MISURE DI ACCOMPAGNAMENTO 2013-2014 PROGETTO DI FORMAZIONE E RICERCA Rete Scolastica INNOVARE RINNOVANDO LA RETE CHE ACCOGLIE RICERCA-AZIONE DESCRIZIONE DELL ESPERIENZA Nome della scuola I.C. L. Settembrini San Leucio del Sannio Tipo di Scuola Scuola secondaria di primo grado - Ceppaloni Docente/i Fioravante BOSCO Classe coinvolta III A Tipologia di esercitazione (Reti semantiche, grappolo associativo, titolazione, gerarchia degli scopi, definizione. Almeno una esercitazione per ogni tipologia per ogni scuola) Classificazione. Aggregazione. Generalizzazione. Definizione. Reti semantiche. Modalità, fasi e strumenti di realizzazione - La vera innovazione didattica che consenta di sviluppare competenze consiste nello sviluppo dei processi cognitivi attraverso cui i nostri alunni trattano, elaborano e trasferiscono le conoscenze: processi percettivi, mnestici, induttivi, deduttivi, dialettici e creativi. C. Petracca Fase UNICA Come creare una definizione collaborativa di MONOMIO Attività Docente Alunni Conversazione clinica Animazione Produzione di idee. Analisi delle idee prodotte. Uso di testi specifici (libri Mediazione Ricerca informazioni. di testo) Verbalizzazione Mediazione Sistemazione idee e informazioni (bibliografia) Guida a Scoperta delle relazioni. Ricerca della Definizione riflessioni e SN +SN+SV Astrazione Sintagma Nominale+Sintagma Nominale+Sintagma Verbale considerazioni La didattica come mediazione. Processo di facilitazione messo in atto dall insegnante per favorire il buon apprendimento, incoraggiando esperienze di successo e sviluppando interesse e, soprattutto, motivazione intrinseca. La centralità della relazione comporta una didattica che da lineare ed unidirezionale si faccia circolare e negoziata. L insegnante non solo guida l esplorazione, ma innesca, organizza e coordina la ricerca. Il gioco rappresenta un valore aggiunto, un mezzo per ottenere una partecipazione motivata e attiva con scopi chiari e condivisi. Prodotto ottenuto MONOMIO COME CREARE UNA DEFINIZIONE COLLABORATIVA MON OMI COME CREARE UN A D EFIN IZION E COLLABORATIVA Significato di Monomio Monomio deriva da una parola greca monos che significa unico, solo, uno solo, e indica un espressione letterale composta da un solo Termine. E molto usato come prefisso di molte parole composte. Nel linguaggio comune: monolocale, monosillabo (parola costituita da una sola sillaba) ecc. Nel linguaggio scientifico: monocellulare (organismo costituito da una sola cellula), monoatomica (molecola che contiene un solo atomo) ecc La Somma Algebrica di due o più Monomi è un Polinomio; i singoli Monomi che formano il Polinomio costituiscono i Termini del Polinomio stesso. Ne consegue che i Monomi sono Polinomi con un unico Termine. Caratterizzazione di Monomio e/o Termine (unico) Un Monomio e/o Termine è caratterizzato da un Segno, da una Parte Numerica (coefficiente), da una Parte Letterale e dall esponente della parte letterale. Esempio Il Monomio - segno meno ( ) 1 2 x 2 - coefficiente (parte numerica) 1/2 - parte letterale x - esponente della parte letterale 2 è caratterizzato da: Il Monomio: 3x 2 y è caratterizzato da: - segno più ( ) [sottinteso] - coefficiente (parte numerica) 3 - parte letterale xy - esponente 2 relativo alla lettera x ed esponente 1 relativo alla letterale y [sottinteso] Il Monomio: 12 è caratterizzato da: - segno più ( ) [sottinteso] - coefficiente (parte numerica) 12 - parte letterale [sottintesa] qualsiasi lettera elevata a 0 [n0=1] - esponente 0 [sottinteso] relativo alla parte letterale [qualsiasi lettera elevata a 0] N.B. in questo caso il monomio si chiama COSTANTE Definizione di monomio Si riportano di seguito alcune definizioni (testi) tratte dalla letteratura in merito. a) Si chiama monomio un espressione letterale in cui i numeri e le lettere sono legati tra loro solamente dalle operazioni di moltiplicazione e di divisione [12] esempi: 1 2 2 2 abc 4 3ad ? b 5ab e ancora: un monomio si dice intero se non presenta alcuna lettera al denominatore; in caso contrario (ovvero quando qualche lettera figura al denominatore) si dice frazionario ? monomio intero 5ab monomio frazionario 3ad ? b b) Viene chiamata monomio quella espressione letterale nella quale non compaiono addizioni e sottrazioni - [11] esempi: 2a 1 2 ab 2 2 a 2b ? c e ancora: un monomio nel quale qualche lettera figura da divisore o appare con esponente negativo si dice frazionario o fratto; in caso contrario il monomio si dice intero sono frazionari i monomi 2 3ab ? a 2b 2 ? c c) Un monomio è il prodotto di fattori numerici e letterali [07] esempi: 3 2 2 ab 4 2a 5b 2 3c 2ab d) Dicesi monomio un espressione algebrica nella quale non compaiono né addizioni né sottrazioni [03] esempi: 2a ab 2 2 4a bc 5a 2 x ? c 2 abx 4 3 3 3x 2 z 4 ? 2 ay e) Un monomio è un espressione letterale che rappresenta il prodotto di fattori numerici e letterali [02] esempi: Sono monomi 7 xy 2a 3b Non sono monomi 1 2 ab 2 2a 2x 1 xy 7 3z 2 x 3 y 2 f) Chiamiamo monomio un espressione letterale in cui compaiono solo prodotti e potenze di numeri e lettere [06] - esempi: Sono monomi Non sono monomi 1 5ab 3 a a 2b ad a 2bc 31 ab 2a 2b 5 1 5 xy 3 che ha lettere al denominatore e prende il nome di frazione algebrica e che contiene una addizione non riducibile g) Viene chiamata monomio un espressione letterale nella quale non compaiono addizioni e sottrazioni [14] - esempi: Sono monomi le espressioni del tipo 1 ab 2 2a 3 a 2b ? c nelle quali figurano solamente prodotti, elevamenti a potenza e divisioni ? h) Per monomio si intende un espressione algebrica nella quale non compaiono né addizioni, né sottrazioni [01] - esempi: 1 2 t 2 3a 3 b2 ? i) Si dice monomio un espressione letterale contenente solo operazioni di moltiplicazione [09] - esempi: 7 2 ab 2 2abc 4x 2a l) Si dice monomio un espressione algebrica letterale nella quale compaiono solo le operazioni di moltiplicazione e divisioni ? [13] - esempi: 2 3 ab 3 x ? y 2a 2 2x ? y m) Un espressione letterale che contiene solo moltiplicazioni e divisioni si dice monomio ? [10] - esempi: 3a 2b 1 2 xy 2 5 abc 4 e ancora: i monomi nei quali le lettere compaiono solo nel numeratore si dicono interi; i monomi nei quali vi è almeno una lettera al denominatore si chiamano frazionari sono frazionari i monomi 4 xy 2 ? 7z3 x 2 ? y 5a 2b 5 ? c2 n) un monomio è un espressione letterale nella quale non compare l addizione algebrica; un monomio si dice intero se le lettere compaiono solo al numeratore, si dice frazionario se almeno una delle sue lettere compare al denominatore ? [08] - esempi: sono monomi interi 3a 2 sono monomi frazionari? 2a ? b 1 2 xy 5 4ab ? c 0,2mn 2 xy ? z o) si chiama monomio un espressione letterale che non contiene affatto addizioni algebriche, ovvero sono espressioni algebriche nelle quali compaiono moltiplicazioni, divisioni e/o potenze ? [05] - esempi: 7a 3b 7 2 ab 4 5ab ? c2 Analisi dei testi (definizioni) [a] Si chiama monomio un espressione letterale in cui i numeri e le lettere sono legati tra loro solamente dalle operazioni di moltiplicazione e di divisione e ancora: un monomio si dice intero se non presenta alcuna lettera al denominatore; in caso contrario (ovvero quando qualche lettera figura al denominatore) si dice frazionario ? [b] Viene chiamata monomio quella espressione letterale nella quale non compaiono addizioni e sottrazioni e ancora: un monomio nel quale qualche lettera figura da divisore o appare con esponente negativo si dice frazionario o fratto; in caso contrario il monomio si dice intero [c] Un monomio è il prodotto di fattori numerici e letterali [d] Dicesi monomio un espressione algebrica nella quale non compaiono né addizioni né sottrazioni [e] Un monomio è un espressione letterale che rappresenta il prodotto di fattori numerici e letterali [f] Chiamiamo monomio un espressione letterale in cui compaiono solo prodotti e potenze di numeri e lettere [g] Viene chiamata monomio un espressione letterale nella quale non compaiono addizioni e sottrazioni ; ovvero espressioni letterali nelle quali figurano solamente prodotti, elevamenti a potenza e divisioni [h] Per monomio si intende un espressione algebrica nella quale non compaiono né addizioni, né sottrazioni [i] Si dice monomio un espressione letterale contenente solo operazioni di moltiplicazione [l] Si dice monomio un espressione algebrica letterale nella quale compaiono solo le operazioni di moltiplicazione e divisioni ? [m] Un espressione letterale che contiene solo moltiplicazioni e divisioni si dice monomio e ancora: i monomi nei quali le lettere compaiono solo nel numeratore si dicono interi; i monomi nei quali vi è almeno una lettera al denominatore si chiamano frazionari [n] un monomio è un espressione letterale nella quale non compare l addizione algebrica; un monomio si dice intero se le lettere compaiono solo al numeratore, si dice frazionario se almeno una delle sue lettere compare al denominatore [o] Si chiama monomio un espressione letterale che non contiene affatto addizioni algebriche, ovvero sono espressioni algebriche nelle quali compaiono moltiplicazioni, divisioni e/o potenze Dalla lettura dei testi delle definizioni si perviene ai seguenti principali raggruppamenti: 1) Un monomio è un espressione letterale (algebrica) che contiene solo moltiplicazioni e divisioni ovvero, non contiene affatto addizioni e sottrazioni [a, b, l, m] 2) Un monomio è un espressione letterale (algebrica) che non contiene addizioni e sottrazioni ovvero, contiene solo moltiplicazioni e divisioni [d, g, h, n, o] 3) Un monomio è un espressione letterale (algebrica) che contiene solo moltiplicazioni (tra numeri e lettere) ovvero, che non contiene affatto divisioni, addizioni e sottrazioni [c, e, f, i] Da un analisi più approfondita si perviene ai seguenti due raggruppamenti definitivi: 1) Un monomio è un espressione letterale (algebrica) che contiene solo moltiplicazioni e divisioni ovvero, non contiene affatto addizioni e sottrazioni [a, b, d, g, h, l, m, n, o] esempi: 5ab 2c d3 1 2 xy 2 3 3a bc 2 3a 3b c2 2) Un monomio è un espressione letterale (algebrica) che contiene solo moltiplicazioni (tra numeri e lettere) ovvero, che non contiene affatto divisioni, addizioni e sottrazioni [c, e, f, i] esempi: 5ab 2c b 1 2 xy 2 5abc La classe si chiede a questo punto: l operazione di divisione è relativa ai numeri (coefficienti) o alle lettere (parte letterale) ? La risposta è immediata: l operazione di divisione è relativa solo alla parte letterale; la parte numerica (coefficienti) non è interessata trattandosi di numeri reali esempi: 0,5 xy 8 ab2c d3 2 2 a 3bc 2 Nella prima definizione più di un Autore aggiunge alla definizione stessa di monomio: i monomi nei quali le lettere compaiono solo nel numeratore si dicono interi; i monomi nei quali vi è almeno una lettera al denominatore si chiamano frazionari ovvero, siamo in presenza di una frazione algebrica esempio: 2 2x y 2 3xyz 2x2 y2 3 xyz 2 xy 3z La classe si chiede ancora: ma la precedente frazione algebrica (monomio fratto) è un monomio? Anche in questo caso la risposta è immediata: la frazione algebrica, letteralmente, presenta al numeratore e al denominatore due distinti monomi (con il secondo diverso da zero - condizione di esistenza), ovvero: Numeratore 2 xy Denominatore 3z 0 pertanto si caratterizza come una divisione tra due distinti monomi non ulteriormente divisibili. Orbene, è sempre la classe che si pone domande, che significa dividere due monomi. Risposta collaborativa: dividere due monomi, presi in un dato ordine e con il secondo diverso da zero (condizione di esistenza), significa calcolare (se esiste) un altro monomio detto quoziente che, moltiplicato per il secondo da per prodotto il primo; quando questo si verifica il primo monomio è divisibile per il secondo e il secondo è divisore del primo esempio: 3 2 10a b 2 5a b 10a 3b 2 5a 2b 2ab Pertanto, affinché un monomio (non nullo) sia divisibile per un altro (non nullo) è necessario e sufficiente che ogni lettera del monomio divisore figuri nel monomio dividendo con esponente maggiore o uguale a quello del divisore. Per contro, se un monomio non è divisibile per un altro la divisione dell uno per l altro si può solo indicare come: 3a 2b 4 xy oppure sotto forma di frazione (algebrica) avente per numeratore e denominatore due distinti monomi: 3a 2b 4 zy Da quanto fin qui analizzato e esposto la classe collaborativamente perviene alla seguente definizione di monomio: Un Monomio è un prodotto indicato di fattori numerici e letterali, dove i fattori letterali sono elevati ad esponente intero, positivo o nullo 35a3bc2 è un monomio; il numero 35 e le lettere a3, b, c2 sono 3 2 legate dall operazione di moltiplicazione; il suo coefficiente è il numero 35 e la parte letterale è a bc . ESEMPIO: L espressione letterale CONTROESEMPI: 3 2 a ) l espressione letterale 35a + bc non è un monomio dal momento che numeri e lettere sono legati oltre che dalla moltiplicazione anche dall addizione (infatti trattasi di un polinomio ovvero di un binomio somma di due monomi); 35a-3bc2 non è un monomio in quanto la potenza con esponente negativo -3 3 rappresenta una divisione, infatti a = 1/a ovvero, rappresenta, una frazione algebrica. b ) l espressione letterale Applicazione nel reale in campo tecnico scientifico Nei motori a scoppio il cilindro è una cavità (cilindrica) al cui interno scorre il pistone. La miscela di aria e benzina viene accesa dalla candela nella camera di combustione del cilindro. Bruciando la miscela aumenta di volume e spinge il pistone in basso. Quando il pistone torna in alto espelle dal cilindro i gas di combustione nel tubo di scappamento attraverso la valvola di scarico. Vp è il volume percorso dal pistone s è la lunghezza della corsa d è il diametro del cilindro - Il Volume percorso dal pistone (Vp) è il volume del cilindro percorso dal pistone dall inizio della combustione alla fine della combustione. Si indica in cm3. - Il Volume della camera di combustione (Vc) è il volume che rimane tra la testa del cilindro e la parte superiore del pistone, quando questo è nella sua posizione più in alto. Si indica in cm3. - La cilindrata (V) è la somma dei volumi percorsi dal pistone di tutti i cilindri del motore. Si indica spesso in cm3 e anche il litri. - Il rapporto di compressione ( ) di un motore è il rapporto tra il Volume massimo (Vmax) e il Volume minimo (Vmin) all interno del cilindro. Si calcola con la relazione: VMAX VMIN dove : VMAX Vp Vc e VMIN Vc Ci proponiamo di calcolare la cilindrata e il rapporto di compressione di un motore di autovettura con le seguenti informazioni sul motore stesso: Numero di Cilindri (n) Diametro dei cilindri Lunghezza della corsa (s) Volume della camera di combustione (Vc) 6 91 mm 102 mm 73,7 cm3 Calcolo del Volume percorso dal pistone Vp r2 s con : s 102mm 10,2cm e d 91 45,5mm 4,55cm 2 2 Vp 3,14 (4,55) 2 10,2 663,4cm3 r Si fa notare che i due membri dell equazione indicata sono due monomi Calcolo della Cilindrata V n Vp n 6 V con : e Vp 663,4cm3 6 663,4 3980,4cm3 39,804litri Si fa notare, anche in questo caso, che i due membri dell equazione indicata sono due monomi Calcolo del Rapporto di Compressione VMAX VMIN con : VMAX Vp Vc 663,4 73,7 737,1cm3 VMIN Vc 73,7cm3 737,1cm3 73,7cm3 e 10 Si fa notare, in quest ultimo caso, che i due membri dell equazione indicata sono caratterizzati rispettivamente da un monomio (primo membro) e da un quoziente tra due monomi (secondo membro) ovvero da una frazione algebrica. BIBLIOGRAFIA [01] Acquati A ed altri - (2004) Il giardino di Archimede Loescher [02] Arpinati A. M. ed altri [03] Barale C. ed altri (2005) (1996) [05] Flaccavento R. G (2013) [06] Grimaldi A. ed altri [07] Linardi S. (2009) Matematica in Azione - Zanichelli - Bologna (2003) - MateMedia [04] Bencini L. ed altri (2008) Torino AGI 1 Pitagora Ferraro Napoli Ferraro Napoli Fabbri Editori Cifratonda Ferraro Milano Napoli Matematica per Te - Mondadori Milano [08] Montemurro A. - (2012) - PuntoMat - De Agostini Scuola Novara [09] Poletti D. ed altri (2004) Corso di matematica - Algebra Signorelli - Milano 9 [10] Rossi G. - (2012) - Con la matematica - Algebra - Mondadori Scuola - Milano [11] Tonolini ed altri - (2006 ) - Ipermat Minerva Italica [12] Vacca R. ed altri - (2001) Progetto modulare di Algebra [13] Zarattini M. ed altri - (2008) - Matematicamente 3 [14] Zibetti G. ed altri (2001) Milano Edizione Atlas - Bergamo Mondadori Scuola - Milano Viaggio nella Matematica Minerva Italica - Milano TESTI CONSULTATI