Capitolo 3
Geometria elementare
Sezione Prima
Geometria nel piano
1 Enti geometrici fondamentali
113
Con il termine Geometria, parola composta di origine greca che significa letteralmente misurazione della terra, s’intende la scienza razionale che studia la forma e l’estensione dei corpi e alcune proprietà delle trasformazioni da essi subite.
• Postulati, teoremi, corollari
La geometria razionale deve riferirsi ad alcuni termini primitivi, ossia termini che non è possibile
definire e pertanto bisogna accettare senza dimostrazione. Tali concetti, detti assiomi o postulati,
forniscono solo una base intuitiva e permettono, tramite il ragionamento, di giungere ad affermazioni più complesse e diversificate.
Le suddette affermazioni vengono chiamate teoremi ed il percorso logico utilizzato per definirli
costituisce la dimostrazione degli stessi.
Le conseguenze dirette dei teoremi vengono chiamate corollari.
Gli enti geometrici fondamentali sono il punto, la retta ed il piano; essi non si definiscono. Anche le proposizioni fondamentali della geometria, dette assiomi o postulati, non si dimostrano.
Postulato
Esistono infiniti punti, infinite rette ed infiniti piani.
Prime nozioni
Un punto A coincide con un punto B quando A e B sono lo stesso punto; si scrive A B.
Due punti sono distinti quando non coincidono.
I punti che costituiscono una figura si dicono a essa appartenenti.
I punti che non appartengono alla figura si dicono esterni ad essa.
Una figura contiene i punti che le appartengono, ovvero che passa per essi.
Si dice che due figure sono coincidenti quando sono la stessa figura. Due figure sono distinte quando non
sono coincidenti.
Si chiama intersezione di due figure l’insieme dei punti che appartengono sia alla prima che alla seconda figura.
Due rette distinte si dicono incidenti se hanno un punto in comune.
P
s
r
• Punti e rette
Postulato
Per due punti distinti passa una retta e una sola.
A
B
r
Capitolo 3
Geometria elementare
Postulato
Per un punto passano infinite rette.
Postulato
Ogni retta contiene almeno due punti.
Postulato
Due o più punti distinti di una stessa retta si dicono allineati.
114
Postulato
Sopra una retta non esiste un punto che preceda né uno che segua tutti gli altri.
Postulato
Data una retta, un suo punto A la divide in due parti: quella formata dai punti che precedono A e
quella formata dai punti che seguono A.
• Semiretta
Si chiama semiretta ciascuna delle due parti in cui una retta AB rimane divisa da un suo punto O.
Il punto O si considera appartenente alle due semirette ottenute e si chiama origine di entrambe le
semirette.
B
O
A
Le due semirette di dicono opposte oppure una il prolungamento dell’altra. I punti di una semiretta diversi dall’origine si dicono interni alla semiretta.
• Segmento
Dati sopra una retta due punti distinti A e B, si chiama segmento AB la parte di retta a cui appartengono i punti A, B e tutti quelli tra essi compresi. I punti A e B si dicono estremi del segmento. I punti di un segmento diversi dagli estremi, si dicono interni al segmento.
Sostegno. Si chiama sostegno di un segmento AB, la retta AB alla quale il segmento appartiene.
Asse. Si chiama asse di un segmento la perpendicolare al segmento nel suo punto medio.
Le semirette di origine A e B, appartenenti al sostegno r e non contenenti il segmento AB, si chiamano prolungamenti del segmento AB.
A
Due segmenti si dicono consecutivi se hanno solo un estremo in comune.
C
B
Due segmenti si dicono adiacenti se sono consecutivi e se appartengono
ad una stessa retta.
A
B
C
Libro II
Matematica
• Punti, rette e piani
Postulato
Se due punti distinti di una retta appartengono a un piano, allora tutti i punti della retta appartengono al piano.
r
Postulato
In un piano esistono almeno tre punti distinti non appartenenti a
una stessa retta.
Postulato
α
Un piano è diviso da ogni sua retta in due parti distinte, ciascuna delle quali contiene infiniti punti.
Postulato
Due semirette aventi la stessa origine dividono il piano in due parti distinte, ciascuna delle quali
contiene infiniti punti.
Una figura si dice piana quando tutti i suoi punti appartengono ad uno stesso piano. Più figure si dicono
complanari quando giacciono su un medesimo piano.
• Semipiano
Si chiama semipiano ciascuna delle due parti in cui un piano
rimane diviso da una sua retta r.
r
La retta r si chiama origine oppure contorno dei due semipiani ottenuti, e si considera come l’unica parte ad essi comune.
α
I due semipiani si dicono opposti od anche uno il prolungamento dell’altro.
Si chiama sostegno di due semipiani opposti il piano al quale essi appartengono.
2 Gli angoli
Un angolo è una parte di piano limitata da due semirette aventi la stessa
origine.
Le due semirette si dicono lati dell’angolo e l’origine comune si dice vertice dell’angolo.
V
a
b
Angoli convessi e angoli concavi
a
Un angolo si dice convesso quando non contiene i prolungamenti dei suoi lati.
V
b
115
Capitolo 3
Geometria elementare
a
V
Un angolo si dice concavo quando contiene i prolungamenti dei suoi lati.
b
116
• Bisettrice di un angolo
Si dice bisettrice di un angolo la semiretta che ha l’origine nel vertice
V
dell’angolo e lo divide in due parti uguali.
• Rette e angoli convessi
Due rette s e t che si incontrano in un punto P del piano delimitano quattro angoli convessi che hanno come lati due semirette distinte e non opposte aventi la stessa origine.
Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati dell’uno sono i prolungamenti dei lati dell’altro.
s
P
• Misura degli angoli
t
Per misurare gli angoli, si divide l’intero angolo giro in 360 parti
uguali: ognuna di queste parti è l’angolo unitario e si indica con
1° (angolo grado). Dividendo l’angolo 1° (un grado) in 60 parti uguali si ottiene l’angolo di 1' (un
primo); dividendo quest’ultimo in 60 parti uguali avremo l’angolo di 1" (un secondo).
Angolo
Angolo retto:
i suoi lati sono ortogonali
Misura in gradi
Rappresentazione
a
90°
V
Angolo acuto
a
0° <α° < 90°
V
Angolo piatto:
i suoi lati sono semirette opposte
Angolo ottuso
b
180°
α
a
90° <α° < 180°
b
a
V
Angolo giro:
i suoi lati sono sovrapposti
b
360°
V
b
a=b
Libro II
Matematica
Angoli consecutivi e angoli adiacenti
a
b
Angoli consecutivi. Hanno il vertice ed un lato in comune
V
a
c
117
b
Angoli adiacenti. Sono consecutivi, quindi con vertice
e un lato in comune e gli altri due lati sono uno il prolungamento dell’altro
V
c
Angoli complementari quando sommati formano un angolo retto.
Angoli supplementari quando sommati formano un angolo piatto.
3 Rette
Rette
incidenti (con un punto in comune)
oblique se formano
due angoli acuti e
due ottusi
perpendicolari se
formano quattro angoli retti
b
P
a
a
b
P
parallele (con nessun
punto in comune)
a
b
Per un punto e una retta non passante per quel punto passa una sola retta parallela alla retta data.
Angoli formati da due rette tagliate da una trasversale
alterni interni (4 e 6; 3 e 5)
1 2
4 3
a
alterni esterni (2 e 8; 1 e 7)
coniugati interni (4 e 5; 3 e 6)
b
5 6
8
c 7
coniugati esterni (1 e 8; 2 e 7)
corrispondenti (1 e 5; 2 e 6; 3 e 7; 4 e 8).
Capitolo 3
Geometria elementare
Se due rette parallele sono tagliate da una trasversale formano:
—— una coppia di angoli alterni (interni ed esterni) uguali;
—— una coppia di angoli corrispondenti uguali;
—— una coppia di angoli coniugati (interni ed esterni) supplementari.
• Fascio di rette parallele
Si dice fascio di rette parallele l’insieme di tutte le rette del piano che sono parallele a una data retta.
Teorema di Talete
118
Se un fascio di rette parallele è tagliato da due trasversali, i segmenti determinati su una trasversale sono proporzio­nali ai corrispondenti segmenti dell’altra trasversale.
AB : A'B' = BC : B'C' = CD : C'D'
r
d
c
4 I poligoni
D'
C
b
a
r'
D
C'
B
B'
A
A'
• Linea poligonale
Più rette incidenti e appartenenti a uno stesso piano formano, incontrandosi, più angoli. I vertici di
questi angoli determinano sul piano stesso un insieme di punti che sono gli estremi di più segmenti. L’insieme di questi segmenti viene detto linea poligonale.
Una poligonale può essere:
—— chiusa se ogni vertice è comune a due lati;
—— aperta se due vertici appartengono a un solo lato.
• Poligoni
Si dice poligono la parte di piano compresa all’interno di una A
poligonale chiusa.
A, B, C, ...: vertici
AB, BC, CD, ...: lati
AB = a, BC = b, CD = c, ...: lunghezze dei lati
B
a
b
C
c
f
D
F
e
E
d
• Classificazione dei poligoni
I poligoni vengono chiamati in modo diverso a seconda del numero di lati e quindi degli angoli
che posseggono:
—— triangolo: 3 lati, 3 angoli;
—— quadrangolo: 4 lati, 4 angoli;
—— pentagono: 5 lati, 5 angoli;
—— esagono: 6 lati, 6 angoli;
—— ettagono: 7 lati, 7 angoli;
—— ottagono: 8 lati, 8 angoli;
—— ennagono: 9 lati, 9 angoli;
—— decagono: 10 lati, 10 angoli;
—— dodecagono: 12 lati, 12 angoli;
—— pentadecagono: 15 lati, 15 angoli;
—— icosagono: 20 lati, 20 angoli.
Libro II
Matematica
I poligoni che hanno tutti i lati uguali si dicono equilateri, quelli che hanno gli angoli uguali si dicono equiangoli.
I poligoni che posseggono entrambe le suddette caratteristiche si dicono regolari.
Poligoni convessi e poligoni concavi
Poligono convesso. Un poligono si dice convesso quando tutti i suoi punti interni appartengono sempre a
uno solo dei due semipiani individuati dalla retta di ogni suo lato.
Poligono concavo. Un poligono si dice concavo quando non sempre i suoi punti interni appartengono a uno
solo dei due semipiani individuati dalla retta di ogni suo lato.
Angoli interni e angoli esterni di un poligono
Angolo interno. Si chiama angolo interno di un poligono convesso l’angolo
(a) convesso formato dalle semirette di due suoi lati consecutivi.
β
α
Angolo esterno. Si chiama angolo esterno di un poligono convesso un angolo
(b) adiacente a un angolo interno.
Proprietà degli angoli interni ed esterni di un poligono convesso
•• La somma delle ampiezze degli angoli interni di un poligono convesso di n lati è (n – 2)180°.
•• La somma delle ampiezze degli angoli esterni di un poligono convesso è 360°, qualunque sia il numero
dei lati.
•• L’ampiezza di ciascun angolo interno di un poligono equiangolo di n lati è (n – 2)180° : n.
•• L’ampiezza di ciascun angolo esterno di un poligono equiangolo di n lati è 360° : n.
Diagonale
B
C
A
F
D
Si dice diagonale di un poligono il segmento che unisce due vertici non
consecutivi.
Ad esempio:
AE; BD; CE; …
E
Perimetro e area
Perimetro. Si dice perimetro di un poligono la somma delle lunghezze dei lati che lo delimitano.
Area. Si dice area di un poligono la misura della superficie contenuta all’interno della poligonale o della linea
che lo individua sul piano.
Due figure piane occupano una certa parte di piano; se sono sovrapponibili sono uguali e, quindi, hanno uguali
superfici. Può accadere, invece, che due superfici, pur non essendo uguali, abbiano la stessa estensione, cioè
occupino due parti uguali di piano. Due superfici che abbiano la stessa estensione si dicono equivalenti.
119
Capitolo 3
Geometria elementare
• Poligoni simili
D
D'
δ
δ'
γ
C
E ε
E' ε'
α
A
120
γ ' C'
α'
A'
β
B
β'
B'
Due poligoni si dicono simili quando:
α = α ʹ; β = β ʹ; γ = γ ʹ; δ = δ ʹ; ε = ε ʹ
AB : AʹB ʹ = BC : BʹC ʹ = CD : C ʹD ʹ = DE : D ʹE ʹ = EA : E ʹAʹ
—— I perimetri di due poligoni simili stanno tra loro come due lati omologhi.
—— Due poligoni regolari dello stesso numero di lati sono simili; i loro perimetri, i loro raggi, le
loro apoteme stanno tra loro come due lati omologhi.
—— Due poligoni simili stanno tra loro come i quadrati costruiti su due lati omologhi.
5 I triangoli
• Classificazione dei triangoli secondo i lati
Un triangolo si dice:
—— scaleno (a) se i lati sono tutti diversi;
—— isoscele (b) se due lati sono uguali;
—— equilatero (c) se i tre lati sono uguali.
C
C
B
A
A
B
A
(a)
B
(b)
• Classificazione dei triangoli secondo gli angoli
Un triangolo si dice:
—— acutangolo (a) se ha tre angoli acuti;
C
(c)
Libro II
Matematica
—— rettangolo (b) se ha un angolo retto e due acuti. Sono chiamati:
—— cateti i lati che formano l’angolo retto;
—— ipotenusa il lato opposto all’angolo retto;
—— ottusangolo (c) se ha un angolo ottuso e due acuti.
C
C
C
A
B
(a)
A
B
A
(b)
121
B
(c)
• Proprietà degli elementi di un triangolo
In un triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due
B
e maggiore della loro differenza:
β'
β
|a – b|< c < a + b
c
|a – c|< b < a + c
|b – c|< a < b + c
A lato maggiore (minore) è opposto angolo maggiore (minore) α' α
e viceversa:
b
A
a >b ⇔α > β
a
γ
γ'
C
Un angolo esterno è pari alla somma dei due angoli interni non adiacenti:
α ' = β + γ , β' = α + γ , γ ' = α + β
• Criteri di congruenza
Primo criterio. Due triangoli si dicono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due lati e l’angolo
compreso.
Secondo criterio. Due triangoli si dicono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due angoli e il lato
fra essi compreso.
Terzo criterio. Due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati ordinatamente congruenti.
• Criteri di similitudine
Due triangoli si dicono simili se hanno ordinatamente gli angoli congruenti e i lati in proporzione.
Si dicono corrispondenti o omologhi i vertici degli angoli uguali e i lati opposti agli angoli uguali.
Primo criterio. Due triangoli si dicono simili se hanno due angoli ordinatamente congruenti.
Secondo criterio. Due triangoli si dicono simili se hanno due lati proporzionali e l’angolo compreso congruente.
Terzo criterio. Due triangoli si dicono simili se hanno tre lati ordinatamente proporzionali.
Capitolo 3
Geometria elementare
• Altezze, mediane, bisettrici di un triangolo
C
Altezza. Si dice altezza di un triangolo, relativa a un lato, il segmento
perpendicolare condotto dal vertice di un angolo al lato opposto, o al
prolungamento di esso.
c
b
H
hb
ha hc
a
A
B
C
122
c
Mediana. Si dice mediana di un lato di un triangolo il segmento di
retta uscente dal vertice di un angolo al punto medio del lato opposto.
b
G ma
mb mc
A
B
a
C
c
Bisettrice. Si dice bisettrice di un angolo di un triangolo la semiretta
uscente dal suo vertice che lo divide in due parti uguali.
A
α
γ
P bγ
bα bβ
a
b
β
B
• Perimetro e area dei triangoli
• Perimetro
C
c
P = a+b+c
b
•
hb
ha
A
A=
hc
a
aha bhb chc
=
=
2
2
2
p=
B
•
Semiperimetro
P a+b+c
=
2
2
Area
Formula di Erone
A=
p ( p − a)( p − b)( p − c)
• Punti notevoli di un triangolo
Circocentro. Gli assi dei lati di un triangolo passano per uno stesso punto (O), detto circocentro del triangolo.
Ortocentro. Punto di incontro H delle tre altezze del triangolo.
Baricentro. Punto di incontro G delle tre mediane del triangolo. Esso è sempre interno al triangolo e divide ogni mediana in due parti, delle quali quella uscente da un vertice è il doppio dell’altra.
Incentro. Punto P di incontro delle tre bisettrici degli angoli del triangolo.
Libro II
Matematica
• Teoremi sui triangoli rettangoli
Teorema di Pitagora
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa ha la stessa area del quadrato costruito sui cateti.
Sia ABC un triangolo rettangolo in C:
AB = c : ipotenusa
AC = b e BC = a : cateti
b
b
c –b
2
⎧a =
⎪
⎪
c 2 = a 2 + b 2 ⇒ ⎨b =
⎪
⎪⎩ c =
C
2
A
a
a
c
B
c
c2 – a2
123
a2 + b2
I Teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto ha la stessa area del rettangolo le cui dimensioni sono isometriche all’ipotenusa e alla proiezione di detto cateto sull’ipotenusa.
II Teorema di Euclide
(I Teorema)
(II Teorema)
C
C
b
a
b
H c
A
b
B
h
h
A
H
c
a
c m
m
n
n
b2 = c · n
h2 = m · n
B
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa ha la stessa area del rettangolo le
cui dimensioni sono isometriche alle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
Sia ABC un triangolo rettangolo in C:
AC = b: cateto;
AB = c: ipotenusa;
CH = h : altezza relativa ad AB ;
AH = n: proiezione di AC su AB;
BH = m : proiezione di BC su AB.
6 I quadrilateri
I quadrilateri sono poligoni con quattro lati e quattro angoli; essi hanno,
inoltre, due diagonali.
D
δ'
α'
δ
α
A
β
B
Proprietà
α + α ʹ = 180°; β + β ʹ = 180°; γ + γ ʹ = 180°; δ + δ ʹ = 180°
α + β +γ +δ = 360°
α ʹ + β ʹ + γ ʹ + δ ʹ = 360°
α +γ = β +δ = 180°
AB +CD = BC + AD
β'
γ
C
γ'
Capitolo 3
Geometria elementare
• Trapezio
b
B
Quadrilatero con due lati paralleli e due non paralleli. I due lati paralleli
si dicono basi, gli altri lati obliqui.
C
c
a
A
D
d
Trapezio rettangolo: se un lato è perpendicolare alle due basi
Trapezio isoscele: se i due lati obliqui sono uguali; in questo caso gli angoli adiacenti alle due basi sono
uguali e le diagonali sono uguali.
Trapezio scaleno: se i lati obliqui sono disuguali; in questo caso anche gli angoli adiacenti alle basi e le
diagonali sono disuguali.
124
• Perimetro e area
P = a + b + c + d A = ( a + c ) ⋅
h
2
• Parallelogramma - Rettangolo - Rombo - Quadrato
Parallelogramma. Quadrilatero con i quattro lati paralleli a due a due: i lati opposti sono uguali
così come gli angoli opposti. Le diagonali dividono il parallelogramma in due triangoli uguali e si
bisecano nel loro punto medio.
Formule dirette
Formule inverse
P = 2 ⋅ (a + b)
h=
A = a⋅h
a=
B
A
a
C
b
A
h
A
D
a
Rettangolo. Parallelogramma con i quattro angoli uguali e retti.
Formule dirette
Formule inverse
B
P = 2 ⋅ (a + b)
A
A
a= ; b=
b
a
b
A = a ⋅b
d = a2 + b2
C
d
A
D
a
Rombo. Parallelogramma con quattro lati uguali e paralleli a due a due e gli angoli opposti uguali. Le diagonali sono perpendicolari.
Formule dirette
P = 4a
A=
d1 ⋅ d2
2
Formule inverse
a=
d2 =
P
2A
; d1 =
4
d2
2A a =
;
d1
d12 d22
+
2
2
B
b
a
d1
A
d
d2
D
C
c
Libro II
Matematica
Quadrato. Parallelogramma con quattro lati uguali e quattro angoli uguali e retti. Le diagonali risultano uguali e perpendicolari.
Formule dirette
P = 4a
A = a2 =
Formule inverse
a=
2
d
2
a=
B
C
P
; a= A
4
d
d 2
; d=a 2
2
A
a
D
125
7 Circonferenza e cerchio
• La circonferenza
La circonferenza è il luogo geometrico dei punti di un piano equidistanti da D
un punto fisso detto centro.
La distanza comune di questi punti dal centro è detta raggio (r) della circonferenza.
Le corde sono segmenti di retta che uniscono due punti di circonferenza. Un
particolare tipo di corda passante per il centro è il diametro (d) che vale due
volte il raggio.
• Lunghezza e raggio di una circonferenza
C = 2π r = π d; r =
B
r
C
α
l
A
C
2π
• Arco di una circonferenza
Si dice arco di una circonferenza ciascuna delle due parti di circonferenza delimitate da una corda:
= l = π r ⋅α
AB
180°
• Circonferenze interne e circonferenze concentriche
Due circonferenze si dicono interne l’una all’altra se il centro di una si trova in uno dei punti contenuti all’interno dell’altra.
Si dicono concentriche se hanno il centro coincidente in uno stesso punto e raggi diversi.
• Angoli al centro e angoli alla circonferenza
Angoli al centro. Con il vertice nel centro e i lati aventi in comune con la circonferenza almeno un punto.
Angoli alla circonferenza. Con il vertice in un punto della circonferenza e i lati aventi in comune con la circonferenza almeno un punto e che possono essere o due secanti o due tangenti o una tangente e una secante.
Nel caso in cui un angolo al centro e un angolo alla circonferenza abbiano in comune i punti di incontro dei lati con la circonferenza, l’angolo al centro risulta doppio dell’angolo alla circonferenza. Inoltre, se un angolo alla circonferenza ha come punti di incontro con la circonferenza stessa
gli estremi di un suo diametro, l’angolo risulta sempre retto.
Capitolo 3
Geometria elementare
• Il cerchio
La parte di piano delimitata da una circonferenza viene comunemente indicata
con il nome di cerchio:
A = π r2
C
• Settore circolare
Si dice settore circolare la parte di cerchio delimitata da due raggi e dall’arco
compreso tra essi.
Se i due raggi sono allineati il settore circolare diviene semicerchio.
126
Area del settore circolare
AS =
A
π r2
⋅α =
⋅α
360°
360°
C
α
α
B
A
• Segmento circolare
Si dice segmento circolare una parte di cerchio limitata da una corda e da un arco avente gli stessi estremi.
Se la corda è il diametro, il segmento circolare si chiama semicerchio.
Si dice segmento circolare a due basi una parte di cerchio limitata da due corde tra loro parallele.
Area del segmento circolare
Asegmento circolare
1
= [ r ( l − s ) + sh ]
2
A
C α
s hl
B
8 Formule relative a un poligono regolare
Raggio e apotema di un poligono regolare
A
B
Raggio. Si dice raggio di un poligono (regolare) il raggio della circonferenza
che passa per tutti i vertici del poligono. Tale circonferenza prende il nome di
circonferenza circoscritta.
D
C
C
D
O
B
A
E
F
Apotema. Si dice apotema di un poligono (regolare) il raggio della circonferenza interna ad esso e perpendicolare ai lati; essa toccherà i punti medi di tutti i
lati del poligono. Tale circonferenza prende il nome di circonferenza inscritta.
Libro II
A=
R
nl ⋅ a P ⋅ a
=
2
2
l=
2A
na
a=
a = apotema di un poligono regolare di n lati l
Poligono regolare
Lato
2A
nl
Apotema
R
2
Area
3 2
R
4
Triangolo
R 3
Quadrato
R 2
Pentagono convesso
R
10– 2 5
2
Esagono
R
Ottagono convesso
R 2− 2
R
2+ 2
2
2 2R 2
Decagono convesso
R
2
R
10 + 2 5
4
5
10– 2 5R 2
4
3
2
R
2
R
4
(
2R 2
)
5 +1
3
R
2
(
)
5–1
Matematica
5
10 + 2 5R 2
8
3
3 2
R
2
Sezione Seconda
Geometria nello spazio
1 Rette e piani nello spazio
Si dicono figure solide, o semplicemente solidi, quelle i cui punti non appartengono a uno stesso piano.
La geometria solida, o stereometria, è quella parte della geometria che studia le proprietà e le caratteristiche principali dei solidi.
Postulati
Postulato. Se due punti appartengono a un piano, la retta da essi individuata appartiene al piano.
Postulato. Per tre punti non allineati passa un piano e uno solo.
Postulato. Per una retta passano infiniti piani.
Postulato. Un piano divide lo spazio in due parti, ciascuna delle quali è detta semispazio.
• Punti, rette e piani nello spazio
• Criterio di perpendicolarità tra una retta e un piano
Una retta è perpendicolare a un piano se lo incontra e se è perpendicolare a due rette del piano passanti per il punto d’intersezione (piede).
127
Capitolo 3
Geometria elementare
Teorema
r
P
Se una retta incontra un piano ed è perpendicolare a due rette del
piano passanti per il punto d’intersezione, essa è perpendicolare
a qualunque altra retta del piano passante per lo stesso punto.
0
Teorema delle tre perpendicolari
Se dal piede di una perpendicolare a un piano tracciamo la
perpendicolare a una qualunque retta del piano, quest’ultima
risulta perpendicolare alla retta che congiunge un punto qualunque della prima con il piede della seconda.
128
α
B
b
C
c
a
A
• Proiezioni
Si chiama proiezione di un punto su un piano, il piede della
perpendicolare condotta dal punto al piano.
Si chiama proiezione di una figura su un piano, la figura costituita dalle proiezioni sul piano dei punti della figura data.
P'
• Distanza di un punto da un piano
Si chiama distanza di un punto da un piano il segmento, di perpendicolare al piano, compreso
fra il punto e il piano stesso.
• Angolo di una retta con un piano
Si dice angolo di una retta obliqua con un piano l’angolo acuto che la
retta forma con la sua proiezione sul piano.
r'
Teorema
Se una retta è obliqua rispetto a un piano, l’angolo acuto che essa forma
con la sua proiezione sul piano è minore dell’angolo che essa forma con
ogni altra retta del piano passante per il punto d’incontro.
r
P
0
K
α
H
s
• Rette nello spazio
Rette complanari. Giacciono nello stesso
piano:
—— incidenti. Hanno un punto in comune.
—— parallele. Non hanno alcun punto in
comune.
α
α
r
s
s
r s
r
s
α
Rette sghembe. Non hanno punti in comune e non esiste alcun piano che le
contiene entrambe.
r
Libro II
Matematica
• Parallelismo tra una retta e un piano e tra piani
Parallelismo tra una retta e un piano. Una retta si dice parallela a un piano se non ha alcun punto in
comune con esso.
Parallelismo tra piani. Due piani si dicono paralleli se non hanno alcun punto in comune.
• Fascio di piani paralleli
Insieme di tutti i piani paralleli a un piano assegnato.
Teorema di Talete nello spazio
Se un fascio di piani paralleli è tagliato da due trasversali, i segmenti determinati su una trasversale sono proporzionali ai corrispondenti segmenti dell’altra trasversale.
2 Diedri
• Intersezione di due piani
Teorema
Se due piani distinti hanno un punto in comune, essi hanno in comune tutta una retta passante per
quel punto.
• Diedro
Ciascuna delle due parti in cui lo spazio rimane diviso da due semipiani a e b aventi la stessa origine r.
• Diedro convesso e diedro concavo
Un diedro ab si dice convesso quando non contiene i semipiani opposti ad a e b, concavo quando
contiene i semipiani opposti ad a e b.
Tipologie
β
Δ
r
Diedro retto. Le facce del diedro sono ortogonali tra loro.
α
Δ
r
Diedro piatto. Le facce del diedro sono opposte.
β
r
α
Δ
α
β
Diedro giro. Le facce coincidono e il diedro ha solo punti interni.
Due semipiani coincidenti dividono lo spazio in due diedri: uno convesso detto nullo,
l’altro concavo detto giro.
• Diedri consecutivi
Due diedri si dicono consecutivi se la loro intersezione è una faccia comune a entrambi.
Diedri adiacenti. Due diedri consecutivi si dicono adiacenti o supplementari se la loro unione è un diedro piatto.
Diedri complementari. Due diedri consecutivi si dicono complementari se la loro unione è un diedro retto.
129
Capitolo 3
Geometria elementare
• Sezione normale di un diedro
Si dice sezione normale di un diedro l’angolo che si ottiene tagliando il diedro con un piano perpendicolare allo spigolo.
• Piani perpendicolari
Due piani si dicono perpendicolari se formano un diedro retto (tale
cioè che la sua sezione normale sia un angolo retto).
A
β
r
α⊥β
130
0
α
B
3 Angoloidi
Si dice angoloide l’insieme dei punti comuni agli n diedri convessi determinato da n semirette, uscenti da uno stesso punto e di cui tre non
giacenti nello stesso piano, e dai piani formati da queste semirette due
a due in un determinato ordine, in modo che ciascun piano lasci le altre semirette tutte da una stessa parte.
• Elementi caratteristici
a, b, c, d, e: spigoli dell’angoloide
V: vertice dell’angoloide
ab , bc , cd , de , ea : facce dell’angoloide
V
e
a
b
d
c
Proprietà di un angoloide
In un angoloide ogni faccia è minore della somma di tutte le altre.
La somma delle facce di un angoloide convesso è minore di un quattro diedri retti.
4 Poliedri
• Superficie poliedrica
Si dice superficie poliedrica ogni figura costituita da poligoni situati in piani diversi e disposti in
modo che ognuno dei lati sia comune a due di essi e che il piano di ciascun poligono lasci tutti gli
altri da una stessa parte.
• Poliedro
Si dice poliedro l’insieme dei punti comuni a tutti gli angoloidi aventi per vertici e per spigoli i vertici e gli spigoli di una superficie poliedrica.
Si dicono facce del poliedro le facce di questi angoloidi e diedri del poliedro i diedri di questi angoloidi.
• Criterio di uguaglianza
Due poliedri si dicono uguali se hanno ordinatamente uguali gli angoloidi e le facce.
• Elementi caratteristici
Facce: le facce degli angoloidi.
Spigoli: i loro lati.
Vertici: gli estremi di questi lati.
Un poliedro non può possedere meno di quattro facce e la somma delle varie superfici viene detta superficie laterale.
Libro II
Matematica
Legenda dei poliedri
s =spigolo
PB=perimetro di base
a =apotema
SB=superficie di base
Sl =superficie laterale
St =superficie totale
V =volume di un poliedro (misura dello spazio che occupa)
d =diagonale
• Tipologie di poliedri
131
POLIEDRI
prismi
cubi
Poliedri
regolari tetraedri
piramidi
regolari
Principio di Cavalieri
Se due solidi hanno uguale altezza e se le sezioni tagliate da piani paralleli alle basi e ugualmente distanti da queste stanno sempre in un dato rapporto, anche i volumi dei solidi staranno in questo rapporto.
• Prisma
• Prisma finito
Si dice prisma finito, o semplicemente prisma, il poliedro che
si ottiene tagliando un prisma indefinito con due piani paralleli.
I due poliedri uguali si dicono basi del prisma, i loro lati spigoli di base, e la loro distanza altezza del prisma.
I parallelogrammi si dicono facce laterali del prisma e i loro
lati si dicono spigoli laterali del prisma.
h
B
• Prisma retto
Un prisma si dice retto se gli spigoli laterali sono perpendicolari ai poligoni di base; si dice regolare quando le basi sono poligoni regolari.
Sl = PB ⋅ h
• Parallelepipedo
St = Sl + 2SB
V = SB ⋅ h
Si dice parallelepipedo un prisma avente per base un parallelogramma.
Due facce di un parallelepipedo si dicono opposte se non hanno spigoli in comune. Due vertici si
dicono opposti se non appartengono alla stessa faccia. Il segmento di retta che unisce due vertici
opposti viene detto diagonale.
Capitolo 3
Geometria elementare
• Parallelepipedo rettangolo
Un parallelepipedo si dice retto quando gli spigoli laterali
sono perpendicolari alle basi, in tal caso tutte le facce e le
basi, sono dei rettangoli.
Se tutti gli angoli sono retti, il parallelepipedo si dice retc
tangolo.
Le tre dimensioni (a, b e c) si dicono rispettivamente: lunghezza, larghezza, altezza. Le quattro diagonali sono tutte uguali.
132
Sl = 2c ( a + b )
V = abc
d
b
a
St = 2 ( ab + ac + bc )
d = a2 + b2 + c2
• Cubo
Si dice cubo un parallelepipedo rettangolo che possiede le tre dimensioni uguali. Ciò vuol dire che gli spigoli sono tutti uguali e
le facce sono tutte quadrati uguali.
H
3
d
=
s
3
Sl = 4s 2
St = 6s2
V=s
E
F
G
D
• Piramide
d
Si dice piramide un poliedro che si ottiene tagliando un angoloide con un piano non passante per il vertice. È costituita da un
poligono qualsiasi detto base e da tanti triangoli detti facce late- A
rali, aventi tutti un vertice in comune e in numero pari ai lati del
poligono di base.
La distanza tra il vertice comune dei triangoli laterali (vertice della piramide) e la
base è detta altezza della piramide, mentre l’altezza dei triangoli viene detta apotema della piramide nel caso che sia uguale per ogni triangolo.
C
B
V
• Piramide regolare
Una piramide si dice retta quando nel poligono di base si può inscrivere un cerchio e quando il piede dell’altezza cade nel centro del cerchio.
Una piramide si dice regolare quando, oltre ad essere retta, ha per base un poligono regolare.
s
S ⋅h
St = Sl + SB
Sl = PB
V= B
2
3
B
• Tronco di piramide
Supponendo di tagliare una piramide con un piano tra il vertice e
la base si ottiene un poliedro detto tronco di piramide.
• Tronco di piramide retto
Se il piano è parallelo alla base e la piramide è retta, il tronco
è retto.
s
h
Sl = ( PB + PBʹ ) St = Sl + SB + SBʹ V = SB + SBʹ + SB ⋅ SBʹ
2
3
(
B'
s
B
)
Libro II
Matematica
• Poliedri regolari
Un poliedro si dice regolare se le sue facce sono costituite da poligoni regolari uguali e angoli uguali.
• Relazione di Eulero (per i poliedri regolari)
F +V = S + 2
—— F = numero delle facce;
—— V = numero dei vertici;
—— S = numero degli spigoli.
Poliedro
regolare
Poligono
Facce
Vertici
Spigoli
Spigoli
concorrenti
in un vertice
Area
della
superficie
Volume
Tetraedro
triangolo
4
4
6
3
s2 3
1 3
s 2
12
Cubo o esaedro
quadrato
6
8
12
3
6s 2
s3
Ottaedro
triangolo
8
6
12
4
2s 2 3
1 3
s 2
3
Dodecaedro
pentagono
12
20
30
3
Icosaedro
triangolo
20
12
30
5
15s 2
5+2 5
5
s25 3
s3
s3
133
15 + 7 5
4
(
5 3+ 5
12
)
5 Solidi di rotazione
• Superficie di rotazione
Superficie che si ottiene facendo ruotare una linea intorno a una retta fissa con essa complanare.
La linea che ruota si chiama generatrice e la retta fissa si chiama asse di rotazione.
• Solido di rotazione
Solido individuato mediante la rotazione completa di una superficie piana intorno a una retta del suo piano.
La superficie che ruota si chiama superficie generatrice.
• Cilindro
• Cilindro circolare retto
Solido generato dalla rotazione di un rettangolo intorno a uno dei suoi lati.
La superficie laterale di questo solido è la superficie curva compresa tra le due
basi; le basi sono due cerchi paralleli e uguali. Si chiama raggio del cilindro il
raggio di uno di questi cerchi.
La distanza tra i due cerchi di base si dice altezza del cilindro.
Sl = 2π rh
St = 2π rh + 2π r 2 = 2π r ( h + r )
Un cilindro si dice equilatero quando h = 2r .
V = π r2h
h
r
Capitolo 3
Geometria elementare
• Cono
• Cono circolare retto
Solido generato dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo intorno a
un cateto.
L’ipotenusa del triangolo rettangolo si dice apotema del cono.
La base del cono è rappresentata da un cerchio il cui raggio è uguale al cateto, che non è, però, quello intorno a cui avviene la rotazione.
La distanza del vertice dal centro del cerchio di base del cono è chiamata altezza.
Sl = π ra (a = apotema)
134
1
V = π r2h
3
s
h
h
St = π ra + π r 2 = π r ( a + r )
2
a= h +r
r
2
Un cono si dice equilatero quando a = 2r .
r
• Tronco di cono
• Tronco di cono retto
Solido che si ottiene tagliando un cono con un piano parallelo alla base, posto
fra la base e il vertice oppure il solido generato dalla rotazione completa di un
trapezio rettangolo intorno al lato perpendicolare alle due basi.
Il tronco di cono ha due basi entrambe circolari (aventi raggi rispettivi R e r) e
la distanza tra i due corrispettivi centri viene detta altezza del tronco di cono.
Il lato obliquo del trapezio che lo genera ruotando si dice apotema.
h
R
Sl = π ( R + r ) a (a = apotema)
St = π ( R + r ) a + π R 2 + π r 2 = π [( R + r ) a + R 2 + r 2 ]
1
V = π h ( R 2 + r 2 + Rr )
3
• Superficie sferica e sfera
• Superficie sferica
Luogo geometrico dei punti dello spazio equidistanti da un punto fisso detto centro, o, il che è lo
stesso, la superficie generata dalla rotazione di una semicirconferenza attorno a una retta passante per
il suo diametro. Il raggio della superficie sferica è la distanza di un suo punto qualsiasi dal centro.
Circonferenza massima. Circonferenza, segnata sulla superficie sferica, che ha lo stesso raggio della
superficie sferica.
Circonferenza minore. Circonferenza che ha un raggio minore di quello della sfera.
• Sfera
La sfera è il solido costituito dai punti di una superficie sferica e dai punti interni a essa, o, il che è lo stesso, il solido generato dalla rotazione completa di un semicerchio intorno a un suo diametro.
Il centro, il raggio e il diametro di tale semicerchio si dicono anche centro,
raggio e diametro della sfera.
4
S = 4π r 2
V = πr3
3
r
