REFUSI, CORREZIONI E AGGIUNTE Pag 24 la seguente formula

REFUSI, CORREZIONI E AGGIUNTE
Pag 24 la seguente formula (2.12)
2 ( 1)
2 ( 1) 2 ( 1)
Va sostituita con la seguente:
1 ( 1)
1 ( 1) 2 ( 1)
1
2
2
5
Pag 24, ultima riga prima del Box:
la seguente frase:
(p=2/5; q=1/2) o anche (2/5, 3/5; ½, ½), va sostituita con
(p=2/5; q=2/5) o anche (2/5, 3/5; 2/5, 3/5),
Pag 25, nel Box 4, l’ultimo periodo che inizia con Tuttavia, è evidente che tutte… va eliminato e
inserito al suo posto:
Spesso le giustificazioni rimandano a quanto è già accaduto con lo stesso gioco o con giochi simili.
Ma se il gioco è a mosse simultanee e non c’è storia passata, come facciamo ad interpretare queste
strategie per inferire come sarà risolto il gioco? E’ evidente che l’interpretazione delle strategie
miste implicite in tutte queste spiegazioni appaiono deboli. Perché un giocatore dovrebbe
randomizzare le sue strategie pure per rendere indifferente l’avversario nella scelta dei suoi payoff
attesi? Perché i vari giocatori dovrebbero operare con strategie miste? Un possibile ragionamento è
il seguente. Ipotizziamo che Andrea non voglia randomizzare le sue strategie ma voglia scegliere la
corretta strategia pura per ottenere il massimo guadagno, date le strategie del suo rivale (Luca). In
qualche modo, volesse superarlo in astuzia. Tuttavia, se quest’ultimo randomizzasse la sua strategia
Andrea dovrebbe cambiare idea: il suo modo di pensare diverrebbe inutile. Infatti, Luca sceglierà le
sue probabilità in modo tale da fornire ad Andrea utilità attese dello stesso valore, qualsiasi sia la
scelta di Andrea.
L’assunzione di conoscenza comune e razionalità dei giocatori ci aiuta molto nell’interpretare le
strategie miste. Andrea sa che non può superare in astuzia Luca e quindi non tenterà di giocare una
strategia pura, ma randomizzerà le sue strategie, a meno che Luca non sia un agente irrazionale e/o
prevedibile. In quest’ultimo caso, Andrea potrebbe in qualche modo prevedere cosa farà Luca e
comportarsi di conseguenza. Ma Andrea sa che Luca è un agente razionale e cercherà di prevenire
la sua reazione scegliendo le probabilità delle sue strategie che forniranno a Luca valori attesi
analoghi delle sue utilità. A questo punto anche Luca può randomizzare, ma quali probabilità potrà
scegliere per le sue strategie? Egli pianificherà di scegliere le probabilità che porteranno Andrea
nella situazione peggiore, con l’obiettivo di prevenire che Andrea lo superi in astuzia, e l’unico
modo di farlo è scegliere le strategie che renderanno Andrea indifferente (che produrranno un
analogo payoff atteso per tutte le strategie di Andrea).
Infine, un ulteriore, e forse più convincente, interpretazione delle strategie miste è quella di
Harsanyi (purification of mixed strategy Nash equilibria) il quale mostra che ogni equilibrio di
Nash in strategie miste è “quasi analogo” a un equilibrio in strategie pure di un gioco perturbato nel
quale i payoff dei giocatori sono soggetti a piccole variazioni casuali (Esempi 3.2 e 3.8).
1
PAG. 27 nella seconda parte della formula (2.18) i segni di disuguaglianza sono errati
1
la formula corretta è:
q ( p ) 0,1
0
p
0.86
p
0.86
p
0,86
Pag 28 esempio 2.6
Il grafico di destra è errato va modificato con il seguente: (fornito in power point)
Pag 42, terza riga al posto di
va inserito
0 e al posto di
va inserito
0
Pag 42, nella (3.1) un segno è sbagliato:
T:
1
1
2
....
va corretto con T :
1
1
2
....
Pag 47, refuso terzultima riga ( e soltanto in questa): al posto di D1 va messo D.
Pag 48,
Nella 1° matrice in DC’ nella cella sotto, al poso di -5 e -5ρ-11(1-ρ) va, rispettivamente inserito:
4ρ-5 e -10ρ-11(1-ρ)
Nella 2nd matrice in DC’ nella cella sotto al posto di -5 e 6ρ-11, va rispettivamente:
4ρ-5 e ρ-11
2
Pag 66, prima del capoverso che inizia con: Nell’esempio, se il giocatore I sceglie A… inserire:
Per inciso, occorre riflettere sul comportamento ottimo dei giocatori nella sequenzialità razionale di
(Ah,f). Notate che Ah è una risposta ottima alla strategia f del giocatore II. Anche f costituisce una
risposta ottima alla strategia Ah del giocatore I. Si noti, invece, che Eh non è un’ottima risposta ad f
e che Dh pur essendo un’ottima risposta ad f da parte del giocatore I, f non può essere un’ottima
risposta di II alla strategia Dh.
Pag 67, la frase prima del Box 10, che inizia con Volendo far ricorso… e termina con la sua
risposta ottima è L, va eliminata.
Pag 67, il precedente Box 10 va eliminato e inserito il nuovo Box 10 (fornito come file word)
Pag 72, l’esempio 4.7 va eliminato e inserito al suo posto quello nuovo fornito a parte (word-testo
e power point-figura)
Pag 74, quinto capoverso che inizia con Notate che.., alla quinta riga che inizia con probabilità q…
va modificata con probabilità “soggettiva” q…
Pag 75, inizio pagina, prima del secondo capoverso, dopo “….sempre minore di 2”. Seguitare con
Come interpretare tutto questo? E’ un semplice modo di “razionalizzare” il comportamento di I da
parte del giocatore II. Se I opta per S, il giocatore II può pensare che I è un giocatore irrazionale o,
al contrario, che I è un giocatore razionale ma con una probabilità soggettiva sul fatto che II giochi
b superiore a 2/3 e per questo segnali di voler giocare B. Questo tipo di riflessione, come vedremo
negli Esempi 4.45-4.46 che chiudono il capitolo, è piuttosto intuitiva e viene utilizzata spesso nel
volume, ma trascura alcune complessità concettuali dell’induzione in avanti.
Pag 76, sostituire
( B, b); p
3
4
con
( A, f ); p
3
4
Pag 95,
Dopo la figura, alla fine della prima frase, e prima di Il giocatore I minaccia…, va inserita la
seguente frase: Perché dal basso? A volte può essere utile l’uso della backward induction per
identificare quali strategie possano essere in equilibrio e quali credenze sono necessarie per
sostenere queste strategie di equilibrio, come in questo gioco ripreso da Morrow (1994).
3
Pag 96,
i) nel secondo capoverso, subito dopo la “tavola” Nodo superiore etc. , alla fine della frase,
..nel giocare n o d. va aggiunta: (si veda la 4.11).
ii) Prima della (4.12), la frase Chiamiamo r la probabilità che il giocatore II scelga n:
va aggiornata con la seguente:
Chiamiamo r la probabilità che il giocatore II scelga n, calcoliamo le utilità attese di I e poi
uguagliamole:
iii) dopo la (4.12), e prima della formula EBP: va inserita la seguente frase:
Nel calcolare le sue utilità attese, il giocatore I anticipa il giocatore II e le sue mosse future. Quindi,
giocando U ottiene alla fine del gioco 3 con probabilità r che II giochi n, e ottiene1 con probabilità
(1-r) che II giochi d. Il ragionamento è analogo per l’utilità attesa ottenuta con D.
Pag 97, nel punto a, quarta riga,
i) Ovviamente questo conduce il giocatore I a un payoff di 1 e il giocatore II a un payoff di 3.
va sostituita con
Ovviamente questo produce per il giocatore I un payoff di 1 e per il giocatore II un payoff di 3
ii) le ultime due righe del punto a, dopo i due punti :
il giocatore I, conoscendo questo esito, non vorrebbe giocare U ma preferirebbe D.
va modificata come segue:
il giocatore I, conoscendo questo esito, e tenendo conto che II sceglie d, non vorrebbe giocare U ma
bensì D.
iii) ultima riga del punto b.
giocatore I ha l’incentivo a spostarsi su U.
va modificata con:
giocatore I, con II che sceglie n, ha l’incentivo a spostarsi su U.
Pag 99, refuso 12ma riga: se scegliesse D avrebbe una perdita…. Sostituire con se scegliesse D
subirebbe una perdita….
Pag 116, quinta riga sotto la figura:
(D,d,D,d) va sostituito con (D,d,D,nd)
4
Pag 126, la (4.22) va sostituita con la seguente:
A : 2q 4(1 q)
B:
q 0
q
6q 4
La frase sottostante la (4.22) va tolta e sostituita con la seguente:
Infine, l’utilità attesa della strategia C è pari a 1. Si noti che A può essere preferito a B solo per
probabilità soggettive di I superiori a 4/7 (q>4/7) mentre può essere preferito a C per q>5/6.
Tuttavia, B è sempre dominata dalla strategia C.
Pag 127, nella prima matrice a sinistra, nella seconda cella della prima riga, al posto di 1 della
seconda cifra, va inserito -1.
Pag 131. Alla Figura va inserito II (come giocatore) sul ramo destro della figura al singoletto
(figura riportata in power point su altro file)
Pag 133, l’ordine della seguente formula (sotto la (5.2)) va invertito:
2
3
1 4
da ( L ; M ) e ( L ; R )
5
5
5 5
a
2
3
1 4
(L ; R ) e (L ; M )
5
5
5 5
Pag 143, nella nona riga a partire dal fondo della pagina si legge: Ipotizziamo 2 tipi di entranti e…
Va riscritto come segue: Ipotizziamo, per semplicità, solo 2 entranti (ad esempio due imprese) e…
Pag. 145: Cambio titolo dell’esempio 6.5: da Ancora il gioco della catena dei negozi (I)
va cambiato con
The Chain store: Equilibrio con predazione
(Memo: anche nell’indice iniziale)
Pag 146: Cambio titolo dell’esempio 6.6: da Ancora il gioco della catena dei negozi (II)
va cambiato con
The Chain store: Equilibrio senza predazione (Memo: anche nell’indice iniziale)
Pag 147, Integrare la nota 1 alla fine della nota, dopo Cambridge 1988., va inserito.
Gli esempi 6.4-6.6 sono adattamenti basati su un esempio ripreso da Louis Phlips da un importante
articolo di Paul Milgrom e John Roberts (1982), Predaction and entry deterrence, Journal Economic
Theory, 27, 280-312.
Pag 148, prima riga, togliere (1965).
5
Pag 151, seconda riga sotto la figura (matrice): cambiare
…è una strategia dominata.. con …è una strategia debolmente dominata…
Pag 151, terza riga dopo figura, alla fine della frase con ..THPE. aggiungere:
Infatti, II opterà per D solo se è sicuro che I sceglierà A con probabilità uguale a 1.
Pag 151, dopo prima formula, seconda riga dopo il punto:
. Questa sequenza…. Va cambiata con:
. Se questa sequenza…
Pag, 155, terza riga eliminare ? e mettere . (punto)
Pag 155, ultima riga: cambiare da .. il giocatore I è molto propenso a
in
.. il giocatore I è più propenso a
Pag 157, dopo la (7.12), la frase successiva fino a … sceglie D o E. subisce piccole variazioni e
quindi l’ho riscritta:
L’ultimo termine nelle due utilità attese ( 10 e ) rappresenta il payoff (con relativa probabilità)
che I otterrebbe se II giocasse F. Dal confronto tra la (7.9) e la (7.12) emerge che nel caso in cui II
giochi F, il giocatore I è indotto a pensare che II giocherà D con probabilità q, mentre con q=1/7 è
indifferente se II sceglie D o E.
Pag 157, la riga prima della (7.13), ….è superiore a quella con la strategia B.., va modificata con:
….è superiore a quella ottenuta con la strategia B..
Pag 158, la frase che inizia con -Quando si dice…. Va cambiata con la seguente:
-Dicendo che si hanno effetti sulla selezione degli equilibri di Nash, semplicemente perché i
giocatori pensano o accennano alla possibilità che gli avversari commettano errori, si presuppone
che tutte le strategie possano essere giocate con una probabilità, anche se molto bassa.
Pag 158, –Interpretare ogni possibile deviazione o errore da un equilibrio di Nash per produrre un
gioco perturbato… va modificata come segue:
–Interpretare ogni deviazione da un equilibrio di Nash come l’effetto di un gioco perturbato…
6
Pag 162, ad iniziare dalla quinta riga togliere la frase: Se il giocatore II gioca una strategia vicina
alla strategia C, allora è innegabile che la migliore risposta per il giocatore I è giocare A.
Subito dopo si inizia la frase successiva con Notate che A, cha va cambiato con La strategia A
Pag 162, formula (7.16) in
D: 2 1
2
k
0
3
k
2
D: 2 1
2
k
0
4
k
2
1
è errata, al suo posto va inserita:
k
Pag 164, Togliere la frase che inizia con il capoverso, Un ulteriore no nice property
riguarda…….con più di due giocatori. (togliere quindi anche la nota 2 e il commento fuori testo
attribuito a questa frase)
Pag 165, subito dopo la prima figura …l’ENPS è (B2, D). Cambiare con
…l’unico ENPS è (B2, D).
Pag 171, le seguenti modifiche:
1) la riga prima della (7.27) : Calcoliamo le utilità attese (partendo da destra verso sinistra nella
figura) va tolta.
2) La (7.27) va sostituita con la seguente:
B : 3q (1 q) 2q 1
C: 0 1 q 1 q
3) Tutto il commento sotto la (7.27) va tolto fino ad Un esempio del tutto analogo è il seguente:
(che va lasciato), e va sostituito con il seguente commento:
L’utilità attesa di giocare A è pari a 2, mentre dalla (7.27) è chiaro che per qualsiasi valore
positivo (>0) della probabilità soggettiva di I, la strategia C è dominata sia da B che da A. Per
q=1/2 il giocatore I è indifferente tra A e B mentre per credenze superiori a ½, I preferisce
giocare B.
Pag 172 , l’ultima parte della pagina, ad iniziare dal terzo capoverso, Se gioca con certezza
A…..fino a fine pagina …..il giocatore I è indifferente tra A e B., va cancellata (compresa la
(7.30)).
7
Pag 173, la (7.31) diviene numericamente, (7.30)
Pag 175, la (7.32) diviene numericamente, (7.31)
Pag 175, l’ultime due righe vanno riscritte nel seguente modo:
è evidente che bh non è la risposta ottima del giocatore I alla strategia ce se il giocatore II può
commettere un piccolo errore con probabilità 1/k sulle altre strategie:
Pag. 175, alla fine (dopo la frase del punto sopra) va inserita la seguente formula (7.32):
ag : 3 1
3
k
3
k
8
k
8
k
3
10
k
ah : 3 1
3
k
3
k
8
k
8
k
3
10
k
bg : 5 1
3
k
2
k
5
k
2
k
5
6
k
bh : 5 1
3
k
1
k
5
k
1
k
5
8
k
(7.32)
Pag 234, si devono effettuare le seguenti correzioni:
1) l’ultima riga della (9.2):
5 8
(1 2 )
5 8
1
va modificata con:
5 8
(1 2 )
2) La riga successiva: Per il giocatore II avremo: va modificata come :
La (9.2) rappresenta il valore attuale dei payoff di I. Per il giocatore II avremo:
5 3
5 3
5 3
va modificata con:
2
2
(1
) 1
(1
)
4) La riga successiva: Per i due giocatori, quindi, la media dei payoff per ogni periodo è
rispettivamente: va modificata con la seguente
3) L’ultima riga della (9.3):
La (9.3) rappresenta il valore attuale dei payoff di II. Per i due giocatori, la media dei payoff è
1
volte il valore attuale (si veda la 9.5), cioè, rispettivamente per il giocatore I e II:
8
Pag 235, prima riga Il payoff medio (X) va sostituito con Il payoff medio (x)
Pag 235, dopo la (9.5) alla fine della quarta riga si legge:… della sequenza di payoff. Di seguito va
aggiunto: Ovviamente il confronto tra le diverse strategie di deterrenza è del tutto analogo.
Pag 244, il titolo del Box 17 diventa: Valore attuale, payoff medio e probabilità che il gioco
termini
Il titolo va cambiato anche nell’indice dei box a pag. IX
Pag 248, modifiche:
Il giocatore I ora deve decidere se (va cambiato decidere con valutare) :
2
4
1
cioè se 1/3>δ cambiare la frase in rosso con: e ciò è vero se δ<1/3
Pag 249, terza riga sotto la matrice:
La strategia di equilibrio deve essere la migliore risposta ad ogni..
Va modificata:
La strategia di equilibrio deve essere la migliore risposta (sequenzialmente razionale) ad ogni..
Pag 250,
nella frase che termina con (e questo è un ENPS). e prima di Ecco la dimostrazione:
Seguitare:
(e questo è un ENPS). Su questi aspetti e sulle possibili strategie trigger che possono ovviare ai
problemi delle TfT si veda Myerson (1991).
Pag 250, Togliere la seguente frase prima della formula (9.17):
Giocare la strategia TfT è ottimale per valori del fattore di sconto inferiori a ¼.
9
Pag 251, Esempio 9.20 correzioni:
1) Dopo la matrice togliere la frase:
Nel caso devino da queste strategie entrambi i giocatori giocheranno N nei periodi successivi.
2) Dopo E’ sostenibile la strategia che alterna R e N?, seguitare con: In questo caso non
sarebbe più vantaggioso per entrambi i giocatori giocare sempre N? Data la loro
propensione a deviare da una soluzione cooperativa (R,R), possiamo immaginare una
strategia che comprende l’accordo e poi l’immediata deviazione da parte dei due giocatori.
Pag 252,
1) prima della (9.23) nella frase ..con i payoff che si ottengono nel punire con una strategia
grim, inserire prima del grim, di “tipo” grim:
..con i payoff che si ottengono nel punire con una strategia di “tipo” grim
2) dopo la (9.23), correggere
6 2 con
6 2
Pag 253,
inizio, correggere
6 2
con
6
2
0.449
Pag 263, nella riga prima dell’ultimo capoverso, al posto di “utilizzano le combinazioni”, va
messo “utilizzando le combinazioni”
10
INSERIMENTI NUOVE PARTI:
Primo Capitolo,
nel Box 3, inserire alla fine del Box (dentro il Box stesso)
L’assunzione di Razionalità dei giocatori
Il Box 3 cambia nome (anche nella lista dei Box) da Modi di pensare all’equilibrio di Nash, a
Modi di pensare all’equilibrio di Nash e la razionalità dei giocatori
Fine del Capitolo 2:
Esempio 2.10, strategie miste: inspection game e tax-evasion game
Esempio 2.11 Equilibrio Correlato
Fine del Capitolo 3:
Esempio 3.8 Harsanyi’s purification
Fine del Capitolo 4:
Esempio 4.7. Selten’s horse (nuovo da sostituire quello esistente)
Esempio 4.45 Problematiche dell’ Induzione in Avanti I
Esempio 4.46 Problematiche dell’ Induzione in Avanti II
Esempio 4.47 Dominanza rispetto ai payoff e dominanza rispetto al rischio
Box 10 (pag. 67) nuova versione
Fine del capitolo 6:
Esempio 6.7 Entrante-Monopolista come un gioco ripetuto
Implicazioni delle modifiche:
Tutto cio’ comporta una revisione delle pagine e quindi
1) dell’indice
2) dell’indice analitico e
3) dell’indice dei nomi (che vanno aggiornati con quanto segue)
11
Autori nuovi da inserire nella lista INDICE DEI NOMI
Ben-Porath Elchanan
Corchòn C. Luis
Dekel Eddie
Govindan Srihari
Kohlberg Elon
Mertens Jean-Francois
Milgrom Paul
Perea Andres
Reny J. Philip
Roberts John
Tsebelis George
Wilson Robert
12