Richiami di Geometria di Casari Chiara – classe 3a B – as 08/09
Appunti di Geometria
richiami sulle proprietà dei triangoli
1) 1° Criterio di uguaglianza dei triangoli
Due triangoli che hanno rispettivamente uguali due lati e l’angolo tra essi compreso
sono uguali. Ciò significa che, se di un triangolo conosco due lati e l’angolo tra essi
compreso, allora il triangolo è univocamente determinato, pertanto posso ricavare il
terzo lato e gli altri due angoli. Nella figura sono indicati in grigio i dati noti ed in rosso
i dati che possono essere ricavati a partire dai primi:
2) 2° Criterio di uguaglianza dei triangoli
Se due triangoli hanno rispettivamente uguali un lato e gli angoli ad esso adiacenti
allora sono uguali. Quindi se di un triangolo conosco un lato e gli angoli ad esso
adiacenti, posso ricavare gli altri due lati ed il terzo angolo.
3) 3° Criterio di uguaglianza dei triangoli
Se due triangoli hanno i tre lati rispettivamente uguali allora sono uguali, quindi se
conosco i tre lati posso ricavare i tre angoli
4) Figure simili:
Due figure sono simili quando hanno la stessa forma pur avendo diverse dimensioni.
Esempio:
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5) Teorema: Se vi sono due rette parallele tagliate trasversalmente da un’altra retta, gli
angoli corrispondenti saranno uguali.
6) Due triangoli sono simili se hanno gli angoli uguali
7) Se due triangoli sono simili allora hanno i lati in proporzione
Nell’esempio fatto in precedenza avremo che: AB’ / AB = AC’ /AC = B’C’ / BC = k
(rapporto di similitudine).
Qui di seguito abbiamo un esempio di similitudine con rapporto di similitudine k=3
Ho diviso il triangolo ABC in nove triangoli, uguali tra loro e simili al triangolo grande. Il
rapporto di similitudine, come già detto, è k=3.
Come si può constatare, il rapporto tra le aree del triangolo grande e di ognuno dei
triangoli piccoli sarà invece pari a K2 = 9.
Questo è un risultato generale: il rapporto fra le aree di figure piane simili è uguale a K2 .
Il rapporto fra i volumi di figure solide simili è uguale a K3 .
8) La somma degli angoli interni di un triangolo è pari a 180°
9) Un triangolo si definisce equilatero quando ha i tre lati uguali. Un triangolo equilatero
è anche equiangolo e ogni angolo misura 180°/3=60°
10) Si chiama triangolo isoscele un triangolo che ha due lati uguali. Si dimostra che allora
anche gli angoli adiacenti al terzo lato sono uguali. Vale anche il teorema inverso, cioè:
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un triangolo avente due angoli uguali è isoscele
11) Si chiama triangolo rettangolo un triangolo che ha un angolo di 90°
α = 90° ; β , γ < 90°
12) Teorema di Pitagora: Il quadrato dell’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei
cateti
a2 = b2 + c2
13) Classificazione dei triangoli.
rispetto ai lati
rispetto agli angoli
Scaleno: tutti i lati diversi
Acutangolo: α,β,γ < 90°
Isoscele : due lati uguali
Rettangolo: un angolo di 90°
Equilatero: tutti e tre i lati uguali
Ottusangolo: un angolo> 90°
14) In un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due lati.
Controesempio:
15)
In un triangolo a lato maggiore è opposto angolo maggiore (e viceversa).
Nel disegno che segue, per esempio, dovrà essere: c>b>a e >>
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Circonferenza, cerchio e sfera: formule
16) La lunghezza della circonferenza è : 2πr
17) L’area del cerchio è : πr2
18) La superficie della sfera è : 4 πr2
19) Il volume della sfera è : 4/3 πr3
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Appunti tratti da Chiara Casari, classe 3B – ottobre 2008
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