Monomi - “Luigi Settembrini” San Leucio del Sannio

MISURE DI ACCOMPAGNAMENTO 2013-2014
PROGETTO DI FORMAZIONE E RICERCA
Rete Scolastica
INNOVARE RINNOVANDO LA RETE CHE ACCOGLIE
RICERCA-AZIONE
DESCRIZIONE DELL ESPERIENZA
Nome della scuola
I.C. L. Settembrini
San Leucio del Sannio
Tipo di Scuola
Scuola secondaria di primo grado - Ceppaloni
Docente/i
Fioravante BOSCO
Classe coinvolta
III A
Tipologia di esercitazione (Reti semantiche, grappolo associativo, titolazione, gerarchia degli scopi, definizione.
Almeno una esercitazione per ogni tipologia per ogni scuola)
Classificazione. Aggregazione.
Generalizzazione.
Definizione. Reti semantiche.
Modalità, fasi e strumenti di realizzazione
- La vera innovazione didattica che consenta di sviluppare competenze consiste nello sviluppo dei
processi cognitivi attraverso cui i nostri alunni trattano, elaborano e trasferiscono le conoscenze:
processi percettivi, mnestici, induttivi, deduttivi, dialettici e creativi. C. Petracca
Fase UNICA Come creare una definizione collaborativa di MONOMIO
Attività
Docente
Alunni
Conversazione clinica
Animazione
Produzione di idee. Analisi delle idee prodotte.
Uso di testi specifici (libri
Mediazione
Ricerca informazioni.
di testo)
Verbalizzazione
Mediazione
Sistemazione idee e informazioni (bibliografia)
Guida a
Scoperta delle relazioni.
Ricerca della Definizione
riflessioni e
SN +SN+SV
Astrazione
Sintagma Nominale+Sintagma Nominale+Sintagma Verbale
considerazioni
La didattica come mediazione. Processo di facilitazione messo in atto dall insegnante per
favorire il buon apprendimento, incoraggiando esperienze di successo e sviluppando interesse
e, soprattutto, motivazione intrinseca.
La centralità della relazione comporta una didattica che da lineare ed unidirezionale si faccia
circolare e negoziata.
L insegnante non solo guida l esplorazione, ma innesca, organizza e coordina la ricerca.
Il gioco rappresenta un valore aggiunto, un mezzo per ottenere una partecipazione motivata e
attiva con scopi chiari e condivisi.
Prodotto ottenuto
MONOMIO
COME CREARE UNA DEFINIZIONE COLLABORATIVA
MON OMI
COME CREARE UN A D EFIN IZION E COLLABORATIVA
Significato di Monomio
Monomio deriva da una parola greca monos che significa unico, solo, uno solo, e indica un espressione
letterale composta da un solo Termine.
E molto usato come prefisso di molte parole composte.
Nel linguaggio comune: monolocale, monosillabo (parola costituita da una sola sillaba) ecc.
Nel linguaggio scientifico: monocellulare (organismo costituito da una sola cellula), monoatomica
(molecola che contiene un solo atomo) ecc
La Somma Algebrica di due o più Monomi è un Polinomio; i singoli Monomi che formano il Polinomio
costituiscono i Termini del Polinomio stesso. Ne consegue che i Monomi sono Polinomi con un unico
Termine.
Caratterizzazione di Monomio e/o Termine (unico)
Un Monomio e/o Termine è caratterizzato da
un
Segno,
da
una
Parte
Numerica
(coefficiente), da una Parte Letterale e
dall esponente della parte letterale.
Esempio
Il Monomio
- segno meno ( )
1 2
x
2
- coefficiente (parte numerica) 1/2
- parte letterale
x
- esponente della parte letterale
2
è caratterizzato da:
Il Monomio:
3x 2 y
è caratterizzato da:
- segno più ( ) [sottinteso]
- coefficiente (parte numerica) 3
- parte letterale
xy
- esponente 2 relativo alla lettera x ed esponente 1 relativo alla letterale y [sottinteso]
Il Monomio:
12
è caratterizzato da:
- segno più ( ) [sottinteso]
- coefficiente (parte numerica) 12
- parte letterale [sottintesa] qualsiasi lettera elevata a 0
[n0=1]
- esponente 0 [sottinteso] relativo alla parte letterale [qualsiasi lettera elevata a 0]
N.B. in questo caso il monomio si chiama COSTANTE
Definizione di monomio
Si riportano di seguito alcune definizioni (testi) tratte dalla letteratura in merito.
a) Si chiama monomio un espressione letterale in cui i numeri e le lettere sono legati tra loro solamente
dalle operazioni di moltiplicazione e di divisione [12] esempi:
1 2 2 2
abc
4
3ad
?
b
5ab
e ancora: un monomio si dice intero se non presenta alcuna lettera al denominatore; in caso contrario
(ovvero quando qualche lettera figura al denominatore) si dice frazionario ?
monomio intero
5ab
monomio frazionario
3ad
?
b
b) Viene chiamata monomio quella espressione letterale nella quale non compaiono addizioni e
sottrazioni - [11] esempi:
2a
1 2
ab
2
2
a 2b
?
c
e ancora: un monomio nel quale qualche lettera figura da divisore o appare con esponente negativo si dice
frazionario o fratto; in caso contrario il monomio si dice intero
sono frazionari i monomi
2
3ab ?
a 2b
2
?
c
c) Un monomio è il prodotto di fattori numerici e letterali [07] esempi:
3 2 2
ab
4
2a 5b 2 3c
2ab
d) Dicesi monomio un espressione algebrica nella quale non compaiono né addizioni né sottrazioni [03] esempi:
2a
ab
2
2
4a bc
5a 2 x
?
c
2
abx 4
3
3
3x 2 z 4
?
2
ay
e) Un monomio è un espressione letterale che rappresenta il prodotto di fattori numerici e letterali [02] esempi:
Sono monomi
7 xy
2a 3b
Non sono monomi
1 2
ab
2
2a
2x
1
xy
7
3z 2 x 3 y 2
f) Chiamiamo monomio un espressione letterale in cui compaiono solo prodotti e potenze di numeri e
lettere [06] - esempi:
Sono monomi
Non sono monomi
1
5ab
3
a
a 2b
ad
a 2bc
31
ab
2a 2b 5
1
5 xy
3
che ha lettere al denominatore e prende il nome di frazione algebrica e
che contiene una addizione non riducibile
g) Viene chiamata monomio un espressione letterale nella quale non compaiono addizioni e sottrazioni
[14] - esempi:
Sono monomi le espressioni del tipo
1
ab
2
2a
3
a 2b
?
c
nelle quali figurano solamente prodotti, elevamenti a potenza e divisioni ?
h) Per monomio si intende un espressione algebrica nella quale non compaiono né addizioni, né
sottrazioni [01] - esempi:
1 2
t
2
3a 3
b2 ?
i) Si dice monomio un espressione letterale contenente solo operazioni di moltiplicazione [09] - esempi:
7 2
ab
2
2abc
4x
2a
l) Si dice monomio un espressione algebrica letterale nella quale compaiono solo le operazioni di
moltiplicazione e divisioni ? [13] - esempi:
2 3
ab
3
x
?
y
2a 2
2x
?
y
m) Un espressione letterale che contiene solo moltiplicazioni e divisioni si dice monomio ? [10] - esempi:
3a 2b
1 2
xy
2
5
abc
4
e ancora: i monomi nei quali le lettere compaiono solo nel numeratore si dicono interi; i monomi nei quali
vi è almeno una lettera al denominatore si chiamano frazionari
sono frazionari i monomi
4 xy 2
?
7z3
x
2 ?
y
5a 2b 5
?
c2
n) un monomio è un espressione letterale nella quale non compare l addizione algebrica; un monomio si
dice intero se le lettere compaiono solo al numeratore, si dice frazionario se almeno una delle sue lettere
compare al denominatore ? [08] - esempi:
sono monomi interi
3a 2
sono monomi frazionari?
2a
?
b
1 2
xy
5
4ab
?
c
0,2mn 2
xy
?
z
o) si chiama monomio un espressione letterale che non contiene affatto addizioni algebriche, ovvero sono
espressioni algebriche nelle quali compaiono moltiplicazioni, divisioni e/o potenze ? [05] - esempi:
7a 3b
7 2
ab
4
5ab
?
c2
Analisi dei testi (definizioni)
[a] Si chiama monomio un espressione letterale in cui i numeri e le lettere sono legati tra loro solamente
dalle operazioni di moltiplicazione e di divisione e ancora: un monomio si dice intero se non presenta
alcuna lettera al denominatore; in caso contrario (ovvero quando qualche lettera figura al denominatore) si
dice frazionario ?
[b] Viene chiamata monomio quella espressione letterale nella quale non compaiono addizioni e
sottrazioni e ancora: un monomio nel quale qualche lettera figura da divisore o appare con esponente
negativo si dice frazionario o fratto; in caso contrario il monomio si dice intero
[c] Un monomio è il prodotto di fattori numerici e letterali
[d] Dicesi monomio un espressione algebrica nella quale non compaiono né addizioni né sottrazioni
[e] Un monomio è un espressione letterale che rappresenta il prodotto di fattori numerici e letterali
[f] Chiamiamo monomio un espressione letterale in cui compaiono solo prodotti e potenze di numeri e
lettere
[g] Viene chiamata monomio un espressione letterale nella quale non compaiono addizioni e sottrazioni ;
ovvero espressioni letterali nelle quali figurano solamente prodotti, elevamenti a potenza e divisioni
[h]
Per monomio si intende un espressione algebrica nella quale non compaiono né addizioni, né
sottrazioni
[i] Si dice monomio un espressione letterale contenente solo operazioni di moltiplicazione
[l] Si dice monomio un espressione algebrica letterale nella quale compaiono solo le operazioni di
moltiplicazione e divisioni ?
[m] Un espressione letterale che contiene solo moltiplicazioni e divisioni si dice monomio e ancora: i
monomi nei quali le lettere compaiono solo nel numeratore si dicono interi; i monomi nei quali vi è almeno
una lettera al denominatore si chiamano frazionari
[n] un monomio è un espressione letterale nella quale non compare l addizione algebrica; un monomio si
dice intero se le lettere compaiono solo al numeratore, si dice frazionario se almeno una delle sue lettere
compare al denominatore
[o] Si chiama monomio un espressione letterale che non contiene affatto addizioni algebriche, ovvero sono
espressioni algebriche nelle quali compaiono moltiplicazioni, divisioni e/o potenze
Dalla lettura dei testi delle definizioni si perviene ai seguenti principali raggruppamenti:
1) Un monomio è un espressione letterale (algebrica) che contiene solo moltiplicazioni e divisioni
ovvero, non contiene affatto addizioni e sottrazioni [a, b, l, m]
2) Un monomio è un espressione letterale (algebrica) che non contiene addizioni e sottrazioni ovvero,
contiene solo moltiplicazioni e divisioni [d, g, h, n, o]
3) Un monomio è un espressione letterale (algebrica) che contiene solo moltiplicazioni (tra numeri e
lettere) ovvero, che non contiene affatto divisioni, addizioni e sottrazioni [c, e, f, i]
Da un analisi più approfondita si perviene ai seguenti due raggruppamenti definitivi:
1) Un monomio è un espressione letterale (algebrica) che contiene solo moltiplicazioni e
divisioni ovvero, non contiene affatto addizioni e sottrazioni [a, b, d, g, h, l, m, n, o]
esempi:
5ab 2c
d3
1 2
xy
2
3
3a bc
2
3a 3b
c2
2) Un monomio è un espressione letterale (algebrica) che contiene solo moltiplicazioni
(tra numeri e lettere) ovvero, che non contiene affatto divisioni, addizioni e
sottrazioni [c, e, f, i] esempi:
5ab 2c
b
1 2
xy
2
5abc
La classe si chiede a questo punto: l operazione di divisione è relativa ai numeri (coefficienti) o alle lettere
(parte letterale) ? La risposta è immediata: l operazione di divisione è relativa solo alla parte letterale; la
parte numerica (coefficienti) non è interessata trattandosi di numeri reali esempi:
0,5 xy
8 ab2c
d3
2
2
a 3bc
2
Nella prima definizione più di un Autore aggiunge alla definizione stessa di monomio: i monomi nei quali
le lettere compaiono solo nel numeratore si dicono interi; i monomi nei quali vi è almeno una lettera al
denominatore si chiamano frazionari ovvero, siamo in presenza di una frazione algebrica esempio:
2
2x y
2
3xyz
2x2 y2
3 xyz
2 xy
3z
La classe si chiede ancora: ma la precedente frazione algebrica (monomio fratto) è un monomio?
Anche in questo caso la risposta è immediata: la frazione algebrica, letteralmente, presenta al numeratore e
al denominatore due distinti monomi (con il secondo diverso da zero - condizione di esistenza), ovvero:
Numeratore
2 xy
Denominatore
3z
0
pertanto si caratterizza come una divisione tra due distinti monomi non ulteriormente divisibili.
Orbene, è sempre la classe che si pone domande, che significa dividere due monomi.
Risposta collaborativa: dividere due monomi, presi in un dato ordine e con il secondo diverso da zero
(condizione di esistenza), significa calcolare (se esiste) un altro monomio detto quoziente che, moltiplicato
per il secondo da per prodotto il primo; quando questo si verifica il primo monomio è divisibile per il
secondo e il secondo è divisore del primo esempio:
3 2
10a b
2
5a b
10a 3b 2
5a 2b
2ab
Pertanto, affinché un monomio (non nullo) sia divisibile per un altro (non nullo) è necessario e sufficiente
che ogni lettera del monomio divisore figuri nel monomio dividendo con esponente maggiore o uguale a
quello del divisore.
Per contro, se un monomio non è divisibile per un altro la divisione dell uno per l altro si può solo indicare
come:
3a 2b
4 xy
oppure sotto forma di frazione (algebrica) avente per numeratore e denominatore due distinti monomi:
3a 2b
4 zy
Da quanto fin qui analizzato e esposto la classe collaborativamente perviene alla seguente definizione di
monomio:
Un Monomio è un prodotto indicato di fattori numerici e letterali, dove i fattori
letterali sono elevati ad esponente intero, positivo o nullo
35a3bc2 è un monomio; il numero 35 e le lettere a3, b, c2 sono
3 2
legate dall operazione di moltiplicazione; il suo coefficiente è il numero 35 e la parte letterale è a bc .
ESEMPIO: L espressione letterale
CONTROESEMPI:
3
2
a ) l espressione letterale 35a + bc non è un monomio dal momento che numeri e lettere sono legati
oltre che dalla moltiplicazione anche dall addizione (infatti trattasi di un polinomio ovvero di un binomio
somma di due monomi);
35a-3bc2 non è un monomio in quanto la potenza con esponente negativo
-3
3
rappresenta una divisione, infatti a = 1/a ovvero, rappresenta, una frazione algebrica.
b ) l espressione letterale
Applicazione nel reale in campo tecnico scientifico
Nei motori a scoppio il cilindro è una cavità (cilindrica) al
cui interno scorre il pistone.
La miscela di aria e benzina viene accesa dalla candela nella
camera di combustione del cilindro. Bruciando la miscela
aumenta di volume e spinge il pistone in basso.
Quando il pistone torna in alto espelle dal cilindro i gas di
combustione nel tubo di scappamento attraverso la valvola
di scarico.
Vp è il volume percorso dal pistone
s è la lunghezza della corsa
d è il diametro del cilindro
- Il Volume percorso dal pistone (Vp) è il volume del cilindro percorso dal pistone dall inizio della
combustione alla fine della combustione. Si indica in cm3.
- Il Volume della camera di combustione (Vc) è il volume che rimane tra la testa del cilindro e la parte
superiore del pistone, quando questo è nella sua posizione più in alto. Si indica in cm3.
- La cilindrata (V) è la somma dei volumi percorsi dal pistone di tutti i cilindri del motore. Si indica spesso
in cm3 e anche il litri.
- Il rapporto di compressione ( ) di un motore è il rapporto tra il Volume massimo (Vmax) e il Volume
minimo (Vmin) all interno del cilindro. Si calcola con la relazione:
VMAX
VMIN
dove :
VMAX
Vp Vc
e
VMIN
Vc
Ci proponiamo di calcolare la cilindrata e il rapporto di compressione di un motore di autovettura con le
seguenti informazioni sul motore stesso:
Numero di Cilindri (n)
Diametro dei cilindri
Lunghezza della corsa (s)
Volume della camera di combustione (Vc)
6
91 mm
102 mm
73,7 cm3
Calcolo del Volume percorso dal pistone
Vp
r2 s
con :
s 102mm 10,2cm
e
d 91
45,5mm 4,55cm
2 2
Vp 3,14 (4,55) 2 10,2 663,4cm3
r
Si fa notare che i due membri dell equazione indicata sono due monomi
Calcolo della Cilindrata
V
n Vp
n 6
V
con :
e
Vp
663,4cm3
6 663,4 3980,4cm3
39,804litri
Si fa notare, anche in questo caso, che i due membri dell equazione indicata sono due monomi
Calcolo del Rapporto di Compressione
VMAX
VMIN
con :
VMAX
Vp Vc 663,4 73,7 737,1cm3
VMIN
Vc 73,7cm3
737,1cm3
73,7cm3
e
10
Si fa notare, in quest ultimo caso, che i due membri dell equazione indicata sono caratterizzati
rispettivamente da un monomio (primo membro) e da un quoziente tra due monomi (secondo membro)
ovvero da una frazione algebrica.
BIBLIOGRAFIA
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Ferraro
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Edizione Atlas - Bergamo
Mondadori Scuola - Milano
Viaggio nella Matematica
Minerva Italica - Milano
TESTI CONSULTATI