Sulla topologia dello spettro di un`algebra di Banach

A NNALI
DELLA
S CUOLA N ORMALE S UPERIORE DI P ISA
Classe di Scienze
G. T OMASSINI
Sulla topologia dello spettro di un’algebra di Banach
Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze 3e série, tome 23,
no 3 (1969), p. 529-539
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SULLA TOPOLOGIA DELLO SPETTRO
DI UN’ALGEBRA DI BANACH
G. TOMASSINI
Data
una
d’algebra
di
Banach B,
(Pisa) (*)
commutativa
con
indichiamo
-
spettro di B e con B l’algebra delle trasformate di Fourier degli
elementi di B. Con la topologia di Gelfand (i. e. la topologia determinata’
con 8 lo
-
spazio di Hausdorff compatto. Per chiarezza indicheremo con S" lo spettro 8 con quest’ultima topologia.
Sia GB (B) l’insieme dei sotto B-moduli di B : G B (B) è uno spazio analitico di Banach (cf. [2]).
In questo lavoro si dimostra che : S è un aperto di GB (B) e l’applicazione naturale . -- S" è continua (i. e. la topologia indotta da GB (B) è
pi i fine della topologia di Gelfand).
Si dimostra poi che le due topologie coincidono sui sottoinsiemi
che hanno una struttura di spazio complesso tale che le funzioni x E B,
x E B, siano olomorfe. In particolare da un teorema di Gleason (cf. 13]) segue
che sull’insieme D degli ideali massimali di B finitamente generati, le due
è metrizzabile su ogni compotopologie coincidono. Inoltre poichè
la topologia è a base numerabile.
nente connessa
Si considera poi uno spazio complesso connesso X tale che l’algebra
delle funzioni olomorfe s11 X separi i punti e dia coordinate locali
in ogni punto x E X~.
Sullo spettro 8 di H(X) si definisce una topologia più fine della topologia di Gelfand. Con tale topologia Papplicazione naturale ó : X- 8 diventa un omeomorfismo di X su un aperto di S. La topologia definita su S
coincide con la topologia di Gelfand se lo spettro di H (X) (con la topo-
dall’algebra B) 8 è
uno
-
--
__6____---
-
--
Pervennto alla Redazione il 3 Gennaio 1969.
(*) Lavoro eseguito nell’ambito del gruppo di ricerca
cademico 1967-’68.
n.
35 del C. N. R. nell’anno
ac-
530
logia di (jelfand) è uno spazio di Stein connesso, contenente X come sot.
è un isomorfismo.
toinsieme aperto, e l’applicazione ó~ :
e
anelli
locali
si prova che ~ è
nn
di
fascio
Su S si definisce poi
un isomorfismo X --> ó (X) tra spazi anellati. In particolare l’insieme il dei
di
sia un D,s, p.modulo di
punti P E S tali che l’ideale massimale
il
E
allora
finito
ha
interni.
rimane
tipo
problema di vedere 8e Q è
punti
di
una
ed
ha
struttura
spazio complesso.
aperto
1. Lo
spettro
di
un’algebra
di Banach.
un’algebra~ di Banach su G, commutativa e unitaria. Sia 8
si può identificare all’insieme degli
ideali
massimali di
degli
omomorfismi di algebre F : B - !, non nulli. Dato x E B si considera la
a.
Sia B
l’insieme
-
-
funzione x : S - G definita da
-
una,
F (x), F E S. Allora B
unitaria. L’algebra B definisce nna topologia
ed S con tale topologia sarà indicato con 8" :
x (F)
=
=
-
commutativa e1
su S, la topologia ~ii
S " è uno spazio di Hausdorff, compatto.
Consideriamo ora B con la struttura di spazio di Banach su e. L’insieme (B) dei sottospazi diretti (1) di B ha una struttura di varietà analidi
tica di Banach (cf. [2]) detta
Siano F e G due sottospazi vettoriali chiusi di B, supplementari, e sia fJ G l’insieme dei sottospazi
vettoriali chiusi di B che hanno G come supplementare. Sia % (F, G) lo
spazio di Banach delle applicazioni lineari e continue F- G. Ad ogni
F’ E UG corrisponde un’applicazione 1F, E IL (F9 G), quella che ha F’ come
grafico e viceversa. La famiglia dei sottoinsiemi
algebra
Si
è nn sistema fondamentale di intorni di F per la topologia di
verifica inoltre che tale topologia può essere indotta dalla metrica d definita da
dove
(cf. [1]).
(i)
F 8
un
Sia E
uno
sottospazio
spazio
nn sottospazio vettoriale di E, Si dice che
di Banach ed
se è chiuso ed ha un supplementare chiuso.
diretto di E
531
Sia ora gB (B) l’insieme degli ideali di B che sono
B. Si dimostra che (jB (B), con la topologia indotta, è
litico di Banach di ~ (B) (cf. [2]).
PROPOSIZIONE 1. S è
un
sottoinsieme
sottospazi diretti di
sottospazio ana-
un
aperto di ~B (B).
allora S =
Infatti se FE S
DIMOSTRAZIONE. Sia
allora è un ideale massimale di B quindi è chiuso ed ha Q~ come sup-
ple nentare : cioè
ideale chiuso di B tale che
Viceversa
è
se
un
B¡F N ~ quindi è massimale.
In particolare su S c’è
indotta da GB (B).
una
struttura di
spazio analitico
di Banach
-
Dimostreremo ora che B è un’algebra di funzioni continue su S : da
ciò seguirà in particolare che l’applicazione naturale i : S - S" è continua.
Premettiamo i seguenti lemmi.
LEMMA 1. L’insie1ne
è chiuso ed è
un
sottospazio
analitico di B X
G(B).
è aperto. Sia
DIMOSTRAZIONE. (1) Proviamo che
F.
un
Sia
di
Si
ha
x=
E
G
F.
chiuso
supplementare
(x, F) Y: x ~
xo
dove xp e xG denotano le proiezioni di x rispettivamente su F e su G.
Dato F’ E UG , x E F’ equivale a lF, (xF) =~= - xG ; poniamo
e
in maniera che :
scegliamo
Sia x’ E B tale che
risulta
quindi
è
un
intorno aperto di
x
in B e ’
532
sottospazi vettoriali di B, chiusi e supplemen.
~~ rispettivamente le proiezioni di B sn Fo e Go ; p, e
sono applicazioni analitiche. Quindi se
x~, ~ è l’applicazione analitica
l’applicazione
bigettiva
~o ; B ~ ~o2013~~o definita da
6~0)2013~
Siano
tari. Siano
*p F" e
(2)
due
Go
e
è analitica e
Indichiamo con
i ii modello di spazio analitico di Ranach
definito da
Se F, e G1 sono due altri sottospazi vettoriali
di B5 chiusi e supplementare allora su
X i modelli
inducono la stessa struttura. La
verifica si fa osservando che ci si può rirlnrre ai due casi seguenti : Go = G,t
e
F,
=
F1 (cf. [21,
di F ed x E B.
G un supplementare chiuso
- G che ad ogni FE UG associa 1« proiezione (dise G ha dimensione finita JTx è
G.
Siano F E
LEMMA 2.
7,,
30).
paga
l’applicazione Ua
da F) dii
cazione analitica.
x su
rJ (RB,
(1) Sia
,-+- x 0 (F’).
~~
x
=
ay. -~- ,xy;
e
ogni F’
E
U(i
X
=
cni, per definizione,
ogni
Sia ora Fo E L’c
n si ha
e
sia
c
successione convergente a F. : per
è un sottoinsieme limitato di G.
una
Esiste allora una sottosuccessione
di punti di
x~’. La successione
e
per
Si ha
X è chiuso
lim Tlx (F~~-)
poichè
(FO)
=
~t’
-i
(F n )1
convergente
a(1
un
elemento
converge a
(x’, Fo),
1) x~’ E FO,y cioè x
+ x’. Ne segue che
Per dimostrare la continuità di lTx in F, resta solo
=
00
è un’altra sottosnccessione convergente allora
che se
necessariamente xa (F~~"1--~ {1:~ poiclè x si esprime in maniera unica come
somma di un elemento di F e di un elemento di G.
: % (F, G ) --- (
è analitica. Infatti
(2) L’applicazione ex 1Tx o
l’applicazione ex è continua quindi localmente limitata : basta allora dimoda
osservare
=
strare che
se
forma lineare,
Sia .D
D
(y
nna
è
o
-~- l2 con
Si ha
retta
affine, complessa
funzione analitica (cf. [1]).
in 1L (F, G);t sia
11
una
e ),:
una
@
533
da cui segue
quindi
e
Da ciò segue snbito che se v :
è una funzione analitica di t.
PROPOSIZIONE 2. B è
un’algebra
DIMOSTRAZIONE. Siano (1
di
forma
fzinxioni
= (t..1
linearei
continue
E B. Se t :
S.
su
G - (t è
i ~ 1--~ t, risulta
analitica definita da
tinuità di
una
l’applicazione
da cui la
con-
per il lemma 2.
x
naturale i ; A-9
COROLLARIO.
b. Sia
1
-
S ^ è continua.
Per ogni .
.8 Ne segue
ove
si è
postoi
Quindi
può
i
se
(F)
c
X c S
e
per
gli F’ E X
abbastanza vicini ad
i (F)
si
scrivere
-
C (F’, i (F))
Ne segue la
con
- 0
PROPOSIZIONE 3.
(di
un’algebra
(2)
di
per F’ - i
Sia X
dimensione
c
.finita
funzioni olomoy; f é,
Si ha per
ogni F E S, )
(F)
su
X, allora i-’
lx
è continua in i
S.
Se
in
ogni punto) tale che
i è un omeomorfismo
8tt
S eszste
una
strvttura di
(x
di i-’
(F).
spazio
E B
(X)
su
sia
X.
534
DIMOSTRAZIONE. La dimostrazione si basa sul seguente risultato dovuto
Grauert e Remmert (cf. [4]).
un dominio d’olomorfia e sia A c D un sottoinsieme anaSia D e
litico di D con la struttura indotta. Sia .g c D nn compatto. Allora esiste
una costante e
e K dipendente solo da k tale che : se f : A - G é una fun-
a
=
zione olomorfa
S 1,
e
esiste
funzione olomorfa
una
tale che
e sia F~ E X. Si può supporre che X sia
Sia allora X
sieme analitico di un intorno aperto del policilindro .F = (t E ~n
1
n) di centro Fo = (0, ... , 0).
Se x E
la funzione
,g ~t) ~ 1.
Esistono allora
funzione g
olomorfa
Applicando
olomorfa
costante 0=
una
sn
X,
In
particolare
per t
c
un
- (t
sottoin-
: ( ta ~ C ~,
nulla in
da P
dipende solo
su un intorno di P tale che
il lemma di Schwarz alla funzione g si ha per
dove
e
è
f:D
P n X si ha, per
e
e
una
à c.
e
ogni
0
t c P
ogni
x c
F~ ,
ciò conclude la dimostrazione.
Gleason ha dimostrato (cf. [3J) che l’insieme D degli ideali massimali
di B finitamente generati è aperto in S" (e quindi in S). Inoltre se mo E Q
è generato da xc , ... , xr, allora esiste un intorno aperto N di 0 in (tr
tale che :
--"""-
’"
i) l’applicazione q :
omeomorfismo di
S.
--
definita
intorno aperto di 1no
elemento x E B esiste
un
ii) per ogni
che f
iii) se m E
(N ),
..
tale
xr (ya)) è
sottoinsieme analitico di
funzione olomorfa f :
m
-
(Xi (tM),
...,
su un
una
un
N;
,.......JI"’o...
generato da
Ne segue la
PROPOSIZIONE 4.
D è aperto in S ~ ed in S e si&
S A ed S
inducono la ,ste.ssa topologia, ln particolare il è uno spazio metrizzabile e
su ogni componente connessa la topologia è a base numerabile.
535
DIMOSTRAZIONE. L’ultima
metrizzabile,
parte dell’enunciato segue dai fatto che il è
localmente compatto
e
localmente
Sia F un ideale massimale di B.
diretta di F è
Una risolnzione
tale che Ker Ei
di Bri
e
e
una
a
base numerabile
(cf. [0]).
successione esatta
0 S i ~ m, siano sottospazi diretti rispettivamente
Br°-l.
L’insieme S~c degli ideali massimali che hanno un risoluzione finita diretta è un aperto di S (cf. [1]). Dalla proposizione 3 segue allora che Dt c Q
è aperto in SA.
OSSERVAZIONE. Considerazioni analoghe si possono fare nel caso che B
algebra di Ranacl su 1R. In tal caso però sull’insieme degli ideali
massimali finitamente generati le due topologie sono in generale distinte.
sia
2.
una
L’algebra
di Fréchet H (X).
a-. Sia X uno spazio complesso, connesso, e sia H (X) l’algebra
di Fréchet delle funzioni olomorfe su X. Supponiamo che H (X) separi i
punti di X e dia coordinate locali nell’intorno di ogni punto x E X.
Lo spettro S = b (H (X)) di H (X) è l’insieme degli omomorfismi di algebre .g (.~) --~ ~, non nulli.
Adesso 8 si identifica agli ideali massimali di H (X) che sono chiusi.
Analogamente a quanto fatto per un’algehra di Banach si definiscono l’al.
-
-
e la topologia di Gelfand su S : S con la topologia
di Gelfand sarà indicato con 8".
Per ogni aperto
sia o : H (X) - H ( IT ) l’omomorfismo di restri.
zione. Posto
5 (H ( U)) Lou determina un’applicazione gz : S- S che è
iniettiva se eu ha immagine densa.
gebra H (X) =
Dato
punto x E X il funzionale di Dirac b. è un elemento di Su per
U
c X che contiene x. Ne segue, poichè H (X) separa i punti
ogni aperto
di X, che U si identifica ad un sottoinsieme di
un
b. Sia
seguenti :
(i)
T~ la famiglia degli aperti Ú c X verificanti le condizioni
ha
immagine
densa
536
(ii)
Sg
è
spazio di Stein
l’applicazione b~ :
funzionale f --~ f (x)) è un isomorfismo
uno
nita da
un
e
defidi U su
aperto di
per ogni
si a x E ~’
allora x E U
(iii)
(iv)
g E H ( U)
e
sia 1 E
la funzione g : ~5~v
8 u tale che(o~(,f’))
olomorfa
= bx ( f )
per
ogni f E g (X) :
Poichè ~ (X) da coordinate locali in ogni punto x E X, per ogni x esisistema fondamentale di intorni aperti
D’ora in poi considereremo su S la topologia più fine, che rende continue le applicazioni
ste
un
PROPOSIZI ONE 5.
è
un
per
nna
L’applicazione
naturale S --> S ^ è continua
e ~se
XE
cM,
omeomorfismo.
la continuità, di S -+ S A
DIMOSTRAZIONE.
( 1 ) Per
ogni f E H (X),f’ :
S- C è
Fissa~to U E
CU,
poiché
ogni
per
per
nna
ogni /° E
occorre
provare che
funzione continua.
H (X) la funzione
fo
8u
è conti-
Se lV c C é un aperto allora
per ogni U E T~
(W» è aperto in
di
la
continuità
da
in
S
e
è
qui
f.
f -’ ( ‘i-Ty aperto
è un omeomorfismo. Si può supporre che X
(2) Se
sia uno spazio di Stein.
= SA
e
Infatti sia X E
è un aperto dello spazio di Stein
Allora sii 8 le topologie determinate rispettivamente da X
e da SA coincidono, e SA
S = S (H(S^)). Basta allora dimostrare la proprietà per gli spazi di Stein.
X sia uno spazio di Stein : S come insieme coincide con X ed 8^ è
omeomorfo a X. Sia
una successione convergente a Xo in S^. Sia
yY un intorno aperto di xo in S : allora preso un intorno aperto U di xp,9
cioè
cioè Xm
E
~~ per m >
537
PROPOSIZIONE 6. L’applicazione naturale b : X-- S è
di X su un aperto di S.
DIMOSTRAZIONE. Per
ogni
un
omeomorfismao
U E 9Z
si ha
è un diagramma commutativo. Se
Ú’)
esiste un sistema fondache è aperto in ~’ ~" : poichè per ogni punto
mentale di intorni aperti U E gt di x ciò conclude la dimostrazione.
c.
Sia 17
un
è
che f
11 , ... ,jin E
aperto ed f : V - C
V se per
tali che
su
H (X
)
ogni p E
una funzione continua. Diremo
V esistono un intorno
ed
la serie essendo normalmente convergente (i. e. assolutamente ed uniformemente) sui compatti di IV.
Le funzioni olomorfe su V formano una C-algebra Os ( Y ) eY,
definisce su 8 un fascio Os di anelli locali.
sia OSA il fascio strutturale dello spazio 8 ug e sia 0
Per ogni
x
u
il fascio strutturale di X.
PROPOSIZIONE 7. Sia U E C)1. Allora per
Se p
ad un sottoanello di
ogni p E,
,
DIMOSTRAZIONE.
Esiste
un
(1)
intorno 1V di
Sia
e
tale che
dimostriamo che
~
538
." ,
di l’T.
Posto,
tali
H (X),
E
con
la serie essendo normalmente
convergente sui compatti
poichè U E CJ1, esistono ~1,... ,Q’m in
inoltre per
si
che
..
-
hai
ogni
si ha
da cui segue che
converge normalmente sui
compatti
morfismo
è
u
(2) Se p = ó (x), x E .1’,
.
è olomorfa
su
z,. E H (X)
compatti
e
e
che
L’omo-
poi iniettivo.
v
Infatti sia
dove z, , ... y
malmente sui
aperto di S
definita da
di
allora l’omoinorfismo
Allora su un intorno
precedente è surgettivo.
aperto di Stein U di x,
coordinate locali su U e la serie converge nordi U. Poichè ~: rl’ --~ ~~ è un omeomorfismo su un
è un intorno
la funzione F: b ( U) -sono
b(U)
masPer ogni p E k5 indichiamo con 911p
(FE
F ( p) = 0)
simale di Os, p, Dalla proposizione precedente segue che l’insieme S~ dei punti
di tipo finito ha punti interni.
p in cui 0Jlp è un
Dovrebbe essere possibile dimostrare che Q è aperto ed è uno spazio
=
analitico.
OSSERVAZIONE Si
può considerare l’unione disgiunta
allora Y è uno spazio complesso olomorficamente convesso,
di .ff ( Y), Due puntii
manda H(X) in una sottoalgebra
diranno
si
se
equivalenti
per ogni
9
y2 E S ~~
Si verifica che lo spazio quoziente di Y per questa relazione di equivalenza
(con la topologia quoziente) è omeomorfo a 8 e che (8, 08) è lo spettro di
(Y~ stl ( Y)) nel senso di Grauert (cf. [5]).
539
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