Le Galassie:
proprietà dinamiche
Sistemi non collisionali
Consideriamo un sistema stellare: questo è costituto da un numero molto
grande di stelle (es. 107-1012) le cui dimensioni sono trascurabili rispetto alle
dimensioni tipiche dei sistemi stellari stessi (R☉ ~ 7 ×1010 cm - Rgal~kpc = 3×
1021 cm).
Le stelle possono quindi essere considerate come un gas di particelle
puntiformi.
Tuttavia, c’è una differenza fondamentale tra i gas di stelle (galassie) ed i gas
reali (atomi o molecole in una scatola): la natura delle forze di interazione tra
le particelle in esame.
L’interazione tra due atomi o molecole è a corto raggio; le forze si
manifestano solo quando le molecole sono molto vicine tra loro (collisione)
per cui le particelle tra una collisione e la successiva si muovono di moto
rettilineo uniforme.
L’interazione tra due stelle invece è di tipo gravitazionale e pertanto è a
lungo raggio e spesso il contributo maggiore all’attrazione viene da stelle a
più grande distanza r se la loro massa è tale da vincere la caduta come r -2 rispetto alle stelle più vicine.
Sistemi non collisionali
Di conseguenza, se le collisioni tra singole stelle sono poco importanti,
possiamo considerare il moto di ogni stella come se accelerasse in modo
regolare (e non in modo impulsivo come durante le collisioni) nel campo
gravitazionale generato da una distribuzione continua di massa (e non una
“somma” di delta di Dirac, cosa che dovrei fare se le collisioni con le singole
stelle fossero importanti).
Cerchiamo di ottenere una stima dell’ordine di grandezza della differenza di
Collisionless
stellar
systems
velocità tra il moto di una stella dopo 1.2
la collisione
con una
stella
di campo e
la velocità che avrebbe se la massa delle stelle fosse distribuita in modo
uniforme.
Una stella passa entro una distanza b da una stella di campo e la sua
velocità viene variata di δv; assumiamo
che la stella di campo resti fissa
durante la collisione e che δv/v << 1; in questo caso possiamo considerareand
la traiettoria
rettilinea
e δv
find in the
notation
of Figure 1.5,
deve essere perpendicolare a v perchè lungo la traiettoria rettilinea le
2
2
Gm
Gm
b
componenti parallele della forza mediamente sono nulle.
F⊥ = 2
cos θ =
=
2
3/2
2
2
Sistemi non collisionali
Ponendo l’origine del tempo nell’istante di massimo avvicinamento tra le
due stelle e l’origine della coordinata x nel punto in cui questo avviene
otteniamo (m massa delle stelle)
"
✓
◆2 #
3/2
Gm2
Gm2 b
Gm2
vt
F? = 2
cos ✓ = 2
= 2
1+
2
2
3/2
b +x
b
b
(b + x )
Z +1
1
d~v
v=
F? dt
Per le leggi di Newton m
= F~
m 1
dt
Z +1
Z +1
Gm
dt
Gm
ds
2Gm
v= 2
=
=
2 ]3/2
2 )3/2
b
bv
bv
[1
+
(vt/b)
(1
+
s
1
1
con la sostituzione s = vt/b
In pratica la variazione di velocità è pari all’accelerazione alla distanza
minima (G m /b2) moltiplicata la durata dell’accelerazione (2b/v ).
Notare che la nostra approssimazione di traiettoria rettilinea cade quando
v
'1
v
2Gm
b ' b? =
v2
Sistemi non collisionali
Consideriamo la galassia sferica ed una stella S
che si trova al bordo esterno in procinto di
attraversarla.
La densità superficiale delle stelle nella galassia
come vista dalla stella S è dell’ordine di N/πR2 con
N numero di stelle e R raggio della galassia;
pertanto in un attraversamento della galassia la
stella in esame subisce un numero di “incontri”
con parametro di impatto tra b e b+db pari a
R
db
b
N
2N
n=
2⇡b db = 2 b db
2
⇡R
R
Ognuno di questi incontri produce una perturbazione della δv velocità, ma
poiché queste perturbazioni sono distribuite casualmente nel piano
perpendicolare alla velocità la loro media è nulla. Tuttavia non è nulla la
variazione quadratica media della velocità che, dopo un attraversamento
della galassia, considerando “incontri” con parametro di impatto b, b+db è
2
v =
2
⌃i vi
2
' v n=
✓
2Gm
bv
◆2
2N
b db
2
R
Sistemi non collisionali
Infine integrando tra il minimo ed il massimo parametro di impatto otteniamo
la variazione totale di velocità ad ogni singolo attraversamento della galassia
2
v =
Z
bmax
bmin
2
⌃ v ' 8N
✓
Gm
Rv
◆2
ln ⇤
con il logaritmo di Coulomb dato da
ln ⇤ = ln
✓
bmax
bmin
◆
= ln
✓
R
bstar
◆
Il logaritmo diverge per bmin=0 e bmax=∞; ma possiamo considerare bmin pari a
b★ valore trovato in cui δv/v = 1 e bmax = R, dimensione della galassia.
Questi incontri a due corpi causano un tipo di processo diffusivo per la stella
in esame che è distinta dall’accelerazione regolare dovuta alla distribuzione
complessiva della massa del sistema stellare (considerata continua).
Questo processo diffusivo è chiamato “two-body relaxation” dal momento
che è il risultato di collisioni multiple a due corpi.
Sistemi non collisionali
La velocità tipica di una stella in una galassia la possiamo stimare come
quella di una particella in orbita circolare ai bordi della galassia
GN m
v ⇡
R2
2
Da cui ricaviamo che
v2
8 ln ⇤
8 ln(R/b? )
8 ln N
⇡
=
=
v2
N
N
N
Se la stella subirà molte collisioni con molti passaggi nella galassia, la
velocità cambierà approssimativamente di Δv2 ad ogni attraversamento per
cui il numero di collisioni necessarie a cambiare v di una valore pari a se
stesso è dato da
✓
v
v2
2
◆
= nrelax
T OT
v2
=1
2
v
nrelax
N
'
8 ln N
Definiamo quindi il tempo di rilassamento (relaxation time)
trelax = nrelax tcross
0.1N
'
tcross
ln N
Sistemi non collisionali
dove abbiamo definito il tempo di attraversamento ed abbiamo ricavato Λ
utilizzando le espressioni per b★ e v
tcross
R
=
v
R
Rv 2
⇤=
⇡
⇡N
b?
Gm
trelax
0.1N
'
tcross
ln N
Dopo un tempo pari a trelax l’effetto cumulativo delle piccole perturbazioni
dovute alle collisioni con le singole stelle avrà cambiato significativamente la
velocità rispetto alla v che si avrebbe per il potenziale dovuto ad una
distribuzione continua di massa.
Dopo trelax la stella avrà perso memoria delle sue condizioni iniziali!
Le galassie hanno tipicamente N~1011 stelle e età pari ad alcuni centinaia di
tempi di attraversamento, per cui le collisioni sono del tutto trascurabili
eccetto che nelle regioni centrali più dense (trelax ~4×108 tcross).
Al contrario negli ammassi globulari N~105 e tcross~1Myr per cui il tempo di
rilassamento può influenzare significativamente la struttura dell’ammasso la
cui età è ~10 Gyr (trelax ~900 tcross ~0.9 Gyr).
In tutti questi sistemi la dinamica su tempi <trelax è quella di un sistema
senza collisioni in cui le particelle si muovono semplicemente sotto l’azione
di un campo gravitazionale generato da una distribuzione continua di massa
piuttosto che da una raccolta di masse puntiformi.
Densità dalla Fotometria
La brillanza superficiale osservata di una galassia può essere convertita in
densità di luminosità facendo delle assunzioni sulla struttura tridimensionale
della galassia stessa. Supponiamo che la galassia abbia simmetria sferica.
N
N
s P
P
r
R
r
E
Z
piano del cielo
vista di lato
La brillanza superficiale osservata in P [ Σ(r) ] sul piano del cielo alla distanza
proiettata r dal centro, è pari all’integrale della densità di luminosità
(luminosità/volume) lungo la linea di vista, ovvero lungo la direzione
perpendicolare
Z al piano del cielo
Z
(r) =
A. Marconi
+1
1
+1
J(s)ds = 2
r
J(R)R
p
dR
R2 r 2
Introduzione all’Astrofisica 2013/2014
s=
p
R2
r2
9
Densità dalla Fotometria
⌃(r) = 2
Z
+1
r
J(R)R
p
dR
R2 r 2
Σ(r) è osservata, J(R) è ingognita
Questa è una equazione integrale di Abel con soluzione:
J(r) =
1
Z
+1
R
d (r)
dr
p
dr
r 2 R2
Questo approccio può essere generalizzato agli sferoidi assissimmetrici
oblati o prolatizche sono una migliore approssimazione di una vera galassia.
Oblato: a = b > c
c
b=a
a
x
y
Prolato: a = b < c
La struttura ellissoidale più
generale è triassiale: a = b < c
Se la galassia ha una struttura a disco sottile allora
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2013/2014
⌃(r) ' J(R) R
r=R
10
Orbite delle stelle
Dalla fotometria otteniamo quindi la densità di luminosità che possiamo
convertire in densità di massa assumendo (o tenendo come parametro
libero) un certo rapporto massa/luminosità Γ; ρ(r) = Γ J(r)
ρ(r) è la densità di massa della galassia, composta da stelle, gas, materia
oscura; l’ho ricavata come una distribuzione continua ma, per quanto detto
sulle galassie come sistemi non collisionali, questo è corretto.
Allora posso ricavare il potenziale gravitazionale dall’equazione di Poisson
r2 (~r) = 4⇡G⇢(~r)
in axisymmetric potentials
d2~r 3.2 Orbits
~
= mr
E quindi l’orbita di una stella sarà data da
m
dt
con opportune condizioni iniziali.
Per esempio si possono assegnare alla stella
valori definiti di energia e momento angolare
all’istante iniziale.
Il moto non è quello di una massa test
attorno ad una massa puntiforme ma è
quello di una massa test in una
distribuzione continua di massa, per cui
le orbite non sono più semplici come
nel caso del problema di Keplero.
Esempio di orbita in potenziale
Figure 3.4 Two orbits in the potential of eq
assisimmetrico
at energy E = −0.8 and
angular momentum (riferimento cilindrico con R, z, ϕ)
La funzione di distribuzione
Per quanto sia possibile calcolare le orbite delle stelle (problema di calcolo
numerico), non è pensabile di seguire le orbite di ~1011 stelle. Allora è
necessario un approccio statistico che si avvantaggia del fatto che la
distribuzione di massa la possiamo considerare continua.
!
Consideriamo lo spazio delle fasi ovvero localizziamo ogni stella nello
spazio con coordinate (r,v) Consideriamo la funzione di distribuzione f(r,v,t) che fornisce la probabilità
di trovare una stella in un determinato volumetto dello spazio delle fasi
Z
!
3
3
3
3
f
(~
x
,
~
v
;
t)
d
~
x
d
~v = 1
dp = f (~x, ~v ; t) d ~x d ~v
!
Z
!
La densità di probabilità di trovare una stella in x è ⌫(~
x) = f (~x, ~v ; t) d3~v
!
La densità di probabilità di trovare una stella con velocità v per una data
posizione x è
f (~x, ~v )
P~x (~v ) = P (~v |~x) =
!
⌫(~x)
Integrando f possiamo trovare quindi tutte le grandezze che misuriamo
sperimentalmente come brillanza superficiale e dispersione di velocità
La funzione di distribuzione
Tutte le altre grandezza da confrontare con i valori osservati si ottengono
integrando la funzione di distribuzione. I momenti di qualsiasi grandezza Q
Z
Z
Z
sono
1
3
!
hQ(~x, t)i = d ~v Q(~x, ~v )P (~v |~x) =
d3~v Q(~x, ~v )f (~x, ~v , t)
⌫(~x)
Z
Z
!
!
hQ(t)i = d3 ~x d3~v Q(~x, ~v )f (~x, ~v , t)
!
Supponiamo di avere un riferimento con x,y piano del cielo e z direzione
della linea di vista.
!
Densità di massa (N stelle di
Z massa m)
!
!
⇢(~x) = N m⌫(~x) = N m
f (~x, ~v ; t) d3~v
Dispersione di velocità totale nell direzione i-esima
Z
Z
!
hvi2 i = d3 ~x d3~v vi2 f (~x, ~v , t)
!
Brillanza superficiale (l★ luminosità stella; z coordinate lungo la linea di
Z Z Z
vista vedi anche relazione ρ-Σ )
h⌃(x, y)i = N l?
d3~v dz f (~x, ~v , t)
La funzione di distribuzione
Troviamo adesso l’equazione che soddisfa la funzione di distribuzione.
Consideriamo w = (q,p) generico insieme coordinate canoniche che
definisca lo spazio delle fasi
nel tempo, se non ci sono processi che aumentano o distruggono le
stelle, f (densità di probabilità) varia solo per il flusso attraverso le
superfici del volumetto dw dello spazio delle fasi una cosa analoga l’avevamo trovata per la densità di massa
dell’elemento fluido
!
!
!
@⇢
@
+
· (⇢~x˙ ) = 0
@t
@~x
pertanto l’equazione per f sarà
@f
@
+
· (f w)
~˙ = 0
@t
@w
~
w
~ = (~q , p~)
@
@
@
˙
˙
· (f w)
~ =
· (f ~q ) +
· (f p~˙)
@w
~
@~q
@~
p
˙~q = @H
@~
p
p~˙ =
@H
@~q
~ =
r·
@
·
@~x
~v = ~x˙
La funzione di distribuzione
sviluppando la derivata ed utilizzando le equazioni di moto si ottiene
infine
!
!
!
@
@f
@f
˙
˙
˙
· (f w)
~ = ~q ·
+ p~ ·
@w
~
@~q
@~
p
e quindi l’equazione per f diventa
!
!
!
!
!
!
!
@f
@f
@f
˙
˙
+ ~q ·
+ p~ ·
=0
@t
@~q
@~
p
@f
@f
@f
˙
˙
+ ~x ·
+ ~v ·
=0
@t
@~x
@~v
abbiamo cioè trovato che il “flusso” di probabilità nello spazio delle fasi è
incompressibile
!
!
!
d
f (~x, ~v , t) = 0
dt
ricordiamo che per i fluidi era
d⇢
=
dt
~ · ~v
⇢r
L’equazione di Boltzmann
Abbiamo trovato l’equazione di Boltzmann
d
f (~x, ~v , t) = 0
dt
dove la derivata è quella Lagrangiana estesa allo spazio delle fasi, allora
@
@
˙
f (w,
~ t) + w
~·
, f (w,
~ t) = 0
@t
~ ✓
⇣ @ w
◆
⌘
@
@ @
˙
˙
f (~x, ~v , t) + ~x, ~v ·
,
f (~x, ~v , t) = 0
@t
@~x @~v
ovvero, utilizzando il II principio della dinamica per insieme di stelle
autogravitante possiamo scrivere.
@f
@f
~ (~x)
~
~
~a = r
+ ~v · rf r (~x) ·
=0
@t
@~v
inoltre il potenziale gravitazionale è dato dall’equazione di Poisson
r
2
(~r) = 4⇡G⇢(~r) = 4⇡GN m
Z
3
d ~v f (~x, ~v , t)
con N numero totale di stelle e m massa della singola stella.
Le equazioni di Jeans
Prendendo i momenti dell’equazione di Boltzmann si trovano le equazioni di
Jeans, analoghe alle equazioni fluide (una trattazione analoga si può fare per
i fluidi dimostrando le equazioni già viste)
v̄j velocità media direzione j
@n @(nv̄i )
+
=0
@t
@xi
@v̄j
n
@t
vi vj tensore dispersione
@(nv̄i ) @(nvi vj )
v̄j
+
=
@xi
@xi
n(~x) = N ⌫(~x) = N
1
vi vj (~x) =
⌫(~x)
Z
Z
(vi
@
n
@xj
3
f (~x, ~v ; t) d ~v
v̄i )(vj
velocità
2
i
vi vi =
1
v̄i (~x) =
⌫(~x)
Z
dispersione
velocità lungo i
vi f (~x, ~v ; t) d3~v
v̄j )f (~x, ~v ; t) d3~v
è un insieme incompleto, conoscendo potenziale e densità ci sono 9
funzioni incognite (3 vi, 6 componenti del tensore simmetrico vij) e 4
equazioni indipendenti.
Occorrono delle assunzioni per chiudere il sistema (es. simmetria sferica) ma
le assunzioni sbagliate possono portare risultati sbagliati!
La sfera isoterma
Consideriamo un sistema stellare a simmetria sferica e stazionario, ovvero f = f(r, v, t), cioè f dipende solo da r e dal modulo della velocità ( ϕ=ϕ(r) )
L’equazione di Boltzmann è allora
!
!
!
!
!
@f
@f
~
~
+ ~v · rf r (~x) ·
=0
@t
@~v
@f
d @f
v
=0
@r
dr @v
l’equazione di Poisson è
!
✓
◆
1 @
2@
!
r
= 4⇡G⇢
2
r @r
@r
!
cerchiamo di vedere se esiste una soluzione tipo sfera isoterma.
La distribuzione di Maxwell Boltzmann per un gas a temperatura T è
!
!
!
!
f (~v )d3~v =
✓
m
2⇡kB T
◆3/2
exp
mv 2
4⇡v 2 dv
2kB T
1
m
dal modello cinetico del gas perfetto, per UN grado di libertà
2
2
1
= kB T
2
La sfera isoterma
ovvero
!
!
!
f (v)dv =
✓
1
2⇡
2
◆3/2
exp
v2
2
4⇡v
dv
2
2
torniamo al gas di stelle e definiamo l’energia per unità di massa
Em
E
1 2
=
= v +
m
2
e consideriamo, in analogia alla distribuzione di Maxwell Boltzmann
f (r, v) = n0
✓
1
2⇡
2
◆3/2
exp
Em
2
= n0
✓
1
2⇡
2
◆3/2
verifichiamo che soddisfa l’equazione di Boltzmann
@f
=f
@r
✓
1 d
2 dr
◆
@f
=f
@v
✓
1
2
v
◆
da cui l’equazione è chiaramente soddisfatta!
exp
@f
v
@r
1/2v 2 +
2
d @f
=0
dr @v
La sfera isoterma
Dobbiamo ancora soddisfare l’equazione di Poisson per trovare il
potenziale. Ricaviamo
la densitàZ
Z
⇢(r) = mN
1
f (r, v)d3~v = mN
n0 N m
=
exp
2
3/2
(2⇡ )
✓
✓
2
◆Z
0
1
f (r, v)4⇡v 2 dv
exp
0
◆✓
3p
✓
◆
v
2
2
2
◆
4⇡v 2 dv
4⇡⇢0
=
exp
8⇡ = ⇢0 exp
2
2
3/2
4
(2⇡ )
r
Z 1
1 ⇡
2
ax2
ricordando che
x e
dx =
4 a3
0
✓
Si ottiene poi il potenziale per l’equazione di Poisson
✓
◆
da cui
4⇡G 2
d
2 1 d⇢
r
=
r ⇢
2
dr
⇢ dr
(r)
2
◆
(r) =
2
ln
✓
⇢(r)
⇢0
◆
che è l’equazione già vista per la sfera isoterma con soluzione
2
singolare, che però è relativa al “gas” di stelle con dispersione ⇢(r) =
2
2⇡Gr
di velocità lungo una direzione dello spazio (1 grado libertà)
