Super formulario di Meccanica Quantistica

FORMULARIO
DI
MECCANICA QUANTISTICA
Roberto Pesce
26 gennaio 2004
Indice
I
Introduzione
7
1 Fenomenologia
1.1 Corpo nero . . . . . . . . . .
1.2 Effetto fotoelettrico . . . . . .
1.3 Dualismo corpuscolo-onda . .
1.4 Effetto Compton . . . . . . .
1.5 Spettro degli atomi . . . . . .
1.6 Atomo di Rutherford . . . . .
1.7 Atomo di Bohr . . . . . . . .
1.8 Principio di indeterminazione
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9
9
2 Meccanica Analitica
2.1 Calcolo delle variazioni . . . . . . . . .
2.2 Equazioni di Lagrange . . . . . . . . .
2.3 Equazioni di Hamilton . . . . . . . . .
2.4 Parentesi di Poisson . . . . . . . . . .
2.5 Trasformazioni canoniche . . . . . . .
2.6 Trasformazioni canoniche infinitesime
2.7 Equazione di Hamilton-Jacobi . . . . .
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3 Matrici e operatori
3.1 Matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Operazioni di coniugazione . . . . . .
3.3 Sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Inversa di una matrice . . . . . . . . .
3.5 Equazione secolare . . . . . . . . . . .
3.6 Traccia di una matrice . . . . . . . . .
3.7 Funzioni di matrici . . . . . . . . . . .
3.8 Aggiunto di un operatore . . . . . . .
3.9 Operatori hermitiani e antihermitiani .
3.10 Operatori unitari . . . . . . . . . . . .
3.11 Trasformata di Fourier . . . . . . . . .
3.12 Delta di Dirac . . . . . . . . . . . . . .
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2
INDICE
3.13 Commutatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Elettromagnetismo
4.1 Equazioni di Maxwell .
4.2 Potenziali . . . . . . . .
4.3 Gauge di Coulomb . . .
4.4 Onde elettromagnetiche
4.5 Polarizzazione . . . . . .
4.6 Vettore di Poynting . . .
4.7 Interferenza e diffrazione
4.8 Ottica geometrica . . . .
II
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Funzioni speciali
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19
19
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20
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22
5 Polinomi di Hermite
5.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Equazione differenziale . . . . . . . . .
5.3 Funzione generatrice . . . . . . . . . .
5.4 Formule ricorsive . . . . . . . . . . . .
5.5 Ortonormalità . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Primi polinomi di Hermite . . . . . . .
5.7 Autofunzioni dell’oscillatore armonico
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6 Polinomi di Legendre
6.1 Definizione . . . . . . . . . . .
6.2 Funzioni associate di Legendre
6.3 Equazione differenziale . . . . .
6.4 Funzioni generatrici . . . . . .
6.5 Relazioni ricorsive . . . . . . .
6.6 Ortonormalità . . . . . . . . . .
6.7 Primi polinomi di Legendre . .
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7 Armoniche sferiche
7.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Coniugazione complessa . . . . . . . . . .
7.3 Parità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Relazione di ricorrenza . . . . . . . . . . .
7.5 Ortonormalità . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Chiusura . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Prime armoniche sferiche . . . . . . . . .
7.8 Relazioni con il momento angolare . . . .
7.9 Armoniche sferiche e coordinate cartesiane
7.10 Armoniche sferiche su due direzioni . . . .
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3
INDICE
7.11 Addizione delle armoniche sferiche . . . . . . . . . . . . . . .
30
8 Funzioni sferiche di Bessel
31
8.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8.2 Andamenti asintotici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8.3 Prime funzioni sferiche di Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . 32
9 Polinomi di Laguerre
9.1 Definizione . . . . . . . . . . . . .
9.2 Polinomi generalizzati di Laguerre
9.3 Equazione differenziale . . . . . . .
9.4 Ortonormalità . . . . . . . . . . . .
9.5 Primi polinomi di Laguerre . . . .
III
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Formalismo
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10 Cenni al formalismo della Meccanica Quantistica
10.1 Rappresentazione di uno stato . . . . . . . . . . . .
10.2 Enti che esprimono stati quantistici . . . . . . . . .
10.3 Trasformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Operatore associato ad un’osservabile . . . . . . .
10.5 Proprietà importanti . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6 Notazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7 Varianze di due osservabili . . . . . . . . . . . . . .
10.8 Osservabili trasformate . . . . . . . . . . . . . . . .
10.9 Parentesi di Poisson quantistiche . . . . . . . . . .
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11 Traslazioni
11.1 Commutatore [X,P] . . . . . .
11.2 Rappresentazione posizione .
11.3 Traslazioni e quantità di moto
11.4 Autofunzioni della quantità di
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moto
12 Momento angolare
12.1 Rappresentazione posizione . .
12.2 Relazioni caratteristiche . . . .
12.3 Spettro J~2 e Jz . . . . . . . . .
12.4 Rappresentazione Jz . . . . . .
12.5 Commutazione con operatori .
12.6 Coefficienti di Clebsch-Gordan
12.7 Disuguaglianza triangolare . . .
12.8 Regola di superselezione . . . .
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4
INDICE
13 Spin
13.1 Matrici di Pauli . . . . . . . . . . .
13.2 Relazioni utili . . . . . . . . . . . .
13.3 Spin 12 . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4 Spin 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
13.5 Singoletto e tripletto . . . . . . . .
13.6 Stati simmetrici ed antisimmetrici
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14 Matrici di rotazione
14.1 Rotazione di α, β, γ . . . . . . . . . . . . . . .
14.2 Matrici notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3 Trasformazione per rotazioni . . . . . . . . .
14.4 Stati con momento angolare orbitale definito
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15 Operatori tensoriali sferici
15.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2 Commutatori . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3 Esempi notevoli . . . . . . . . . . . . . . .
15.4 Teorema di Wigner-Eckart . . . . . . . . .
15.5 Elementi di matrice di operatori vettoriali
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16 Riflessioni e parità
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16.1 Operatore di parità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
16.2 Operatori pari e dispari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
16.3 Regole di selezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
17 Particelle identiche
53
17.1 Operatore di scambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
17.2 Particelle indipendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
17.3 Principio di Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
18 Evoluzione temporale
18.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2 Descrizioni di Heisenberg e di Schrödinger
18.3 Evoluzione dei valori medi . . . . . . . . .
18.4 Costanti del moto . . . . . . . . . . . . .
18.5 Descrizione intermedia . . . . . . . . . . .
18.6 Indeterminazione tempo-energia . . . . . .
18.7 Inversione temporale . . . . . . . . . . . .
19 Operatore statistico
19.1 Definizione e proprietà . . . . . . . . . . .
19.2 Evoluzione degli stati misti . . . . . . . .
19.3 Matrice densità in 2-D . . . . . . . . . . .
19.4 Operatore statistico per sistemi composti
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58
5
INDICE
IV
Applicazioni
59
20 Meccanica ondulatoria
20.1 Equazione di Schrödinger . . . . .
20.2 Pacchetto d’onde . . . . . . . . . .
20.3 Onde di De Broglie libere . . . . .
20.4 Particella libera in una dimensione
20.5 Particella libera in tre dimensioni .
20.6 Operatori in tre dimensioni . . . .
20.7 Potenziale centrale . . . . . . . . .
20.8 Equazione angolare . . . . . . . . .
20.9 Equazione radiale . . . . . . . . . .
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63
63
21 Potenziali costanti a tratti
21.1 Gradino di potenziale . .
21.2 Barriera di potenziale . .
21.3 Buca di potenziale . . . .
21.4 Buca infinita . . . . . . .
21.5 Casi generali . . . . . . .
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65
65
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22 Oscillatore armonico
22.1 Autofunzioni dell’oscillatore armonico
22.2 Livelli energetici . . . . . . . . . . . .
22.3 Trasformazione di coordinate . . . . .
22.4 Operatori di creazione e di distruzione
22.5 Numero di occupazione . . . . . . . .
22.6 Effetto degli operatori sugli autostati .
22.7 Stato coerente . . . . . . . . . . . . . .
22.8 Oscillatore tridimensionale . . . . . .
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23 Atomi idrogenoidi
69
23.1 Livelli energetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
23.2 Funzioni d’onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
24 Perturbazioni
70
24.1 Livello non degenere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
24.2 Livello degenere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
24.3 Metodo variazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
25 Cenni di fisica atomica e molecolare
25.1 Approssimazione di campo centrale . . .
25.2 Interazione degli elettroni . . . . . . . .
25.3 Interazione spin-orbita . . . . . . . . . .
25.4 Atomo in un campo magnetico uniforme
25.5 Approssimazione di Born-Oppenheimer
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6
INDICE
25.6 Problema a nuclei fissi per una molecola biatomica . . . . . .
25.7 Rotazioni e vibrazioni delle molecole biatomiche . . . . . . . .
26 Campo elettromagnetico
26.1 Gauge in Meccanica Quantistica
26.2 Effetto Aharonov-Bohm . . . . .
26.3 Campo elettromagnetico libero .
26.4 Sistema di cariche . . . . . . . .
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27 Probabilità di transizione
27.1 Probabilità al prim’ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27.2 Problema dei due stati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27.3 Transizioni atomiche indotte da un’onda elettromagnetica
27.4 Transizioni verso il continuo . . . . . . . . . . . . . . . . .
27.5 Decadimento spontaneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27.6 Emissione stimolata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27.7 Approssimazione di dipolo elettrico . . . . . . . . . . . . .
27.8 Transizioni agli ordini di multipolarità superiori . . . . . .
28 Scattering
28.1 Concetti introduttivi . . .
28.2 Descrizione quantistica . .
28.3 Equazione integrale . . . .
28.4 Approssimazione di Born
28.5 Metodo delle fasi . . . . .
28.6 Scattering di risonanza . .
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Parte I
Introduzione
7
Capitolo 1
Fenomenologia
1.1
Corpo nero
Formula di Rayleigh-Jeans:
ν2
kT
c2
(1.1)
ν 2 hν
hν
c2 e kT
−1
(1.2)
e(ν, T ) = 2π
Formula di Planck:
e(ν, T ) = 2π
1.2
Effetto fotoelettrico
1
mv 2 = hν − B = eV0
2 max
1.3
Dualismo corpuscolo-onda
p=
1.4
h
hν
=
c
λ
(1.4)
h
(1 − cos θ)
mc
(1.5)
Effetto Compton
λ′ = λ +
1.5
(1.3)
Spettro degli atomi
Atomo di idrogeno:
µ
¶
1
1
−
n′2 n2
2π 2 me4
R=
h3
1
ν̄ = = R
λ
8
n > n′
(1.6)
(1.7)
9
CAPITOLO 1. FENOMENOLOGIA
Serie
n′ = 1(Lyman)
n′ = 2(Balmer)
n′ = 3(P aschen)
ν̄max
R
1
4R
1
9R
ν̄min
3
4R
5
36 R
7
144 R
Atomi complessi:
ν̄ = τn′ − τn
1.6
Atomo di Rutherford
k
V =
r
1.7
1
; σ(θ) =
4
µ
k
2E
¶2
1
sin4
θ
2
(1.9)
Atomo di Bohr
ν=
1
(En − En′ )
h
(1.10)
ℏ2
me2
(1.11)
Raggio di Bohr:
a0 =
Livelli energetici:
En = −
1 me4
2 n 2 ℏ2
Raggi delle orbite:
rn =
1.8
(1.8)
n 6= 0
n 2 ℏ2
me2
(1.12)
(1.13)
Principio di indeterminazione
ℏ
2
ℏ
∆t∆E ≥
2
∆x∆px ≥
(1.14)
(1.15)
Capitolo 2
Meccanica Analitica
2.1
Calcolo delle variazioni
Equazione di Eulero:
Integrale primo:
2.2
∂f
d ∂f
=
∂y
dx ∂y ′
(2.1)
∂f
∂f
= 0 ⇒ y ′ ′ − f = cost
∂x
∂y
Equazioni di Lagrange
Azione:
S=
Z
t
L(q(t), q̇(t), t)dt
(2.2)
t1
δS (1) = 0 ⇒
2.3
d ∂L
∂L
− i =0
i
dt ∂ q̇
∂q
(2.3)
Equazioni di Hamilton
Principio di Hamilton:
δS (1) = 0 ⇔ moto
Momenti coniugati:
pi =
L=
(
X
∂L
∂ q̇ i
pi q̇ i − H
q̇ i = ∂H
∂pi
ṗi = − ∂H
∂q i
10
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
CAPITOLO 2. MECCANICA ANALITICA
Azione ridotta:
S0 =
t2
Z
t1
Principio di Maupertuis:
δ (1)
Z
X
pi q̇ i dt
vds = 0
11
(2.8)
(2.9)
Legge di Snell per un fascio di particelle:
n1
sin θ1
=
sin θ2
n2
2.4
(2.10)
Parentesi di Poisson
¶
X µ ∂f ∂g
∂f ∂g
{f, g} =
−
∂pi ∂q i ∂q i ∂pi
(2.11)
i
N.B.: i testi classici riportano la definizione con il segno cambiato.
∂f
= 0 ; {H, f } = 0 ⇒ f è una costante del moto
∂t
(2.12)
Parentesi fondamentali:
{q i , q j } = {pi , pj } = 0
j
{pi , q } =
δij
(2.13)
(2.14)
Identità di Jacobi:
{f, {g, h}} + {g, {h, f }} + {h, {f, g}} = 0
2.5
(2.15)
Trasformazioni canoniche
Tipo 1: F1 = F1 (q, Q, t):
(
1
pi = ∂F
∂q i
∂F1
Pi = − ∂Q
i
P
Tipo 2: F2 = F2 (q, P, t) = F1 + Qi Pi :
(
2
pi = ∂F
∂q i
2
Qi = ∂F
∂Pi
Tipo 3: F3 = F3 (p, Q, t) = F1 −
(
P
(2.16)
(2.17)
q i pi :
3
q i = − ∂F
∂pi
∂F3
Qi = − ∂Q
i
(2.18)
CAPITOLO 2. MECCANICA ANALITICA
P
P
Tipo 4: F4 = F4 (p, P, t) = F1 + Qi Pi − q i pi :
(
4
q i = − ∂F
∂pi
∂F4
Qi = ∂Pi
12
(2.19)
In generale:
∂F
(2.20)
∂t
Le parentesi di Poisson sono invarianti per trasformazioni canoniche.
H′ = H +
2.6
Trasformazioni canoniche infinitesime
X
F (q, P ) =
q i Pi + εG(q, P )
(
∂G
δpi = −ε ∂q
i
∂G
δq i = −ε ∂p
i
δf (q, p) = −ε{f, G}
2.7
(2.21)
(2.22)
(2.23)
Equazione di Hamilton-Jacobi
µ
¶
∂S
∂S
+ H q,
,t = 0
∂t
∂q
(2.24)
Equazione stazionaria:
(
µ
¶
Q̇i = ∂∂H
∂S0
∂H
Ṗi
= 0 ⇒ H q,
=E⇒
∂t
∂q
Ṗi = 0
q i ciclica ⇒ αi =
∂S
costante del moto
∂q i
(2.25)
(2.26)
Integrali di azione:
Ji (α) =
H(Ji ) = E ⇒
³
~ 0
∇S
I
pi dq i =
I
∂Si i
dq
∂q i
∂H
= ν i ⇒ Qi = ν i t + β i
∂Ji
ν i = (τ i )− 1
´2
= 2m (E − V (~r))
(2.27)
(2.28)
(2.29)
(2.30)
Capitolo 3
Matrici e operatori
3.1
Matrici

t11
 t21

 ..
 .
t12
t22
..
.
···
···
..
.
tm1 tm2 · · ·

t1n
t2n 

.. 
. 
tmn
Se ei è base nel dominio e wj è base nel codominio, le colonne sono le
componenti dei trasformati degli ei nella base wj .
Prodotto righe per colonne tra A (m x p) e B (p x n):
cij =
p
X
aik bkj
(3.1)
k=1
A(BC) = (AB)C
(3.2)
(A + B)C = AC + BC
(3.3)
C(A + B) = CA + CB
(3.4)
det(AB) = det A det B
(3.5)
t
det( A) = det A
(3.6)
Prodotto tensoriale tra una matrice A (m1 xn1 ) e una matrice B m2 xn2 ):
C =A⊗B
Ci1 i2 ;j1 j2 = Ai1 j1 Bi2 j2
3.2
Operazioni di coniugazione
Data A (m x n) si definiscono la:
- trasposta: t Aij = Aji
13
(3.7)
(3.8)
14
CAPITOLO 3. MATRICI E OPERATORI
- complessa coniugata: (A∗ )ij = A∗ij
- coniugata hermitiana: (A† )ij = A∗ji
Si ha
(A + B)∗ = A∗ + B ∗
t
t
t
;
(A + B) = A + B
;
(A ∗ B)† = A† + B †
;
(AB)∗ = A ∗ B∗
t
t
t
(3.9)
(AB) = B A
(3.10)
(AB)† = B † A†
(3.11)
Una matrice è reale, simmetrica, hermitiana a seconda che sia uguale rispettivamente alla complessa coniugata, alla trasposta o alla coniugata
hermitiana.
3.3
Sistemi lineari
Teorema di Cramer: Dato un sistema di n equazioni in n incognite con
matrice dei coefficienti A a determinante non nullo e matrice dei termini
noti B, ∃! soluzione X = A−1 B.
Teorema di Rouché-Capelli: Un sistema lineare ha soluzioni se e solo se il
rango ρ della matrice dei coefficienti è pari al rango della matrice completa
del sistema. In tal caso il sistema ha ∞n−ρ soluzioni.
3.4
Inversa di una matrice
1 t
(cofA)
det A
cofaij = (−1)i+j det Aij
(3.13)
det A−1 = (det A)−1
(3.14)
dA−1
dA −1
= −A−1
A
dt
dt
(3.15)
(A∗)−1 = (A−1 )∗
(3.16)
A−1 =
(t A)−1 =t (A−1 )
;
;
(A† )−1 = (A−1 )†
(3.12)
Una matrice è ortogonale se la sua trasposta è uguale all’inversa.
Una matrice è unitaria se la sua coniugata hermitiana è uguale all’inversa.
3.5
Equazione secolare
Av = λBv ⇔ det(A − λB) = 0
(3.17)
Av = λv ⇔ det(A − λI) = 0
(3.18)
in particolare
15
CAPITOLO 3. MATRICI E OPERATORI
3.6
Traccia di una matrice
E’ la somma degli elementi diagonali di una matrice quadrata. La traccia
di un prodotto di matrici è invariante per permutazioni cicliche e quindi la
traccia di una matrice è invariante per cambiamenti di base.
Se consideriamo la matrice Ai1 i2 ;j1 j2 di ordine N1 N2 , prodotto tensoriale di
due matrici quadrate A1 e A2 , possiamo vederla come una matrice di tipo 1
avente come elementi matrici di tipo 2 e viceversa. Possiamo quindi definire
(T r1 A)i2 j2 =
N1
X
Ani2 ;nj2
(3.19)
n=1
e analogo per T r2 .
3.7
T r A = T r2 (T r1 A) = T r1 (T r2 A)
(3.20)
T r A = T r(A1 ⊗ A2 ) = (T r1 A1 )(T r2 A2 )
(3.21)
Funzioni di matrici
f (A) =
∞
X
−1
(n!)
n=0
f (A) =
X
i
µ
dn f (x)
dxn
¶
An
(3.22)
x=0
f (ai )|ai >< ai |
(3.23)
gli ai sono gli autovalori di A e |ai > i corrispondenti autovettori.
3.8
Aggiunto di un operatore
< t|A† |u >=< u|A|t >∗
(3.24)
(A† )† = A
(3.25)
(cA)† = c∗ A†
†
†
(A + B) = A + B
(3.26)
†
(AB)† = B † A†
†
(|u >< v|) = |v >< u|
3.9
Operatori hermitiani e antihermitiani
Un operatore H è hermitiano se H = H †
Un operatore J è antihermitiano se J = −J †
(3.27)
(3.28)
(3.29)
16
CAPITOLO 3. MATRICI E OPERATORI
Un operatore qualsiasi può essere scomposto in una parte hermitiana ed in
una antihermitiana:
A = HA + JA =
A + A† A − A †
+
2
2
Il prodotto di due op. herm. è her. solo se gli op. commutano
Gli autovalori di un op. hermitiano sono reali, quelli di un op. antihermitiano immaginari puri
Sono hermitiani la moltiplicazione per una funzione reale e la derivata
seconda, la derivata è antihermitiana.
3.10
Operatori unitari
Un operatore è unitario se è l’inverso del proprio autoaggiunto.
Il prodotto di due operatori unitari è ancora unitario.
Un operatore unitario ha autovalori di modulo 1, se è anche hermitiano ha
autovalori ±1.
Una trasformazione unitaria conserva la traccia, il determinante e le
relazioni algebriche tra matrici e vettori.
3.11
Trasformata di Fourier
Z +∞
1
ϕ̂(k) = √
dxϕ(x)e−ikx
2π −∞
Z +∞
1
dxϕ̂(x)eikx
ϕ(k) = √
2π −∞
Teorema di convoluzione:
Z +∞
Z +∞
1
−ikx
dx e
f (x)g(x) = √
dk ′ fˆ(k − k ′ )ĝ(k ′ )
2π −∞
−∞
(3.30)
(3.31)
(3.32)
Integrali utili:
Z
3.12
(ibx−Ax2 )
dxe
=
r
π − b2
e 4A
A
(3.33)
Delta di Dirac
1
δ(x−x ) =
2π
′
Z
+∞
−∞
dye
i(x−x′ )y
t.c.
Z
+∞
−∞
dx′ f (x′ )δ(x−x′ ) = f (x)
∀f (x)
(3.34)
17
CAPITOLO 3. MATRICI E OPERATORI
Ha la dimensione dell’inverso dell’argomento.
√
2πδ è la trasformata dell’unità.
δ(x − x′ ) = δ(x′ − x)
(3.35)
+∞
1
dxf (x)δ(x) = f (0)
2
0
½
Z
f (x) x ∈ I
dx′ f (x′ )δ(x − x′ ) =
0
x∈
/I
I
X δ(x − xi )
δ[f (x)] =
xi zeri semplici di f (x)
|f ′ (xi )|
Z
(3.36)
(3.37)
(3.38)
i
δ(~r − r~′ ) = δ(x − x′ )δ(y − y ′ )δ(z − z ′ )
1
δ(r − r′ )δ(θ − θ′ )δ(ϕ − ϕ′ )
δ(x − x′ )δ(y − y ′ )δ(z − z ′ ) = 2
r sin θ
1
δ(x)δ(y)δ(z − z ′ ) =
δ(r − r′ )δ(θ)
2
2πr sin θ
1
δ(~r) =
δ(r)
4πr2
Z +∞
dyδ ′ (y − x)f (y)
f ′ (x) = −
−∞
Z +∞
n
f (n) (x) = (−1)
−∞
dyδ (n) (y − x)f (y)
(3.39)
(3.40)
(3.41)
(3.42)
(3.43)
(3.44)
La primitiva è la funzione gradino. Per le simulanti vd. Passatore f.37
3.13
Commutatori
Definizione:
[A, B] = AB − BA
(3.45)
U, V hermitiani ⇒ [U, V ] antihermitiano
(3.46)
Proprietà:
[A, B + C] = [A, B] + [B, C]
;
[A + B, C] = [A, C] + [B, C]
(3.47)
[A, BC] = [A, B]C + B[A, C] ;
[AB, C] = A[B, C] + [A, C]B
(3.48)
[A, B n ] =
n−1
X
B s [A, B]B n−s−1
(3.49)
s=0
[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0
Due matrici diagonali commutano.
(3.50)
Capitolo 4
Elettromagnetismo
per un ragguaglio sui vari sistemi di misura vedere PMQE pag.368
la prima formula si riferisce al sistema mks, la seconda a quello gaussiano
4.1
Equazioni di Maxwell
~
~
~ ∧E
~ = − ∂B = − 1 ∂B
; ∇
∂t
c ∂t
~
~
~ ·B
~ =0 ; ∇
~ ∧B
~ = µ~j + µε ∂ E = 4π ~j + 1 ∂ E
∇
∂t
c
c ∂t
~ ·E
~ = ρ = 4πρ
∇
ε
Equazione di continuità:
Forza di Lorentz:
(4.1)
(4.2)
~ · ~j + ∂ρ = 0
∇
∂t
(4.3)
~ = q ~v ∧ B
~
F~ = q~v ∧ B
c
(4.4)
~ e momento canonico p~ (sist. gauss):
Momento cinetico Π
~
~ = m~v = p~ − e A
Π
c
4.2
(4.5)
Potenziali
~
~
~ − 1 ∂A
~ =∇
~ ∧A
~ ; E
~ = −∇Φ
~ − ∂ A = −∇Φ
B
∂t
c ∂t
Trasformazioni di gauge:
∂Λ
1 ∂Λ
=Φ−
∂t
c ∂t
e~
′
~
p = gauss = p~ + ∇Λ
c
~′ = A
~ + ∇Λ
~
A
;
Φ′ = Φ −
18
(4.6)
(4.7)
(4.8)
19
CAPITOLO 4. ELETTROMAGNETISMO
dalle eq. di Maxwell
~ ~
~ ~
~ 2Φ + ∂∇ · A = − ρ ; ∇
~ 2 Φ + 1 ∂ ∇ · A = −4πρ
(4.9)
∇
∂t
ε
c ∂t
µ
µ
¶
¶
2A
2A
~
~
∂
∂Φ
1
4π
∂Φ
1
∂
2
2
~ ∇
~ ∇
~ A
~−
~ ·A
~ + µε
~ ·A
~+
~ A
~−
−∇
−∇
= µ~j ; ∇
= − ~j
∇
2
2
2
∂t
∂t
c ∂t
c ∂t
c
(4.10)
4.3
Gauge di Coulomb
~ ·A
~=0
∇
(4.11)
Potenziale istantaneo:
Φ(~r, t) =
Z
ρ(r~′ , t) ~′
dr
|~r − r~′ |
(4.12)
Nella gauge di Coulomb si ha trasversalità.
Gauge di Lorentz:
~ ·A
~ + 1 ∂Φ = 0
∇
c ∂t
4.4
(4.13)
Onde elettromagnetiche
2 2
~ 2f − n ∂ f = 0
∇
2
c ∂t2
f (~r, t) = exp[A(~r + ik0 (L(~r) − ct)]
4.5
(4.14)
(4.15)
Polarizzazione
In generale:
~ = (Ex0 e−ikz î + Ey0 e−ikz ĵ)eiωt
E
1. Polarizzazione lineare lungo l’asse x (Ey0 = 0):
~ = Ex0 cos(ωt − kz)î
E
2. Polarizzazione lineare lungo lasse y (Ex0 = 0):
~ = Ey0 cos(ωt − kz)ĵ
E
3. Polarizzazione lineare lungo una retta ad angolo α
sfasati di nπ):
~ = (Ex0 î + Ey0 ĵ)cos(ωt − kz) ;
E
(Ex0 reale, Ey0 6= 0
tan α =
Ey
Ex
20
CAPITOLO 4. ELETTROMAGNETISMO
4. (Ex0 reale, Ey0 6= 0 sfasati di ± π2 + 2kπ)
~ = Ex0 cos(ωt − kz)î + Ey0 cos(ωt − kz ± π )ĵ
E
2
Polarizzazione ellittica:
Ex0 6= Ey0
µ
;
Ex
Ex0
¶2
+
µ
Ey
Ey0
¶2
=1
Polarizzazione circolare:
Ex0 = Ey0 = E0
Se − π2 polarizzazione destrorsa; se
4.6
π
2
; Ex2 + Ey2 = E02
polarizzazione sinistrorsa.
Vettore di Poynting
~
~∧B
P~ = E
µ
Intensità di un’onda:
4.7
I = |P~ | =
c ~ ~
|E ∧ B|
4π
(4.16)
(4.17)
Interferenza e diffrazione
Interferenza di due onde polarizzate linearmente:
p
p
I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos ∆ = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos[(k1 − k2 )z + (ϕ1 − ϕ2 )]
(4.18)
Reticolo di interferenza:
"
¢ #2
¡
sin N k d2 sin θ
¡ d
¢
(4.19)
I = I0
k 2 sin θ
massimi:d sin θ = nλ
d
minimi:N k sin θ = n′ π con n′ = 0, N, 2N, . . .
2
Diffrazione da una fenditura:
·
¸
sin Φ 2
I = I0
Φ
Reticolo di diffrazione:
"
I = I0
;
Φ=
kD sin θ
πD sin θ
=
2
λ
¡
¡
¢ #2 "
¢ #2
sin N k d2 sin θ
sin k D
2 sin θ
¡ d
¢
kD
k 2 sin θ
2 sin θ
(4.20)
(4.21)
CAPITOLO 4. ELETTROMAGNETISMO
4.8
21
Ottica geometrica
Principio di Fermat:
δ
Legge di Snell:
(1)
Z
ds
=0
v
sin θ1
n2
=
sin θ2
n1
Equazione dell’iconale:
³
´2
~
= n2
∇L
(4.22)
(4.23)
(4.24)
Parte II
Funzioni speciali
22
Capitolo 5
Polinomi di Hermite
5.1
Definizione
Formula di Rodriguez:
n x2
Hn (x) = (−1) e
µ
dn −z 2
e
dz n
¶
n intero positivo
(5.1)
Hn è un polinomio di grado e parità n, con n zeri
5.2
Equazione differenziale
Equazione di Hermite:
·
5.3
¸
d
d2
− 2x
+ 2n Hn (x) = 0
dx2
dx
Funzione generatrice
exp(−y 2 + 2yx) =
∞
X
yn
n=0
5.4
(5.2)
n!
Hn (x)
(5.3)
Formule ricorsive
d
Hn = 2nHn−1
¶
µ dx
d
Hn = Hn−1
2x −
dx
2xHn = Hn+1 + 2nHn−1
23
(5.4)
(5.5)
(5.6)
24
CAPITOLO 5. POLINOMI DI HERMITE
5.5
Ortonormalità
Z
5.6
2
Hn (x)Hm (x)e−x dx =
√
π2n n!δnm
(5.7)
Primi polinomi di Hermite
H1 =
1
H2 =
2x
2
−2 + 4 x , −12 x + 8 x3
H3 =
12 − 48 x2 + 16 x4
H4 =
120 x − 160 x3 + 32 x5
H5 =
−120 + 720 x2 − 480 x4 + 64 x6
H6 =
−1680 x + 3360 x3 − 1344 x5 + 128 x7
H7 =
1680 − 13440 x2 + 13440 x4 − 3584 x6 + 256 x8
H8 =
30240 x − 80640 x3 + 48384 x5 − 9216 x7 + 512 x9
H9 =
H10 = −30240 + 302400 x2 − 403200 x4 + 161280 x6 − 23040 x8 + 1024 x10
5.7
Autofunzioni dell’oscillatore armonico
ψn (q) =
r
√
µ
¶
α
α2 q 2
exp −
Hn (αq)
2
π2n n!
r
mω
α=
ℏ
(5.8)
(5.9)
Capitolo 6
Polinomi di Legendre
6.1
Definizione
l dl 2
(x − 2)l
l intero positivo
(6.1)
2l l! dxl
Pl è un polinomio di grado e parità l con l zeri nell’intervallo (−1, 1)
Pl (x) =
Pl (1) = 1
6.2
Pl (−1) = (−1)l
Funzioni associate di Legendre
dm
Pl (x)
0 ≤ m intero ≤ l
dxm
è un polinomio di grado e parità l − m, con l − m zeri in (-1,1).
m
Plm (x) = (1 − x2 ) 2
Plm
l
Pl0
Plm (0) =
6.3
(6.2)
Pll = (2l − 1)!! (1 − x2 ) 2
=
(
Pl (x)Plm (1)
=
Plm (−1)
(−1)p 2(2p+2m)!
l p! (p+m)!
0
(6.3)
(6.4)
=0
(6.5)
l − m = 2p
l − m = 2p + 1
(6.6)
Equazione differenziale
·
¸
d2
d
m2
(1 − x
− 2x
+ l(l + 1) −
Pm = 0
dx2
dx
1 − x2 l
2
25
(6.7)
26
CAPITOLO 6. POLINOMI DI LEGENDRE
6.4
Funzioni generatrici
∞
X
1
√
tl Pl (x)
=
1 − 2tx + t2
l=0
m
(2m − 1)!! (1 − x2 ) 2
6.5
(6.8)
∞
X
tm
tl P m (x)
=
[1 − 2tx + t2 ]m+1/2 l=m l
(6.9)
Relazioni ricorsive
(2l + 1)xPlm =
d
(1 − x2 ) Plm =
dx
=
m
m
(l + 1 − m)Pl+1
+ (l + m)Pl−1
(6.10)
m
−lxPlm (+l + m)Pl−1
m
(l + 1)xPlm − l + 1 − m)Pl+1
(6.11)
valide anche per l = 0, assumendo P−1 = 0
6.6
Ortonormalità
Z
1
−1
6.7
Pkm Plm dx =
2 (l + m)!
δkl
2l + 1 (l − m)!
(6.12)
Primi polinomi di Legendre
P0 =
1
P1 =
x
P2 =
P3 =
P4 =
P5 =
1 3 x2
− +
2
2
−3 x 5 x3
+
2
2
3 15 x2 35 x4
−
+
8
4
8
15 x 35 x3 63 x5
−
+
8
4
8
27
CAPITOLO 6. POLINOMI DI LEGENDRE
Nella 2a colonna della tab. seguente si trovano i polinomi per x = cos(θ)
p
− sin(θ)
P11 =
− 1 − x2 =
√
1 − x2
sin(θ)
=
P1−1 =
2
p 2
1
2
P2 =
−3 x 1 − x =
−3 sin(θ) cos(θ)
√
sin(θ) cos(θ)
x 1 − x2
=
P2−1 =
2
2
¡
¢
2
2
P2 =
−3 −1 + x =
3 sin(θ)2
P2−2 =
P31 =
P3−1 =
P32 =
P3−2 =
P33 =
P3−3
=
1 − x2
=
8 ¢
√
¡
−3 1 − x2 −1 + 5 x2
=
2¡
√
¢
1 − x2 −1 + 5 x2
=
8¡
¢
−15 −x + x3 =
x − x3
=
8
¡
¢3
−15 1 − x2 2 =
¡
¢3
1 − x2 2
=
48
sin(θ)2
8
−3 sin(θ) (3 + 5 cos(2 θ))
4
sin(θ) (3 + 5 cos(2 θ))
16
15 cos(θ) sin(θ)2
cos(θ) sin(θ)2
8
−15 sin(θ)3
sin(θ)3
48
Capitolo 7
Armoniche sferiche
7.1
Definizione
¸1
2l + 1 (l − m)! 2 m
= (−1)
Pl (cos θ) eimϕ
4π (l + m)!
Sono normalizzate a 1 sulla sfera unitaria.
l = 1,...,∞; −l ≤ m ≤ l
r
2l + 1
0
Pl (cos θ)
Yl =
4π
·
¸1
2
l
l 2l + 1 (2l)!
sinl θ eilϕ
Yl = (−1)
2l
2
4π 2 (l!)
Ylm (θ, ϕ)
7.2
7.3
7.4
·
(7.1)
(7.2)
(7.3)
Coniugazione complessa
Ylm∗ (θ, ϕ) = (−1)m Yl−m (θ, ϕ)
(7.4)
Ylm (π − θ, ϕ + π) = (−1)l Ylm (θ, ϕ)
(7.5)
Parità
Relazione di ricorrenza
cosθ Ylm
7.5
m
·
(l + 1 + m)(l + 1 − m)
=
(2l + 1)(2l + 3)
¸1
2
m
Yl+1
·
(l + m)(l − m)
+
(2l + 1)(2l − 1)
¸1
2
m
Yl−1
(7.6)
Ortonormalità
Z
′
Ylm∗ Ylm
′ dΩ = δmm′ δll′
28
(7.7)
29
CAPITOLO 7. ARMONICHE SFERICHE
7.6
Chiusura
l
∞ X
X
Ylm∗ (θ, ϕ)Ylm (θ′ , ϕ′ ) =
l=0 m=−l
7.7
δ(θ − θ′ )δ(ϕ − ϕ′ )
= δ(Ω − Ω′ )
sin θ
Prime armoniche sferiche
1
√
Y00 =
Y10
2 π
q
=
³
− ei ϕ
Y11 =
q
Y20 =
Y22
2
cos(θ)
2
´
sin(θ)
−1 + 3 cos(θ)2
2q
=
Y31 =
³
3
2π
e2 i ϕ
q
Y30 =
Y32
5
π
q
3
π
´
4
q
´
³
15
i
ϕ
cos(θ)
sin(θ)
− e
2π
Y21 =
−
³
ei ϕ
q
7
π
21
π
³
³
sin(θ)2
4
−3 cos(θ) + 5 cos(θ)3
4
e2 i ϕ
=
15
2π
´
´
´
−1 + 5 cos(θ)2 sin(θ)
8
q
105
2π
cos(θ) sin(θ)2
4
q
´
³
3
35
3
i
ϕ
sin(θ)
− e
π
Y33 =
7.8
(7.8)
8
Relazioni con il momento angolare
~ 2 Y m = l(l + 1)Y m
L
l
l
Lz Ylm
L± Ylm
= [l(l + 1) − m(m ± 1)]
1
2
=
(7.9)
mYlm
Ylm±1
= [(l ∓ m)(l + 1 ± m)]
(7.10)
1
2
Ylm±1
(7.11)
30
CAPITOLO 7. ARMONICHE SFERICHE
7.9
Armoniche sferiche e coordinate cartesiane
Y00 indipendente da r̂, invariante per rotazioni
Y1m combinazioni lineari di x, y, z
Y2m formazioni quadratiche in x, y, z
r
2π
R(−Y11 + Y1−1 )
x=
3
r
2π
R(Y11 + Y1−1 )
y=i
3
r
4π
z=
RY10
3
l=0
l=1
l=2
7.10
(7.12)
(7.13)
(7.14)
Armoniche sferiche su due direzioni
Ylm (n̂′ ) =
X
′
l∗
m
(n̂)
Dmm
′ Yl
(7.15)
m
con
l
Dmm
′
7.11
matrice di rotazione, v. (14.1)
Addizione delle armoniche sferiche
Pl (nˆ1 nˆ2 ) =
4π X m∗
Y (nˆ1 )Ylm (nˆ2 )
2l + 1 m l
(7.16)
Capitolo 8
Funzioni sferiche di Bessel
8.1
Definizioni
Funzioni di Bessel sferiche:
r
π
J
(x)
2x n+1/2
(8.1)
r
π
N
(x)
2x n+1/2
(8.2)
hn (x)± = jn (x) ± inn (x)
(8.3)
jn (x) =
Funzioni di Neumann sferiche:
nn (x) =
Funzioni di Hankel sferiche:
Jn (x) e Nn (x) sono le funzioni di Bessel di prima e seconda specie, soluzioni
di
x2 y ′′ + xy ′ + (x2 − n2 )y = 0
8.2
Andamenti asintotici
Per x → ∞:
jn (x) →
1
π
1
π
sin(x − n ) ; nn (x) → cos(x − n )
x
2
x
2
(8.4)
Per x → 0:
jl (x) →
xl
(2l + 1)!!
; nl (x) →
31
1 (2l + 1)!!
2l + 1
xl+1
(8.5)
32
CAPITOLO 8. FUNZIONI SFERICHE DI BESSEL
8.3
Prime funzioni sferiche di Bessel
N.B.: Nei problemi di interesse fisico si assume in genere x > 0
j0 =
j1 =
j2 =
j3 =
j4 =
j5 =
n0 =
n1 =
n2 =
n3 =
n4 =
n5 =
sin x
x
x cos x + sin x
−
x3¢
¡
3 x cos x + −3 + x2 sin x
−
5
¡
¢
¡x
¢
2
x −15 + x cos x + 3 5 − 2 x2 sin x
7
¡
¢
¡ x
¢
2
5 x −21 + 2 x cos x + 105 − 45 x2 + x4 sin x
x9 ¡
¡
¢
¢
−x 945 − 105 x2 + x4 cos x + 15 63 − 28 x2 + x4 sin x
x11
cos x
x
cos x + x sin x
−
x3
¡
¢
2
−3 + x cos x − 3 x sin x
5
¡
¢
¡ x
¢
2
3 −5 + 2 x cos x + x −15 + x2 sin x
x7 ¡
¡
¢
¢
2
4
105 − 45 x + x cos x + 5 x 21 − 2 x2 sin x
−
x9
¡
¢
¡
¢
15 63 − 28 x2 + x4 cos x + x 945 − 105 x2 + x4 sin x
−
x11
−
Capitolo 9
Polinomi di Laguerre
9.1
Definizione
Lk (x) = ex
9.2
(9.1)
Polinomi generalizzati di Laguerre
Lan (x) =
9.3
dk k −k
(x e )
dxk
da
Ln (x)
dxa
(9.2)
Equazione differenziale
xy ′′ + (a − 1 − x)y ′ + ny = 0
(9.3)
I polinomi di Laguerre si hanno per a = 0.
9.4
Ortonormalità
Z
∞
0
Lan Lam xa e−x dx = δmn
33
(9.4)
34
CAPITOLO 9. POLINOMI DI LAGUERRE
9.5
Primi polinomi di Laguerre
L0 =
1
L1 =
1−x
2 − 4 x + x2
2
6 − 18 x + 9 x2 − x3
6
24 − 96 x + 72 x2 − 16 x3 + x4
24
120 − 600 x + 600 x2 − 200 x3 + 25 x4 − x5
120
L2 =
L3 =
L4 =
L5 =
L11 =
L12 =
L22 =
L32 =
L13 =
L23 =
L33 =
L43 =
L53 =
2−x
6 − 6 x + x2
2
12 − 8 x + x2
2
20 − 10 x + x2
2
24 − 36 x + 12 x2 − x3
6
60 − 60 x + 15 x2 − x3
6
120 − 90 x + 18 x2 − x3
6
210 − 126 x + 21 x2 − x3
6
336 − 168 x + 24 x2 − x3
6
Parte III
Formalismo
35
Capitolo 10
Cenni al formalismo della
Meccanica Quantistica
10.1
Rappresentazione di uno stato
< ϕ|ψ >=
X
< ϕ|aρ >< aρ |ψ >
ρ
< ϕ|ψ >=< ψ|ϕ >∗
X
< ψ|ψ >= k|ψ > k2 =
| < aρ |ψ > |2
(10.1)
(10.2)
(10.3)
ρ
10.2
Enti che esprimono stati quantistici
Convergenza in norma:
°
°
°
°
n
X
°
°
°
|aρ >< aρ |ψ >°
lim °|ψ > −
°=0
n→∞ °
°
ρ=1
L’identità è la somma dei proiettori:
X
I=
|aρ >< aρ |
(10.4)
(10.5)
ρ
Funzione d’onda:
< ϕ|ψ >=
Z
+∞
dxϕ∗ (x)ψ(x)
(10.6)
−∞
Identità di Bessel-Parseval:
¯2
Z
X ¯¯Z
¯
2
∗
¯
¯
dx|ψ(x)| =
dxa
(x)ψ(x)
ρ
¯
¯
(10.7)
ρ
Z
dx a∗ρ (x)aσ (x) = δρσ
36
(10.8)
CAPITOLO 10. CENNI AL FORMALISMO DELLA MECCANICA QUANTISTICA37
10.3
Trasformazioni
¥ Osservabili a valori discreti:
X
< bσ |ψ >=
< bσ |aρ >< aρ |ψ >
< bσ |aρ >= Uσρ
ρ
¥ Osservabili a valori continui:
Z
Z +∞
dxU (k, x)ψ(x) t.c.
ψ̂(k) =
−∞
¥ Osservabili di ambo i tipi:
Z +∞
dx a∗ρ (x)ψ(x) t.c.
< aρ |ψ >=
ψ(x) =
ρ
10.4
aρ (x) < aρ |ψ >
−∞
ρ
X
t.c.
2
dk|ψ̂(k)| =
X
−∞
X
+∞
ρ
U −1 = U † (10.9)
Z
+∞
Z
| < aρ |ψ > |2 =
| < aρ |ψ > |2 =
dx|ψ(x)|2
−∞
Z
(10.10)
+∞
dx|ψ(x)|2
−∞
+∞
(10.11)
dx|ψ(x)|2
−∞
(10.12)
Operatore associato ad un’osservabile
Valore medio:
< Q >=< ψ|Q|ψ >= T rQ|ψ >< ψ|
(10.13)
L’operatore associato ad una grandezza fisica è lineare, simmetrico ed
hermitiano (o autoaggiunto).
X
< aσ |Q|ψ >=
< aσ |Q|aρ >< aρ |ψ >
(10.14)
ρ
Rappresentazione spettrale:
Q=
X
qr
qr
10.5
X
λ
|qr λ >< qr λ|
(10.15)
Proprietà importanti
Completezza:
ψ(x) =
X
ρ
ψ(x) =
Z
aρ (x) < aρ |ψ >
(10.16)
dkV (k, x)ψ̂(x)
(10.17)
CAPITOLO 10. CENNI AL FORMALISMO DELLA MECCANICA QUANTISTICA38
Ortonormalità:
Z
Chiusura:
Z
dx a∗ρ (x)aρ′ (x) = δρρ′
(10.18)
dx V ∗ (k, x)V (k ′ , x) = δ(k − k ′ )
(10.19)
X
aρ (x)a∗ρ (x+) = δ(x − x′ )
(10.20)
dk V (k, x)V ∗ (k, x′ ) = δ(x − x′ )
(10.21)
ρ
Z
10.6
Notazione di Dirac
< ϕ|ψ >=
Z
Z
+∞
dx < ϕ|x >< x|ψ >
(10.22)
−∞
+∞
−∞
dx |x >< x| = I
< x|x′ >= δ(x − x′ )
Z +∞
X
|ψ >=
|aρ >< aρ |ψ >=
dx |x >< x|ψ >
(10.23)
(10.24)
(10.25)
−∞
ρ
Proiettori:
PX (x) = dx |x >< x| ; PA (aρ ) = |aρ >< aρ |
Trasformazioni:
Z
< ar ho|ψ >= dx < aρ |x >< x|ψ >
X
< x|ψ >=
< x|aρ >< aρ |ψ >
(10.26)
(10.27)
ρ
< k|ψ >=
10.7
Z
dx < k|x >< x|ψ >
(10.28)
Varianze di due osservabili
Disuguaglianza di Schwartz:
1
k|a > kk|b > k ≥ | < a|b > − < b|a > |
2
q
(∆F )ψ = < ψ|(F − < F >ψ )2 |ψ >
1
(∆F )ψ (∆G)ψ ≥ | < ψ|[F, G]|ψ > |
2
(10.29)
(10.30)
(10.31)
CAPITOLO 10. CENNI AL FORMALISMO DELLA MECCANICA QUANTISTICA39
10.8
Osservabili trasformate
A′ = U † AU ⇒< ψ|A′ |ψ >=< ψ ′ |A|ψ ′ >
†
′
′
Ã = U AU ⇒< ψ |Ã|ψ >=< ψ|A|ψ >
10.9
(10.32)
(10.33)
Parentesi di Poisson quantistiche
Trasformazione unitaria infinitesima:
ε
U = I − G con G hermitiano
ℏ
ε
δA = −i [A, G]
ℏ
{A, B}q =
1
[A, B]
ℏ
(10.34)
(10.35)
(10.36)
Capitolo 11
Traslazioni
11.1
Commutatore [X,P]
[x, Px ] = iℏ
11.2
(11.1)
Rappresentazione posizione
∂
∂x
~
= −iℏ∇
Px(X) = −iℏ
(11.2)
P~ (X)
(11.3)
Px è definito a meno di una f (X).
Operatore Hamiltoniano:
H=−
ℏ2 ~ 2
∇ + V (~r)
2m
(11.4)
Equazione stazionaria di Schrödinger:
Hψ(~r) = Eψ(~r)
11.3
(11.5)
Traslazioni e quantità di moto
T (a~2 )T (a~1 ) = T (a~1 + a~2 )
(11.6)
T (−~a) = T −1 (~a)
(11.7)
i
~
T (~a) = e− ℏ P ·~a
40
(11.8)
41
CAPITOLO 11. TRASLAZIONI
11.4
Autofunzioni della quantità di moto
p
~·~
r
1
ei ℏ
3/2
(2πℏ
1
~
eik·~r
ψ~k (~r) =
(2π)3/2
Z +∞
dk |k >< k|ψ >
|ψ >=
(11.9)
ψp~ (~r) =
(11.10)
(11.11)
−∞
Rappresentazione
X
P
K
op. X
x·
d
iℏ dp
d
i dk
op. P
d
−iℏ dx
p·
ℏk·
op. K
d
−i dx
1
ℏ p·
k·
Normalizzazione nella scatola e densità degli stati:
2π
ni
L
∆nx ∆ny ∆nz
ρ=
∆kx ∆ky ∆kz
ki =
(11.12)
(11.13)
Capitolo 12
Momento angolare
12.1
Rappresentazione posizione
~2
L
=
Lx =
ypz − zpy =
Ly =
zpx − xpz =
Lz =
xpy − ypx =
12.2
¶
1 ∂
∂
1 ∂2
−ℏ
sin θ
+
sin θ ∂θ
∂θ sin2 θ ∂ϕ2
µ
¶
∂
∂
iℏ sin ϕ
+ cot θ cos ϕ
∂θ
∂ϕ
µ
¶
∂
∂
+ cot θ sin ϕ
iℏ − cos ϕ
∂θ
∂ϕ
∂
−iℏ
∂ϕ
2
µ
(12.1)
(12.2)
(12.3)
(12.4)
Relazioni caratteristiche
Operatori di creazione e di distruzione (a scaletta):
J+ = Jx + iJy
;
J− = Jx − iJy
(12.5)
Commutatori:
[Jx , Jy ] = iJz
;
~2
[Jz , J+ ] = J+
[Jy , Jz ] = iJx
;
[Jz , Jx ] = iJy
~ ·~b] = iJ~ · ~a ∧ ~b
[J~ · ~a, J,
(12.6)
[Jz , J− ] = −J−
(12.9)
~2
~2
[J , J+ ] = [J , J− ] = [J , Jn ] = 0
;
;
[J+ , J− ] = 2Jz
1
J~2 = (J+ J− + J− J+ ) + Jz 2
2
J− J+ = J~2 − Jz (Jz + 1)
;
J+ J− = J~2 − Jz (Jz − 1)
42
(12.7)
(12.8)
(12.10)
(12.11)
43
CAPITOLO 12. MOMENTO ANGOLARE
12.3
Spettro J~2 e Jz
j(j + 1) è autovalore di J~2 e m è autovalore di Jz .
p
p
J+ |jm >= j(j + 1) − m(m + 1)|j(m + 1) >= (j − m)(j + m + 1)|j(m + 1) >
(12.12)
p
p
J− |jm >= j(j + 1) − m(m − 1)|j(m − 1) >= (j + m)(j − m + 1)|j(m − 1) >
(12.13)
< j ′ m′ |J+ |jm >=
p
j(j + 1) − mm′ δjj ′ δm′ (m+1)
p
< j ′ m′ |J− |jm >= j(j + 1) − mm′ δjj ′ δm′ (m−1)
< jm|Jx |jm >=< jm|Jy |jm >= 0
< jm|Jn |jm >= mℏ cos θ
1
< jm|Jx 2 |jm >=< jm|Jy 2 |jm >= [j(j + 1) − m2 ]
2
(12.14)
(12.15)
(12.16)
(12.17)
(12.18)
N.B.: Si ricordi che a volte si definisce L = Jℏ
12.4
Rappresentazione Jz
j = 21 :
J+ =
J− =
√
√
2
2
µ
µ
0 1
0 0
0 0
1 0
¶
¶
¶
µ
1 0 1
1
Jx = (J+ + J− ) =
2
2 1 0
µ
¶
1
1 0 −i
Jy = (J+ − J− ) =
i 0
2i
2
µ
¶
1 1 0
1
Jz = (J+ J− − J− J+ ) =
2
2 0 −1
(12.19)
(12.20)
(12.21)
(12.22)
(12.23)
44
CAPITOLO 12. MOMENTO ANGOLARE
j = 1:

0 1 0
J+ = 2  0 0 1 
0 0 0


0 0 0
√
J− = 2  1 0 0 
0 1 0
√


0
1 
1
1
Jx = (J+ + J− ) = √
2
2
0

0
1
1
Jy = (J+ − J− ) = √  i
2i
2
0

1
1

0
Jz = (J+ J− − J− J+ ) =
2
0
12.5

1 0
0 1 
1 0

−i 0
0 −i 
i
0

0 0
0 0 
0 −1
(12.24)
(12.25)
(12.26)
(12.27)
(12.28)
Commutazione con operatori
~ op. vettoriale
S op. scalare, K
[S, J − n] = 0
~
[Jn , Ka ] = in̂ ∧ â · K
12.6
(12.29)
(12.30)
Coefficienti di Clebsch-Gordan
Vedi allegato.
12.7
Disuguaglianza triangolare
|j1 − j2 | ≤ j ≤ j1 + j2
12.8
Regola di superselezione
Non coesistono stati con m o j interi e semidispari.
(12.31)
Capitolo 13
Spin
13.1
Matrici di Pauli
Per le parentesi di commutazione vedi il momento angolare.
E’ utile definire
ℏ
~s = ~σ
2
In rappresentazione sz , per s=1/2 si hanno le matrici di Pauli:
µ
¶
0 1
σx =
1 0
¶
µ
0 −i
σy =
i 0
µ
¶
1 0
σz =
0 −1
σx 2 = σy 2 = σz 2 = I
13.2
(13.1)
(13.2)
(13.3)
(13.4)
(13.5)
Relazioni utili
Sia M una matrice 2x2
~ · ~σ
M = M0 I + M
(13.6)
(~σ · ~a)(~σ · ~b) = ~a · ~b + i~a ∧ ~b · ~σ
(13.7)
iασn
e
= cos α + iσn sin α
45
(13.8)
46
CAPITOLO 13. SPIN
13.3
Spin
1
2
Per la rappresentazione Sz vedi il momento angolare.
|n+ > =
|n− > =
|z+ > =
|z− > =
13.4
θ
θ
cos |z+ > + sin eiϕ |z− >
2
2
θ
θ
sin |z+ > − cos eiϕ |z− >
2
2
θ
θ
cos |n+ > + sin |n− >
2
2
θ
θ
sin |n+ > − cos |n− >
2
2
(13.9)
(13.10)
(13.11)
(13.12)
Spin 1
Per la rappresentazione Sz vedi il momento angolare.
|n1 > =
|n0 > =
|n−1 > =
|z1 > =
|z0 > =
|z−1 > =
13.5
1
θ
cos2 e−iϕ |z1 > + √ sin θ|z0 >
2
2
1
− √ sin θe−iϕ |z1 > + cos θ|z0 >
2
1
θ
sin2 e−iϕ |z1 > − √ sin θ|z0 >
2
2
θ
1
cos2 |n1 > − √ sin θ|n0 >
2
2
1
√ sin θ|n1 > + cos θ|n0 >
2
1
θ
sin2 |n1 > + √ sin θ|n0 >
2
2
θ
+ sin2 eiϕ |z−1 >
2
(13.13)
1
+ √ sin θeiϕ |z−1 >
2
(13.14)
θ
+ cos2 eiϕ |z−1 >
2
(13.15)
θ
+ sin2 |n−1 >
2
1
− √ sin θ|n−1 >
2
θ
+ cos2 |n−1 >
2
(13.16)
(13.17)
(13.18)
Singoletto e tripletto
Singoletto:
·
¸
1
1
1
1
1
|0 0 >= √ | + − > −| − + >
2
2
2
2
2
(13.19)
47
CAPITOLO 13. SPIN
Tripletto:
|1 + 1 > =
|1 0 > =
|1 − 1 > =
1
1
+ >
2
2 ¸
·
1
1
1
1
1
√ | + − > +| − + >
2
2
2
2
2
1
1
|− − >
2
2
|+
(13.20)
Gli stati di tripletto sono simmetrici, quello di singoletto antisimmetrico.
Pertanto:
S = 1 ⇒ funzione orbitale antisimmetrica
S = 0 ⇒ funzione orbitale simmetrica
13.6
Stati simmetrici ed antisimmetrici
Per un sistema di due particelle di spin s il rapporto tra il numero degli stati
simmetrici nelle variabili di spin e quelli antisimmetrici è (s + 1)/s, gli stati
di spin totali sono (2s + 1)2 .
Capitolo 14
Matrici di rotazione
14.1
Rotazione di α, β, γ
j
−iαm j
dmm′ (β)e−iγm
Dmm
′ = e
′
(14.1)
djmm′ (β) =< jm|e−iβJy |jm′ >
14.2
Matrici notevoli
D


D1 = 
14.3
(14.2)
1/2
=
Ã
α+γ
e−i 2 cos β2
α−γ
ei 2 sin β2
1 −i(α+γ)
(1 + cos β)
2e
1
−iγ
√ e
sin β
2
1 i(α−γ)
(1 − cos β)
2e
α−γ
−e−i 2 sin β2
α+γ
ei 2 cos β2
− √12 e−iα sin β
cos β
1
√ eiα sin β
2
!
(14.3)
1 −i(α−γ)
(1 − cos β)
2e
1
− √2 eiγ sin β
1 i(α+γ)
(1 + cos β)
2e



(14.4)
Trasformazione per rotazioni
|jm >′ =
X
m′
j
′
Dmm
′ |jm >
48
(14.5)
49
CAPITOLO 14. MATRICI DI ROTAZIONE
14.4
Stati con momento angolare orbitale definito
Una particella:
♦ addendi invarianti per rotazione si trasformano come Y00 e quindi l = 0
♦ addendi proporzionali a una componente di ~r si trasformano come le Y0m
e quindi l = 1
♦ addendi con espressioni quadratiche nelle componenti di ~r si scrivono come
1
ri rj = δij r2 + Tij
3
1
Tij = ri rj − δij r2
3
Le Tij sono le componenti di un tensore cartesiano simmetrico del 2o ordine
a traccia nulla (5 componenti indipendenti) e indica l = 2 (l’altro termine è
invariante e indica l = 0);
in termini delle armoniche sferiche:
r2
r2 0
(Y22 + Y2−2 ) −
Y
4N2
6N0 2
r2
(Y 2 − Y2−2 ) = T21
T12 =
4iN2 2
r2
T13 =
(Y 1 − Y2−1 ) = T31
2N1 2
r2 0
r2
(Y22 + Y2−2 ) −
Y
T22 = −
4N2
6N0 2
r2
T23 =
(Y 1 + Y2−1 ) = T32
2iN1 2
r2 0
Y
T33 =
3N0 2
T11 =
1
N0 =
4
r
5
π
1
; N1 = −
2
r
15
2π
1
; N2 =
4
r
15
2π
Due particelle:
(1) (2)
ri rj
1
= δij ~r(1) · ~r(2) + Aij + Sij
3
(14.6)
1 (1) (2)
(1) (2)
Aij = (ri rj − rj ri ) = ~r(1) ∧ ~r(2)
2
1 (1) (2)
2
(1) (2)
Sij = [ri rj + rj ri − δij ~r(1) · ~r(2) ]
2
3
Il primo termine è scalare e indica L=0, Aij è componente di un vettore
e indica L = 1, Sij è componente di un tensore cartesiano simmetrico del
secondo ordine a traccia nulla e indica L = 2.
Capitolo 15
Operatori tensoriali sferici
15.1
Definizione
³
Tq(k)
´′
=
X
(k)
Dqk′ q Tq′ = Dk Tq(k) Dk†
(15.1)
q′
k è il rango; q = −k, −k + 1, . . . , k
15.2
Commutatori
[Jn , Tq(k) ] =
X
q′
[Jz , Tq(k) ] = qTq(k)
15.3
;
(k)
< kq ′ |Jn |kq > Tq′
[J± , Tq(k) ] =
p
(k)
k(k + 1) − q(q ± 1)Tq±1
(15.2)
(15.3)
Esempi notevoli
♦ uno scalare è op. tens. sfer. con k = 0
♦ le Ylm formano un op.tens. sfer. con k = l:
Dl Ylm (r̂)Dl† =
X
′
l
m
(r̂))
Dmm
′ Yl
(15.4)
m′
♦ se Wx , Wy , Wz sono componenti di un op. vettoriale, allora
1
W+ = − √ (Wx + iWy )
2
W0 = Wz
1
W− = √ (Wx − iWy )
2
50
(15.5)
51
CAPITOLO 15. OPERATORI TENSORIALI SFERICI
sono componenti di un op. tens. sfer di rango 1, poiché
W+ =
W N Y11
; W0 =
W N Y10
; W− =
W N Y1−1
; N=
r
4π
3
~,V
~ sono op. vettoriali, Ui Vj sono combinazioni di op. tens. sfer. con
♦ se U
k = 0, 1, 2 per la (14.6)
15.4
Teorema di Wigner-Eckart
¯
¯
< λjm|Tq k |λ′ j ′ m′ >=< λj|¯T (k) ¯|λ′ j ′ m′ >< j ′ km′ q|jm >
(15.6)
L’elemento di matrice è nullo a meno che q = m − m′ e j, j ′ , k soddisfino alla
disuguaglianza triangolare (12.31).
15.5
Elementi di matrice di operatori vettoriali
< λjm|Kq |λjm′ >= g < λjm|Jq |λjm′ >
con g =
~
< λj|J~ · K|λj
>
j(j + 1)
(15.7)
Capitolo 16
Riflessioni e parità
16.1
Operatore di parità
Π2 = I
(16.1)
Π = Π† = Π−1
(16.2)
Π è hermitiano e unitario; ha autovalori ±1 con degenerazione infinita. Le
sue autofunzioni sono le funzioni pari (autoval. +1) e dispari (autoval. -1).
Commuta con l’hamiltoniano se l’energia potenziale è invariante per riflessioni.
N.B.:In quest’ultimo caso le autofunz. dell’energia corrispondenti ad autoval. non degeneri hanno par. definita; in caso di degenerazione tali autofunz. possono sempre venir
costruite.
16.2
Operatori pari e dispari
A operatore pari ⇒ [Π, A] = 0
A operatore dispari ⇒ [Π, A]+ = 0
16.3
(16.3)
(16.4)
Regole di selezione
Un operatore pari ha elementi di matrice nulla tra stai di parità opposta.
Un operatore dispari ha elementi di matrice nulli tra stati di uguale parità.
N.B.: Non si applica a sistemi di più particelle la relazione tra la parità e il
momento angolare.
52
Capitolo 17
Particelle identiche
17.1
Operatore di scambio
P12 ψ(ξ1 , ξ2 ) = ψ(ξ2 , ξ1 )
(17.1)
ξ è l’insieme delle coordinate spaziali e di spin.
L’op. di scambio è hermitiano, ha autovalori ±1 e commuta con l’hamiltoniano di due particelle identiche.
Un sistema di due particelle identiche non può avere stati simmetrici e stati
antisimmetrici.
Per sistemi di più particelle ci sono più operatori di scambio che non commutano tra di
loro (solo con l’hamiltoniano). Sistemi completi di autofunzioni di H e dei Pij sono solo
le autofunz. di H completamente simmetriche od antisimmetriche.
17.2
Particelle indipendenti
1 X
ψ± (ξ1 , . . . , ξn ) = √
(±1)P ψa1 (ξP (1) ) . . . ψan (ξP (n) )
n! P
(17.2)
P è una generica permutazione di 1, . . . , n.
Il segno + vale per i bosoni, il segno - per i fermioni.
17.3
Principio di Pauli
Due fermioni identici non possono stare nello stesso stato di particella
singola.
53
Capitolo 18
Evoluzione temporale
18.1
Generalità
|ψ(t) >= U (t, t0 )|ψ(t0 ) >
iℏ
dU (t, t0 )
= H(t)U (t, t0 ) ; U (t0 , t0 ) = I
dt
Z
1 t ′
U (t, t0 ) = I +
dt H(t′ )U (t′ , t0 )
iℏ t0
d
iℏ |ψ(t) >= H(t)|ψ(t) >
dt
(18.1)
(18.2)
(18.3)
(18.4)
Se H non dipende da t:
¸
i
U (t, t0 ) = exp − (t − t0 )H
ℏ
·
¸
X
i
|ψ(t) >=
|uE > exp − E(t − t0 ) < uE |ψ(t0 ) >
ℏ
E
¸
·
Z
i
|ψ(t) >= dE exp − E(t − t0 ) ρ(E)|uE >< uE |ψ(t0 ) >
ℏ
·
Se gli hamiltoniani a tempi diversi commutano:
· Z t
¸
1
′
′
U (t, t0 ) = exp
dt H(t )
iℏ t0
54
(18.5)
(18.6)
(18.7)
(18.8)
55
CAPITOLO 18. EVOLUZIONE TEMPORALE
18.2
Descrizioni di Heisenberg e di Schrödinger
Heisenberg: ket fisso, oss. variabile
Schrödinger: ket variabile, oss. fissa
< A >ψ =< ψH |AH |ψH >
AH = U † (t, t0 )AU (t, t0 )
†
|ψH >= |ψ(t= ) >= U (t, t0 )|ψ(t) >
dAH
1
∂AH
= [AH , HH ] +
dt
iℏ
∂t
∂AH
† ∂AS
:= U
U
∂t
∂t
18.3
(18.11)
(18.12)
(18.13)
(18.14)
(18.15)
Costanti del moto
G costante del moto ⇔ [H, G] = 0
18.5
(18.10)
Evoluzione dei valori medi
d < A >ψ
∂AH
1
=0⇒
=
h[A, H]i
∂t
dt
iℏ
Teoremi di Ehrenfest:
<p>
; < ṗ >=< F >
< ẋ >=
m
18.4
(18.9)
(18.16)
Descrizione intermedia
|ψI >= U0† (t, t0 )|ψS >
(18.17)
AI = U0† (t, t0 )AS U (t, t0 )
(18.18)
|ψI (t) >= UI (t, t0 )|ψI (t0 ) >
dUI (t, t0 )
iℏ
= VI U (t, t0 ) con VI = U0† V U0
dt
d
iℏ |ψI (t) >= VI |ψI (t) >
dt
Z
1 t ′
dt VI (t′ )UI (t′ , t0 )
UI (t, t0 ) = I +
iℏ t0
(18.19)
U (t, t0 ) = U0 (t, t0 )UI (t, t0 )
(18.23)
(18.20)
(18.21)
(18.22)
Al prim’ordine:
1
U (t, t0 ) = U0 (t, t0 ) +
iℏ
Z
t
t0
dt′ U0 (t, t′ )V (t′ )U0 (t′ , t0 )
(18.24)
CAPITOLO 18. EVOLUZIONE TEMPORALE
18.6
Indeterminazione tempo-energia
τψ (∆E)ψ ≥
18.7
56
ℏ
2
(18.25)
Inversione temporale
ψ ∗ (~r, ti ) = exp[−i(tf − ti )H]ψ ∗ (~r, tf )
∗
T ψ(~r, t) = ψ (~r, t)
(18.26)
(18.27)
Capitolo 19
Operatore statistico
19.1
Definizione e proprietà
Valor medio di un’oss. in uno stato misto:
< Q >= T rQρ
(19.1)
T rρ = 1
(19.2)
pρ (|k >) = ρkk
2
|k > stato puro
T rρ ≤ 1
X
ρ=
|ρi > ρi < ρi |
(19.3)
(19.4)
(19.5)
i
< Q >ρ =
X
i
19.2
< ρi |Q|ρi > ρi
(19.6)
Evoluzione degli stati misti
ρ S = U ρH U †
(19.7)
iℏρ̇S (t) = −[ρS (t), HS (t)]
(19.8)
Gli autovalori di ρ non variano nella descriz. di Schrödinger.
Si può calcolare la probabilità di un processo a partire dagli stati di base e
mediare i risultati con i pesi che questi stati hanno nello stato iniziale.
19.3
Matrice densità in 2-D
< σi >= Pi
µ
¶
1
1
1 + P3 P1 − iP2
~
ρ = (I + P · ~σ ) =
2
2 P1 + iP2 1 − P3
P1 = ρ12 + ρ21
; P2 = i(ρ12 − ρ21 )
57
; P3 = ρ11 − ρ22
(19.9)
(19.10)
(19.11)
58
CAPITOLO 19. OPERATORE STATISTICO
Autovalori di ρ: 1±P
2
Rappresentazione di Poincaré per la polarizzazione:
- punti su sfera unitaria: stati puri
- punti dentro sfera unitaria: stati misti
- punti su piano P1 P3 : stati pol. rettilinea
- punti su asse P2 : stati pol. circolare
- punti generici: stati pol. ellittica.
- all’autovalore 1+P
2 corrisponde la pol. parziale.
C’è corrispondenza biunivoca tra proiettori e versori di Poincarè e tra
analizzatori e direzioni di Poincarè.
1
~ · ~σ )
|q+ >< q+ | = (I + Q
2
1
~ · ~σ )
|q− >< q− | = (I − Q
2
~
< Q >= P~ · Q
(19.12)
(19.13)
(19.14)
Probabilità di trovare |q+ > nello stato P~ :
~ · ~σ )][1/2(I + P~ · ~σ )] = 1 (I + Q
~ · P~ )
p = T r[1/2(I + Q
2
(19.15)
Legame con la meccanica statistica:
ρ=
19.4
e−H/kT
T r e−H/kT
(19.16)
Operatore statistico per sistemi composti
< W >= T r U (1) ρ(1)
X
(1)
ρhi =
ρ(hj)(ij) = [T r2 ρ]hi
j
Incorrelazione se
< U 1 V 2 >=< U 1 >< V 2 >
ovvero ρ(ij)(hk) = ρ1(ih) ρ2(jk)
(19.17)
(19.18)
Parte IV
Applicazioni
59
Capitolo 20
Meccanica ondulatoria
20.1
Equazione di Schrödinger
Equazione stazionaria:
−
ℏ2
△u + V (~r)u(~r) = Eu(~r)
2m
(20.1)
ℏ2
∂ψ
△ψ + V (~r)ψ = iℏ
2m
∂t
(20.2)
Equazione temporale:
−
Soluzione ad energia definita:
E
ψ(~r, t) = u(~r)e−i ℏ t
(20.3)
³
´
~ − ψ ∇ψ
~ ∗
~j = ℏ ψ ∗ ∇ψ
2im
(20.4)
Equazione di continuità:
20.2
Pacchetto d’onde
Z +∞
1
f (x, t) = √
dk[a1 (k) cos(kx − ωt) + a2 (k) sin(kx − ωt)]
2π −∞
a(k)2 = [a1 (k) + a1 (−k)]2 + [a2 (k) − a2 (−k)]2
Z +∞
1
f (x, t) = √
dkA(k, t)eikx
2π −∞
1
A(k, t) = {[a1 (k) + a1 (−k)] − i[a2 (k) − a2 (−k)]}
2
60
(20.5)
(20.6)
(20.7)
(20.8)
CAPITOLO 20. MECCANICA ONDULATORIA
1
f (x, t) = √
2π
Z
+∞
dk[C(k)ei(kx−ωt) + C ∗ (k)e−i(kx−ωt) ]
61
(20.9)
−∞
1
C(k) = [a1 (k) − ia2 (k)]
2
a1 , a2 ∈ R
Z +∞
1
C(k) + C (−k) = √
dxf (x, 0)e−ikx
2π −∞
µ
¶
Z
∂f (x, t)
1 i +∞
∗
dx
e−ikx
C(k) − iC (−k) = √
∂t
2π ω −∞
t=0
∗
(20.10)
(20.11)
(20.12)
µ
¶
Z +∞
1
1 ∂f (x, t)
sin kx] (20.13)
a1 (k) = √
dx[f (x, 0) cos kx +
ω
∂t
2π −∞
t=0
µ
¶
Z +∞
1
1 ∂f (x, t)
a2 (k) = − √
cos kx] (20.14)
dx[f (x, 0) sin kx +
ω
∂t
2π −∞
t=0
(20.15)
R +∞
x|f (x)|2 dx
< x >= R−∞
+∞
2
−∞ |f (x)| dx
;
∆x =
(20.16)
R +∞
x|A(k)|2 dk
< k >= R−∞
+∞
2
−∞ |A(k)| dk
;
∆k =
p
p
< (k− < k >)2 = < k 2 > − < k >2
(20.17)
∆x∆k ≥
ik0 (x−vf ase t)
f (x, t)e
vf ase =
20.3
p
p
< (x− < x >)2 = < x2 > − < x >2
Z
ω0
k0
1
2
;
∆t∆ν ≥
′
1
4π
C(k ′ + k0 )eik (x−vgruppo t) dk ′
µ ¶
dω
; vgruppo =
dk k=k0
(20.18)
(20.19)
(20.20)
Onde di De Broglie libere
ℏk 2
2m
ℏk0
1 p
vf ase =
=
2m
2m
p
ℏk0
=
vgruppo =
m
m
(ℏk)2
p2
E = ℏω =
=
2m
2m
ω=
(20.21)
(20.22)
(20.23)
(20.24)
CAPITOLO 20. MECCANICA ONDULATORIA
20.4
62
Particella libera in una dimensione
E < 0 non si hanno soluzioni accettabili
E = 0 l’unica soluzione accettabile è 1q
: onda stazionaria
E > 0 soluzioni cos kx, sin kx con k = 2mE
ℏ2
´
³
Z
2
1
t
i kx− ℏk
2m
dk
ψ(x, t) = √
ψ̂(k)e
2π Z
1
ψ̂(k) = √
ψ(x, 0)e−ikx dx
2π
Z
ψ(x′ , 0)G(x′ , t, x, 0)dx
r
m i (x−x′ )2
′
e 2ℏt
G(x , t, x, 0) =
2πiℏt
ψ(x, t) =
20.5
(20.26)
(20.27)
(20.28)
Particella libera in tre dimensioni
1
~
eik·~r
3
(2π) /2
ℏ2 ~ 2
E=
|k|
2m
ψ(~r) =
20.6
(20.25)
(20.29)
(20.30)
Operatori in tre dimensioni
d~s = h1 du1 eˆ1 + h2 du2 eˆ2 + h3 du3 eˆ3
(20.31)
~ = 1 ∂ψ eˆ1 + 1 ∂ψ eˆ2 + 1 ∂ψ eˆ3
∇ψ
(20.32)
h1 ∂u1
h2 ∂u2
h3 ∂u3
¸
·
1
∂
∂
∂
~ ·A
~=
∇
(h2 h3 A1 ) +
(h1 h3 A2 ) +
(h2 h1 A3 ) (20.33)
h1 h2 h3 ∂u1
∂u2
∂u3
·
µ
¶
µ
¶
µ
¶¸
1
∂
h2 h3 ∂ψ
h1 h3 ∂ψ
h2 h1 ∂ψ
∂
∂
2
~
∇ ψ=
+
+
h1 h2 h3 ∂u1
h1 ∂u1
∂u2
h2 ∂u2
∂u3
h3 ∂u3
(20.34)
¶
µ
¶
∂
1 ∂
1
~r ~r
r = −iℏ
+
p~ · + · p~ = −iℏ
r r
r ∂r
∂r r
µ
¶
2
∂2
∂
2 ∂
21 ∂
2
2
2 1 ∂
= −ℏ
= −ℏ
+
pr = −ℏ 2 r
r ∂r ∂r
r ∂r2
∂r2 r ∂r
1
pr =
2
µ
(20.35)
(20.36)
CAPITOLO 20. MECCANICA ONDULATORIA
20.7
63
Potenziale centrale
µ
L2
p2r
+
2m 2mr2
¶
ψ(~r) + V (r)ψ(~r) = Eψ(~r)
(20.37)
Per un potenziale centrale [H, L2 ] = 0
20.8
Equazione angolare
L2 Y (θ, ϕ) = ℏ2 βY (θ.ϕ)
20.9
(20.38)
Equazione radiale
·
¸
ℏ2 1 d 2
l(l + 1)ℏ2
−
r+
+ V (r) R(r) = ER(r)
2m r dr2
2mr2
(20.39)
Equazione ridotta:
χ(r) = rR(r)
·
; χ(0) = 0
¸
l(l + 1)ℏ2
ℏ2 d 2
r
+
+
V
(r)
χ(r) = Eχ(r)
−
2m dr2
2mr2
(20.40)
(20.41)
Sviluppo dell’onda piana:
eikz =
∞
X
l=0
il (2l + 1)Pl (cos θ)jl (kr)
(20.42)
Capitolo 21
Potenziali costanti a tratti
21.1
Gradino di potenziale
E < 0 non ci sono soluzioni
0<E <V:
½
A1 eik1 x + B1 e−ik1 x x < 0
Φ(x) =
B2 e−χx
x>0
r
r
2mE
2m(V − E)
k1 =
; χ=
ℏ2
ℏ2
1 − iχ/k
2
B1 =
A1 ; B2 =
A1
1 + iχ/k
1 + iχ/k
E > V (caso in cui le particelle provengono da sinistra):
½
A1 eik1 x + B1 e−ik1 x x < 0
Φ(x) =
A2 ek2 x
x>0
r
r
2mE
2m(E − V )
k1 =
; K2 =
2
ℏ
ℏ2
1 − k2 /k1
2
B1 =
A1 ; A2 =
A1
1 + k2 /k1
1 + k2 /k1
Coefficienti di trasmissione e di riflessione:
µ
¶
1 − k2 /k1 2
R=
1 + k2 /k1
4k2 /k1
T =
(1 + k2 /k1 )2
R+T =1
Per l’evoluzione temporale vd. appunti Dillon f.21
64
(21.1)
(21.2)
(21.3)
CAPITOLO 21. POTENZIALI COSTANTI A TRATTI
21.2
65
Barriera di potenziale
0<E <V:
Con la stessa tecnica si trova
¸−1
·
V2
2
sinh (χa)
T = 1+
4E(V − E)
; χ=
r
2m(V − E)
ℏ2
(21.4)
E >V:
¸−1
V2
2
T = 1+
sin (ka)
4E(E − V )
·
; k=
r
2m(E − V )
ℏ2
(21.5)
Per barriere di forma qualsiasi
log T = −2
21.3
Z
b
χ(x)dx
(21.6)
a
Buca di potenziale
Larghezza 2a
E > V : analogo alla barriera
0<E <V:
- Parità +:
- Parità -:
½
A cos kx x < |a|
Φ(x) =
Be−χx
x>a
r
r
2mE
2m(V − E)
k=
; χ=
2
ℏ
ℏ2
½
Deve essere:
Φ(x) =
r
2mE
k=
ℏ2
A sin kx x < |a|
Be−χx
x>a
r
2m(V − E)
; χ=
ℏ2
(21.7)
(21.8)
ka tan ka = χa per la parità +
−ka cot ka = χa per la parità -
21.4
Buca infinita
Larghezza 2a
parità + ⇒ ψn (x) = A cos kn x n dispari
parità - ⇒ ψn (x) = A sin kn x n pari > 0
nπ
1
kn =
; A= √
2a
a
(21.9)
(21.10)
(21.11)
CAPITOLO 21. POTENZIALI COSTANTI A TRATTI
Livelli energetici:
En =
21.5
n 2 π 2 ℏ2
8ma2
66
(21.12)
Casi generali
Vd. PMQE 5.4,5.5; Messiah pag.78
Per esempi (buca non simmetrica, buca doppia, buca sferica) vd. Dillon
f.25,40
Capitolo 22
Oscillatore armonico
22.1
Autofunzioni dell’oscillatore armonico
ψn (q) =
22.2
r
√
µ
¶
α2 q 2
α
exp
−
Hn (αq)
2
π2n n!
r
mω
α=
ℏ
(22.3)
Trasformazione di coordinate
Q=
r
mω
q
ℏ
;
P =
r
1
p
ℏmω
[Q, P ] = i
22.4
(22.2)
Livelli energetici
µ
¶
1
En = n +
ℏω
2
22.3
(22.1)
(22.4)
(22.5)
Operatori di creazione e di distruzione
√
2
(Q + iP )
a=
2
;
†
a =
√
2
(Q + iP )
2
[a, a† ] = 1
1
Q = √ (a + a† )
2
;
67
1
P = √ (a − a† )
i 2
(22.6)
(22.7)
(22.8)
CAPITOLO 22. OSCILLATORE ARMONICO
22.5
68
Numero di occupazione
N = a† a
N a = a(N − 1)
N a† = a† (N + 1)
;
< ψ|a† a|ψ >= ψ < ψ|ψ >
;
N a|ψ >= (ψ − 1)a|ψ >
;
(22.9)
(22.10)
< ψ|aa† |ψ >= (ψ + 1) < ψ|ψ >
(22.11)
†
N a |ψ >= (ψ + 1)|ψ >
(22.12)
con N |ψ >= ψ|ψ >
22.6
Effetto degli operatori sugli autostati
Sia |n > l’n-mo autostato dell’oscillatore
√
a† |n >= n + 1|n + 1 >
√
a|n >= n|n − 1 >
1
|n >= √ (a† )n |0 >
n!
22.7
(22.14)
(22.15)
Stato coerente
< λ|N |λ >= |λ|2
22.8
(22.13)
(22.16)
Oscillatore tridimensionale
per una trattazione completa v. Boffi pag. 234
Energia e degenerazione del livello n-mo:
µ
¶
3
E = ℏω n +
2
(n + 1)(n + 2)
dn =
2
(22.17)
(22.18)
Capitolo 23
Atomi idrogenoidi
23.1
Livelli energetici
mZ 2 e4
2n2 ℏ 2
(23.1)
(2l + 1) = n2
(23.2)
En = −
Degenerazione:
dn =
23.2
X
Funzioni d’onda
ψnlm (~r) = Rln (r)Ylm (θ, ϕ)
l
Rln (r) = Nln exp[−αn r](2αn r) Ln+l
2l+1
(23.3)
(2αn r)
αn = Z/(na0 ) ; a0 = ℏ2 /(me2 ) raggio di Bohr
p
Nln = [2Z/(na0 )]3 (n − l − 1)!/[2n(n + l)!3 ]
ψ100 =
ψ200 =
ψ21−1 =
ψ210 =
ψ211 =
µ ¶3
Zr
Z 2 − 2a
1
√
e 0
π a0
¶
µ ¶3 µ
Z 2
Z
1
− Zr
√
2 − r e a0
a0
4 2π a0
µ ¶3
Zr
1
Z 2 Z − 2a
√
re 0 sin θeiϕ
a0
8 π a0
µ ¶3
Zr
1
Z 2 Z − 2a
√
re 0 cos θ
a0
4 2π a0
µ ¶3
Zr
Z 2 Z − 2a
1
re 0 sin θeiϕ
− √
a0
8 π a0
69
(23.4)
(23.5)
(23.6)
Capitolo 24
Perturbazioni
24.1
Livello non degenere
Al secondo ordine
X |Vln |2
El0 − En0
El = El0 + Vll +
(24.1)
n6=l
Vln =< l|V |n >
24.2
Livello degenere
∆El11


∆El1n → Vnk =< ln |V |lk >→  · · ·
0
24.3
(24.2)
···
..
.
···
0


··· 
∆El1f
(24.3)
Metodo variazionale
E =< ψ|H|ψ >≥ E0
∀ψ
(24.4)
Metodo delle combinazioni lineari:
|ψ >=
n
X
i=1
Hik =< χi |H|χk >
ci |χi >
;
∆ik =< χi |χk >
det |Hik − ∆ik | = 0
70
(24.5)
Capitolo 25
Cenni di fisica atomica e
molecolare
25.1
Approssimazione di campo centrale
Hamiltoniano di un atomo complesso:
¶ X
Xµ
e2
e2
H = H0 +
−Z − VC (ri ) +
ri
|~
ri − r~j |
i
i<j
¶
µ
X p2
i
+ VC (ri )
H0 =
2m
(25.1)
(25.2)
i
Energia totale:
E=
X
(i)
εnl
(25.3)
i
Degenerazione di una configurazione elettronica:
Y µgi ¶
d=
νi
(25.4)
i
Per una shell completa L = S = 0
25.2
Interazione degli elettroni
V1 =
¶
X e2 X µ e2
−
Z + VC (ri )
rij
ri
i<j
′ ′ ′
< γLSML MS |V1 |γ L S
(25.5)
i
ML′ MS′
>= δLL′ δML ML′ δSS ′ δMS MS′ Vγγ ′ (L, S)
(25.6)
REGOLA DI HUND:il livello energeticamente più basso di una data configurazione è quello con la molteplicità di spin più elevata e, a parità di
molteplicità, quelli con L più elevato.
71
72
CAPITOLO 25. CENNI DI FISICA ATOMICA E MOLECOLARE
25.3
Interazione spin-orbita
V2 =
X
i
(~li · s~i )g(ri ) con g(ri ) =
1 dVC
1
2(mc)2 ri dri
(25.7)
Se V1 ≪ V2 si ha l’accoppiamento jj e una buona base è |nlsjmj >
Se V2 ≪ V1 si ha l’accoppiamento LS e una buona base è |γLSJMJ >.
Costante di struttura fine:
α=
e2
ℏc
Regola dell’intervallo di Landé:
¿
À½
ℏ2
1 dVC
l
per j = l + 1/2
∆nlj =
−l − 1 per j = l − 1/2
4(mc)2 r dr
25.4
(25.8)
(25.9)
Atomo in un campo magnetico uniforme
2
e
p2
~ 2 con A
~ = 1B
~ ∧ ~r
~+ e A
−
p~ · A
2m mc
2mc
2
Momento magnetico associato al moto orbitale:
e ~
µ
~=
l
2mc
Magnetone di Bohr:
eℏ
µB =
2mc
Raggio classico dell’elettrone:
H=
e2
mc2
Momento magnetico associato allo spin:
e
µ~s =
~s = µB ~σ
mc
Perturbazioni:
rl =
W1 = −µB (Lz + 2Sz )B
W2 =
e2
8mc2
2
B 2 r⊥
(25.10)
(25.11)
(25.12)
(25.13)
(25.14)
(25.15)
(25.16)
Se W1 ≪ V2 si ha l’effetto Zeeman:
∆E = −µB BgM
J(J + 1) − L(L + 1) + S(S + 1)
g =1+
2J(J + 1)
(25.17)
(25.18)
Se V2 < W1 < V1 si ha l’effetto Paschen-Back :
∆E = −µB (ML + 2MS )B
(25.19)
CAPITOLO 25. CENNI DI FISICA ATOMICA E MOLECOLARE
25.5
73
Approssimazione di Born-Oppenheimer
1) Si risolve il problema elettronico a nuclei fissi
2) Si risolve il moto nucleare
25.6
Problema a nuclei fissi per una molecola
biatomica
Integrale di sovrapposizione:
∆=
HAA = HBB = −WH + J
HAB = HBA = −WH ∆ + K
Z
u∗A uB dV
(25.20)
e2
uA uA dV
rb
Z
e2
con K = − uA uB dV
rb
con J = −
Z
(25.21)
(25.22)
Combinazione simmetrica:
ES = −WH +
J +K
1+∆
(25.23)
J −K
1−∆
(25.24)
Combinazione antisimmetrica:
EA = −WH +
25.7
Rotazioni e vibrazioni delle molecole biatomiche
Energia elettronica:
Eel ≃
ℏ2
ma2
(25.25)
Energia vibrazionale:
Evib =
r
Erot =
r
m
Eel
M
(25.26)
m
Evib
M
(25.27)
Energia rotazionale:
Regole di selezione:
♦ per la vibrazione ∆v = ±1
♦ per la rotazione ∆k = ±1
dove v e k sono i numeri quantici corrispondenti.
Capitolo 26
Campo elettromagnetico
In questo capitolo ci riferiremo al sistema di Gauss
26.1
Gauge in Meccanica Quantistica
′
|ψ >= G|ψ > t.c.
½
< ψ ′ |~r|ψ ′ >=< ψ|~r|ψ >
~ ′ >=< ψ|Π|ψ
~ >
< ψ ′ |Π|ψ
< ψ ′ |O|ψ ′ >=< ψ|G† OG|ψ >
e
G(~r, t) = exp[i Λ~r, t]
ℏc
26.2
(26.1)
(26.2)
(26.3)
Effetto Aharonov-Bohm
Equazione di Schrödinger in presenza di un potenziale vettore:
i2
1 h
~ ψ(~r) + V ψ(~r) = Eψ(~r)
~ − eA
−iℏ∇
2m
c
#
" Z
~
r
ie
~ r~′ )d~s
~ è nullo ψ(~r) = ψ 0 (~r) exp
A(
dove B
ℏc (s)
(26.4)
(26.5)
Per una trasformazione di gauge:
ψ = ψ 0 exp
26.3
·
¸
ie
Λ(~r, t)
ℏc
(26.6)
Campo elettromagnetico libero
(Normalizzazione in una scatola di volume V)
´
X³
~
~
∗
~ r, t) = √1
A(~
C~k,α (t)ε̂(α) eik·~r + C~k,α
(t)ε̂(α)∗ e−ik·~r
V k,α
C~k,α (t) = C~k,α (0)e−iωt
74
(26.7)
(26.8)
CAPITOLO 26. CAMPO ELETTROMAGNETICO
75
Hamiltoniana:
H=
1
8π
Z
~2 + E
~ 2 )dV =
(B
X1
k,α
2
2
(P~k,α
+ Q~2k,α )
iωk
1
∗
∗
) ; P~k,α = − √ (C~k,α − C~k,α
)
Q~k,α = √ (C~k,α + C~k,α
c 4π
c 4π
Lagrangiana:
Z
X1
1
~2 − B
~ 2 )dV =
(E
(Q~˙ k − ω 2 Q~k,α )
L=
,α
8π
2
(26.9)
(26.10)
(26.11)
k,α
Oscillatori di radiazione:
1
a~k,α = √
(ωk Q~k,α + iP~k,α )
2ℏωk
H=
; a~∗k,α = √
X
1
(ωk Q~k,α − iP~k,α )
2ℏωk
(26.12)
ℏωk N~k,α
(26.13)
k,α
En~k,α =
X
(26.14)
n~ki ,αi ℏωki
i
26.4
Sistema di cariche
Lcariche =
¸
ei ˙ ~
2
˙
mi r~i + r~i · A(~
ri , t) − ei Φ(~
ri , t)
2
c
Z
1
~2 − B
~ 2 )dV
Lcampo =
(E
8π
X ·1
i
~
~ ⊥ = − 1 ∂A
E
c ∂t
L=
X ·1
i
Lrad
1
=
8π
2
Z
mi r~˙i2 +
¸
ei ˙ ~
1 X ei ej
r~i · A(~
ri , t) −
+ Lrad
c
2
|~
ri − r~j |
~ 2 )dV =
(E~⊥ − B
X1
k,α
2
(q̇~k,α q̇−~k,α − ω 2 q~k,α q−~k,α )
(26.18)
(26.19)
(26.20)
(26.21)
i6=j
X1
k,α
(26.17)
i6=j
2
p~k,α = q−~k,α
i2 1 X e e
X 1 h
ei ~
i j
H=
ri , t) +
+ Hrad
p~i − A(~
2mi
c
2
|~
ri − r~j |
Hrad =
(26.16)
~ k = −∇Φ
~
; E
1
∗
q~k,α = √ (C~k,α + C−
~k,α )
c 4π
i
(26.15)
2
(p~k,α p−~k,α + ω 2 q~k,α q−~k,α ) =
X1
k,α
2
2
(P~k,α
+ ω 2 Q~2k,α )
(26.22)
CAPITOLO 26. CAMPO ELETTROMAGNETICO
~ R,
~ t) =
A(
=
76
r
4π X
~
q~k,α ε(α) eik·~r =
V
k,α
¸
√ X ·
i
i
1
c π
(α) i~k·~
r
(α) i~k·~
r
√
(Q~k,α +
P~ )ε e
+ (Q~k,α −
P~ )ε e
ωk k,α
ωk k,α
V k,α 2
c
(26.23)
Capitolo 27
Probabilità di transizione
27.1
Probabilità al prim’ordine
Se il tempo di transizione è trascurabile lo stato rimane lo stesso; se il
cambiamento è molto lento il sistema si adatta via via alla nuova situazione.
Probabilità di transizione:
Wif = | < f |U (t, t0 )|i > |2
(27.1)
Al prim’ordine:
(1)
Wif
¯2
¯Z
¯
i
1 ¯¯
(E
−E
)τ
i
f
= 2 ¯ eℏ
< f |V (τ )|i > dτ ¯¯
ℏ
(27.2)
Frequenza di Bohr della transizione:
ωf i =
Ef − E i
ℏ
(27.3)
Perturbazione costante:
1
|Vf i |2 f (t, ωf i )
ℏ2
sin2 (ωt/2)
f (t, ω) = t2
(ωt/2)2
per t → ∞ f (t, ω) → 2πtδ(ω)
(1)
Wif (t, 0) =
(27.4)
(27.5)
Perturbazione periodica:
V (t) = Ce−iωt + C † eiωt
¯Z
¯
¡
¢ ¯2
1 ¯¯ t
iωf i τ
−iωτ
iωτ ¯
Wf i = 2 ¯ dτ e
< f |C|i > e
+ < f |C†|i > e
(27.6)
¯
ℏ
0
1
ωf i > 0 ⇒ assorbimento Wf i = 2 | < f |C|i > |2 f (t, ωf i − ω)
ℏ
1
ωf i < 0 ⇒ emissione Wf i = 2 | < f |C†|i > |2 f (t, ωf i + ω)
ℏ
77
CAPITOLO 27. PROBABILITÀ DI TRANSIZIONE
27.2
78
Problema dei due stati
H0 = E1 |1 >< 1| + E2 |2 >< 2|
V (t) = γ|2 >< 1|e−iωt + γ|1 >< 2|eiωt
|ψ(t) >= C1 (t)|1 > +C2 (t)|2 > ; |ψ(0) >= |1 >
s

2 /ℏ2
2 (ω − ω )2
γ
γ
21
sin2 
t
|C2 (t)|2 = 2 2
γ /ℏ + (ω − ω21 )2 /4
ℏ2
4
|C1 (t)|2 = 1 − |C2 (t)|2
27.3
(27.7)
(27.8)
Transizioni atomiche indotte da un’onda
elettromagnetica
Transition rate:
wab =
wba
Z
dWab
t
¯2
¯
¯
¯
4π 2 e2
~
i~k·~
r p
¯
= 2 2 I(ωba ) ¯< b|e
|a > ·ε̂)¯¯
m
cℏ ωba
(27.9)
(27.10)
Approssimazione di dipolo elettrico:
~
eik·~r ≃ 1
27.4
(27.11)
Transizioni verso il continuo
Wiγ (t) =
Z
dEWif (t)ρ(E, γ)
(27.12)
∆E
Numero di stati compresi tra E ed E+dE:
dNE = ρ(E, γ)dE
Perturbazione costante (regola d’oro di Fermi):
wiγ =
2π
ρ(Ei , γ)|Vf i |2
ℏ
(27.13)
Perturbazione periodica:
2π
ρ(Ei ± ℏω, γ)|Vf i |2
ℏ
+ per l’assorbimento, - per l’emissione.
wiγ =
(27.14)
79
CAPITOLO 27. PROBABILITÀ DI TRANSIZIONE
La densità degli stati dipende dalla normalizzazione:
Z
|ψ >= dbρ(b)|b >< b|ψ >
< b|b′ >= N (b)δ(b − b′ )
ρ(b) = 1/N (b)
27.5
(27.15)
Decadimento spontaneo
Densità degli stati:
ρ(E, Ωk )dΩk =
ω2
V
dΩk
3
(2π) 2ℏc3
(27.16)
In approssimazione di dipolo elettrico:
e2 ω 3
|~rba · ε(α) |2 dΩ
2πℏc3
~rba =< b|~r|a >
(27.17)
wdΩ =
|~rba |2 sin2 θdΩ ∆mj = 0
2πℏc3
2
e2 ω 3
2 1 + cos θ
=
|~
r
|
dΩ ∆mj = ±1
ba
2πℏc3
2
e2 4ω 3
w=
|~rba |2
ℏc 3c2
wdΩ =
wdΩ
Vita media:
(27.18)
e2 ω 3
X
1
=
w(a → bi )
τa
(27.19)
(27.20)
(27.21)
(27.22)
i
Potenza irraggiata:
W = wℏω =
27.6
(1)
4e2 ω 4
|~rba |2
3c3
(27.23)
Emissione stimolata
Wab =
X ~
1
2 2πℏ
f
(t,
ω
+
ω
)e
(n
+
1)|
<
b|
e−ik·~ri p~i |a > ·ε(α) |2
ba
k
~
ℏ2
ωk V k,α
i
(27.24)
n~ c
I = k ℏω
V
(27.25)
80
CAPITOLO 27. PROBABILITÀ DI TRANSIZIONE
27.7
Approssimazione di dipolo elettrico
wab =
4π 2 e2
~ > ·ε|2
I(ωba )| < b|R|a
cℏ2
(27.26)
Regole di selezione:
♦Regola di Laporte: se |a > e |b > hanno parità definita, deve essere opposta.
♦Teorema di Wigner-Eckart: v. (15.4) ∆J = ±1, 0 per m, si deve ricordare
che
~ · ε = −R+ ε− − R− ε+ + R0 ε0
R
(27.27)
Un fotone polarizzato circolarmente ha momento angolare definito lungo la
sua direzione di propagazione; la componente del momento angolare è +1 o
-1 a seconda che la polarizzazione sia destra oppure sinistra.
♦Nell’accoppiamento LS si ha ∆S = 0 ⇒ ∆L = ∆J = 0, ±1; si ha poi
∆mJ = 0, ±1 ma ∆mJ = 0 è proibita se ∆J = 0
N.B:la transizione J = 0 → J = 0 è rigorosamente proibita.
27.8
Transizioni
superiori
agli
ordini
di
multipolarità
Bisogna tenere presente che
(~k · ~r)(~
p · ε) =
X
ki εj ri pj
(27.28)
i,j
1
1 (1) (2)
1 (1) (2)
2
(1) (2)
(1) (2)
ri pj = δij r~(1) · r~(2) + (ri rj − rj ri ) + [ri rj + rj ri − δij r~(1) · r~(2) ]
3
2
2
3
(27.29)
I vari termini sono op. tens. sferici di rango 0,1,2; il primo non agisce per
trasversalità; il secondo rappresenta transizioni di dipolo magnetico e il
terzo di quadrupolo elettrico.
Ad essi si applica il teorema di Wigner-Eckart.
Se si considera il momento magnetico di spin bisogna tenere conto
k·~
r~
0 i~
s ∧ ~k · ε
della perturbazione eA
mc e
Capitolo 28
Scattering
28.1
Concetti introduttivi
(Se no coerenza, no scattering multiplo e centri diffusori identici)
Numero di proiettili diffusi nell’angolo solido dΩ:
dn =
dNinc
dNinc
Σ(Ω)dΩ =
ησ(Ω)dΩ
dA
dA
(28.1)
dNinc
dA
è il numero di particelle incidenti nell’unità di superficie.
Σ(Ω) è la sez. d’urto diff-le per quel processo con quella targhetta.
η è il numero di centri diffusori.
σ(Ω) è la sez. d’urto diff.le per il processo considerato.
dσ = σ(Ω)dΩ
Z
dΩσ(Ω)
σ=
(28.2)
(28.3)
4π
σ è la sez. d’urto totale per il processo considerato.
Numero di proiettili emessi nell’angolo solido totale:
n=
dNinc
ησ
dA
(28.4)
Per le formule di trasformazione nel sistema di riferimento del laboratorio v. Goldstein
pag. 83 e Messiah pag.380
σ(θ) sin θ = 2πb
σ = 2π
Z
db
dθ
π
σ(θ) sin θdθ = 2π
(28.5)
Z
0
bmax
0
81
bdb
(28.6)
82
CAPITOLO 28. SCATTERING
28.2
Descrizione quantistica
Impongo
i~
q ·~
r
ψq~(~r) −→ e
eiqr
per r → ∞ con q =
+ fq~(θ, ϕ)
r
p
2mEq
ℏ
(28.7)
Si trova
σ(Ω) = |f~k (θ, ϕ)|2
28.3
(28.8)
Equazione integrale
Funzione di Green:
³
´
~ 2 + ~k 2 G(~r, r~′ ) = δ(~r − r~′ )
∇
~
r
~′
1 eik|~r−r |
G(~r, r~′ ) = −
4π |~r − r~′ |
1
f~k (θ, ϕ) = −
4π
28.4
(28.9)
Z
+∞
−∞
~ ~′
dr~′ e−ik·r U (r~′ )ψ~k (r~′ )
(28.10)
(28.11)
Approssimazione di Born
2m
θ
U (~r) = 2 V (~r) ; q = 2k sin
(28.12)
ℏ
2
Z
Z
1 m +∞
1 m +∞
−i~k′ ·~
r
i~k·~
r
d~
r
e
V
(~
r
)e
=
−
d~r e−i~q·~r V (~r)
f~kBA (θ, ϕ) = −
2π ℏ2 −∞
2π ℏ2 −∞
(28.13)
Se gli stati sono normalizzati alla delta di Dirac:
f~kBA (θ, ϕ) = −(2π)2
28.5
m ~′ ~
< k |V |k >
ℏ2
(28.14)
Metodo delle fasi
Nella regione asintotica, l’unico ricordo dell’interazione è l’l-mo sfasamento
δl .
ψ~k (~r) → eikz + f~k (θ)
∞
1X
(2l + 1)Pl (cos θ) sin δl eiδl
f~k (θ) =
k
l=0
(28.15)
(28.16)
83
CAPITOLO 28. SCATTERING
σ(θ) =
1 X
(2l + 1)(2l′ + 1)Pl (cos θ)Pl′ (cos θ) sin δl sin δl′ ei(δl −δl′ )
k2 ′
l,l
(28.17)
4π X
(2l + 1) sin2 δl
σ= 2
k
(28.18)
l
Se il potenziale ha raggio di azione a limitato finché ka < l l’onda l-ma è
irrilevante.
La continuità della derivata logaritmica al limite tra raggio interno e raggio
esterno dà:
¯
cos δl jl′ (kr) + sin δl nl′ (kr) ¯¯
Pl = K
(28.19)
cosδl jl (kr) + sin δl nl (kr) ¯a
δl ∝ k 2l+1
δ0 = a0 k
(28.20)
a0 lunghezza di scattering
Approssimazione di Born per gli sfasamenti:
Z
2mk ∞
dr r2 jl2 (kr)V (r)
sin δl ≃ − 2
ℏ
0
(28.21)
(28.22)
N.B.: Nella sezione d’urto di tripletto intervengono solo gli sfasamenti
dispari, in quella di singoletto solo quelli pari.
28.6
Scattering di risonanza
Risonanza nell’l-ma onda parziale all’energia Er :
(
δl (Er )¯ = π/2
dδl (E) ¯
>0
dE ¯
(28.23)
E=Er
Formula di Breit-Wigner:
¡ Γ ¢2
2
sin δl =
2
(E − Er )2 +
Γ è la larghezza di risonanza.
Tempo caratteristico:
τ=
2ℏ
Γ
¡ Γ ¢2
(28.24)
2
(28.25)