UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II
Il moto: ma con quale
matematica?
Marzo 2016
A. Romano
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La legge di Newton
Siano Oxyz un riferimento inerziale,γ la traiettoria di un
punto materiale P in moto rispetto ad Oxyz ed r(t)=(x(t),
y(t), z(t)) il vettore di posizione di P.
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La legge di Newton
Il moto di P di massa m, sottoposto alla forza F è retto
dall’equazione (seconda legge di Newton)
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Determinismo meccanico
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Determinazione dei moti
I precedenti teoremi assicurano (localmente) l’esistenza e
l’unicità di una soluzione due volte derivabile r(t) ma nulla
dicono sulla forma di questa funzione, sul suo andamento,
sulle sue caratteristiche e sul suo comportamento per t→∞.
Per semplicità, analizzeremo alcuni problemi unidimensionali
(moti rettilinei), per riconoscere la complessità del problema
posto dalla (2) che in queste ipotesi si scrive
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Libera caduta (Galileo)
La libera caduta di un grave nel vuoto lungo l’asse verticale
Ox orientato verso l’alto risulta
dove g è l’accelerazione di gravità costante. Una doppia
integrazione rispetto alla variabile temporale fornisce
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Forza elastica
L’equazione del moto si scrive
e la soluzione risulta
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Forza elastica e resistenza viscosa
la soluzione risulta
dove A e B sono costanti arbitrarie
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Esempi non lineari
Forza elastica non lineare
Forza elastica e forza idraulica
Pendolo semplice
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Ricerca dei moti
Come possono ottenersi informazioni sul moto quando
la (3) non è integrabile?
Si possono seguire due strade:
• Ricercare soluzioni approssimate;
• Determinare le proprietà significative della
soluzione mediante un’analisi qualitativa della (3).
Nel seguito si fornirà un esempio di ciascuno dei due
approcci.
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Il metodo di Poincaré
Si consideri l’equazione del moto di un punto soggetto
ad una forza elastica non lineare
dove 0<ɛ<<1. Si ricerchi una soluzione del tipo
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Il metodo di Poincaré
L’equazione precedente fornisce
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Il metodo di Poincaré
• Se i moti sono periodici, il metodo di Poincaré può
modificarsi in modo da eliminare i termini secolari
fornendo ad ogni passo soluzioni periodiche;
• Il metodo può usarsi in tutti i casi in cui le forze
agenti possono decomporsi in forze dominanti e
forze secondarie.
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Metodo di Weierstrass
Il metodo di Weierstrass si applica all’equazione
ossia a un moto unidimensionale dovuto a una forza
conservativa con energia potenziale
ed energia totale
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Metodo di Weierstrass
Dalla conservazione dell’energia banalmente si ricavano
le formule seguenti
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Ritratto di fase
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