Ma se dobbiamo trattare l’elettrone come un’onda occorre
una funzione (che dobbiamo trovare) che ne descriva
esaurientemente queste proprietà.
Nell’atomo l’energia associata ad un elettrone (trascurando i moti
nucleari) è data dalla somma dell’energia cinetica e dell’energia
potenziale:
1
e2
2
E mv
2
r
E T V
ma p = mv, ovvero p2 = m2v2, quindi:
1
p2
2
mv
2
2m
p 2 e2
E
2m r
Il passaggio dalla meccanica classica alla meccanica ondulatoria fa si
che mentre nella meccanica classica il momento era una quantità
vettoriale, caratterizzata da un modulo ed una direzione, nella meccanica
ondulatoria diventa un operatore, cioè un oggetto matematico che mi
dice quale operazione devo fare su una certa funzione:
p
h
d
2 i dx
p
2
h2 d 2
4 2 dx 2
1
Gli operatori in matematica
Come suggerisce il nome stesso, un operatore matematico compie una
operazione matematica sulla funzione in questione. La derivata è un tipo
di operazione matematica.
Per esempio:
d
deriva una variabile rispetto ad x.
dx
Sia
y
la
variabile
su
cui
y = 8x. Si calcoli la derivata dy/dx:
dy
dx
agisce
il
d (8 x)
8
differenziale,
con
dx
L’operatore Hamiltoniano, H, è un operatore differenziale complesso ed è
uguale a:
h 2 2
2
2
V ( x, y , z )
8 2 m x 2 y 2 z 2
termine dell’energia
derivate parziali
potenziale
La natura complessa di H deriva dalla necessità di descrivere la posizione
dell’elettrone in uno spazio cartesiano a tre dimensioni
2
Detta la funzione d’onda, cioè la funzione che contiene tutte le
informazioni riguardanti l’elettrone avremo:
h2 d 2 e2
E
8 2 m dx 2 r
Questa equazione vale solo per il moto nella dimensione x, per
considerarla nello spazio dovremo aggiungere gli altri termini (cioè y e
z). Cioè p è diventato una istruzione che deve operare sulla funzione .
h 2 2 2 2 e 2
E
2
2
2
2
8 m x
y
z r
Η E
Equazione di Schrödinger
Questa è un’equazione differenziale che ammette infinite soluzioni! Ma
quali sono quelle fisicamente accettabili? In altre parole, le funzioni
d’onda, soluzioni dell’equazione precedente, hanno tutte un
significato fisico?
3
Per definire delle soluzioni valide da un punto di vista fisico:
• Le funzioni devono essere finite, continue ed ad un solo valore,
come pure le loro derivate in ogni punto dello spazio.
• La probabilità (2 rappresenta proprio la probabilità di trovare
l’elettrone ed è ciò che ha significato fisico per il principo di
indeterminazione di Heisemberg) deve corrispondere al 100%
2 dv 1
Quindi quello che ha significato fisico è il quadrato della
funzione d’onda, poiché essa è in relazione alla probabilità di
trovare l’elettrone.
La funzioni d’onda
Senza entrare nel merito della soluzione dell’equazione di
Schrödinger, possiamo affermare che le funzioni d’onda
possono essere classificate in base a tre numeri quantici
4
• n, numero quantico principale
n,l,ml
E’ in relazione alla quantizzazione dell’energia (cioè l’energia
dei livelli dipende da esso). Può assumere tutti i valori interi da
1 a infinito.
n=1, 2, 3 , 4, 5,…….,
• l, numero quantico angolare
esso quantizza il momento angolare dell’elettrone e può
assumere tutti i valori interi da 0 a n-1. l = 0, 1, 2, 3,…..,n-1
• m, numero quantico magnetico
quantizza il momento magnetico dell’elettrone (una particella
carica che si muove genera una corrente elettrica che avrà un
campo magnetico associato). Può assumere tutti i valori che
vanno da –l a +l, incluso lo zero. m = -l,.., -2, -1, 0, 1, 2,.., +l
5
L’equazione di Schrodinger ammette soluzioni accettabili, cioè
permette di definire delle funzioni d’onda fisicamente appropriate a
descrivere lo stato di un elettrone in un atomo d’idrogeno, solo per
determinati valori di energia (autovalori) caratterizzati da un numero
intero (numero quantico principale n)
Le funzioni d’onda che per quei dati valori di energia sono soluzioni
dell’equazione (autofunzioni) sono funzioni matematiche alquanto
complesse che contengono tre numeri quantici e restano definite
dagli specifici valori di questi.
Ogni autofunzione associata ad una definita terna di numeri quantici
è chiamata ORBITALE.
Un orbitale non ha un significato fisico ma lo ha il suo quadrato, che
rappresenta la probabilità di trovare l’elettrone in una data regione
dello spazio.
Ψ può assumere valori positivi, negativi o nulli (nodi).
In questi ultimi la probabilità di trovare l’elettrone è 0
6
Ricapitolando
n1
numero quantico principale
0 l n-1
numero quantico secondario
-l ml l
numero quantico magnetico
7
8
La funzione d’onda si trova risolvendo l’equazione di
Schrödinger della particella con i vincoli imposti dalle condizioni
al contorno. Si trova che la particella è in grado di possedere
solo determinate energie!
9
Nell’atomo di idrogeno:
ε0= permettività nel vuoto
10
n
l
m
1
0
0
1,0,0
s
2
0
0
2,0,0
s
2
1
-1
2,1,-1
2
1
0
2,1,0
2
1
+1
2,1,-1
3
0
0
3,0,0
3
1
-1
3,1,-1
3
1
0
3,1,0
3
1
+1
3,1,-1
3
2
-2
3,2,-2
3
2
-1
3,2,-1
3
2
0
3,2,0
3
2
+1
3,2,1
3
2
+2
3,2,2
p
s
p
d
11
x = r sin cos
y = r sin sin
z = r cos
Alcuni autori trovarono più conveniente
esprimere la funzione d’onda in
funzione delle coordinate sferiche.
In questo modo la funzione d’onda può essere
considerata il prodotto di due componenti:
( r ) ( , )
12
13
Gli orbitali atomici.
n=1. Orbitale 1s
14
Gli orbitali atomici.
n=2. Orbitali 2s e 2p
15
Gli orbitali atomici.
n=3. Orbitali 3d
16
Bisogna quindi immaginare l’elettrone come diffuso nello spazio
attorno al nucleo in zone in cui è massima la probabilità di
trovarlo.
Queste zone sono delimitate da superfici limiti che racchiudono
il 90 % (non si può mai escludere che l’elettrone se ne trovi al di
fuori) della probabilità di trovare l’elettrone ed è proprio con
queste superfici che i chimici ricavano informazioni sugli atomi e
sulle molecole.
Gli orbitali s hanno sempre una simmetria sferica, cioè la
probabilità di trovare l’elettrone è sempre la stessa in tutte le
direzioni a partire dal nucleo.
Tutti gli altri orbitali hanno proprietà direzionali, cioè la
probabilità di trovare l’elettrone a partire dal nucleo ha direzioni
privilegiate.
Come vedremo questo è la causa della formazione delle
geometrie molecolari.
17
Funzione di distribuzione radiale
Ψ2(r,θ,ϕ)
18
19
20
Il numero quantico di spin
Facendo passare un fascio di atomi di idrogeno attraverso un forte campo
magnetico, il fascio si separa in due parti che seguono traiettorie diverse :
l’elettrone si comporta come una carica che “ruota” su se stessa producendo
un campo magnetico (STERN e GERLACH, Ag)
N
S
21
Stern and Gerlach
22
L’atomo polielettronico
Abbiamo
parlato
dell’idrogeno,
finora
prendiamo
in
considerazione ora un atomo
con due elettroni, l’elio.
Rispetto all’atomo di idrogeno, le
configurazioni
dovrebbero
1s2s
avere
e
la
1s2p,
stessa
energia. Invece la 1s2s è più
bassa in energia della 1s2p.
Perché?
23
Nel caso dell’atomo di idrogeno, l’energia dei livelli dipende solo da n!
Nel caso di atomi a più elettroni l’energia dei livelli dipende sia da n che dal l!
L’equazione quantomeccanica va corretta per i termini repulsivi degli elettroni,
ed il tutto diventa più complicato.
1s
2s
24
Principio di esclusione di Pauli
Un orbitale non può essere
occupato da più di 2 elettroni e
quando 2 elettroni occupano lo
stesso orbitale i loro spin devono
essere appaiati
25
Riempimento degli orbitali
1 e- = H
2s
1s
2p
26
Riempimento degli orbitali
2 e- = He
2s
1s
2p
27
Riempimento degli orbitali
3 e- = Li
2s
1s
2p
28
Riempimento degli orbitali
4 e- = Be
2s
1s
2p
29
Riempimento degli orbitali
5 e- = B
2s
1s
2p
30
Riempimento degli orbitali
6 e- = C
2s
1s
2p
31
Riempimento degli orbitali
7 e- = N
2s
1s
2p
32
Riempimento degli orbitali
8 e- = O
2s
1s
2p
33
Riempimento degli orbitali
9 e- = F
2s
1s
2p
34
Riempimento degli orbitali
10 e- = Ne
2s
1s
2p
35
36
37
"The law of periodicity first allowed us to perceive undiscovered elements at
a distance which formerly was inaccessible to chemical vision."
from Dimitri Ivanovich Mendeleev's Faraday lecture before the Chemical
Society in London, twenty years after his discovery of periodic law (1889)
Nel 1870 il chimico russo Mendeleev ordina gli elementi in funzione del peso
atomico crescente dimostrando che le loro proprietà chimiche sono funzioni
periodiche del peso atomico. Nasce così la TAVOLA PERIODICA.
La rappresentazione risultante era così suddivisa in periodi orizzontali ed in
gruppi verticali.
Guidato dal principio della periodicità lasciò dei posti vuoti nella tavola,
intuendo con sicurezza che dovevano ancora essere scoperti alcuni
elementi (es. Tra Ca e Ti).
Inoltre riuscì a prevedere le proprietà di alcuni elementi ancora sconosciuti,
come gli elementi al di sotto Al e Si, che chiamò eka-alluminio ed eka-silicio.
Tali elementi successivamente scoperti erano il Gallio ed il Germanio.
Mendeleev incontrò alcune difficoltà per i metalli di transizione.
gruppi e periodi
elementi transizione (B)
