la relativita - Liceo “Gandhi”

2015
Proff. Giuseppe Scippa
& Lucia Russo
[APPUNTI DI FISICA:
LA RELATIVITA’]
Dai Teoremi del campo elettrico alla Relatività Generale.
1) TEOREMA DI GAUSS nel campo elettrico:
(pag. 140 vol.2 Caforio-Ferilli)
- Il flusso di campo elettrico uscente da qualsiasi superficie chiusa è uguale alla quantità
di carica Qin racchiusa all’interno della superficie, divisa per la costante dielettrica del
vuoto:
Φ=
Q𝑖𝑛
𝜀̥
Le cariche sono sorgenti del campo elettrico.
2) CIRCUITAZIONE del campo elettrico:
(pag.169 vol.2)
- Lungo qualsiasi cammino chiuso la circuitazione del campo elettrico è nulla:
∮ ⃗⃗⃗
𝐸 ∗ 𝑑𝑠 = 0
Qualsiasi campo vettoriale è conservativo se e solo se la sua circuitazione è nulla lungo ogni
linea chiusa.
3) TEOREMA DI GAUSS per il magnetismo:
(pag. 282 vol.2)
- Il flusso di campo magnetico uscente da qualunque superficie chiusa è nullo.
Φm = 0
Non esistono monopoli magnetici isolati (impossibilità di dividere i poli di un magnete).
4) TEOREMA DELLA CIRCUITAZIONE del campo magnetico di Ampere:
(pag.283 vol.2)
- La circuitazione del campo magnetico, calcolata lungo qualsiasi cammino chiuso, è
uguale al prodotto della permeabilità magnetica del vuoto per la corrente totale
concatenata con il cammino:
∮ ⃗⃗⃗
𝐸 ∗ 𝑑𝑠 = µ˳𝑖𝑐
5) LEGGE DI FARADAY-NEUMANN - (LENZ ):
(pag.5 vol.3)
- Se il flusso concatenato con un circuito varia di una quantità ΔΦm in un intervallo di
tempo Δt, la f.e.m. indotta f che in media agisce nel circuito nell’intervallo di tempo
considerato è:
f=
ΔΦm
Δt
la cui unità di misura è Wb/s.
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Legge di Lenz:
In un circuito, la corrente indotta scorre in verso tale da opporsi (mediante il campo
magnetico prodotto) alla variazione di flusso da cui essa stessa ha avuto origine.
N.B. Questo giustifica il segno meno nella formula di Faraday-Neumann.
 LA VELOCITÀ DELLA LUCE PER MAXWELL
La velocità v delle onde elettromagnetiche si può scrivere come:
v=
𝟏
√𝜺˳µ˳
con 𝜺˳ : costante dielettrica nel vuoto = 8,854*10-12
C2 /(N m2)
e µ˳ : permeabilità magnetica nel vuoto = 4 𝜋 *10-7 N/A2
si deduce che è la stessa velocità della luce nel vuoto :
C=
𝟏
√𝜺˳µ˳
 CIRCUITAZIONE AMPERE - MAXWELL
C’è una differenza sostanziale tra il campo elettrico generato da cariche ferme e campo
elettrico indotto (con cariche in movimento). Il primo è conservativo (circuitazione nulla lungo
qualsiasi linea chiusa), il secondo invece: un campo magnetico variabile nel tempo genera un
campo elettrico indotto non conservativo.
 IL TEOREMA DELLA CIRCUITAZIONE DI AMPERE :
(pag.55 vol.3)
Viene modificato così da Maxwell:
⃗⃗⃗ ∗ 𝑑𝑙 = µ˳(𝒊 + 𝜺˳
∮𝐵
𝑑𝜙
)
𝑑𝑡
N.B. il primo termine tra parentesi è l’intensità di corrente che attraversa una superficie il
cui contorno è la linea sulla quale si calcola la circuitazione di ⃗⃗⃗
𝐵 , mentre il secondo termine è la
corrente di spostamento che attraversa la stessa superficie.
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 EQUAZIONI DI MAXWELL :
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(pag.56 vol.3)
Pag. 3
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1) TEOREMA DI GAUSS nel campo elettrico:
- Il flusso di campo elettrico uscente da qualsiasi superficie chiusa è uguale alla quantità
di carica Qin racchiusa all’interno della superficie, divisa per la costante dielettrica del
vuoto:
Φ=
Q𝑖𝑛
𝜀̥0
2) TEOREMA DI GAUSS per il magnetismo:
- Il flusso di campo magnetico uscente da qualunque superficie chiusa è nullo.
Φm = 0
3) LEGGE DI FARADAY – NEUMANN – LENZ :
⃗⃗⃗ è la derivata rispetto al tempo, cambiata di segno,
- La circuitazione del campo elettrico 𝐸
del flusso campo elettrico attraverso una superficie avente come contorno una linea
chiusa lungo la quale si calcola la circuitazione.
⃗⃗⃗ ∗ 𝑑𝑙 = −
∮𝐸
𝑑Φm
)
𝑑𝑡
4) LEGGE DI AMPERE – MAXWELL oppure AMPERE generalizzata:
⃗⃗⃗ è uguale al prodotto della permeabilità
- La circuitazione del campo magnetico 𝐵
magnetica nel vuoto µ˳ per la somma della corrente concatenata con la linea chiusa
lungo la quale si calcola la circuitazione e della corrente di spostamento che attraversa
una superficie avente quella linea come contorno:
⃗⃗⃗ ∗ 𝑑𝑙 = µ˳(𝒊 + 𝜺˳
∮𝐵
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𝑑𝜙
)
𝑑𝑡
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 TRASFORMAZIONI DI GALILEO per la fisica classica:
Siano Σ e Σ’ due sistemi di riferimento spazio-temporali vediamo come si trasformano le
coordinate di un evento osservato in un riferimento Σ (x,y,z,t) rispetto alle coordinate dello stesso
evento osservato in un riferimento Σ’ (x’,y’,z’,t’) in moto rettilineo uniforme con velocità 𝑣 rispetto
a Σ e avente la direzione di x e x’.
Le trasformazioni di Galileo sono valide per velocità v << C (velocità della luce)
𝑥 = 𝑥 ′ + 𝑣𝑡
𝑦 = 𝑦′
{
𝑧 = 𝑧′
𝑡 = 𝑡′
𝑥 ′ = 𝑥 − 𝑣𝑡
𝑦′ = 𝑦
{
𝑧′ = 𝑧
𝑡′ = 𝑡
⟾
Ma se la velocità v è di poco inferiore a quella della luce C, o confrontabile con essa, queste
non valgono più.
Infatti occorrono le Trasformazioni di LORENTZ per la fisica relativistica:
𝑥′ =
𝑥−𝑣𝑡
𝑥=
2
√1−𝑣 2
𝑐
⟾
𝑦 = 𝑦′
𝑧 = 𝑧′
𝑣𝑥
{
𝑣𝑥′
𝑡− 2
𝑐
𝑡=
2
√1−𝑣 2
{
𝑐
𝑣
Posto β = 𝑐
2
√1−𝑣 2
𝑐
𝑦′ = 𝑦
𝑧′ = 𝑧
𝑡′ =
𝑥′−𝑣𝑡′
e
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γ=
𝟏
√𝟏−𝜷𝟐
𝑡′− 2
𝑐
2
√1−𝑣 2
𝑐
(fattore di Lorentz)
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Esse quindi diventano:
𝑥 ′ = 𝛾(𝑥 − 𝑣𝑡)
𝑦′ = 𝑦
𝑧′ = 𝑧
𝑥
𝑡 ′ = 𝛾(𝑡 − 𝛽 𝑐 )
{
𝑥 = 𝛾(𝑥′ − 𝑣𝑡′)
𝑦 = 𝑦′
𝑧 = 𝑧′
⟾
𝑥′
′
{𝑡 = 𝛾(𝑡 − 𝛽 𝑐 )
𝑥
Che per valori piccoli di v rispetto a c, cioè con β<<1 si ha γ≈1 e β 𝑐 ≈0 si ritorna alle
trasformazioni classiche di Galileo.
 I POSTULATI DELLA RELATIVITA’ RISTRETTA:
(pag.93 vol.3)
1. E’ impossibile distinguere con esperimenti fisici due sistemi di riferimento in moto rettilineo
uniforme l’uno rispetto all’altro; cioè le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i
sistemi inerziali.
2. La velocità della luce nel vuoto è la stessa in tutti i sistemi inerziali, indipendentemente
dallo stato di moto del sistema e della sorgente. Cioè è la stessa “c” sia che venga emessa da
una sorgente fissa che da una sorgente in movimento.
N.B. la velocità della luce è una grandezza invariante.
 Il tempo relativistico:
Nelle trasformazioni di Lorentz il tempo t e il tempo t’ non coincidono, cioè il tempo
non è più un invariante.
 Definizione di simultaneità:
Due eventi nei punti A e B si dicono simultanei se un osservatore, posto nel punto medio
M del segmento AB, riceve i segnali luminosi provenienti dai punti A e B nello stesso
istante.
 Spazio di Minkowski: (quadriuniverso)
(pag.100-101 vol.3)
Per il fatto che il tempo non è un invariante Minkowski ideò una quadrupla di valori
che nelle trasformazioni di coordinate tra due riferimenti inerziali rispetta le trasformazioni
di Lorentz. Per queste considerazioni le coordinate di un punto-evento non si scrivono
(x, y, z, t) ma in realtà sono (x, y, z, ct) moltiplicando l’asse dei tempi per la velocità della
luce. E’ come se fosse sottinteso c=1 , in tal modo si possono misurare posizioni e tempi con
le stesse unità di misura.
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 Simultaneità:
(pag.102 vol.3)
Per quanto verificato da Minkowski, la teoria della relatività con Einstein mostra che
il tempo non è un concetto assoluto, ma mostra invece che se due osservatori sono in moto
relativo, due eventi possono essere simultanei per uno di essi e non simultanei per l’altro
osservatore.
 Sincronizzazione degli orologi:
(pag.102 vol.3)
Per lo stesso motivo: per sincronizzare due orologi si dovrebbe inviare un segnale dal
primo orologio al secondo alla velocità della luce e l’osservatore che riceve il segnale deve
mettere avanti le lancette di ∆t = 𝑑⁄𝑐 che rappresenta il tempo impiegato dal segnale
luminoso per raggiungere il secondo osservatore.
 Dilatazione dei tempi:
Consideriamo l’intervallo di tempo ∆t’ tra due eventi misurati da un osservatore
fermo “O” nel primo sistema di riferimento, e ∆t l’intervallo di tempo tra gli stessi eventi,
ma misurato da un secondo osservatore “O’ “ in moto rettilineo uniforme con velocità v su
un secondo sistema di riferimento:
∆𝑡 =
∆𝑡′
2
√1 − 𝑣𝑐 2
Se poniamo γ =
1
√1−
𝑣2
𝑐2
(fattore di Lorentz)
Si può scrivere:
∆t = γ ∆t’
e poiché il fattore di Lorentz è sempre maggiore di 1 per velocità prossime a quella
della luce il tempo misurato da O è sempre maggiore del tempo proprio misurato da O’.
La durata ∆t > ∆t’ per cui si può affermare che ogni orologio in movimento rispetto a noi,
marcia con un ritmo più lento; per un orologio in movimento si dilata. Ovviamente il
fenomeno è più evidente per velocità prossime a quelle della luce.
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 Contrazione delle lunghezze:
(pag.111 vol.3)
Ovviamente per gli stessi motivi della dilatazione dei tempi si ha che:
Se d è la distanza fra due punti misurata da un osservatore che li vede fermi, un secondo osservatore
⃗ (parallela alla retta che congiunge i due punti)
in moto rispetto al primo con velocità costante 𝒗
misurerà la distanza d’ fra gli stessi due punti:
2
d’ = √1 − 𝑣𝑐2 d
e usando il fattore di Lorentz:
d’ =
𝑑
𝛾
cioè la distanza fra i due punti è minore di un fattore 1⁄𝛾 quando i punti si osservano in
movimento rispetto a quando sono visti in quiete, e questo fenomeno è tanto più evidente quanto
più la velocità è prossima a quella della luce.
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RELATIVITA’ GENERALE
(Scheda pag.153 vol.3)
Massa relativistica in funzione della velocità:
m=
𝑚0
2
√1−𝑣 2
𝑐
= γ m0
(pag. 132)
con m0 massa a riposo: è una caratteristica del corpo ed è anche detta massa invariante.
m massa a velocità v: è una grandezza variabile con la velocità.
γ fattore di Lorentz
La quantità di moto non è direttamente proporzionale alla velocità, ma si conserva se il sistema è
isolato
⃗ =
𝑝 = m𝒗
𝑚0 𝒗⃗
2
√1−𝑣 2
= γ m0⃗⃗⃗𝒗
(pag. 133)
𝑐
Energia cinetica nella teoria della relatività è:
K = m c2 - m0 c2
(pag. 135)
Da cui si ricava:
K = (γ – 1) m0 c2
e da questa si ricava:
m c2 = K + m0 c2
Tutti i termini rappresentano energie, e l’ultimo
E0 = m0 c2
è una costante indipendente dal sistema di riferimento. (Einstein la chiamò energia a riposo) e alla
E = K +E0
diede il nome di energia totale del corpo, giungendo alla nota equazione
E = mc2 .
E = mc2 =
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(pag. 136)
𝒎𝟎 𝒄 𝟐
2
√𝟏−𝑣 2
𝑐
= γ m 0 c2
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