Slides micro 4 - dipartimento di economia e diritto

Impresa in concorrenza perfetta
EQUILIBRIO ECONOMICO GENERALE (EEG)
L’ipotesi di concorrenza perfetta implica prezzi dati per i singoli agenti economici;
e – in un singolo mercato – il prezzo si forma via domanda e offerta…
abbiamo visto che domande e offerte individuali
MA:
dipendono da tutti i prezzi !
… e allora, come si formano questi prezzi ?
Pur mantenendo l’ipotesi di concorrenza perfetta, occorre superare l’analisi parziale e sviluppare una:
Teoria dell’equilibrio economico generale (EEG)
come cioè una moltitudine di agenti (imprese e consumatori) e di mercati possano essere
simultaneamente in equilibrio.
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E. Marchetti
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La teoria dell’EEG è la parte più sofisticata dell’Economia Politica Neoclassica.
Un po’ di storia…
- il fondatore: Leon Walras
(c.ca 1870-80) – spesso si parla di EEG walrasiano
- epigoni “immediati”: V. Pareto (e la scuola di Losanna), E. Barone, A. Wald, etc. fine 800 – primi
del 900
- gli sviluppi moderni: dimostrazioni fondamentali: K. Arrow, G. Debreu T. Koopmans e L.
McKenzie: c.ca 1950-60.
- alcuni sviluppi più recenti: H. Sonnenschein, R. Radner, E. Malinvaud, etc. (1970…)
Presenteremo una versione “moderna” dell’analisi impostata da Walras
– a differenza dell’originale assumeremo tecnologia descritta da funzioni di trasformazione (non da
coefficienti fissi)
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Schema generale:
Un’economia composta da:
- un totale di N beni economici diversi, ripartiti in :
o i = 1, 2, 3, … C beni di consumo;
o j = 1, 2, 3, … S
servizi produttivi (input);
C+S=N
- h = 1,2,3 … , H diverse famiglie (di consumatori e proprietari di risorse produttive);
- f = 1,2,3 … , F diverse imprese;
Struttura istituzionale:
- Ogni bene (o servizio) viene scambiato sul suo apposito mercato;
- L’economia è a proprietà privata (dei mezzi di produzione): le imprese sono possedute (in quote
diverse) dalle famiglie.
- Vale l’ipotesi di concorrenza perfetta su ogni mercato: nessun agente economico può influire
individualmente su alcuno dei prezzi ( p1, p2 ,L, pC ) e (v1, v2 ,L, vS )
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Contesto d’azione degli agenti economici:
Il contesto di studio è
uniperiodale (statico)
come nell’analisi parziale già discussa
Gli agenti economici (famiglie) hanno quindi le seguenti fonti di
Reddito:
- Dotazioni iniziali di beni di consumo: l’agente le può vendere invece di consumarle – esse sono
indicate con: (qh1, qh 2 ,L, qhC )
Ai prezzi di mercato il reddito (nominale) da tali dotazioni è:
C
∑ pi ⋅ qhi
per ogni h
i =1
- Dotazioni iniziali di servizi produttivi – da vendere (o affittare) sugli appositi mercati:
( xh1, xh 2 ,L, xhS );
Ai prezzi di mercato il reddito (nominale) da tali dotazioni è:
S
∑ v j ⋅ x hj
per ogni h.
j =1
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- Partecipazioni azionarie – l’economia è a proprietà privata, quindi le famiglie sono detentrici di
quote di proprietà della imprese:
esse hanno dunque diritto ai profitti generati dall’attività produttiva
Indichiamo con:
la quota di proprietà della f – esima impresa detenuta dalla h – esima famiglia;
d hf
Tutte le imprese sono detenute dall’insieme delle famiglie,
per ogni impresa f vale:
H
∑ d hf
= 1
Quindi:
(le d sono espresse come frazioni)
h =1
Tutti i profitti sono distribuiti (… uniperiodale), quindi se π f
Dhf = d hf π f
Dh =
F
∑ d hf π f
= profitto impresa f
=
quota dei dividendi di f pagati alla famiglia h
=
reddito totale da dividendi della famiglia h
allora:
e:
f =1
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Dunque, il reddito totale disponibile per acquisti della famiglia h , Rh , è dato da:
Rh =
Nota:
C
∑ pi q hi
i =1
+
S
∑ v j x hj
+
j =1
F
∑ d hf π f
… ciò per ogni h
f =1
ora il reddito non è più esogeno all’analisi, ma è endogeno (dipende dai prezzi)
Preferenze e tecnologie per gli agenti economici:
I consumatori possono trarre utilità dal possesso/consumo di beni e fattori:
U h = U h (qh1, qh 2 ,L, qhC ; xh1, xh 2 ,L, xhS )
funzione di utilità della famiglia h
Queste U sono tutte continue e strettamente quasi-concave: SMS tra beni (e fattori) decrescenti
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Per le imprese, capitali e fattori fissi sono esogeni e pari a x fa per ogni f; la tecnologia è espressa da:
Q f (q f 1 , q f 2 , L , q fC ; x f 1 , x f 2 , L , x fS , x fa ) = 0
NOTA:
funzione di trasformazione impresa f
per coerenza, le x nelle Q sono considerate grandezze negative : hanno segno meno…
Le Qf sono definite su insiemi delle possibilità produttive strettamente convessi
SMST strettamente decrescenti e SMT crescenti
Comportamento degli agenti economici:
nel fare le loro scelte gli agenti dovranno considerare tutti i prezzi per loro rilevanti (in generale proprio
tutti), in maniera complessiva e integrata.
Un agente può svolgere dunque il ruolo di acquirente o venditore (sia esso consumatore o impresa), per
via delle dotazioni iniziali.
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Come nell’analisi neoclassica standard, sono i prezzi che inviano i segnali essenziali per le scelte
individuali.
Comportamento dei consumatori:
Come sempre: Massimizzazione dell’utilità sotto il vincolo di bilancio:
max U h = U h (qh1 , ,L, qhC ; xh1 , ,L, xhS )
q, x
s.t.
C
∑ pi qhi
i =1
+
S
∑ v j xhj
j =1
= Rh
NOTA:
- il reddito Rh è dato da varie componenti: somma di dotazioni inziali di beni e input più dividendi
totali della famiglia;
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- La prima sommatoria:
C
∑ pi qhi
è la spesa (potenziale) per i beni di consumo
i =1
- La seconda sommatoria:
S
∑ v j xhj
è la spesa da utilizzo personale di input e servizi (es., anche il
j =1
valore del tempo libero).
La procedura di soluzione è analoga a quelle già viste
∂U h
= λpi ∀i ;
∂qhi
… un totale di N equazioni
–
le CPO:
∂U h
= λv j ∀j
∂xhj
(più il vincolo di bilancio per l’incognita λ)
Esse consentono di definire tutte le eguaglianze con i SMS, e quindi di:
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Ottenere le funzioni di domanda/offerta di beni e fattori:
qhi = qhi ( p1,L pC , v1,LvS )
xhj = xhj ( p1,L pC , v1,LvS )
i = 1,2,L, C
j = 1,2,L, S
… ciò per ogni h
Attenzione: la famiglia dispone di dotazioni iniziali sia di beni che di fattori, quindi – a seconda di
preferenze e di prezzi – può scegliere sia vendere che acquistare sia beni che fattori.
- per il bene i, se qhi > q hi allora la f. è acquirente del bene; se qhi < q hi è venditore del bene
analogamente:
- per l’input j, se xhj > x hj allora la f. è acquirente dell’input;
Quindi è opportuno definire piuttosto le
se xhj < x hj è venditore dell’input
posizioni nette:
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zhi = (qhi − q hi )
zhj = (xhj − x hj )
i = 1,2,L, C
j = 1,2,L, S
Quindi:
- se zhi(j) > 0, la famiglia desidera acquistare il bene/fattore sul suo mercato;
- se zhi(j) < 0, la famiglia desidera vendere il bene/fattore sul suo mercato;
- se zhi(j) = 0, la famiglia sta bene così – non vuole comprare o vendere quest’oggetto;
Queste decisioni dipendono dai prezzi, quindi avremo:
zhi = zhi ( p1,L pC , v1,LvS )
zhj = zhj ( p1,L pC , v1,LvS )
i = 1,2,L, C
j = 1,2,L, S
Che sono chiamate funzioni di domanda/offerta nette dei vari beni/fattori (individuali della famiglia)
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Aggregando su ciascun mercato le domande/offerte nette, otteniamo:
∑ zhi = zi = zi ( p1,L pC , v1,LvS )
i = 1,2,L, C
h
∑ zhj = z j = z j ( p1,L pC , v1,LvS )
j = 1,2,L, S
h
Ovvero, per il mercato del generico bene i, la Domanda aggregata (di mercato) netta
e per il mercato del generico fattore j, la
Offerta aggregata (di mercato) netta
Proprietà importante delle zi/j:
Sappiamo che le funzioni di domanda/offerta nette sono omogenee di grado 0 nei prezzi;
quindi anche le domande/offerte nette di mercato – che sono la somma delle prime – avranno tale
proprietà.
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offrire beni e domandare input
Comportamento delle imprese:
πf =
Obiettivo: massimizzare il profitto:
C
∑ pi q fi
+
i =1
S
∑ v j x fj
ciò per ogni f
j =1
Nota: segno + sulle x … convenzione (sono negative)
(e niente costi fissi: semplicità)
Problema impresa f:
Anche qui, stesse CPO già viste:
max π f =
q, x
C
∑ pi q fi
i =1
+
S
∑ v j x fj
j =1
s.t. Q f (q f 1,L, q fC ; x f 1,L, x fS , x fa ) = 0
pi = −λ
∂Q f
∂q fi
∀i ;
vj = λ
∂Q f
∂x fj
∀j
… un totale di N equazioni per ogni impresa.
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Anche qui si ottengono le:
domande/offerte di input/prodotti:
q ofi = q ofi ( p1 ,L pC , v1 ,L vS )
i = 1,2,L, C
( p1 ,L pC , v1 ,LvS )
j = 1,2,L, S
x dfj
=
x dfj
… ciò per ogni f
MEMO: le x qui sono negative.
Assumiamo che le imprese non abbiano scorte di q e/o x: non servono le domande nette.
Aggregando tra le imprese:
Cioè le
∑ f q ofi = qio = qio ( p1,L pC , v1,LvS )
i = 1,2,L, C
= x dj ( p1,L pC , v1,LvS )
j = 1,2,L, S
∑ f x dfj = x dj
Domande/offerte di mercato generate dalle imprese
NOTA: anche queste ultime sono omogenee di grado 0.
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Equilibrio Generale
Dalle z, qo, e xd possiamo ottenere gli
Eccessi di domanda di ciascun bene/servizio:
( )
E j = (z j − x dj )
Ei = zi − qio
i = 1,2,L, C
j = 1,2,L, S
Nota: il segno negativo delle xd assicura la corretta interpretazione anche per gli input:
- Quando la domanda netta di un bene/servizio eccede l’offerta netta, si ha ecc. di dom. positivo
- Quando l’offerta netta di un bene/servizio eccede la domanda netta, si ha ecc. di dom. negativo
- Quando domanda netta di un bene/servizio = offerta netta, si ha ecc. di dom. nullo.
L’ultimo caso è quello dell’ equilibrio del mercato in questione.
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Per quanto visto prima, le E sono ciascuna funzione di
Ei = Ei ( p1,L pC , v1,LvS )
E j = E j ( p1,L pC , v1,LvS )
tutti i prezzi dell’economia:
i = 1,2,L, C
j = 1,2,L, S
Ecco spigata dunque la differenza tra analisi parziale e analisi generale:
L’equilibrio su un singolo mercato (i o j) dipende da domanda e offerta, quindi da E;
Ma ogni E dipende a sua volta da tutti i prezzi di beni e servizi;
l’equilibrio di ogni mercato dipende quindi non solo dal prezzo di quel mercato, ma da tutto il vettore
dei prezzi ( p1,L pC , v1,L vS ) .
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Come funziona questo meccanismo ?
Inizialmente, si parte da un certo vettore di prezzi ( p1,L pC , v1,LvS ) , magari scelto a caso;
gli agenti, su questa base, formano le loro domande/offerte individuali z, q, x massimizzando i loro
obiettivi;
dalle z, q, x, individuali si formano le domande offerte di mercato, e quindi le E;
in base ai segni delle E si stabilisce la situazione dei vari mercati: eccesso di domanda, di offerta, ecc.
a questo punto vi sono delle forze (cfr. oltre) che variano i prezzi dei mercati in funzione delle E
e gli agenti riformulano le loro scelte in base al nuovo vettore di prezzi…
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Alla base di questo meccanismo vi sono due elementi fondamentali:
- I prezzi sono gli unici segnali, provenienti dai mercati, che guidano le scelte degli agenti;
- Le domande/offerte nette sono le uniche determinanti dei prezzi sui vari mercati.
… e un’idea generale sul funzionamento dei mercati (competitivi): come variano i prezzi ?
Tramite il Tâtonnement: per tentativi…
esiste un meccanismo (istituzione, processo … ?) che:
aggiusta il vettore ( p1,L pC , v1,LvS ) in risposta agli E:
- Se un mercato ha un E > 0, allora il suo prezzo aumenta;
- Se un mercato ha un E < 0, allora il suo prezzo diminuisce;
È il cosiddetto
banditore walrasiano
Se il prezzo è tale che E = 0, allora il prezzo rimane fermo
Gli agenti rivedono i loro piani ottimi:
reazioni di z, q, x ai nuovi ( p1,L pC , v1,L vS )
Dopo un certo numero di iterazioni, tutti i prezzi dovrebbero raggiungere la situazione per cui E = 0.
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Perché la situazione in cui è E = 0 su ogni mercato è importante?
Definizione di:
Equilibrio economico generale – EEG (walrasiano):
Gli N mercati si dicono in equilibrio concorrenziale walrasiano se esiste un vettore
di prezzi: ( p *1,L p *C , v1*,LvS *) tale che:
Ei ( p1*,L pC *, v1*,LvS *) = 0
E j ( p1*,L pC *, v1*,LvS *) = 0
i = 1,2,L, C
j = 1,2,L, S
Cioè in ogni mercato, per ( p *1,L p *C , v1*,LvS *) , la domanda è uguale all’offerta.
- È una situazione in cui i piani d’azione di ciascun agente sono nel complesso reciprocamente
compatibili: chi vuol vendere riesce a farlo e chi vuole acquistare pure, ai prezzi d’equilibrio.
- È anche una situazione in cui tutti questi piani d’azione sono individualmente ottimi: ogni agente
può realizzare i suoi obiettivi – domande e offerte nette individuali sono soddisfatte.
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Primo problema fondamentale dell’analisi di EEG:
esiste (almeno un) EEG ?
OK – abbiamo N incognite e N equazioni … ma questa è solo condizione necessaria per l’EEG !
… e le condizioni sufficienti ?
Si può dimostrare che
SE:
- Tutte le funzioni di domanda e offerta individuali sono continue (si esclude che qualcuno abbia
reddito R nullo);
- Ciascuna famiglia h possiede una dotazione iniziale non nulla di ogni bene e servizio;
- (Altre ipotesi: convessità delle preferenze e degli insiemi di possibilità produttive … )
ALLORA esiste almeno un vettore ( p *1,L p *C , v1*,LvS *) che garantisce l’equilibrio.
(tecniche sofisticate: teoremi di punto fisso; topologia differenziale…)
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NOTA: affinché ( p *1,L p *C , v1*,LvS *) si di EEG, in effetti basta che sia:
Ei ( p1*,L pC *, v1*,LvS *) ≤ 0
E j ( p1*,L pC *, v1*,LvS *) ≤ 0
Basta anche l’eccesso di offerta:
i = 1,2,L, C
j = 1,2,L, S
serve a coprire i casi in cui
Per qualche bene c’è eccesso di offerta quando il suo prezzo è nullo:
bene libero.
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Legge di Walras
Il sistema di equilibrio con le E ha dunque N equazioni in N incognite…
Se fosse però interamente determinato, e se le condizioni d’equilibrio fossero soddisfatte, allora:
si determinerebbero tutti i prezzi monetari, … ma la moneta non è mai entrata nel modello !
almeno una equazione è dipendente dalle altre:
Occorre quindi eliminare un’equazione
il sistema è sottodeterminato.
e di conseguenza fissare un prezzo in modo arbitrario.
Così avremo determinato solo N – 1 prezzi relativi, del tipo:
p1 *
dove pm è il numerario.
pm
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Esprimiamo il vincolo di bilancio del consumatore h così:
∑ pi (qhi − q hi )
C
+
i =1
Ovvero:
C
∑ pi zhi
+
i =1
∑ v j (xhj − x hj )
S
−
j =1
S
∑ v j zhj
−
j =1
F
∑ d hf π f
F
∑ d hf π f
=0
f =1
=0
f =1
Sommiamo (in h) tutti i vincoli di bilancio delle famiglie:
C
∑ pi ∑ zhi
i =1
Ma sappiamo che è:
h
+
S
∑ v j ∑ zhj
j =1
∑ h zhi = zi ;
h
−
F
∑ ∑ d hf π f
h
=0
f =1
∑ h zhj = z j ;
∑ h d hf
= 1;
quindi:
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C
∑ pi zi
+
i =1
S
∑vjz j
−
j =1
π f = ∑ pi q fi +
i =1
Quindi sostituendo:
S
∑ v j x fj ;
∑ pi zi
S
∑vjz j
+
i =1
C
∑
i =1
−
j =1
(
=0
ma per definizione vale:
∑ f q fi = qio ;
j =1
C
∑π f
f =1
L’ultima somma è pari a tutti i profitti dell’economia;
C
F
pi zi − qio
)+
C
∑
i =1
pi qio
∑ f x fj = x dj
−
S
∑ v j x dj
=0
o anche:
j =1
∑ v j (z j − x dj ) = 0
S
j =1
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E infine, usando le definizioni degli eccessi di domanda:
C
∑ pi Ei
+
i =1
Quest’equazione prende il nome di
S
∑vjE j = 0
j =1
Legge di Walras
Quindi, non tutte le Ei,j(…) = 0 sono indipendenti: la legge di Walras lo dimostra!
Potremmo quindi determinare solo un vettore di prezzi relativi e la teoria EEG è una:
Teoria dei prezzi relativi
(di equilibrio)
Un prezzo (arbitrario) funge da unità di conto per gli altri.
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Esempio:
economia con un bene e un input soltanto (N =2)
Legge di Walras:
p1E1 + v2 E2 = 0
Possono dunque aversi solo questi tre casi, assumendo p e v positivi (cfr. l’equazione di sopra…) :
- E1 = E2 = 0;
- E1 > 0; E2 < 0;
- E1 < 0; E2 > 0;
Questo ha un’importante conseguenza:
- Se uno dei due mercati, diciamo quello del bene, è in equilibrio a p1 * :
p1 * E1 = 0
- Allora anche l’altro mercato deve essere necessariamente in equilibrio:
v2 * E2 = 0
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Questa proprietà può essere naturalmente generalizzata a N beni/servizi
C
∑ pi * Ei
i =1
Quindi:
+
in equilibrio è:
S
∑vj * E j = 0
j =1
Se N – 1 mercati sono equilibrio, allora anche l’ N-esimo è in equilibrio.
E’ per questo che possiamo scegliere un prezzo – quello ad esempio dell’N-esimo bene – arbitrariamente
Conseguenza:
in un’economia senza moneta i beni si scambiano – in equilibrio – contro altri beni;
quindi i prezzi sono espressi come prezzi relativi: quanto di un bene in termini di un
altro bene – economia di baratto.
Si può pensare che in un’economia di baratto gli agenti si accordino su un bene (es. l’N-esimo) che
funga da mezzo di scambio – e da misura del valore – è questo il senso della scelta del numerario
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PROPRIETA’ DELL’ EEG – CARATTERIZZAZIONE
Riprendiamo le CPO delle famiglie, e facciamo il rapporto tra due qualunque di esse (i,c e j,e):
Per ogni famiglia h:
∂U h / ∂qhi pi
=
= SMSih,c ∀i, c ;
∂U h / ∂qhc pc
∂U h / ∂xhj
∂U h / ∂xhe
=
vj
= PM e,c =
ve
pc
∀j , c
= SMT1,c =
1
pc
∀j , c
=
SMS hj ,e
ve
∀j , e
Facciamo lo stesso per le imprese – per due fattori (j,e) e un bene (c):
Per ogni impresa f:
∂Q f / ∂x fj
∂Q f / ∂q fc
= PM j ,c =
Inoltre, poniamo il bene 1come numerario: p1 = 1;
Abbiamo anche:
vj
pc
∀j , c ;
∂Q f / ∂x fe
∂Q f / ∂q fc
∂Q f / ∂q f 1
∂Q f / ∂q fc
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Sempre per le imprese, possiamo poi dividere due PM relative allo stesso bene ma a diversi fattori
produttivi:
PM j ,c
PM e,c
=
vj
ve
= SMSTec, j ∀j , e, c
Ma occorre notare che, in equilibrio generale, quando cioè si effettuano gli scambi
i prezzi fronteggiati dagli agenti sono gli stessi per tutti gli agenti – sono appunto i prezzi di equilibrio
che eguagliano decisioni di vendita e decisioni di acquisto
Quindi i rapporti tra i prezzi, in equilibrio, devono necessariamente corrispondere ai vari saggi marginali
di sostituzione (per i fattori) e ai saggi marginali di trasformazione (per i beni).
Questo dà origine a una serie di eguaglianze di equilibrio tra i SMS,
SMST e SMT :
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Per qualunque coppia di fattori produttivi:
vj *
ve *
= SMS hj ,e = SMST j ,e
∀j , e; ∀h, f
(per ogni e,j per ogni impresa e famiglia)
pi *
= SMSih,c = SMTi ,c ∀i, c; ∀h, f
pc *
Per qualunque coppia di beni:
(per ogni i,c per ogni impresa e famiglia)
Questi insiemi di eguaglianze
caratterizzano le condizioni di EEG:
- Famiglie e imprese devono eguagliare i loro SMS e SMST riguardo ai fattori;
- Famiglie e imprese devono eguagliare i loro SMS e SMT riguardo ai beni;
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