
2, 3–10 ∃E
2–11 ∼ I
1–12 →I
(4) |– ∀x∀yRxy → ∀y∀xRxy
1
2
3
4
5
6
∀x∀yRxy
∀yRay
Rab
∀xRxb
∀y∀xRxy
∀x∀yRxy → ∀y∀xRxy
H (per →I)
1 ∀E
2 ∀E
3 ∀I
4 ∀I
1–5 →I
(5) |– ∃x∃yRxy → ∃y∃xRyx
1
2
3
4
5
6
∃x∃yRxy
∃yRay
Rab
∃xRax
∃y∃xRyx
∃y∃xRyx
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H (per →I)
H (per ∃E)
H (per ∃E)
3 ∃I
4 ∃I
2, 3–5 ∃E
Soluzioni agli esercizi integrativi
7
8
∃y∃xRyx
∃x∃yRxy → ∃y∃xRyx
1, 2–6 ∃E
1–7 →I
(6) |– ∀x(Fx → ∀yGy) → ∀x∀y(Fx → Gy)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
∀x(Fx → ∀yGy)
Fa
Fx → ∀yGy
∀yGy
Gb
Fa → Gb
∀y(Fa → Gy)
∀x∀y(Fx → Gy)
∀x(Fx → ∀yGy) → ∀x∀y(Fx → Gy)
H (per →I)
H (per →I)
1 ∀E
2, 3 →E
4 ∀E
2–5 →I
6 ∀I
7 ∀I
1–8 →I
(7) |– ∼ ∃x(Fx & Gx) → (∀xFx → ∼ ∃yGy)
1
∼ ∃x(Fx & Gx)
2
∀xFx
3
Fa
4
∀x∼ (Fx & Gx)
5
∼ (Fa & Ga)
6
∼ Fa ∨ ∼ Ga
7
∼ ∼ Fa
8
∼ Ga
9
∀y∼ Gy
10
∼ ∃yGy
11
∀xFx → ∼ ∃yGy
12 ∼ ∃x(Fx & Gx) → (∀xFx → ∼ ∃yGy)
H (per →I)
H (per →I)
2 ∀E
1 SQ
4 ∀E
5 DM
3 DN
6, 7 SD
8 ∀I
9 SQ
2–10 →I
1–11 →I
(8) |– ∀x∀y x = y → (Fa → Fb)
1
2
3
4
5
6
7
∀x∀y x = y
Fa
∀y a = y
a=b
Fb
Fa → Fb
∀x∀y x = y → (Fa → Fb)
H (per →I)
H (per →I)
1 ∀E
3 ∀E
2, 4 =E
2–5 →I
1–6 →I
(9) |– ∀x∀y((Fxy & x = y) → Fyx)
1
2
3
4
5
6
7
8
Fab & a = b
Fab
a=b
Faa
Fba
(Fab & a = b) → Fba
∀y((Fay & a = y) → Fya)
∀x∀y((Fxy & x = y) → Fyx)
H (per →I)
1 &E
1 &E
2, 3 =E
3, 4 =E
1–5 →I
6 ∀I
7 ∀I
(10) |– ∼ ∃x∀y(Rxy ↔ ∼ Ryy)
1
2
3
4
5
6
7
∃x∀y(Rxy ↔ ∼ Ryy)
∀y(Ray ↔ ∼ Ryy)
Raa ↔ ∼ Raa
Raa
Raa → ∼ Raa
∼ Raa
Raa & ∼ Raa
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Publishing Group Italia, via Ripamonti, 89 – 20139 Milano
I (per ∼ I)
I (per ∃E)
2 ∀E
I (per ∼ I)
3 ↔E
4, 5 →E
4, 6 &I
27
28
Varzi / Nolt / Rohatyn • Logica 2/ed
8
∼ Raa
9
∼ Raa → Raa
10
Raa
11
P & ∼P
12
P & ∼P
13 ∼ ∃x∀y(Rxy ↔ ∼ Ryy)
4–7 ∼ I
3 ↔E
8, 9 →E
8, 10 CON
1, 2–11 ∃E
1–12 ∼ I
Questo sorprendente teorema ha numerosi esempi interessanti. Può essere interpretato come indicante il fatto che, per esempio, non esiste alcun individuo x
tale che, per ogni y, x ama y se e solo se y non ama se stesso. Come dimostra la
derivazione, quest’asserzione è necessariamente vera! ‘Rxy’ può anche essere interpretato come ‘y è predicabile di x’ se si pensano x e y come proprietà, oppure
come ‘y è un membro di x’ se si pensano x e y come insiemi, per cui questa argomentazione formalizza il ragionamento che conduce a una celebre antinomia
scoperta da Bertrand Russell. Per capire intuitivamente la derivazione, forse è
più facile interpretare ‘R’ come ‘ama’. Quindi, per ripetere, ciò che viene dimostrato è che nessuno ama tutti e solo quelli che non amano a se stessi. Per procedere con la dimostrazione, iniziamo ipotizzando che ci sia effettivamente qualcuno che ama tutti e solo coloro che non amano se stessi e poi ipotizziamo anche che questo individuo sia a (righe 1 e 2). Segue da ∀E (passo 3) che a ama se
stesso se e solo se a non ama se stesso. E allora, a ama o non ama se stesso?
Supponiamo che a ami se stesso (riga 4). In questo caso raggiungiamo presto
una contraddizione (riga 7) e quindi dobbiamo dedurre che a non ama se stesso
(passo 8). Ma questo ci porta a una nuova contraddizione (passi 8 e 10); quindi la
nostra ipotesi di partenza ci porta inevitabilmente a una contraddizione. La contraddizione esibita nelle righe 8 e 10, però, non può essere usata con ∃E per
completare la dimostrazione in quanto contiene la costante individuale ‘a’, che
appare nell’ipotesi per ∃E alla riga 2. Possiamo tuttavia usare CON per convertire questa contraddizione in una che possa essere usata con ∃E (scegliamo arbitrariamente la formula ‘P & ∼ P’). Questo ci permette di effettuare il passo di ∃E
alla riga 12 e quindi di ottenere la conclusione alla riga 13 grazie a ∼ I.
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