Esercizi Prima Lezione

Esercizi Prima Lezione
Teoria dei Numeri
14/12/2016
Esercizi da svolgere in classe
1. Con quanti zeri termina 10000! ?
2. Determinare un quadrato perfetto di 4 cifre tale che le prime due siano uguali tra loro, cosı̀ come le ultime
due.
3. Qual è il più piccolo numero positivo il cui cubo è divisibile per 11340?
4. Siano a, b due numeri naturali strettamente maggiori di 2 e tali che 4b − 1 e 5b + 2 siano entrambi multipli
di a. Qual è il valore di a?
5. Quali sono i numeri positivi n per cui n2 + 20 è divisibile per n + 2?
6. Trovare tutte le terne composte da tre interi consecutivi, di cui 2 sono numeri primi e uno di questi è un
quadrato perfetto. Dare come risultato il prodotto di tutti gli elementi maggiori di queste terne. (Adattato
dalla Finale Nazionale a Squadre 2011)
7. Esistono 1000 numeri consecutivi tutti composti (ovvero non primi)?
8. Si scrivono tutte le coppie (p, q) di numeri primi tali che
• p + 2q sia primo
• 6p + q sia primo
• p + q − 124 sia anche primo
Poi scrive il prodotto pq per ciascuna di queste coppie. Qual è il minimo prodotto che si ottiene?
9. In quanti modi il numero 11 può essere espresso come differenza di 2 quadrati? E il numero 45?
10. Sapreste dire se 1054 + 4105 è un numero primo?
11. Esistono numeri interi positivi che abbiano esattamente 11 divisori?
• Quanti sono i multipli di 11 che hanno 11 divisori?
• Quanti sono i multipli di 22 che hanno 22 divisori?
• Quanti sono i multipli di 44 che hanno 44 divisori?
12. Trovare il numero di divisori di 101003 − 13133 − 87873
13. Dati i due numeri n = 111.333.222.666 e m = 111.333.333.111, quanti sono i divisori di m che NON sono
divisori di n.
14. Calcolare M.C.D.(3.307.744, 3.307.788, 135.802.546)
15. Quanti sono i numeri interi strettamente positivi e non maggiori di 10000 che hanno un numero pari di
divisori?
16. Quanto vale la somma di tutti i divisori di 65 ?
17. Terminata la battaglia, Giulio Cesare decide di contare i superstiti della Decima Legione, la sua preferita.
Con un rapido sguardo capisce subito che sono sicuramente meno di 1000. Per conoscerne il numero esatto
ordina loro di mettersi in fila per 7, ma trova che, una volta formate tutte le file complete, resta una fila
parziale di 5 soldati. Se invece prova a metterli in fila per 11 gliene restano spaiati 8. Se infine prova a
metterli in fila per 13, quelli che restano spaiati sono 7. Quanti sono i soldati?
1
18. Trovare la cifra delle unità del numero
1
2
3
2016
2(2 ) + 2(2 ) + 2(2 ) + ... + 2(2
)
19. Trovare le ultime tre cifre di 3840
20. La somma dei quadrati di 3 interi dispari consecutivi è un numero di 4 cifre tutte uguali tra loro. Quali sono
i tre numeri dispari?
21. Avete a disposizione una fontana e due recipienti rispettivamente da 8 e da 5 litri, come potete fare a
raccogliere precisamente 1 litro di acqua? E se dovete raccogliere 4 litri d’acqua? E se avete due recipienti
da 8 e da 4 litri?
22. Avete due misurini per la farina: uno da 53 grammi e l’altro da 39. Dovete misurare esattamente 100 grammi
di farina da mettere in una ciotola, inizialmente vuota. Iniziate allora aggiungendo per n volte, con il primo
misurino, 53 grammi di farina nella ciotola. Poi, usando il secondo, togliete per m volte 39 grammi di farina
da quella che c’è nella ciotola. Qual è il minimo valore di n + m che gli permette di ottenere esattamente 100
grammi di farina?
23. Determinare tutti i numeri n, m tali che
(n − 2m)(n + m) = 100
24. Determinare tutti i numeri n, m tali che
nm + 2m − 2n + 1 = 0
25. Trovare tutte le coppie (x, y) di numeri interi che risolvono l’equazione x2 + xy + 3x + 5y + 7 = 0
26. Trovare tutti i numeri interi n tali che 3n + 2 sia un quadrato perfetto.
27. Trovare tutti i numeri interi n tali che 2n + 3 sia un quadrato perfetto.
28. Qual è il più piccolo intero positivo k tale che k = n3 + 2n2 e tale che k sia il quadrato di un numero dispari?
29. Determinare tutte le soluzioni intere dell’equazione
1
1
2
1
+ +
=
m n mn
5
Esercizi Proposti
30. Trovare tutti i numeri interi n tali che
n2 + 3n + 8
è intero
n+1
31. Avete provato a calcolare 34! ma il vostro computer vi ha dato come risultato
295232799ab96041408476186096435cd000000
dove a, b, c e d sono 4 cifre del numero in questione. Sapreste dire che cifre sono?
32. Quanti sono i numeri interi compresi tra 1 e 2016 che non si possono scrivere come differenza di due quadrati
perfetti? (Ricordate che anche 0 è un quadrato perfetto)
33. Trovare le ultime due cifre di 8787 e le ultime tre cifre di 201201 .
34. Dopo aver posto a0 = 624, per ogni intero positivo n definiamo an = 624an−1 . Che resto si ottiene dividendo
a2016 per 10000.
35. Dato un intero positivo a0 costruiamo la successione a0 , a1 = d(a0 ), a2 = d(a1 ),. . . an = d(an−1 ). . .
• Quale sarà il comportamento della successione an al crescere di n?
• Per quali scelte di a0 la successione contiene almeno un quadrato e per quali invece no?
36. Di un numero intero si sa che ha 4324320 divisori positivi. Quanti sono , al massimo i numeri primi che
compaiono nella sua fattorizzazione?
37. Quanti sono i numeri interi positivi n non maggiori di 400 che hanno la seguente proprietà: il prodotto di
tutti i divisori di n, compreso anche n stesso, è uguale a n3
2
38. Trovare, se esistono, tutte le soluzioni x ∈ Z delle seguenti congruenze:
•
•
•
•
•
•
3x ≡ 1 (mod 5)
5x ≡ 2 (mod 21)
9x ≡ 2 (mod 30)
9x ≡ 3 (mod 30)
5x ≡ 8 (mod 17)
2x ≡ 4682612105 (mod 15)
39. Determinare tutte le soluzioni x ∈ Z dei seguenti sistemi di congruenze :
(
(
x ≡ 2 (mod 5)
2x ≡ 5 (mod 7)
•
•
x ≡ 3 (mod 7)
3x ≡ 4 (mod 8)




x ≡ 4 (mod 8)
5x ≡ 4 (mod 8)
• x ≡ 3 (mod 5)
• 4x ≡ 3 (mod 5)




x ≡ 4 (mod 9)
2x ≡ 4 (mod 9)




1754x ≡ 2 (mod 11)
5x ≡ 4 (mod 6)
• 5125 x ≡ 4 (mod 13)
• 3x ≡ 5 (mod 8)




4 × 37 × 59 × 101x ≡ 7 (mod 17)
8x ≡ 5 (mod 13)
40. Per ciascuna delle seguenti equazioni diofantee trovare, se ce ne sono, tutte le coppie di interi (x, y) che le
soddisfano:
•
•
•
•
•
•
37x + 61y = 10
198x + 165y = 66
1001x + 512y = 243
610x + 377y = 144 (Occhio alla scorciatoia!!)
17x − 24y = 81
31x ± 70y = −8
41. Dire quante sono le terne di numeri interi non negativi (x, y, z) che soddisfano 6x + 10y + 15z = 3300
(Nota: In questo problema vengono usate alcune nozioni di calcolo combinatorio!)
42. Trovare tutte le terne di numeri interi (x, y, z) che soddisfano 2x + 3y + 5z = 10
43. Dire quante sono le terne (x, y, z) di numeri interi non negativi e minori di 2016 che risolvono
x3 + 5y 3 + 25z 3 = 5xyz
44. Risolvere le seguenti equazioni di Pell:
• x2 − 2y 2 = −1
• x2 − 3y 2 = 1
• x2 − 5y 2 = 1
45. Trovare tutti i numeri interi positivi che si possono scrivere sia come quadrati perfetti che come numeri
n(n + 1)
triangolari. (Nota: un numero triangolare è un numero che si può scrivere nella forma
per qualche
2
n ∈ N)
46. Trovare gli interi n per cui esiste un intero m tale che
1 + 2 + 3 + · · · + m = (m + 1) + (m + 2) + · · · + n
47. Determinare tutte le soluzioni intere dell’equazione (x2 + 1)(y 2 + 1) + 2(x − y)(1 − xy) = 4(1 + xy)
48. Determinare tutte le coppie (x, y) di numeri naturali tali che 2x + 1 = 3y
49. (Frobenius Coin Problem)Andate da McDonald’s con un po’ di amici e decidete di prendere delle crocchette
di pollo tutti insieme. Ci sono solo confezioni da 7 e da 10 crocchette e non potete prendere crocchette singole,
quindi potete comprare solo un numero intero positivo di confezioni dell’uno e dell’altro tipo. Qual è il più
grande numero di crocchette che non potete acquistare?
• E se le confezioni fossero state da 17 e 31 crocchette?
• Riuscite a generalizzare la situazione con confezioni da a e b crocchette?
3
Esercizi dimostrativi
50. Dimostrare che se esistono 3 numeri interi a, b e c tali che a3 + 2b3 + 4c3 = 0. Allora a, b e c sono tutti e tre
pari
√
51. Dimostrare che ogni numero composto n ha almeno un divisore minore di n
52. Dimostrare che se n > 4 allora n | (n − 1)! ⇔ n non è primo.
53. Dimostrare la formula per il prodotto dei divisori di un numero:
$(n) = n
d(n)
2
(Hint: I divisori si possono essere considerati a coppie in un modo molto intelligente. . . )
54. Dimostrare che per ogni numero naturale n il numero 37n32 + 7n72 è divisibile per 22
55. Dimostrare che se a e b sono due numeri dispari allora a2 + b2 non è un quadrato.
56. Dimostrare che le somme di 3,4,5 o 6 quadrati perfetti consecutivi non è mai un quadrato perfetto.
57. Dimostrare che esistono infiniti numeri naturali n tali che 4n2 + 1 è divisibile sia per 5 che per 13.
58. Dimostrare che 13 | 270 + 370 .
6n+2
59. Dimostrare che 19 | 22
+ 3 per ogni numero naturale n ≥ 0.
60. Dimostrare che 11 × 31 × 61 | 2015 − 1
61. Considerate la sequenza x1 = 2 e xn+1 = x2n + 5. Dimostrate che questa sequenza non contiene primi eccetto
2.
62. Trovare una coppia di numeri interi positivi (a, b) di tre cifre tali che l’algoritmo euclideo per il M.C.D. sia il
più lungo possibile.
63. Dimostrare che la frazione
21n + 4
è irriducibile per ogni numero naturale n.
14n + 3
4