modulo 2 le equazioni con coefficienti letterali o irrazionali

CLASSE 2^U
A.S. 2014/15
MODULI DI RECUPERO DI MATEMATICA
MODULO 2
LE EQUAZIONI CON COEFFICIENTI LETTERALI O IRRAZIONALI
DESTINTARI DEL MODULO:
BERETTA, BIANCHEDI, CRISOPULLI, OURINICH, PAROLINI, PRUNESTI
OBIETTIVI:
- Saper ridurre alla forma normale e risolvere equazioni di primo grado contenenti
altre lettere oltre all’incognita (senza discussione)
- Saper ridurre alla forma normale e risolvere equazioni di primo e secondo grado a
coefficienti irrazionali
TEMPI DI SVOLGIMENTO DELL’ATTIVITÀ: 23 febbraio – 4 marzo 2015
VERIFICA: 5 marzo 2015
ATTIVITÀ
1. Utilizzando la scheda M2_1, rivedere il procedimento per risolvere equazioni di
primo grado con coefficienti letterali, osservando gli esempi e risolvendo le seguenti
equazioni rispetto alle lettere indicate:
a. 3ax − (a + 2x)(2a − x) = 2a(x − a − 1)
rispetto ad x, poi rispetto ad a
b. 3px − q = 2mx + q − r
rispetto ad x, poi ad m, poi a q
c. (2a − 3b )(x + 2) − (a + 2b )(2x − 1) = ax − b rispetto ad x, poi ad a, poi a b
h−x k
d.
=
rispetto ad x, poi rispetto ad h, poi a k
k+x h
2. Utilizzando la scheda M2_2, rivedere il procedimento per risolvere equazioni di
primo e secondo grado con coefficienti irrazionali, osservando gli esempi e
svolgendo i seguenti esercizi:
pag. 383, nn. 542, 543, 544, 547, 548, 550
pag. 406, nn. 110, 111, 119, 120, 131
SCHEDA M2_1
ESPLICITARE UNA LETTERA IN UN’UGUAGLIANZA DI PRIMO GRADO
1. Eseguire tutte le operazioni
2. Spostare al primo membro i termini contenenti la variabile da esplicitare, al secondo
membro quelli che non la contengono
3. Sommare i termini simili
4. Raccogliere a fattor comune la variabile da esplicitare
5. Dividere entrambi i membri dell’uguaglianza per il “coefficiente” della variabile da
esplicitare (se non è nullo)
ESEMPIO 1
(2a − 3b − x )(x + 2a) = 4a2 − x(x + 3a − b )
esplicitare rispetto ad x, poi ad a, poi a b.
Eseguiamo le operazioni:
2ax + 4a2 − 3bx − 6ab − x 2 − 2ax = 4a2 − x 2 − 3ax + bx
RISPETTO AD x:
Portiamo al primo membro tutti i termini contenenti x, al secondo membro quelli che non la
contengono: 2ax − 3bx − x 2 − 2ax + x 2 + 3ax − bx = 4a2 − 4a2 − 6ab
Sommiamo i termini simili: 3ax − 4bx = −6ab
Raccogliamo x: (3a − 4b )x = −6ab
Dividiamo per il coefficiente di x (3a-4b): x =
− 6ab
6ab
=
3a − 4b 4b − 3a
RISPETTO AD a:
Portiamo al primo membro tutti i termini contenenti a, al secondo membro quelli che non la
contengono: 2ax − 2ax + 3ax − 4a2 + 4a2 + 6ab = 3bx + x 2 − x 2 + bx
Sommiamo i termini simili: 3ax + 6ab = 4bx
Raccogliamo a: (3x + 6b )a = 4bx
Dividiamo per il coefficiente di a (3x+6b): a =
4bx
3x + 6b
RISPETTO A b:
Portiamo al primo membro tutti i termini contenenti b, al secondo membro quelli che non la
contengono: 6ab − 3bx − bx = x 2 − x 2 − 2ax + 2ax − 3ax + 4a2 − 4a2
Sommiamo i termini simili: 6ab − 4bx = −3ax
Raccogliamo b: (6a − 4x )b = −3ax
Dividiamo per il coefficiente di b (6a-4x): b =
− 3ax
3ax
=
6a − 4b 4b − 6a
ESEMPIO 2
a + 3x
a
=
esplicitare rispetto ad x, poi rispetto a b
x − 2b b + 1
Condizioni sui denominatori: (x − 2b ≠ 0 ) ∧ (b + 1 ≠ 0 )
Denominatore comune: (x − 2b )(b + 1)
Moltiplichiamo entrambi i membri per il denominatore comune.
(x − 2b)(b + 1) ⋅ a + 3x = (x − 2b)(b + 1) ⋅
x − 2b
(b + 1)(a + 3x ) = (x − 2b ) ⋅ a
a
b+1
Eseguiamo le moltiplicazioni: ab + 3bx + a + 3x = ax − 2ab
RISPETTO AD x:
Portiamo al primo membro tutti i termini contenenti x, al secondo membro quelli che non la
contengono: 3bx + 3x − ax = 2ab − ab − a
Sommiamo i termini simili: 3bx + 3x − ax = ab − a
Raccogliamo x: (3b + 3)x = ab − a
Dividiamo per il coefficiente di x (3b+3): x =
ab − a
3b + 3
RISPETTO A b:
Portiamo al primo membro tutti i termini contenenti b, al secondo membro quelli che non la
contengono: 3bx − 2ab + ab = −a − 3x + ax
Sommiamo i termini simili: 3bx − ab = −a − 3x + ax
Raccogliamo b: (3x − a)b = −a − 3x + ax
Dividiamo per il coefficiente di b (3x-a): b =
− a − 3x + ax a + 3x − ax
=
3x − a
3x − a
SCHEDA M2_2
RISOLVERE EQUAZIONI A COEFFICIENTI IRRAZIONALI
DI PRIMO GRADO
1. Eseguire tutte le operazioni, sommando i termini simili
2. Spostare al primo membro i termini contenenti l’incognita, al secondo membro quelli
che non la contengono
3. Raccogliere a fattor comune l’incognita, al primo membro
4. Dividere entrambi i membri dell’uguaglianza per il “coefficiente” dell’incognita (se
non è nullo)
5. Se necessario, razionalizzare il denominatore nella soluzione
INTERE DI SECONDO GRADO
1. Eseguire tutte le operazioni
2. Spostare al primo membro tutti i termini, sommando i termini simili
3. Raccogliere a fattor comune x2 e x
4. Applicare la formula risolutiva
5. Se necessario, razionalizzare il denominatore nelle soluzioni
ESEMPIO 1
OSSERVARE ATTENTAMENTE L’ESERCIZIO SVOLTO: pag. 383, nn. 538
ESEMPIO 2
(3
)(
)
(
3 −x x + 3 =x −2 3 x −2 3
)
Eseguiamo le operazioni: 3 3x + 9 − x 2 − 3x = x − 2 3x − 12
Spostiamo al primo membro tutti i termini e sommiamo gli eventuali termini simili:
3 3x + 9 − x 2 − 3x − x + 2 3x − 12 = 0
4 3x − x 2 − x − 3 = 0
Raccogliamo x2 e x:
− x 2 + (4 3 − 1)x − 3 = 0
Per comodità cambiamo tutti i segni moltiplicando per -1:
x 2 − (4 3 − 1)x + 3 = 0
Applichiamo la formula risolutiva:
a = 1, b = − (4 3 − 1) , c = 3
(
)
2
∆ = 4 3 − 1 − 4 ⋅ 1 ⋅ 3 = 48 − 8 3 + 1 − 12 = 37 − 8 3 > 0
x 1 ,2 =
4 3 − 1 ± 37 − 8 3
2
(n.b. in questo caso la formula per i radicali doppi non è conveniente)