Tensione
Ø Le funi sono dispositivi che permettono di trasmettere l’ azione di una forza applicata in un
dato punto ad un punto diverso.
Ø La fune viene considerata inestensibile e priva di massa ed il modulo della forza esercitata in
un qualsiasi punto della fune è lo stesso in tutti i punti della fune
Ø Se quindi applico una forza a un estremo di una fune tesa, questa risponde con una forza che
si trasmette lungo la fune in modo tale che ogni punto della corda abbia accelerazione nulla
relativamente a tutti gli altri. ⇒ le forze ai capi della corda sono uguali ed opposte
Ø Q!uando un corpo viene tirato mediante una fune ancorata ad esso, la fune esercita una forza
T sul corpo
!
Ø La forza T è diretta lungo la fune nel verso di allontanamento dall’oggetto ed il modulo T di
questa forza viene detta tensione della fune
Ø La fune viene concepita solo come un collegamento tra i due corpi e questo concetto vale
anche se la fune passa per una carrucola (o puleggia), La fune permette di “trasportare”
le forze, e di cambiare la direzione della loro retta di azione.
Esempio di tensione : carrucola
Un facchino utilizza una fune passante attorno a due carrucole per sollevare un pianoforte del
peso di 2000 N.
Quale forza deve esercitare sulla fune?
NB: Per funi di massa trascurabile il modulo della tensione è lo stesso in ogni punto della fune
La forza applicata da facchino è uguale in modulo alla
!
tensione della fune T
FT = T
Se consideriamo le forze applicate sul pianoforte avremo:
!
! ! ! !
∑ F = ma = T + T + Fg ⇒
ma = 2T − mg
Per far muovere il pianoforte dovremo avere:
ma = 2T − mg ≥ 0
E quindi:
!
mg
FT = T ≥
2
NB : per risolvere esercizi con carrucole potete immaginare
di chiudere la carrucola in una scatola ed ad ogni fune
uscente ed entrante associare una forza (tensione). Se il
sistema è in equilibrio le forze uscenti e le forze entranti
devono compensarsi sommandole come vettori.
y
Forze di attrito
Ø La presenza delle forze di attrito fa parte dell'esperienza quotidiana.
Ø Se si tenta di far scorrere un corpo su una superficie scabra, si sviluppa una
resistenza allo scorrimento detta forza di attrito.
Ø A livello microscopico l’attrito è dovuto alle microfusioni che si formano in
corrispondenza delle asperità delle due superfici a contatto
Ø La forza di attrito può essere schematizzata come una forza tangente alla
superficie
Attrito statico
Consideriamo un oggetto poggiato sul pavimento su cui viene applicata una forza F
orizzontale( per esempio verso sinistra)
La forza di Attrito statico è la forza che contrasta F e che impedisce all’oggetto di
muoversi
Corpo in quiete (non viene applicata
alcuna forza sul corpo oltre alla forza
peso ed alla reazione vincolare)
quiete
Viene applicata una forza F < fsmax,
Il corpo continua a rimanere fermo
Aumentando F, fin quando F < fsmax,
Il corpo continua a rimanere fermo
F = fsmax,
Il corpo continua a rimanere fermo
Non appena F>fsmax il corpo comincia a muoversi
Attrito dinamico
Quando F ha superato fsmax, il corpo ha cominciato a muoversi con un’accelerazione
nel verso della forza applicata e la forza di attrito diminuisce e viene detta Forza di
attrito dinamica
La forza risultante Fnet=F-fd determina
un’accelerazione nel suo stesso verso ( 2° legge
di Newton)
F > fd
Se riduciamo F fino ad avere che F=fd la forza
risultante sarà nulla così come l’accelerazione
ed il corpo procederà di moto rettilineo
uniforme
F = fd
Se riduciamo ancora F (fino ad avere F=0 ) la forza risultante sarà solo la forza di
attrito dinamico (che si oppone al moto) => l’accelerazione avrà verso opposto alla
velocità => la velocità diminuirà fino ad annullarsi
Attrito
Sperimentalmente si trova che:
La direzione della forza d’attrito è sempre parallela alla superficie ed il
verso è sempre opposto al verso del moto ( o alla forza applicata che cerca
di produrre il moto)
L’intensità sia della forza di attrito statico che quella di attrito dinamico
sono proporzionali al modulo della forza normale esercitata dalla
superficie sul corpo
f s ≤ f s max = µ s N
f d = µd N
!
fs = fs
!
fd = fd
!
N= N
Dove :
µ s = coefficiente di attrito statico ⎫
⎬
µ d = coefficiente di attrito dinamico⎭
µs > µd
I valori dei coefficienti di attrito µs e µd dipendono dalla natura delle superfici a
contatto ed in prima approssimazione µd NON dipende dalla velocità tra le due
superfici
Attrito (riassunto)
Esempio Attrito
y
ESEMPIO: Scatola contro il muro
x
Come può una forza orizzontale impedire ad un
oggetto di muoversi verticalmente?
1) Ho bisogno di attrito
2) Devo premere abbastanza
Corpo fermo
!
ma = 0
⎧max = F − N = 0
⎨
⎩ma y = −mg + µ s N = 0
⇔
! !
! ! !
ma = F + Fg + N + f s = 0
⎧F = N
⇒ µ s F = mg
⎨
⎩µ s N = mg
Si avrà quindi che se:
µ s F ≥ mg
La scatola NON scivola giù
µ s F < mg
La scatola scivola giù
Esempio Piano inclinato con attrito
Se un corpo di massa 10 kg rimane in equilibrio senza scivolare su un piano
inclinato di un angolo α= 40° rispetto al piano orizzontale, ne deduciamo che
soggetto ad una forza di attrito statico il cui coefficiente di attrito è maggiore o
y
uguale a:
!
⎧ma x = 0
!
1)0.54
!
F = ma = 0 ⇒ ⎨
∑
P
=
mg
sinα
⎧
FN
x
2)0.74
⎩ma y = 0
⎨
3)0.84
⎩Py = −mg cosα
!
!
!
!
!
!
4)0.94
∑ F = ma = P + N + f
Ftot
s
x
= tan α
⎧ma x = Px - f s = +mg sinα - f s = 0
⎨
⎩ma y = Py + N = −mg cosα + N = 0
⎧f s = + mg sinα
⎨
⎩N = mg cosα
Ma:
mg sinα
µs =
mg cosα
fs = µs N
!
θ Fg θ
mg sinα = µs mg cosα
µs = tanα = tan 40° = 0.84
Forze di attrito viscoso
Durante le lezioni precedenti.. Per studiare i moti di caduta libera o qualsiasi
moto possa avvenire nell’esperienza quotidiana.. Tra le condizioni imposte c’è
stata sempre quella di “trascurare la resistenza dell’aria”
La presenza dell’aria infatti da vita ad una “forza resistiva” o di attrito viscoso
su un corpo in movimento che si oppone sempre al moto… ed è quindi diretta
sempre in verso opposto al moto stesso.
Questa forza aumenta all’aumentare della velocità del corpo ma la sua
dipendenza dalla velocità è complessa ed è funzione di molti parametri
In generale la forza di attrito viscoso viene descritta mediante due diversi
modelli:
1) Il primo modello valido in caso di basse velocità ( es: una sfera che cade
nell’acqua). In questo modello la forza di attrito viscoso aumenta
proporzionalmente con la velocità
2) Il secondo modello è invece valido quando si studia il moto di oggetti di
grandi dimensioni che si muovo ad elevata velocità ( aereo, paracadutista,
automobile). In questo modello la forza aumenta con il quadrato della
velocità
Forze di attrito viscoso a bassa velocità
In certe condizioni un corpo (basse velocità) che si muove in un fluido (liquido o
gas) è sottoposto ad un forza di attrito viscoso, ovvero ad una forza che si oppone
al moto proporzionale alla velocità del corpo:
dove b è una costante che dipende
dalle proprietà del mezzo
v
L’accelerazione del corpo soggetta
!
! alla sola forza di attrito viscoso e’ data dalla
seconda legge di Newton: Ftot = ma
!
!
f = −bv
!
a=
!
Ftot
!
fv
!
! dv
b !
a=
=− v
dt
m
b !
= =− v
m m
m
L’accelerazione dovuta all’attrito viscoso non è quindi costante, ma decresce con
la velocità. La soluzione di tale equazione (differenziale di primo grado) è di tipo
esponenziale decrescente:
v
v(t) = vo e
⎛b⎞
−⎜⎜ ⎟⎟t
⎝m⎠
⎛b⎞
−⎜⎜ ⎟⎟t
⎝m⎠
dv
de
= vo
dt
dt
= v0 ⋅ −
b
e
m
⎛b⎞
−⎜⎜ ⎟⎟t
⎝m⎠
=−
b
vo e
m
⎛b⎞
−⎜⎜ ⎟⎟t
⎝m⎠
=−
b
v
m
La velocità di un corpo in presenza di un fluido viscoso parte da un valore iniziale
v0 e decresce esponenzialmente nel tempo => così anche l’accelerazione dovuta
all’attrito viscoso => non si può avere una condizione di equilibrio statico perché
fv =0 solo se v=0.
Velocità limite
Consideriamo il caso di un corpo di massa m che venga lasciato cadere in un fluido, assumendo
che le uniche forza agenti siano la forza peso e la forza di attrito viscoso (es un corpo in acqua o
un paracadutista).
In tal caso l’equazione del moto è data (nella direzione verticale con y positive verso l’alto) da:
Cioè:
!
! !
dv
Ftot = Fg + fv ⇒ Ftot = ma = m
= −mg + bv
dt
dv b
= v− g
dt m
La soluzione è questa volta della forma:
⎛b⎞
⎛b⎞
⎛
−⎜⎜ ⎟⎟t
−⎜⎜ ⎟⎟t ⎞
⎝m⎠
m⎜
⎝m⎠ ⎟
v(t) = −g
1− e
+ v0e
⎟
b ⎜⎝
⎠
(provate a derivarla)
Se il corpo parte da fermo, v0=0 e quindi l’equazione che descrive la velocità di un corpo che
cade sotto l’azione della forza peso attraversando un fluido viscoso è:
⎛b⎞
⎛
−⎜⎜ ⎟⎟t ⎞
m⎜
m
v(t) = −g
1− e ⎝ ⎠ ⎟
⎟
b ⎜⎝
⎠
Velocità di caduta nel
mezzo viscoso di un corpo
che parte da fermo
Per tempi lunghi rispetto a m/b l’esponenziale tende a 0 e la velocità cresce in modulo e tende
ad un valore costante detto velocità limite:
Velocità limite
v(t → ∞) = vlim = −g
m
b
Attrito viscoso per alte velocità
•
Per oggetti di grandi dimensioni che si muovo nell’aria con velocità elevate
(aerei paracadutisti… palle da baseball) la forza di attrito viscoso ha
modulo approssimativamente proporzionale al quadrato della velocità
1
2
fv = ρ DAv
2
•
Dove:
ρ = densità del fluido (aria)
D = coefficiente di resistenza (che dipende dalla forma del corpo)
A = area della sezione dell'oggetto in moto
D può andare da valori molto bassi (es: 0.04 per una forma a goccia) a valori
maggiori di 1 per oggetti di forma irregolare
Velocità limite
•
Consideriamo ora il moto di un corpo in caduta libera su cui agisce la forza
d’attrito dovuta alla presenza dell’aria :
!
! !
1
Ftot = Fg + fv ⇒ Ftot = ma = mg − ρ DAv2
2
!
fv
!
fv
1 ρ DA 2
a=g−
v
2 m
Da questa equazione differenziale si può ricavare la funzione che descrive la
velocità nel tempo.
Si può inoltre determinare la velocità limite per la quale fv compensa totalmente
la forza gravitazionale (cioè la velocità per la quale a=0)
1 ρ DA 2
a = −g +
vL = 0 ⇒
2 m
vL =
2mg
ρ DA
Velocità limite
Il moto circolare e la seconda legge di Newton
Un corpo che si muove con velocità in modulo costante v e lungo una traiettoria
circolare di raggio r subisce un’accelerazione centripeta ac =v2/r
Se c’è un’accelerazione deve esserci una FORZA
Risultante non nulla che genera tale variazione del
moto
FORZA CENTRIPETA
diretta verso il centro della circonferenza, sempre
ortogonale alla velocità e di modulo pari a:
v2
Fc = m
r
FORZA CENTRIPETA
La forza centripeta NON è un nuovo tipo di forza, ma è una qualsiasi
forza che causa un’accelerazione centripeta, imponendo al corpo un
moto lungo una traiettoria circolare
Esempi di forza centripeta (1)
Palla trattenuta da un filo:
La palla di massa m tenderebbe a mantenere il moto
lungo un percorso rettilineo ( per la prima legge di
Newton), ma il filo impedisce questo moto esercitando
una forza radiale sulla pallina che lo mantiene sulla
traiettoria circolare => è la tensione del filo che causa il
moto circolare
! !
Fc = T
Se si spezza il filo, e viene a mancare la tensione la
pallina procederà di moto rettilineo uniforme con
direzione e velocità date dalla velocità all’istante della
rottura (vedi il lancio delle “bolas”)
Giostra Rotor:
Quando la giostra comincia a girare, le persone
all’interno (poggiate già alla parete) tenderebbero per
inerzia a rimanere al loro posto originario, ma il
pavimento ruota e la parete le costringe a girare
!
!
Fc = N
Esempi di forza centripeta (2)
Satellite che orbita intorno alla terra:
Forza gravitazionale:
ogni particella nell’universo attrae un’altra particella con una
forza che è direttamente proporzionale al prodotto delle due
masse ed inversamente proporzionale al quadrato della loro
distanza e la forza è diretta lungo la congiungente le due masse
!
m1m2
Fg = G 2 rˆ
r
G=6,67· 10-11 Nm2 / kg2
Il satellite sarà vincolato a ruotare intorno alla Terra a causa della
sua attrazione gravitazionale
! !
msatellite ⋅ mterra
Fc = Fg = G
rˆ
2
(Rterra + h)
