GEOMETRIA su alcune difficoltà dida7che di Marco Maria Castriota Udine, 18 o?obre 2015 RISOLVERE UN PROBLEMA “Ma come procediamo? Nessuno lo sa davvero. Fai dei tenta7vi, fallisci, 7 sen7 frustrato e speri di avere un’ispirazione. Io considero questo procedimento un’avventura, un viaggio. Di solito so più o meno dove voglio andare, ma non so come arrivarci. La sola cosa che so per certo è che non raggiungerò la mia meta senza una buona dose di sofferenza e di frustrazione e di fogli accartoccia7…Sperimentate alcune idee…. I vostri primi tenta7vi sono corona7 da successo, ma mancano di unità; appaiono casuali e non generalizzabili. Poi all’improvviso, in un momento che vi toglie il respiro e vi fa sobbalzare il cuore, le nuvole si diradano e riuscite finalmente a vedere….” Paul Lockart, “Contro l’ora di matematica, un manifesto per la
liberazione di professori e studenti”, Ed. Rizzoli, 2010, pag 94 Una dimostrazione: E una cri7ca radicale : Al posto di un’argomentazione arguta e godibile scriVa da un essere umano reale e svolta in una delle tante lingue naturali del mondo, abbiamo questo tetro, arido, burocra7co modulo prestampato di dimostrazione. …………… ………….. Paul Lockart, “Contro l’ora di matema7ca”, Ed. Rizzoli, 2010, pag 62,63,64 …E il resto scopritelo da soli, e buona leVura…. MICHELE BARSANTI CI HA COMUNICATO CHE LA PERCENTUALE DI ALUNNI CHE AFFRONTANO IL PROBLEMA DI GEOMETRIA E’ MOLTO BASSA Ho colto l’occasione per tentare di analizzare alcuni aspe` del problema INTENZIONI: A) Individuare alcune probabili cause dell’allontanamento dalla geometria B) Fornire spun7 di riflessione sulla sua dida`ca POSSIBILI CAUSE (CAUSE OGGETTIVE) • Il problema dei postula7 (Difficoltà interna alla geometria) • Il nostro par7colare 7po di insegnamento: teoria e poi esercizi. (Difficoltà legata al metodo dida`co tradizionale). • Le richieste ufficiali di cambiamento di metodi e contenu7 (Variabile imprevedibile) I POSTULATI • I postula7 andrebbero contestualizza7; essi sono il punto di partenza di una traVazione streVamente dedu`va. Quanto rigorosa? • Storicamente sono un punto di arrivo e non un punto di partenza. Può essere un’idea per impostare il lavoro a ritroso. Arrivarci di nuovo • Sono troppi e diversi in ogni libro; la confusione è in agguato. In alcuni tes7 essi sono introdo` per lo più a sorpresa, quando se ne sente il bisogno. All’alunno arriva l’idea che quando si è in difficoltà, un nuovo colpo di baccheVa magica, un nuovo postulato, risolverà il problema. Per estensione, l’alunno in difficoltà con il problema dimostra7vo è portato a pensare che non riesce a risolvere il problema perché gli manca qualche conoscenza. Inoltre i problemi scel7 per far memorizzare e u7lizzare i postula7 sono, in genere, difficili e so`li, proprio per la semplicità degli enuncia7. Questo disorienta i ragazzi, e, spesso, anche gli insegnan7 Leggiamo insieme alcune idee di Fulvia Furinghe`: Fulvia Furinghe`, L’insegnamento della geometria, Seminario di formazione per docen7. 1995-­‐96 Lucca, pag 58 E, a proposito della pletora di nuovi libri di testo di geometria….. “E’ forse ancora troppo presto per profe7zzare quale sarà l’esito defini7vo del nuovo ordine di cose; ma sembrerebbe almeno possibile che la storia ripeterà se stessa e che, quando il caos sarà di nuovo arrivato nell’insegnamento della geometria, ci sarà un ritorno a Euclide, più o meno completo, allo scopo di tornare a rendere omogeneo l’insegnamento della geometria”. Sir Thomas L. Heath, Euclid, The thirteen books of the Elements, Dover, riedizione del 1956, , Prefazione alla prima edizione, Novembre 1908 Seguiamo l’idea della Furinghe`. Tralasciamo il problema del confronto con i postula7 dei tan7 libri di testo e seguiamo Euclide in azione. EUCLIDE: POCHI POSTULATI, FACILI DA RICORDARE E SUBITO UTILIZZATI NELLO SCHEMA DIMOSTRATIVO EUCLIDE È MOLTO DIRETTO Quando una reVa innalzata su una (altra) reVa forma gli angoli adiacen7 uguali fra loro, ciascuno dei due angoli uguali è re:o e la reVa innalzata si chiama perpendicolare a quella su cui è innalzata. X XV Cerchio è una figura piana compresa da un’unica linea (che si chiama circonferenza) tale che tuVe le reVe, le quali cadano sulla (stessa) linea, (cioè sulla circonferenza del cerchio), a par7re da un punto fra quelli che giacciono internamente alla figura, sono uguali fra loro. Quel punto si chiama centro del cerchio. XX Delle figure trilatere è triangolo equilatero quello che ha i tre la7 uguali, isoscele quello che ha soltanto due la7 uguali, Postula7 Risul7 postulato: I. Che si possa condurre una linea reVa da un qualsiasi punto ad ogni altro punto II. E che una re?a terminata (un segmento) si possa prolungare con7nuamente in linea reVa III. E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro ed ogni distanza ( raggio) IV. E che tu` gli angoli re` siano uguali fra loro V. E che se una reVa, venendo a cadere su due reVe forma gli angoli interni e dalla stessa parte minori di due re7 (tali che la loro somma sia minore di due re`), le due reVe prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli minori di due re7 NOZIONI COMUNI (NC.) I.
II.
III.
IV.
V.
Cose che sono uguali ad una stessa sono uguali anche fra loro E se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali E se da cose uguali sono soVraVe cose uguali, i res7 sono uguali E cose che coincidono fra loro sono fra loro uguali Ed il tuVo è maggiore della parte L’uguaglianza per Euclide è sempre riferita a grandezze omogenee: • linee uguali a linee • angoli uguali ad angoli • poligoni uguali a poligoni (aree uguali o equivalen7) Fare con Cabri PROPOSIZIONE 1: COSTRUIRE UN TRIANGOLO EQUILATERO Su una re?a terminata data costruire un triangolo equilatero def. XX Costruire un triangolo equilatero, dato il lato Sia AB la reVa terminata data. (fig.1) Si deve dunque costruire sulla reVa AB un triangolo equilatero.
-­‐ Disegna il cerchio di centro A e raggio AB post. III -­‐ Disegna il cerchio di centro B e raggio BA (fig.2)
post. III -­‐ Sia C il punto d’incontro dei due cerchi. . . . . . . . . . . . . . . . ? ? ? ? -­‐ Traccia le reVe CA e CB (fig.3)
post. I Il triangolo ABC è il triangolo cercato, infa`: 1) AC=AB perché raggi di uno stesso cerchio def. XV 2) BC=BA perché raggi di uno stesso cerchio def. XV 3) Dunque entrambi i segmen7 AC e BC sono uguali ad AB 1) e 2) 4) Ma cose uguali ad una stessa cosa sono anche uguali fra loro perciò anche CA=CB nc. 1 5) Quindi i tre segmen7 CA, CB e AB sono tu` uguali fra loro 3) e 4) Dunque il triangolo ABC è equilatero ed è stato costruito sulla re:a terminata data, AB. –c.d.f. La Proposizione1 PROPOSIZIONE 2: TRASPORTARE UN SEGMENTO Applicare ad un punto dato una re?a uguale ad una re?a data Siano A il punto dato e BC la reVa data (fig.1) -­‐Unisci A con B (fig. 2) post. I -­‐Costruisci il triangolo equilatero ABD
prop. 1 -­‐Prolunga DA e DB rispe`vamente in E e in F
post. II -­‐Disegna il cerchio di centro B e raggio BC che incontra la reVa BF in G post. III
-­‐Disegna il cerchio di centro D e raggio DG che incontra la reVa AE in H post. III Il segmento AH è uguale al segmento BC ed è applicato al punto A, infa`: 1) BC=BG perché raggi di uno stesso cerchio def. XV 2) DH=DG perché raggi di uno stesso cerchio
def. XV 3) Ma DA=DB perché la7 di un triangolo equilatero def. XX 4) Quindi AH=BG perché differenze di cose uguali sono uguali nc. III 5) Ma abbiamo già deVo che BG=BC 1) 6) Dunque AH e BC sono entrambi uguali a BG 1) e 4) 7) Quindi anche AH=BC perché cose uguali ad una stessa cosa sono uguali fra loro
nc. 1 Dunque AH è il segmento cercato, uguale a BC e applicato al punto A. –
c.d.f. Applica 1 E’ applicata in 3 La Proposizione 2: Il Trasporto di un segmento PROPOSIZIONE 3: TAGLIARE UN SEGMENTO SU UNA RETTA Date due re?e disuguali, applicare alla maggiore una re?a uguale alla minore. Considerare, su una re:a data, un segmento uguale ad un segmento dato. Siano AB e C le reVe disuguali date, delle quali AB sia maggiore (fig.1) Si deve dunque applicare alla maggiore una reVa uguale alla minore. -­‐Applica al punto A la reVa AD uguale alla reVa C (fig.2) prop.2 -­‐Con centro A e raggio AD descrivi il cerchio che taglia in E la reVa AB (fig.3) post.III La reVa AE è la reVa cercata, infa`: 1) AE=AD Def.XV 2) Ma pure C=AD prop.2 3) Dunque le reVe AE e C sono entrambe uguali alla reVa AD 4) Perciò AE=C n.c. 1 Dunque, date due re:e disuguali C e AB, alla re:a maggiore, AB, è stata applicata una re:a uguale alla re:a C. – c.d.f. Applica 2. E’ applicata in 5, 6, 9, 11, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 46. Proposizione 3: tagliare un segmento, uguale ad uno dato, su una reVa Il nostro Wpo di insegnamento In effe` i nostri libri sono divisi per argomento: Nozioni fondamentali, Uguaglianza di triangoli, Parallele e perpendicolari..etc In genere l’insegnante, dopo aver esposto la teoria assegna problemi allo scopo di far applicare le informazioni date. Questo modo di procedere può dare all’alunno un’idea falsa dell’importanza dell’argomento. Può bloccare la comprensione del processo dedu`vo. E probabilmente non aiuta a sviluppare la crea7vità perché si dà già un’indicazione su come procedere. (Mongodi 2014 Monteca7ni). Euclide è invece molto direVo: prendiamo, ad esempio i Criteri di uguaglianza dei triangoli: Per Euclide i criteri sono anelli insos7tuibili di una catena dedu`va molto serrata. Esempio: la Proposizione I,4 (il 1° criterio) viene introdoVa per poter dimostrare la prop I,5. PROPOSIZIONE 4: 1° CRITERIO DI UGUAGLIANZA DEI TRIANGOLI
Se due triangoli hanno due laN rispe7vamente uguali a due laN e hanno uguali anche gli angoli compresi fra i laN uguali, essi avranno anche la base uguale alla base, il triangolo sarà uguale al triangolo e gli angoli rimanenN, opposN ai laN uguali, saranno uguali ai rispe7vi angoli rimanenN. Se due triangoli hanno due laW e l’angolo fra essi compreso, rispeZvamente uguali, essi sono uguali. Siano ABC e DEF due triangoli tali che: AB=DE ^BAC=^EDF (l’angolo BAC sia uguale all’angolo EDF) AC=DF Dico che anche la base BC sarà uguale alla base EF, che il triangolo ABC sarà uguale al triangolo DEF e che gli angoli rimanen7 del primo triangolo saranno uguali ai rispe`vi angoli rimanen7 del secondo, l’angolo ABC uguale all’angolo DEF, e l’angolo ACB uguale all’angolo DFE, infa`: 1) L’estremo B coinciderà col punto E (poiché AB=DE) 2) Siccome AB coincide con DE, il lato AC cadrà sul lato DF (poiché ^BAC=^EDF) 3) Inoltre, l’estremo C cadrà sul punto F (poichè AC=DF) 4) Quindi anche BC coinciderà con EF (poiché B ha coinciso con E e C coincide con F) e sarà ad esso uguale (nc.IV) 5) Cosicché anche tuVo quanto il triangolo ABC coinciderà con tuVo quanto il triangolo DEF e sarà uguale ad esso 6) E anche gli angoli rimanen7 dell’uno coincideranno con gli angoli rimanen7 dell’altro e saranno ad essi uguali, l’angolo ABC uguale all’angolo DEF e l’angolo ACB uguale all’angolo DFE Dunque, se due triangoli hanno due laW uguali a due laW e l’angolo fra essi compreso pure uguale, essi avranno rispeZvamente uguali tuZ gli elemenW: la base sarà uguale
alla base, il triangolo sarà uguale al triangolo e gli angoli dell’uno saranno uguali ai corrispondenW angoli dell’altro. –c.d.d. E’ applicata in 5, 6, 10, 16, 24, 25, 26, 33, 34, 35, 47 Proposizione 4: 1° Criterio di uguaglianza dei triangoli PROPOSIZIONE 5: PROPRIETÀ DEL TRIANGOLO ISOSCELE
Nei triangoli isosceli, gli angoli alla base sono uguali fra loro e, venendo prolungaN i laN uguali, anche gli angoli so?o la base saranno uguali fra loro. Nei triangoli isosceli gli angoli alla base sono uguali. Sia ABC isoscele, con AB=AC [ipotesi] (fig.1) def. XX -­‐Prolunga AB di un segmento BD e AC di un segmento CE (fig.2)
post. II Dico che sono uguali fra loro gli angoli ABC e ACB e pure gli angoli CBD e BCE., infa`: -­‐Prendi su BD un punto a piacere, F (fig.2). . . . . . . ? ? ? -­‐Applica alla reVa CE un segmento CG=BF (fig.2) prop. 3 -­‐Unisci F con C e G con B (fig.2)
post. I 1) Considera i triangoli ABG e ACF; essi hanno due la7 e l’angolo fra essi compreso rispe`vamente uguali: AB=AC per ipotesi ; AG=AF perché somme di cose uguali sono uguali nc.II Gli angoli BAG e CAF in comune coincidono n.c. 4 2) Dunque sarà BG=CF, ^ABG=^ACF e ^AGB=^AFC
prop. 4 3) Considera ora i triangoli BFC e CGB; anche essi hanno due la7 e l’angolo fra essi compreso rispe`vamente uguali: BF=CG per costruzione BG=CF passo 2) ^BFC=^CGB passo 2) 4) Pertanto anche ^CBG=^BCF e ^CBF=^BCG prop.4 5) Inoltre, anche ^ABC=^ACB [perché differenze di cose uguali sono uguali, infa` ^ABG=^ACF (passo 2) e ^CBG=^BCF (passo 4), quindi ^ABG-­‐^CBG=^ACF-­‐^BCF] nc. III Dunque, nei triangoli isosceli gli angoli alla base sono uguali fra loro e lo sono anche gli angoli esterni so:o la base -­‐
c.d.d. Applica 3 e 4 E’applicata in 7, 18, 19, 20, 24 Proposizione 5: Seguono 2 bellissimi teoremi dimostra7 per assurdo: La proposizione 6: Se in un triangolo due angoli sono uguali fra loro, anche i laN opposN agli angoli uguali saranno uguali fra loro (Inversa della 5) La proposizione 7: Su una re?a data, e da ciascun suo estremo si conducano due re?e che si incontrino in un punto; non è possibile costruire con gli stessi estremi e dalla stessa parte altre due re?e rispe7vamente uguali a quelle prima costruite ed avenN un diverso punto d’incontro (prepara la prop.8) Proposizione 6 (Inversa della 5) Per assurdo Proposizione 7: Per assurdo; Lemma per la 8 (Il 3°Criterio di uguaglianza dei triangoli) PROPOSIZIONE 8: 3°CRITERIO DI UGUAGLIANZA DEI TRIANGOLI (INVERSO DELLA 4) Se due triangoli hanno due laN rispe7vamente uguali a due laN e anche la base uguale alla base, essi avranno uguali anche gli angoli compresi dai laN uguali. Se due triangoli hanno i tre laW rispeZvamente uguali, essi sono uguali. Siano ABC e DEF due triangoli tali che : [ipotesi] – AB=DE – AC=DF – BC=EF (fig.1) Dico che anche i loro angoli, BAC e EDF, compresi fra i la7 uguali sono uguali fra loro, [tesi] infa`: Se si sovrappone il triangolo ABC al triangolo DEF in modo che B coincida con E e il segmento BC con EF, 1) Anche C coinciderà con F, poiché BC=EF (fig.2) 2) Inoltre anche i la7 BA e CA coincideranno rispe`vamente con ED e FD (Infa`, se BC coincide con EF e AB=DE e AC=DF, non può esistere un punto G diverso da D in cui tali la7 si uniscano) (fig.3) prop. 7 3) Quindi anche gli angoli BAC e EDF coincideranno, e perciò saranno uguali nc. IV Dunque, se due triangoli hanno due laW rispeZvamente uguali a due laW e la base uguale alla base, anche gli angoli compresi fra i laW uguali saranno uguali. –
c.d.d. Applica 7 -­‐ E’ applicata in 9, 11, 12, 23, 48 Proposizione 8: 3° Criterio di uguaglianza dei triangoli Fare con CABRI PROPOSIZIONE 9 (COSTRUIRE LA BISETTRICE DI UN ANGOLO)
Dividere per metà un angolo re7lineo dato. Dividere un angolo in due parW uguali Sia BAC l’angolo re`lineo dato Si deve dunque dividerlo per metà -­‐ Prendi su AB un punto a piacere D -­‐ Applica alla reVa AC un segmento AE=AD -­‐ Unisci D con E -­‐ Costruisci su DE il triangolo equilatero DEF
-­‐ Unisci A con F -­‐
prop. 3 post. I prop. 1 post. I Fare 4 costruzioni con Cabri Dico che l’angolo BAC è stato diviso a metà dalla reVa AF, infa`: Considera i triangoli ADF e AEF: essi hanno due la7 rispe`vamente uguali a due la7 e la base uguale alla base, infa`: il lato AD uguale al lato AE (costruzione) il lato AF in comune la base DF uguale alla base EF (costruzione) Quindi anche ^DAF=^EAF Dunque l’angolo reZlineo BAC è stato diviso per metà -­‐c.d.f.
Prop. 8 Applica 1, 3, 8 E’ applicata in 10 Come si può vedere, la costruzione della biseVrice si poteva gius7ficare anche col 1° criterio poiché il triangolo ADE è isoscele. Ma è la proposizione 8 quella deputata a individuare angoli uguali: il suo enunciato è molto chiaro. -­‐ Il 2° criterio viene dimostrato molto dopo, nella prop. I,26 ( e riguarda entrambi i casi, lato compreso e lato non compreso, mentre noi dis7nguiamo: il criterio col lato compreso si chiama 2° criterio; quello col lato non compreso, si chiama 2° criterio generalizzato) e viene u7lizzato per la prima volta solo nella I,34: Nei parallelogrammi i la7 oppos7 sono uguali fra loro e gli angoli oppos7 sono pure uguali fra loro. PROPOSIZIONE 26 -­‐A): 2° CRITERIO DI UGUAGLIANZA DEI TRIANGOLI
Se due triangoli hanno due angoli rispe7vamente uguali a due angoli e un lato uguale a un lato, o quello adiacente agli angoli uguali o quello che è opposto ad uno degli angoli uguali, essi avranno anche i laN rimanenN uguali rispe7vamente ai laN rimanenN, e l’angolo rimanente uguale all’angolo rimanente. Se due triangoli hanno rispeZvamente uguali due angoli ed il lato fra essi compreso, essi sono uguali Siano ABC e DEF i due triangoli aven7 gli angoli ABC e BCA rispe`vamente uguali agli angoli DEF ed EFD, cioè, ^ABC=^DEF e ^BCA=^EFD; ed abbiano anche un lato uguale a un lato: Consideriamo prima quello adiacente agli angoli uguali, cioè BC=EF. Dico che essi avranno anche i la7 rimanen7 uguali ai la7 rimanen7 e cioè, AB=DE e AC=DF, e l’angolo rimanente uguale all’angolo rimanente, cioè ^BAC=^EDF, infa`: 1) Se AB è disuguale rispeVo a DE, uno dei due è maggiore: sia maggiore AB -­‐ Allora su AB prendi BG=DE -­‐ Unisci G con C prop. 3 3) Considera i triangoli GBC e DEF; essi hanno due la7 e l’angolo fra essi compreso rispe`vamente uguali: post. I BC=EF per ipotesi ^ABC=^DEF per ipotesi GB=DE per costruzione 4) Perciò l’angolo GCB è uguale all’angolo DFE 5) Ma anche l’angolo ACB è uguale all’angolo DFE
prop. 4 6) Perciò l’angolo GCB è uguale all’angolo ACB
ipotesi 7) Il minore al maggiore, è impossibile
nc. I 8) Quindi AB non può essere disuguale rispeVo a DE
nc. V 9) Perciò AB è uguale a DE 10) Ma anche BC=EF e l’angolo ABC=DEF 11) Perciò la base AC sarà uguale alla base DF e l’angolo BAC sarà uguale all’angolo EDF ipotesi Dunque se due triangoli hanno due angoli rispeZvamente uguali a due angoli ed il lato adiacente pure uguale, essi hanno anche i laW rimanenW uguali ai laW rimanenW e l’angolo rimanente uguale all’angolo rimanente. –c.d.d
prop. 4 Proposizione 26 a 2° Criterio di uguaglianza dei triangoli PROPOSIZIONE 26 -­‐B): 4° CRITERIO DI UGUAGLIANZA DEI TRIANGOLI Consideriamo ora il caso in cui siano uguali i laW opposW agli angoli uguali, cioè sia AB=DE Dico che anche AC sarà uguale a DF e anche BC=EF e infine, che anche l’angolo BAC sarà uguale all’angolo EDF, infa`. 1) Se BC è disuguale da EF, uno dei due è maggiore: sia maggiore BC -­‐ Allora prendi su BC un segmento BG=EF
prop. 3 e post. I -­‐ Unisci A con G 2) Considera i triangoli ABG e DEF; essi hanno due la7 e l’angolo fra essi compreso rispe`vamente uguali: – AB=DE per ipotesi – ^ABC = ^DEF per ipotesi – BG=EF per costruzione 3) Perciò sarà AG=DF, ^BAG = ^EDF, e l’angolo AGB sarà uguale all’angolo DFE 4) Ma pure l’angolo ACB è uguale all’angolo DFE prop. 4 5) Quindi l’angolo AGB sarebbe uguale all’angolo ACB ipotesi 6) Perciò, nel triangolo AGC, l’angolo esterno AGB sarebbe uguale all’angolo interno ed opposto ACB, ma ciò è impossibile perchè l’angolo esterno è maggiore dell’angolo interno ed opposto nc. I 7) Perciò BC non è disuguale rispeVo a EF, quindi è uguale
prop. 16 8) Ma se BC=EF i triangoli ABC e DEF hanno due la7 e l’angolo fra essi compreso rispe`vamente uguali: – AB=DE per ipotesi – BC=EF per il passo 7 – ^ABC = ^DEF per ipotesi 9) Quindi anche AC=DF e ^BAC = ^EDF Dunque se due triangoli hanno due angoli rispeZvamente uguali a due angoli ed un lato uguale a un lato, o quello adiacente agli angoli uguali o quello opposto ad uno degli angoli uguali, essi avranno anche i laW rimanenW rispeZvamente uguali ai laW rimanenW e l’angolo rimanente uguale all’angolo rimanente. –c.d.d. Applica 3, 4, 16 -­‐ E’ applicata in 34 Proposizione 26 b 2° Criterio generalizzato PROPOSIZIONE 34 (PROPRIETÀ DEI PARALLELOGRAMMI) Negli spazi compresi fra re:e due a due parallele i laW e gli angoli opposW sono uguali fra loro, e il diametro li divide in due parW uguali. I parallelogrammi hanno laW e angoli opposW uguali e una diagonale li divide in due triangoli uguali. Definizione: Si chiama parallelogramma un quadrilatero con i laN opposN paralleli. Sia ABCD un parallelogramma e AC una sua diagonale. Dico che i la7 e gli angoli oppos7 sono uguali fra loro e che la diagonale AC lo divide in due par7 uguali, infa`: Chiama con α, α’, β, β’, γ, γ’, rispe`vamente gli angoli CAD, ACB, ACD, CAB, ADC, ABC. 1) Dunque AD//BC e AC cade su esse 2) Perciò gli alterni α e α’ sono uguali α=α’
prop. 29 3) Anche AB//DC e AC cade su esse 4) Perciò gli alterni β e β’ sono uguali β=β’
prop. 29 5) Considera i triangoli ABC e ADC; essi hanno due angoli e un lato (quello fra essi compreso) rispe`vamente uguali : – α=α’ (passo 2) – β=β’ (passo 4) – AC in comune 6) Quindi essi avranno anche l’angolo rimanente uguale all’angolo rimanente, e i la7 rimanen7 rispe`vamente uguali ai la7 rimanen7 dunque γ=γ’, AB=DC, AD=BC prop. 26 a) passi 2 e 4 7) Ma abbiamo deVo che α=α’ e β=β’ nc. 2 8) Perciò sarà pure α+β’ = α’+β 9) Perciò i parallelogrammi hanno i laW e gli angoli opposW uguali. Mostriamo ora che la diagonale li divide in par7 uguali: 10) Considera ancora i triangoli ABC e ADC; essi hanno due la7 e l’angolo fra essi compreso rispe`vamente uguali : AB=CD (passo 6) AC in comune β=β’ (passo 4)
prop. 4 11) Pertanto essi sono uguali (equivalen7) 12) Quindi la diagonale AC divide il parallelogramma in parW uguali. Dunque, negli spazi compresi fra reVe due a due parallele i la7 e gli angoli oppos7 sono uguali fra loro, e il diametro li divide in due par7 uguali. –
c.d.d. Applica 4, 26, 29 E’ applicata in 35, 37, 38, 41, 43, 45, 46 Proposizione 34: Nei parallelogrammi i la7 oppos7 sono uguali • Qui, data quella par7colare definizione di parallelogramma, il 2° criterio appare necessario, se non si vuole che la dimostrazione risul7 troppo lunga e dispersiva. Infa` il 2° criterio potrebbe essere dimostrato come lemma all’interno della 34. (Come avviene nella 47). Nel Primo Libro è usato solo in questa proposizione. Negli altri Libri, molto raramente • Ad esempio è usato ancora nella III,3, il teorema dell’asse di una corda, nella seconda parte, l’inverso, che potrebbe anche essere dimostrato in altri modi , ad esempio PROPOSIZIONE III, 3 Se in un cerchio una re?a che passa per il centro divide per metà un’altra re?a che non passi per il centro, è ad essa perpendicolare; e se è ad essa perpendicolare, la divide anche per metà • Nel teorema direVo il centro A è unito col punto medio D. • I due triangoli sono uguali per il 3° criterio, perciò hanno anche gli angoli in D uguali fra loro. Pertanto essi sono re`. • Per Euclide i due triangoli hanno due la7 uguali a due la7 e la base uguale alla base, pertanto gli angoli in D sono uguali per la I,8, e, poiché sono adiacen7, sono entrambi re`. (Ho sinte7zzato) • Nel teorema inverso abbiamo tracciato dal centro A la perpendicolare a BC. Essa individua il punto D. • Per Euclide, i triangoli sono uguali per la I, 26, il 2° criterio, pertanto BD=DC • Ma si poteva concludere anche col 1° Criterio considerando l’angolo rimanente • Oppure per assurdo: Se D non è punto medio, allora sarà E il punto medio. • Allora BE=EC e i triangoli sono uguali per il teorema direVo. • Pertanto gli angoli in E sono re`. • Ma anche quelli in D. • Allora il triangolo AED ha 2 angoli re`. • Ma in ogni triangolo la somma di due angoli, comunque presi, è minore di 2 re` ( I,17 oppure I, 32). • Perciò non può essere E punto medio, e così nessun altro punto lo sarà, tranne D • Il 2° Criterio è u7lizzato ancora poche volte. Tanto poche che Proclo si vede costreVo a gius7ficarne la presenza nel I Libro con varie considerazioni che riguardano la completezza dello studio dei triangoli. Ma conclude riportando: • “…..tali nozioni ci sono fornite da Porfirio, riguardo al rigore delle proposizioni: ma Eudemo nella sua Storia della Geometria aVribuisce questo teorema a Talete: perché, per il metodo con cui si tramanda che egli indicasse la distanza delle navi in mare, dice Eudemo che deve aver faVo uso di questo teorema.” ( pag 281-­‐282 del Commento….) Per concludere: Molte proposizioni di Euclide si possono dimostrare in maniera diversa e giocare a trovare alterna7ve è un bel gioco che fa prendere confidenza con l’intera costruzione. Trovata una dimostrazione alterna7va, ci si può chiedere perché Euclide abbia inserito invece la sua. Si troveranno spesso risposte del 7po: “la Sua è più generale”; “la Sua è este7camente più bella”; “la Sua è più correVa”…. Ogni volta ne usciremo rafforza7 nella convinzione che, se ha faVo così, avrà avuto le sue buone ragioni…e a noi non resta che cercarle. Anche questo mio aVo di fede ha le sue buone ragioni….. • “OGNI DECENNIO, O GIÙ DI LÌ, ARRIVA UN NUOVO APPROCCIO ALL’INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA E APPAIONO NUOVI MODI IN CUI I GENITORI POSSONO SENTIRSI INADEGUATI” • (Steven Strogaz, La gioia dei numeri, Ed. Mondatori Direct Spa. , 2012 Le Indicazioni nazionali e il metodo deduZvo Ci viene deVo esplicitamente di NON presentare la geometria con il metodo dedu`vo. Il metodo dedu`vo viene ripescato in seguito come argomento a sé che gli alunni dovranno conoscere. Ma questo fa:o è in contraddizione con quasi tuZ i tesW scolasWci! • Il primo biennio avrà come obie7vo la conoscenza dei fondamenN della geometria euclidea del piano. Verrà chiarita l’importanza e il significato dei conce7 di postulato, assioma, definizione, teorema, dimostrazione, con parNcolare riguardo al fa?o che, a parNre dagli ElemenN di Euclide, essi hanno permeato lo sviluppo della matemaNca occidentale. • In coerenza con il modo con cui si è presentato storicamente, l’approccio euclideo non sarà rido1o a una formulazione puramente assioma6ca. Qui ci si chiede espressamente di fare sal7. Costruire noi stessi ISOLE DEDUTTIVE ? (Furinghe`) Non seguire alla leVera il libro, ma concedersi sal7 (di programma? Quale programma? ) a seconda delle necessità? Siamo passa7 da “limitate catene dedu`ve”, dei vecchi programmi a queste Isole dedu`ve? Vediamo più in deVaglio le Indicazioni Nazionali del 2010 DALLE INDICAZIONI NAZIONALI: • Profilo generale e competenze: ……… Di qui i gruppi di conce7 e metodi che saranno obie7vo dello studio: Gli elemenN della geometria euclidea del piano e dello spazio entro cui prendono forma i procedimenN cara?erisNci del pensiero matemaNco (definizioni, dimostrazioni, generalizzazioni, assiomaNzzazioni); L’alunno avrà….una chiara visione delle cara?erisNche dell’approccio assiomaNco nella sua forma moderna e delle sue specificità rispe?o all’approccio assiomaNco della geometria euclidea classica (?) L’ampio spe?ro dei contenuN che saranno affrontaN dallo studente richiederà che l’insegnante sia consapevole della necessità di un buon impiego del tempo disponibile….. Della serie “fate in freVa”… GEOMETRIA, PRIMO BIENNIO • Il primo biennio avrà come obie7vo la conoscenza dei fondamenN della geometria euclidea del piano. Verrà chiarita l’importanza e il significato dei conce7 di postulato, assioma, definizione, teorema, dimostrazione, con parNcolare riguardo al fa?o che, a parNre dagli ElemenN di Euclide, essi hanno permeato lo sviluppo della matemaNca occidentale. • In coerenza con il modo con cui si è presentato storicamente, l’approccio euclideo non sarà rido?o a una formulazione puramente assiomaNca. MUMBLE Qui ci si chiede espressamente di fare sal7. Non seguire alla leVera il libro, ma concedersi sal7 (di programma? Quale? Una bella ricerca sulle molte dimostrazioni del Teorema, le terne Al teorema di Pitagora sarà dedicata una parNcolare a?enzione affinché ne pitagoriche, l’impiego siano compresi sia gli aspe7 geometrici nel Piano Cartesiano, l’impiego nello studio che le implicazioni nella teoria dei delle dimensioni numeri (introduzione dei numeri irrazionali) insistendo sopra?u?o sugli superiori, il teorema di Carnot, la relazione aspe7 conce?uali fondamentale fra le funzioni circolari…… Lo studente acquisirà la conoscenza delle principali trasformazioni geometriche (traslazioni, rotazioni, simmetrie, similitudini con parNcolare riguardo al teorema di Talete) e sarà in grado di riconoscere le principali proprietà invarianN MUMBLE Magari una bella ricerca sui moduli della simmetria • Inoltre studierà le proprietà fondamentali della circonferenza. • La realizzazione di costruzioni geometriche elementari sarà effe?uata sia mediante strumenN tradizionali (in parNcolare la riga e compasso, so?olineando il significato storico di questa metodologia nella geometria euclidea), sia mediante programmi informaNci di geometria. MUMBLE Si può fare un buon lavoro a par7re dalle costruzioni geometriche per abituare i ragazzi ad eseguire e a capire cosa si è eseguito e perché. GEOMETRIA, SECONDO BIENNIO • Studierà le proprietà della circonferenza e del cerchio e il problema della determinazione dell'area del cerchio, nonché la nozione di luogo geometrico, con alcuni esempi significaNvi. • Lo studio della geometria proseguirà con l'estensione allo spazio di alcuni dei temi della geometria piana, anche al fine di sviluppare l’intuizione geometrica. In parNcolare, saranno studiate le posizioni reciproche di re?e e piani nello spazio, il parallelismo e la perpendicolarità, nonché le proprietà dei principali solidi geometrici (in parNcolare dei poliedri e dei solidi di rotazione). L’Indicazione principale : pochi conce7 e metodi fondamentali, acquisiN in profondità MUMBLE • L’esplicitazione dei nuclei fondanN e dei E’ vero che contenuN imprescindibili. Intorno ad essi, il non ci sono legislatore individua il patrimonio culturale condiviso, il fondamento comune del sapere che imposizioni, la scuola ha il compito di trasme?ere alle nuove ma i suggerimen7 generazioni, affinché lo possano padroneggiare anche e reinterpretare alla luce delle sfide sempre nuove lanciate dalla contemporaneità, lasciando metodologici sono molto nel contempo all’autonomia dei docenN e dei esplici7 singoli isNtuN ampi margini di integrazione e, tu?a intera, la libertà di poter proge?are percorsi scolasNci innovaNvi e di qualità, senza imposizioni di metodi o di rice?e dida7che. MUMBLE Ciò ha comportato la rinuncia ai cataloghi onnicomprensivi ed enciclopedici dei “programmi” tradizionali E’ vero, non c’è il solito elenco deVagliato di argomen7 da sviluppare . Ma si può essere “densi” anche con poche indicazioni. Comunque, si individua la struVura portante e si lascia alle scuole e ai docen7 il compito di ideare, completare e rifinire la costruzione. MUMBLE Le Indicazioni non de?ano alcun modello dida7co-­‐ -­‐pedagogico. Ciò significa favorire la sperimentazione e lo scambio di esperienze metodologiche, valorizzare il ruolo dei docenN e delle autonomie scolasNche nella loro libera proge?azione e negare diri?o di ci?adinanza, in questo delicaNssimo ambito, a qualunque tentaNvo di prescri7vismo. La libertà del docente dunque si esplica non solo nell’arricchimento di quanto previsto nelle Indicazioni, in ragione dei percorsi che riterrà più proficuo me?ere in parNcolare rilievo e della specificità dei singoli indirizzi liceali, ma nella scelta delle strategie e delle metodologie più appropriate, la cui validità è tesNmoniata non dall’applicazione di qualsivoglia procedura, ma dal successo EducaNvo .….la libertà dell’insegnante e la sua capacità di ado?are metodologie adeguate alle classi e ai singoli studenN sono decisive ai fini del successo formaNvo. Qui si ribadisce l’importanza di rendersi autonomi e procedere come meglio si ri7ene. Questo riferimento è molto importante e presuppone un insegnante capace di liberarsi dei vincoli impos7 dal libro di testo Insomma le Indicazioni creano qualche problema: -­‐ Richieste in apparenza contradditorie -­‐ Niente programmi ma i suggerimen7 appaiono prescri`vi -­‐ Fare poco e bene, ma fare in freVa -­‐ Individuare percorsi che soddisfino le Indicazioni Ma cosa possiamo chiedere ai nostri alunni? Cosa desideriamo che sappiano fare? Le risposte a queste domande possono indicarci cosa proporre in classe SE SI DESIDERA ILLUSTRARE IL METODO ASSIOMATICO, MI PARE CHE QUELLO DI EUCLIDE SIA ANCORA IL PERCORSO PIÙ CHIARO. ALTRIMENTI BISOGNA SCEGLIERE ALTRI PERCORSI…… In occasione del 2° Corso di Dida`ca della Matema7ca, dedicato all’insegnamento della geometria , Fulvia Furinghe`, afferma: “In effe`, nella maggioranza dei casi, questa è l’immagine della dimostrazione che resta agli studen7: qualcosa che appar7ene all’esperienza cerebrale, ma non sensibile (o emo7va o sen7mentale) e qualcosa vissuto passivamente per rispeVare il contraVo dida`co” pag.41 E prosegue: Pagg. 54-­‐55 Alcune proposte dida`che poggiano su idee simili a queste: …… ALCUNE POSSIBILI VIE DIDATTICHE 1) LA PROPOSTA DI CASTELNUOVO, GORI GIORGI, VALENTI; • Par7re dalla somma degli angoli interni di un triangolo gius7ficandola in qualche modo: Con la ma7ta suggerita da Gabriele Lolli a Caserta; o con altri disposi7vi: • Passare al teorema dell’angolo esterno • Somma degli angoli esterni di un triangolo • Somma degli angoli esterni di un poligono di n la7 • Somma degli angoli interni di un poligono di n la7 • Formula per la somma degli angoli interni: vari modi per arrivare • Numero delle diagonali in un poligono di n la7 (formula) • Possibili altre somme notevoli: somma dei segmen7 che collegano fra loro n pun7 in tu` i modi possibili… •
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Ampiezza di un angolo nei poligoni regolari Pavimentazioni regolari Pavimentazioni semiregolari Uso di Cabri per la costruzione di pavimen7 Individuazione di simmetrie Uso delle simmetrie per la costruzione Passaggio alla costruzione dei solidi regolari Teorema di esistenza di soli 5 solidi regolari Ricerca di relazioni fra spigoli e diagonali Ricerca di relazioni fra spigoli e raggio della sfera circoscriVa Formula di Eulero Ma la cosa più interessante è che, con percorsi del genere gli esercizi non servono perché i problemi nascono da soli, mentre si lavora 2) LE COSTRUZIONI CON CABRI Abbiamo già visto le prime 12 proposizioni del Primo Libro degli Elemen7. Si può iniziare con quelle e introdurre costruzioni nuove…… Anche in questo caso non c’è bisogno di esercizi: i problemi nascono da soli e le costruzioni si classificano da sole secondo il proprio caraVere: • DireVe, basate sulla definizione • Basate su proprietà note delle figure • Basate su proprietà da ricercare • ……….. 3) INDIVIDUARE TEOREMI RICCHI DI CONSEGUENZE e“DIPANARE”(Remondini 2015) la matassa a ritroso oppure in avan7: Ad esempio il teorema dell’angolo esterno (prop.32) L’angolo esterno “spiega” molto e dà risulta7 notevoli • la somma degli angoli interni di un triangolo • la somma degli angoli esterni • L’angolo inscriVo in una semicirconferenza • Angoli al centro e alla circonferenza • Dà informazioni immediate in tante situazioni • La trisezione dell’angolo di Archimede 4) Fare matema7ca in maniera crea7va per 3 o 4 mesi, poi riordinare, il lavoro svolto alla ricerca dell’assioma7ca Non isole dedu`ve, ma un vero e proprio libro degli elemen7 (Remondini, 2015) E, per chiudere, torniamo alle idee di Lockart, riprese da un altro matema7co Steven Strogatz, La gioia dei numeri, Mondadori Direct S.p.A, 2012, pagg.90 e 95 Con questo ho finito. Vi ringrazio per l’aVenzione E spero che rimarremo amici IDEE 4) LA DIVISIONE DEL TRIANGOLO RETTANGOLO IN TRIANGOLI SIMILI: • Spiega l’angolo limite e il teorema delle tangen7; • I teoremi di Euclide e il teo di Pitagora ; • Dunque consente la costruzione degli irrazionali • Il metodo di Al Biruni per la misura della circonferenza della terra Se un alunno dice : “i la7 oppos7 del reVangolo sono uguali” prima di aver traVato il parallelismo, è un errore. Se lo dice dopo il parallelismo è correVo. Bisognerebbe dare un nome ai teoremi, o chiamarli con un numero, come fa Euclide…. • Elenco finito dei teoremi e delle nozioni necessarie da far acquisire agli alunni • Mostrare Castelnuovo: fino alla costruzione dei poliedri regolari. • Teorema dell’angolo esterno • Teorema dei triangoli simili • Elenco
