Il quinto postulato di Euclide
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II Il moto: ma con quale matematica? Marzo 2016 A. Romano [email protected] 1 La legge di Newton Siano Oxyz un riferimento inerziale,γ la traiettoria di un punto materiale P in moto rispetto ad Oxyz ed r(t)=(x(t), y(t), z(t)) il vettore di posizione di P. 2 La legge di Newton Il moto di P di massa m, sottoposto alla forza F è retto dall’equazione (seconda legge di Newton) 3 Determinismo meccanico 4 Determinazione dei moti I precedenti teoremi assicurano (localmente) l’esistenza e l’unicità di una soluzione due volte derivabile r(t) ma nulla dicono sulla forma di questa funzione, sul suo andamento, sulle sue caratteristiche e sul suo comportamento per t→∞. Per semplicità, analizzeremo alcuni problemi unidimensionali (moti rettilinei), per riconoscere la complessità del problema posto dalla (2) che in queste ipotesi si scrive 5 Libera caduta (Galileo) La libera caduta di un grave nel vuoto lungo l’asse verticale Ox orientato verso l’alto risulta dove g è l’accelerazione di gravità costante. Una doppia integrazione rispetto alla variabile temporale fornisce 6 Forza elastica L’equazione del moto si scrive e la soluzione risulta 7 Forza elastica e resistenza viscosa la soluzione risulta dove A e B sono costanti arbitrarie 8 Esempi non lineari Forza elastica non lineare Forza elastica e forza idraulica Pendolo semplice 9 Ricerca dei moti Come possono ottenersi informazioni sul moto quando la (3) non è integrabile? Si possono seguire due strade: • Ricercare soluzioni approssimate; • Determinare le proprietà significative della soluzione mediante un’analisi qualitativa della (3). Nel seguito si fornirà un esempio di ciascuno dei due approcci. 10 Il metodo di Poincaré Si consideri l’equazione del moto di un punto soggetto ad una forza elastica non lineare dove 0<ɛ<<1. Si ricerchi una soluzione del tipo 11 Il metodo di Poincaré L’equazione precedente fornisce 12 Il metodo di Poincaré • Se i moti sono periodici, il metodo di Poincaré può modificarsi in modo da eliminare i termini secolari fornendo ad ogni passo soluzioni periodiche; • Il metodo può usarsi in tutti i casi in cui le forze agenti possono decomporsi in forze dominanti e forze secondarie. 13 Metodo di Weierstrass Il metodo di Weierstrass si applica all’equazione ossia a un moto unidimensionale dovuto a una forza conservativa con energia potenziale ed energia totale 14 Metodo di Weierstrass Dalla conservazione dell’energia banalmente si ricavano le formule seguenti 15 Ritratto di fase 16
