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Cap 1. I PRIMI ELEMENTI
Rivedi la teoria
I termini primitivi
In qualsiasi disciplina non si puoÁ definire tutto e non si puoÁ dimostrare tutto; eÁ necessario introdurre alcuni
oggetti (termini primitivi) e alcune regole (assiomi) che consentano di manipolare questi oggetti per crearne altri e per stabilirne le caratteristiche.
In geometria i termini primitivi sono punto, retta e piano.
A questi va aggiunto anche il concetto di movimento rigido che permette di trasportare gli oggetti geometrici nel piano o nello spazio senza che questi si possano in qualche modo deformare.
Gli assiomi
Gli assiomi si possono raggruppare a seconda del tipo di regola che stabiliscono; abbiamo quindi:
n gli assiomi di appartenenza che stabiliscono che:
l
per definire una retta sono necessari e sufficienti due punti
l
per definire un piano sono necessari e sufficienti tre punti non allineati
l
per sapere se una retta sta su un piano basta verificare che due punti della retta appartengano al piano
n gli assiomi di ordinamento che ci assicurano la possibilitaÁ di fissare un ordinamento dei punti su una
retta orientata e di stabilire che qualsiasi retta eÁ illimitata e contiene infiniti punti
n l'assioma di partizione (per ora solo del piano) che ci garantisce la possibilitaÁ di ripartire i punti di un
piano in due regioni distinte mediante una retta in modo che, per passare da una regione all'altra, occorre necessariamente intersecare la retta
n gli assiomi di costruzione che danno la possibilitaÁ di:
l
l
trasportare segmenti e angoli nel piano conservando lunghezze e ampiezze
costruire il multiplo e il sottomultiplo di un segmento e di un angolo secondo un numero naturale n
non nullo e garantirne l'unicitaÁ.
Le prime definizioni
A partire dai termini primitivi e dagli assiomi possiamo definire nuovi oggetti della geometria.
l
Semiretta eÁ ciascuna delle due parti in cui un punto divide una retta.
l
Segmento eÁ la parte di retta delimitata da due suoi punti.
l
Semipiano eÁ ciascuna delle due parti in cui una retta divide un piano.
l
Angolo eÁ la parte di piano delimitata da due semirette (i lati dell'angolo) che hanno l'origine in comune
(il vertice); si dice poi che un angolo eÁ convesso se non contiene il prolungamento dei suoi lati, concavo
in caso contrario.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
1
Fai gli esercizi
1 Nelle seguenti figure indica se ci sono segmenti consecutivi o segmenti adiacenti.
2 Nelle seguenti figure indica se ci sono angoli consecutivi o angoli adiacenti.
3 Disegna:
a. un angolo convesso
b. un angolo concavo
c. un angolo convesso e un angolo concavo in modo che siano consecutivi.
4 E' possibile che di due angoli adiacenti uno sia concavo?
5 Disegna due segmenti consecutivi AB e BC e il segmento CD adiacente a BC. Si puoÁ dire che sono consecutivi i segmenti:
V F
a. AB e BD
V F
b. AC e CD
V F
c. AC e BD
V F
d. AC e BC.
c e bc
c e l'angolo cd
c tale che il lato d sia la semiretta opposta ad a. Si
6 Disegna due angoli consecutivi ab
puoÁ dire che:
c sono adiacenti
V F
c e cd
a. ac
c e cd
c sono consecutivi ma non adiacenti
b. bc
c e bd
c sono consecutivi
c. ab
V
F
V
F
c e bd
c sono adiacenti ma non consecutivi.
d. ab
V
F
Rivedi la teoria
I teoremi
Le caratteristiche degli oggetti geometrici sono stabilite dai teoremi.
Un teorema eÁ una proposizione che si puoÁ scrivere sotto forma di implicazione; in essa le premesse costituiscono le ipotesi del teorema, la conseguenza ne eÁ la tesi. Il ragionamento con il quale, supposte vere
le ipotesi, si deduce la veritaÁ della tesi costituisce la dimostrazione del teorema.
2
Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Il movimento rigido e la congruenza
Diciamo che due figure F e F 0 sono congruenti, e scriviamo F  F 0 se esiste un movimento rigido che possa sovrapporre una figura all'altra in modo che si corrispondano punto a punto.
La relazione di congruenza gode delle proprietaÁ:
l riflessiva: ogni figura e
Á congruente a se stessa
l simmetrica: se F  F 0 allora F 0  F
l transitiva: se F  F 0 e F 0  F 00 allora F  F 00 .
Confronto fra segmenti e fra angoli
Segmenti e angoli si possono confrontare mediante un movimento rigido e, data una qualunque coppia di
c e cd,
c fra di essi si verifica una e una sola delle seguenti situazioni:
segmenti AB e CD o di angoli ab
AB < CD
AB  CD
c < cd
c
ab
AB > CD
c  cd
c
ab
c > cd
c
ab
Di tutti i segmenti congruenti fra loro si dice che hanno la stessa lunghezza e di tutti gli angoli congruenti
fra loro si dice che hanno la stessa ampiezza.
Fai gli esercizi
7 Dati i segmenti AB, CD, EF della figura a lato, costruisci i segmenti:
a. AB ‡ CD ‡ EF
c. 3AB
e.
b. AB ‡ CD
d. 4CD
EF
1
…AB ‡ EF †
2
8 Stabilisci il valore di veritaÁ delle seguenti proposizioni.
a. Se una semiretta divide un angolo piatto in due angoli retti ne eÁ la bisettrice.
b. La bisettrice di un angolo ottuso individua angoli ottusi.
c. Una qualunque semiretta interna ad un angolo piatto ed uscente dal suo vertice individua
angoli complementari.
d. Il supplementare di un angolo ottuso eÁ acuto.
V
F
V
F
V
F
V
F
9 Dati gli angoli della figura a lato, costruisci gli
angoli:
c ‡ cd
c
c ab
c
a. ab
b. cd
c ‡ cd
c
c. ab
c
e. 2 ab
efb
efb
c
d. 3cd
f.
1 c c
ab ‡ cd
2
1
10 Sia M il punto medio del segmento AB e sia BC un segmento adiacente ad AB e tale che sia BC  AB.
2
Dimostra che:
a. B eÁ il punto medio di MC
b. AB  MC.
11 Due angoli sono complementari; a che frazione dell'angolo piatto corrisponde l'ampiezza dell'angolo
formato dalle loro bisettrici?
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Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
3
Risultati di alcuni esercizi.
5 a. V, b. V, c. F, d. V
6 a. V, b. V, c. V, d. F
8 a. V, b. F, c. F, d. V
11
1
4
Cap 2. I TRIANGOLI E I CRITERI DI CONGRUENZA
Rivedi la teoria
Il primo e il secondo criterio di congruenza dei triangoli
Se due poligoni, e in particolare due triangoli, hanno tutti i lati e tutti gli angoli ordinatamente congruenti,
possiamo concludere che sono congruenti. Ma per stabilire la congruenza non eÁ necessario verificare che
tutti gli elementi siano tali; ci sono dei teoremi, che prendono il nome di criteri di congruenza, che permettono di arrivare alle stesse conclusioni con un numero inferiore di confronti fra lati e fra angoli.
I criteri di congruenza dei triangoli sono tre; i primi due ci dicono che:
primo criterio: due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due lati e l'angolo fra essi compreso
l
secondo criterio: due triangoli sono congruenti se hanno
ordinatamente congruenti un lato e i due angoli ad esso
adiacenti.
l
Una prima applicazione di questi teoremi riguarda il triangolo isoscele e ci permette di dire che:
se un triangolo ha due lati congruenti (cioeÁ eÁ isoscele), ha
anche gli angoli opposti a tali lati che sono congruenti; viceversa, se due angoli sono congruenti, anche i lati ad essi
opposti sono congruenti.
Di conseguenza, per dimostrare che un triangolo eÁ isoscele basta dimostrare che ha:
due lati congruenti
oppure
due angoli congruenti.
l
Fai gli esercizi
1
ESERCIZIO GUIDA
c di vertice V ed il suo opposto al vertice cd
c ; prendiamo poi un punto P
Consideriamo un angolo ab
sulla semiretta a, un punto Q sulla semiretta c, un punto R su b e un punto S su d, in modo che
VP  VQ e VR  VS. Dimostriamo che PR  QS.
Per prima cosa costruiamo il disegno seguendo le indicazioni del testo. La costruzione della figura relativa ad un teorema avviene per gradi; nel nostro caso
dobbiamo:
l
4
c di vertice V
disegnare l'angolo ab
Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
l
l
l
c
disegnare il suo opposto al vertice cd
prendere i punti P, R, Q, S sulle semirette a, b, c, d in modo che VP  VQ e VR  VS
tracciare i segmenti PR e QS
Quando la figura eÁ completata, occorre rileggere il teorema per scrivere l'ipotesi e la tesi e contemporaneamente segnare sulla figura le congruenze rilevate:
c opposto al vertice di ab
c
Hp. cd
Th. PR  QS
VP  VQ
VR  VS
La tesi prevede di dimostrare che i segmenti PR e QS sono congruenti, quindi dobbiamo individuare
un triangolo che abbia come lato PR ed un triangolo che abbia come lato QS che possano essere congruenti. E' facile intuire che i triangoli cercati sono PVR e QVS. Di essi sappiamo che:
VP  VQ
per ipotesi
VR  VS
d
d  QVS
PVR
per ipotesi
perche angoli opposti al vertice sono congruenti
Sono in questo modo verificate le ipotesi del primo criterio di congruenza e percioÁ i due triangoli sono
congruenti; se due triangoli sono congruenti, hanno tutti gli elementi a due a due congruenti e quindi
il lato PR eÁ congruente al suo omologo che eÁ QS.
La dimostrazione del teorema eÁ in questo modo completata.
c di vertice V e traccia due semirette c e d interne
2 Disegna un angolo ab
c prendi poi un punto A su a ed un punc  db,
all'angolo in modo che ac
to C su c in modo che sia VA  VC, un punto D su d ed un punto B su
b in modo che sia VD  VB. Dimostra che AD  BC.
3
ESERCIZIO GUIDA
Disegniamo due segmenti congruenti e consecutivi AB e BC; tracciamo dal vertice A e dal vertice C
due semirette che formano angoli congruenti con AB e BC; indichiamo con D il punto che si viene a
determinare su AB e con E il punto su BC. Dimostriamo che BE  BD.
Costruiamo la figura e scriviamo l'ipotesi e la tesi:
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Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
5
Hp. AB  ::::::::::
Th. ::::::::::  ::::::::::
d  ::::::::
BAE
Conviene considerare i triangoli ABE e CBD che hanno:
AB  ::::::::::
per ...................
d  ::::::::
ABE
per la proprietaÁ ..............
d  ::::::::
BAE
per ...................
I due triangoli sono quindi congruenti per il secondo criterio ed in particolare BE  BD.
4 Dei triangoli ABC e DEF si sa che BC  EF
e che gli angoli esterni ai triangoli adiacenti a questi lati sono ordinatamente con4
4
gruenti. Dimostra che ABC  DEF.
5
ESERCIZIO GUIDA
Sia ABC un triangolo isoscele di base BC; prolunghiamo i lati congruenti, dalla parte della base, di
due segmenti congruenti CE e BD. Dimostriamo che anche il triangolo ADE eÁ isoscele.
La figura del problema eÁ a lato; dopo aver completato le ipotesi e la
tesi, esegui la dimostrazione seguendo la traccia.
Hp. AB  ::::::::::
Th. ................
BD  :::::::::
Osserviamo che:
AB  ::::::::::
per ........................
BD  ::::::::::
per ........................
AD  AE
perche ...................
Quindi il triangolo ADE, avendo due lati congruenti, eÁ anch'esso isoscele.
6 Nel triangolo ABC, l'angolo di vertice A eÁ il doppio dell'angolo di vertice B; traccia la bisettrice dell'angolo Ab che incontra il lato BC in F. Dimostra che il triangolo ABF eÁ isoscele.
7 Un triangolo isoscele ABC di vertice A ha la base che eÁ la metaÁ del lato obliquo; traccia la mediana BM e
dimostra che il triangolo BMC eÁ anch'esso isoscele.
8 In un triangolo ABC il lato BC eÁ il doppio del lato AB e la mediana AM eÁ congruente ad AB. Individua gli
angoli congruenti della figura e stabilisci se vi sono triangoli isosceli o equilateri.
Rivedi la teoria
Il terzo criterio di congruenza dei triangoli
l
6
Terzo criterio: due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti i tre lati.
Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Le disuguaglianze triangolari
Qual eÁ l'angolo maggiore in un triangolo? Dati tre segmenti, eÁ sempre possibile costruire un triangolo con
essi? La risposta a queste domande eÁ data dalle seguenti relazioni che legano lati e angoli di un triangolo.
In ogni triangolo:
l un angolo esterno e
Á sempre maggiore di ciascuno degli angoli interni ad esso non adiacenti
l
al lato maggiore sta opposto l'angolo maggiore e viceversa
l
ciascun lato eÁ minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza.
Fai gli esercizi
9
ESERCIZIO GUIDA
Il triangolo ABC ed il triangolo ACD sono congruenti e hanno in comune il lato AC; inoltre l'angolo
d eÁ congruente all'angolo CAD.
d Dimostra che sono congruenti anche i triangoli ABD e CBD.
ACB
Con riferimento alla figura, le ipotesi e la tesi del teorema sono:
4
4
4
4
Th. ABD  CBD
Hp. ABC  ADC
d  CAD
d
ACB
Se i triangoli ABC e ADC sono congruenti, tutti i loro elementi
sono ordinatamente congruenti, quindi
AB  ::::::::::
BC  ::::::::::
Inoltre, per la proprietaÁ riflessiva della congruenza, DB  ::::::::::::
Allora i triangoli ABD e CBD sono congruenti per il terzo criterio.
10 In un triangolo ABC isoscele di base AB, il lato obliquo eÁ il doppio della base; traccia le mediane AD e
BE e dimostra che i triangoli ABE e ABD sono isosceli e congruenti. Si puoÁ affermare che il triangolo
CED eÁ isoscele? E che eÁ congruente ai triangoli precedenti?
11 Dato un triangolo ABC isoscele di base AB, sia r una retta per A e s una retta per B in modo che gli angoli
formati dalle due rette con i lati AC e BC (entrambe esterne al triangolo o entrambe che lo attraversano)
siano congruenti. Detto P il punto di intersezione di r e s, dimostra che il segmento PC passa per il punto
medio M di AB.
Cap 3. PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
Rivedi la teoria
Rette perpendicolari
Due rette si dicono perpendicolari se, incontrandosi, formano quattro angoli congruenti fra loro; ciascuno
di questi angoli eÁ quindi retto.
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Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
7
Si dimostra che la perpendicolare condotta da un punto P a una retta r, sia che il punto appartenga o no alla
retta, esiste sempre ed eÁ unica; il punto H di intersezione della perpendicolare con la retta eÁ la proiezione di
P su r.
La proiezione di un segmento AB su una retta r eÁ il segmento HK di r che si ottiene proiettando A e B su r.
Le rette parallele e il criterio di parallelismo
Due rette r e s si dicono parallele se non si incontrano oppure se coincidono.
La parallela condotta da un punto P a una retta r esiste sempre e la sua unicitaÁ si assume come assioma.
Quando due rette parallele vengono tagliate da una trasversale si formano otto angoli, quattro su una parallela e quattro sull'altra, che, a seconda della posizione che occupano, prendono nomi particolari che
puoi vedere nelle seguenti figure:
alterni interni
alterni esterni
corrispondenti
coniugati interni
coniugati esterni
Fra questi angoli sussistono le seguenti relazioni:
n gli angoli alterni sono congruenti
n gli angoli corrispondenti sono congruenti
n gli angoli coniugati sono supplementari.
La precedente proprietaÁ si puoÁ invertire e diventa cosõÁ un criterio per riconoscere quando due rette sono
parallele; in particolare si puoÁ affermare che:
se due rette sono entrambe perpendicolari a una stessa retta, allora sono parallele.
l
Fai gli esercizi
1
ESERCIZIO GUIDA
Disegniamo un triangolo ABC isoscele di base BC e tracciamo da A la retta r parallela alla base; tracciamo poi la bisettrice dell'angolo di vertice B che incontra r in P. Dimostriamo che i triangoli ABP e
APC sono isosceli.
Completa la scrittura delle ipotesi:
Hp. AB  ::::::::::
4
Th. ABP eÁ isoscele
AP k BC
4
APC eÁ isoscele
d  ::::::::::
ABP
d eÁ alterno interno di .................... ed eÁ quindi congruente anche all'angolo .....................
L'angolo APB
Il triangolo APB eÁ quindi isoscele. Di conseguenza AP  AB, ma AB  AC, quindi .......................
8
Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
2 Disegna un triangolo equilatero ABC e, scelto un punto P su AB, traccia per P la parallela a BC che interseca AC in E. Dimostra che anche il triangolo APE eÁ equilatero.
3 Dal vertice A del triangolo ABC isoscele di base BC, traccia le rette perpendicolari ai lati obliqui che
incontrano in E e in F la retta della base BC. Dimostra che anche il triangolo AEF eÁ isoscele.
4 Sia P un punto del lato BC di un triangolo ABC; traccia da P le parallele ai lati AB e AC che li incontrano
in R e S. Dimostra che i triangoli ARP e ASP sono congruenti.
Rivedi la teoria
Á dei triangoli
Altre proprieta
Le proprietaÁ del parallelismo applicate ai triangoli permettono di enunciare i seguenti teoremi:
teorema dell'angolo esterno: in ogni triangolo un angolo esterno eÁ uguale alla somma dei due angoli
interni ad esso non adiacenti
l
somma degli angoli interni: in un triangolo la somma degli angoli interni eÁ un angolo piatto
l
quarto criterio di congruenza dei triangoli: due triangoli sono
congruenti se hanno ordinatamente congruenti un lato, uno
degli angoli ad esso adiacenti e l'angolo ad esso opposto.
l
I triangoli rettangoli
Tutti i triangoli rettangoli hanno almeno un angolo congruente che eÁ quello retto; di conseguenza i criteri
di congruenza si possono modificare enunciandoli in questo modo.
Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti:
l
i due cateti, oppure
l
un cateto e un angolo acuto, oppure
l
l'ipotenusa e un angolo acuto, oppure
l
l'ipotenusa e un cateto.
Fai gli esercizi
5
ESERCIZIO GUIDA
Disegna un triangolo ABC rettangolo in C, prolunga AB, dalla parte di A, di un segmento AP  AC e congiungi P con C ; traccia poi
da B la perpendicolare ad AB (dalla parte di C) e prendi su di essa
un punto Q tale che BQ  BC.
d trova in funzione di le ampiezze
Indicando con l'angolo CAB,
d e BCQ
d e verifica che sono complementari. Che
degli angoli ACP
cosa puoi dire dei punti P, C e Q ?
Hp. AC ? CB
AP  ::::::
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
QB ? PB
BQ  ::::::
Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
9
d  ::::::::::
Essendo PA  AC, il triangolo PAC eÁ ................................ e quindi ACP
d che abbiamo indicato con eÁ angolo esterno del triangolo PAC, quindi, in funzione di
L'angolo CAB
d  ::::::::::
, ACP
d eÁ complementare di CAB
d ˆ ; per ipotesi
PoicheÁ il triangolo ABC eÁ rettangolo in C, l'angolo ABC
d eÁ retto, quindi ABC
d eÁ complementare anche dell'angolo ................. Di conseguenza CBQ
d ˆ :::::
ABQ
Il triangolo CBQ eÁ isoscele, quindi se teniamo presente che la somma degli angoli interni di un triand in funzione di , eÁ ampio
golo eÁ un angolo piatto (che si indica con il simbolo ), l'angolo BCQ,
............................
d e BCQ
d sono dunque complementari.
Gli angoli ACP
I punti P, C e Q sono quindi allineati perche ..........
6 In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono ciascuno il doppio dell'angolo al vertice; dopo aver determinato l'ampiezza dei suoi angoli, dimostra che, tracciando la bisettrice di uno degli angoli alla base,
il triangolo dato rimane diviso in due triangoli isosceli.
7
ESERCIZIO GUIDA
Due triangoli rettangoli hanno un angolo acuto e la bisettrice di tale angolo ordinatamente congruenti.
Dimostra che i due triangoli sono congruenti.
d  ; FDE
d  ;
Hp. CAB
2
2
d  DFE;
d  PCB;
d  QFE;
d
d ACP
d DFQ
ACB
CP  FQ
4
4
Th. ABC  DEF
Considera i triangoli ACP e DFQ; di essi sai che .......... quindi i due triangoli sono congruenti per il
......... criterio di congruenza; in particolare AC  :::::
Considera adesso i triangoli ABC e DEF che sono congruenti per il .........
8 Dato un triangolo equilatero ABC, traccia le sue altezze AK e BH che si incontrano in P. Dimostra che:
a. i triangoli APH e BPK sono congruenti
b. i triangoli precedenti hanno gli angoli della stessa ampiezza di quelli del triangolo AKC.
9 Disegna un triangolo ABC (con BC > AB) e prendi un punto P sul lato BC in modo che sia BP  AP; sul
prolungamento di AP oltre P prendi poi un punto Q in modo che sia PQ  PC. Dimostra che:
a. QC eÁ parallelo ad AB
d  1 BPQ
d
b. PCQ
2
c. la retta della mediana PM relativa al lato CQ del triangolo PCQ eÁ perpendicolare ad AB.
10 Dal vertice B del triangolo isoscele ABC di base AC traccia l'altezza BH e prolungala di un segmento
HD  BH. Dimostra che la retta DC eÁ parallela alla retta AB.
10
Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
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Cap 4. LE ISOMETRIE NEL PIANO
Rivedi la teoria
Le trasformazioni geometriche
I punti di un piano si possono far corrispondere a due a due fissando delle regole di associazione; se queste
regole sono tali per cui la corrispondenza che si viene a determinare eÁ biunivoca, si parla di trasformazione geometrica.
Una trasformazione geometrica si realizza quindi mediante una legge che ad ogni punto del piano ne fa
corrispondere uno e uno solo appartenente allo stesso piano.
Per esempio:
l
l
la legge che ad ogni punto P associa il punto P 0 che si ottiene come secondo estremo della linea rossa che esce da P (figura a lato) eÁ una corrispondenza biunivoca perche ad ogni P resta associato un solo P 0 e non piuÁ di
uno, quindi eÁ una trasformazione geometrica;
la legge che, fissato un punto O e considerata la circonferenza di raggio
OP associa a P il punto P 0 che si ottiene percorrendo un quarto di circonferenza (vedi la figura) non eÁ una trasformazione geometrica perche ad
ogni P, non avendo precisato il verso di percorrenza, vengono associati
due punti P 0 .
In particolare, la legge che ad ogni punto P associa ancora P si chiama trasformazione identica.
Le caratteristiche di una trasformazione
Quando si applica una trasformazione geometrica a qualche figura del piano, tutti i punti della figura
vengono trasformati con la stessa legge; nella figura trasformata ci possono essere delle caratteristiche
della prima figura che non sono cambiate, mentre ce ne possono essere altre che hanno subito dei cambiamenti.
Per esempio, se consideriamo la trasformazione rappresentata nella figura a
lato in cui il punto trasformato A 0 si trova sulla semiretta OA in modo che sia
OA  AA 0 e analogamente per gli altri punti, al triangolo azzurro ABC corrisponde il triangolo verde A 0 B 0 C 0 . In questa corrispondenza, i lati dei due
triangoli non sono a due a due congruenti, quindi la lunghezza dei segmenti
eÁ cambiata; sono invece congruenti gli angoli del triangolo ABC e quelli corrispondenti del triangolo A 0 B 0 C 0 .
Diciamo allora che in questa trasformazione l'ampiezza degli angoli eÁ un invariante.
Un'altra caratteristica da evidenziare nelle trasformazioni geometriche riguarda quegli elementi che, una volta applicata la legge della trasformazione, corrispondono a se stessi; questi elementi si dicono uniti.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
11
Per esempio, nella trasformazione indicata nella figura a lato, i punti della
corda AB del triangolo blu corrispondono ai punti della stessa corda AB
pensata come appartenente al triangolo verde; tutti i punti della corda AB
sono quindi uniti in questa trasformazione.
Le isometrie
Fra tutte le leggi che permettono di realizzare una trasformazione, particolare importanza rivestono quelle che hanno come invariante la lunghezza dei segmenti; queste trasformazioni si chiamano isometrie. Le caratteristiche di una isometria sono le seguenti:
l
ogni retta viene trasformata in una retta; inoltre se due rette sono incidenti oppure parallele, anche le loro
trasformate sono rispettivamente incidenti allo stesso modo oppure parallele
l
l'ampiezza degli angoli eÁ un invariante
l
due figure che si corrispondono in un'isometria sono sempre congruenti.
es. 1
Fai gli esercizi
Stabilisci se le seguenti leggi rappresentano una trasformazione geometrica.
1 Fissato un punto O e considerata la circonferenza di raggio OP, al punto P
viene associato il punto P 0 che si ottiene percorrendo in senso antiorario
mezza circonferenza partendo da P.
[si]
es. 2
2 Disegnata una retta r, al punto P viene associato il punto P 0 che eÁ il piede
della perpendicolare condotta da P su r.
[no]
3 Disegnata una retta r, al punto P viene associato il punto P 0 che si ottiene
tracciando da P una retta s che forma un angolo di 45 con r e prendendo
da parte opposta un segmento OP 0  OP, essendo O il punto di intersezione di r con s.
[no]
es. 3
4 In una trasformazione geometrica un triangolo viene trasformato in un altro ad esso congruente. Si puoÁ dire che:
a. la lunghezza dei segmenti eÁ un'invariante
b. l'ampiezza degli angoli eÁ un'invariante
c. la misura dell'area eÁ un invariante
d. la posizione del triangolo nel piano eÁ un'invariante
e. non eÁ detto che la trasformazione abbia punti uniti
f. se uno dei vertici eÁ un punto unito, anche gli altri vertici sono punti uniti.
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
[a. V, b. V, c. V, d. F, e. V, f. F]
5 Della trasformazione rappresentata nella figura a lato in cui ogni punto trasformato si ottiene seguendo il percorso della linea rossa, si puoÁ dire che:
V F
a. l'ampiezza degli angoli eÁ invariante
V F
b. la lunghezza dei segmenti eÁ invariante
V F
c. non ha punti uniti
V F
d. i punti uniti sono quelli che appartengono alle linee rosse.
es. 5
[a. V, b. V, c. V, d. F]
12
Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Rivedi la teoria
La simmetria assiale
Una simmetria assiale eÁ definita quando viene fissata una retta r che
prende il nome di asse di simmetria. Per costruire il simmetrico di un
punto A rispetto alla retta r, si traccia da A la perpendicolare a r che
la incontra in H e su questa si prende, nel semipiano opposto ad A,
un punto A 0 in modo che AH  A 0 H.
Per costruire la figura simmetrica di un'altra basta allora trovare i simmetrici dei suoi punti; nel caso di un segmento o di un poligono la cosa
diventa piuÁ semplice perche basta trovare i punti simmetrici dei vertici
mandando, da ognuno di essi, la perpendicolare all'asse di simmetria.
La simmetria centrale
Per definire la simmetria centrale occorre fissare un punto O, detto centro di simmetria; per trovare il simmetrico di un punto A si traccia la
retta OA e si prende su di essa un punto A 0 , da parte opposta rispetto
ad O, in modo che A 0 O  AO.
Come nel caso della simmetria assiale, per costruire il simmetrico di un
segmento o di un poligono rispetto ad un centro O basta trovare i punti
simmetrici dei vertici e disegnare il poligono che ha per vertici i punti
trovati.
Una delle proprietaÁ piuÁ interessanti di questa isometria eÁ che i segmenti
e le rette che si corrispondono sono paralleli.
La traslazione
Una traslazione eÁ definita se eÁ dato il vettore v~ di traslazione, che eÁ, in
sostanza, un segmento orientato. Dato un punto A, per trovare il punto
A 0 che gli corrisponde nella traslazione di vettore v~, si trasporta il vettore facendo coincidere il primo estremo con A (mantenendo tutte le
sue caratteristiche, quindi direzione, verso e intensitaÁ) e si prende come
punto A 0 il secondo estremo del vettore.
Procedendo in modo del tutto analogo al caso delle simmetrie, possiamo operare con la traslazione su qualsiasi figura; puoi vedere un esempio nella figura a lato.
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Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
13
La rotazione
Per definire una rotazione occorre assegnare un centro O di rotazione e
un'ampiezza mediante un angolo orientato (positivo per rotazioni antiorarie, negativo per rotazioni orarie). Servendosi di un compasso come strumento di trasporto dei segmenti, si puoÁ costruire il punto A 0
che corrisponde ad un punto A nel seguente modo:
l
l
l
si disegna un angolo di vertice O e ampiezza avente un lato coincidente con la semiretta OA
si punta il compasso in O e, con apertura OA, si traccia un arco fino
ad intersecare l'altro lato dell'angolo
il punto di intersezione dell'arco tracciato con tale lato eÁ il punto A 0 .
Seguendo lo stesso procedimento, troviamo il corrispondente del poligono a lato nella rotazione di centro O e angolo assegnati.
Fai gli esercizi
6 Riproduci le seguenti figure sul quaderno e disegna le loro simmetriche rispetto alle rette indicate.
a.
b.
c.
7 Si dice che una figura ha un asse di simmetria r se eÁ unita nella
simmetria che ha per asse la retta r, vale a dire se la sua trasformata coincide con la figura stessa.
Figure che presentano assi di simmetria si ritrovano spesso in
natura, nell'arte, nell'architettura, negli oggetti di uso comune,
forse percheÁ le figure simmetriche sono piuÁ armoniche. Le figure che sono riportate di seguito presentano alcuni assi di simmetria; individuali e disegnali con una matita colorata.
14
Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
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8 Riproduci le seguenti figure sul quaderno e disegna le loro simmetriche rispetto ai centri indicati.
a.
b.
c.
9 Si dice che una figura ha un centro di simmetria in un punto O se eÁ unita nella simmetria che ha per
centro il punto O, vale a dire se la sua trasformata coincide con la figura stessa.
Come nel caso della simmetria assiale, gli oggetti che presentano un centro di simmetria sono molto diffusi; individua quindi, se esistono, i centri di simmetria delle seguenti figure:
a.
b.
c.
d.
10 Trova le corrispondenti delle seguenti figure nella traslazione di vettore indicato.
a.
b.
c.
11 Trova i corrispondenti dei seguenti poligoni nelle rotazioni di centro O e ampiezza assegnati:
a. ˆ ‡
2
3
b. ˆ ‡ 2
c. ˆ 12 Individua il centro e l'ampiezza della rotazione
antioraria nella quale si corrispondono le figure
A e A 0.
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Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
15
Rivedi la teoria
Il prodotto di isometrie
Consideriamo una figura F qualsiasi; comporre due isometrie !1 e !2 significa applicare !1 su F ottenendo
la figura F 0 e poi !2 su F 0 ottenendo F 00 . La trasformazione che lega F 00 a F eÁ ancora un'isometria. In particolare si verifica che:
l
l
l
l
l
16
componendo due simmetrie assiali con gli assi perpendicolari si ottiene una simmetria centrale avente come centro il punto d'intersezione degli assi;
componendo due simmetrie assiali con gli assi paralleli si ottiene
una traslazione di vettore v~ avente direzione perpendicolare agli assi, verso dal primo al secondo asse e modulo doppio della distanza
fra i due assi;
componendo due simmetrie assiali con gli assi incidenti in modo da
formare un angolo si ottiene una rotazione avente centro nel punto d'intersezione degli assi e di ampiezza 2;
componendo due simmetrie centrali di centri O e O 0 si ottiene una
traslazione di vettore v~ parallelo ad OO 0 avente modulo 2OO 0 ;
componendo due traslazioni di vettori v~ e ~
s si ot~
tiene una traslazione di vettore k ˆ v~ ‡ ~
s.
Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Fai gli esercizi
Scegli la risposta corretta fra quelle proposte.
13 Due rette parallele r e s distano una dall'altra di 5cm; componendo la simmetria di asse r e di asse s si
ottiene:
a. una traslazione di vettore v~ perpendicolare a r di modulo 5cm
b. una traslazione di vettore v~ perpendicolare a r di modulo 10cm
c. una traslazione di vettore v~ parallelo a r di modulo 10cm
d. nessuna delle precedenti isometrie.
[b.]
14 Due rette r e s si incontrano in O e formano un angolo di 60 ; componendo la simmetria di asse r e di
asse s si ottiene:
a. una simmetria centrale di centro O
b. una rotazione di centro O e ampiezza 60
c. una rotazione di centro O e ampiezza 120
d. nessuna delle precedenti isometrie.
[c.]
15 Due vettori v~ e ~
s sono paralleli ed equiversi e hanno rispettivamente modulo 2 e 6. Componendo la traslazione di vettore v~ con quella di vettore ~
s si ottiene:
a. una simmetria avente per asse una retta parallela ai due vettori
b. una simmetria avente per asse una retta perpendicolare ai due vettori
c. una traslazione di vettore parallelo ed equiverso ai precedenti e di modulo 8
d. una traslazione di vettore parallelo ai precedenti e di modulo 4.
[c.]
16 Componendo due rotazioni aventi lo stesso centro O e rispettivamente di ampiezza 120 e 60 si ottiene:
a. una simmetria di centro O
b. una simmetria avente per asse una retta passante per O
c. una traslazione
d. nessuna delle precedenti isometrie.
[a.]
Cap 5. PARALLELOGRAMMI, TRAPEZI E POLIGONI REGOLARI
Rivedi la teoria
I parallelogrammi
Un parallelogramma eÁ un quadrilatero che ha un centro di simmetria; esso gode delle seguenti proprietaÁ:
l
ha i lati opposti paralleli
l
ha i lati opposti congruenti
l
ha gli angoli opposti congruenti
l
ha gli angoli adiacenti allo stesso lato che sono supplementari
l
ha le diagonali che si tagliano scambievolmente a metaÁ.
Viceversa, un quadrilatero eÁ un parallelogramma se:
l
ha i lati opposti congruenti
l
ha gli angoli opposti congruenti
l
ha le diagonali che si bisecano
l
ha una coppia di lati opposti congruenti e paralleli.
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Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
17
I parallelogrammi particolari
Alcuni parallelogrammi hanno caratteristiche in piuÁ rispetto agli altri e per questo prendono un nome particolare:
l
l
l
chiamiamo rettangolo un parallelogramma con gli angoli retti
chiamiamo rombo un parallelogramma con i lati congruenti
chiamiamo quadrato un parallelogramma con i lati congruenti e gli angoli retti.
Questi quadrilateri hanno tutte le proprietaÁ dei parallelogrammi e in piuÁ le seguenti:
l
l
l
un rettangolo ha le diagonali congruenti
un rombo ha le diagonali perpendicolari e bisettrici degli angoli
un quadrato ha le diagonali congruenti, perpendicolari e bisettrici degli angoli.
I trapezi
Un trapezio eÁ un quadrilatero che ha due lati paralleli che costituiscono
le basi del trapezio; gli altri due lati sono i lati obliqui. Se i lati obliqui
sono congruenti il trapezio si dice isoscele.
Un trapezio non ha proprietaÁ particolari se non quelle che derivano dal
fatto di avere due lati paralleli, quindi la sola cosa che si puoÁ dire eÁ che
ha gli angoli adiacenti ad un lato obliquo che sono supplementari.
Se peroÁ il trapezio eÁ isoscele allora:
l
gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti
l
le diagonali sono congruenti.
I poligoni regolari
Un poligono eÁ regolare se ha tutti i lati tra loro congruenti e tutti gli angoli tra loro congruenti.
In un poligono regolare eÁ sempre possibile tracciare degli assi di simmetria; esiste invece un centro di simmetria solo se il poligono ha un numero pari di lati.
Fai gli esercizi
1
ESERCIZIO GUIDA
Dato il parallelogramma ABCD, indichiamo con M il punto medio del lato AB e tracciamo da D la
semiretta DM; prendiamo poi un punto P su tale semiretta, oltre M, in modo che PM  DM. Dimostriamo che i punti C, B, P sono allineati.
18
Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
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Hp. ABCD parallelogramma
Th. C, B, P allineati
AM  ::::::::
MP  ::::::::
Per dimostrare questo teorema possiamo seguire due percorsi.
d eÁ piatto.
I modo. Dimostrando che l'angolo PBC
Considera i triangoli AMD e BMP e dimostra che sono congruenti.
d  ::::::::; ma DAB
d ‡ ABC
d  ::::::::::::::::, quindi PBA
d ‡ ABC
d  ::::::::::::
Di conseguenza DAB
II modo. Usando le proprietaÁ delle isometrie.
Se consideriamo la simmetria di centro M, il simmetrico di A eÁ ........, il simmetrico di D eÁ ........
Segmenti che si corrispondono in una simmetria centrale sono paralleli quindi AD k ::::::::; ma
AD k BC, quindi per l'unicitaÁ della parallela per un punto ad una retta .....................
2 In un parallelogramma ABCD la diagonale BD eÁ congruente al lato AB; traccia dal vertice B la perpend eÁ retto e che i
dicolare BH al lato AD e prolungala di un segmento HP  BH. Dimostra che l'angolo PBC
punti C, D, P sono allineati.
(Suggerimento: osserva che i triangoli ABD e BDC sono isosceli e congruenti)
3 E' dato un parallelogramma ABCD; detto O il punto d'intersezione delle diagonali traccia un qualunque
segmento PQ che passi per O e abbia gli estremi sui lati del parallelogramma. Dimostra che i triangoli
che si vengono a formare sono a due a due congruenti.
4
ESERCIZIO GUIDA
Date due rette parallele a e b, tracciamo una trasversale che le incontra nei punti A e B ; per il punto
medio M di AB tracciamo una seconda trasversale che incontra le due rette in P e Q. Dimostriamo che
il quadrilatero APBQ eÁ un parallelogramma.
Hp. a k b
Th. APBQ parallelogramma
AM  ::::::::
Se consideriamo M come centro di simmetria, B eÁ il corrispondente di A, la retta b eÁ corrispondente della retta a perche sono parallele e passano per una coppia di punti corrispondenti e PQ eÁ una retta unita; allora,
essendo intersezione di rette corrispondenti, anche P eÁ corrispondente di Q. Il quadrilatero APBQ
ha un centro di simmetria ed eÁ quindi un parallelogramma.
5 Dal vertice A di un triangolo ABC traccia la parallela al lato BC e considera su di essa i punti M e N in
modo che A sia il punto medio del segmento MN (con M dalla stessa parte di B). Quale condizione deve
essere verificata affinche i quadrilateri AMBC e ANCB siano dei parallelogrammi?
6 Sulla diagonale DB del parallelogramma ABCD fissa i punti P e Q tali che BP  DQ; dimostra che il
quadrilatero AQCP eÁ un parallelogramma.
7 Disegna un parallelogramma ABCD e prendi sui suoi lati, nello stesso verso, quattro punti P, Q, R, S in
modo che AP  BQ  CR  DS. Dimostra che il quadrilatero PQRS eÁ un parallelogramma.
8 Nel parallelogramma ABCD la diagonale AC eÁ congruente al lato AD; indicato con M il punto medio del
lato AD, traccia la semiretta CM e prendi su di essa un punto P in modo che sia PM  MC. Dimostra che:
a. il quadrilatero ACDP eÁ un parallelogramma;
b. i punti P, A, B sono allineati.
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Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
19
9
ESERCIZIO GUIDA
Dato il rettangolo ABCD e tracciata la sua diagonale AC, prendiamo un punto P su AB ed un punto Q
su DC in modo che AP  CQ; tracciamo poi da P e da Q le parallele alla diagonale AC che incontrano
CB in R e AD in S. Dimostriamo che il quadrilatero PRQS eÁ un parallelogramma. Come deve essere
preso il punto P affinche tale parallelogramma diventi un rombo?
Hp. ABCD rettangolo
Th. PRQS parallelogramma
AP  ::::::::
PR k :::::::: k ::::::::
Basta dimostrare che PR e QS sono congruenti e paralleli:
PR k QS perche ...................
I triangoli DSQ e BRP sono triangoli rettangoli congruenti perche ..................
Quindi .......................
Rifletti ora sul fatto che affinche PRQS sia un rombo i lati devono essere tutti congruenti, oppure le
diagonali devono essere perpendicolari, quindi P deve essere ..................
10 Sia O il punto di intersezione delle diagonali di un rombo ABCD; traccia da O le perpendicolari OH e
OK di due lati opposti. Dimostra che i punti H, O, K sono allineati.
11 Dato il quadrato ABCD, costruisci il suo simmetrico A 0 B 0 CD 0 rispetto al vertice C. Dimostra che i punti B,
D 0 , B 0 , D sono vertici di un altro quadrato.
12 Sono date due rette parallele tagliate da una trasversale (figura a lato);
dimostra che il quadrilatero che si ottiene tracciando le bisettrici degli
angoli alterni interni eÁ un rettangolo.
13 Dato il rombo ABCD, traccia la bisettrice dell'angolo esterno di vertice
A; la retta ad essa perpendicolare condotta dal vertice D la incontra in
H. Che tipo di quadrilatero eÁ ABDH?
14 Disegna un pentagono regolare e i suoi assi di simmetria; disegna un esagono regolare e i suoi assi di
simmetria. Quanti sono gli assi di simmetria di un poligono regolare di n lati?
Rivedi la teoria
La corrispondenza parallela di Talete
Consideriamo un fascio di rette parallele e siano r e s due rette che le intersecano (si dice che r e s sono due trasversali). I punti che le rette del fascio individuano su una trasversale hanno come corrispondenti i punti che
le stesse rette individuano sull'altra trasversale; cosõÁ, per esempio, al punto
A corrisponde il punto A 0 , al punto B il punto B 0 e cosõÁ via.
Se capita che su una trasversale ci siano segmenti congruenti, come per
esempio i segmenti AB e CD su r, allora anche i loro corrispondenti sull'altra trasversale sono congruenti, cioeÁ A 0 B 0  C 0 D 0 .
Questa proprietaÁ eÁ nota come teorema di Talete.
20
Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Le conseguenze
Dal teorema di Talete discendono alcune proprietaÁ dei triangoli:
l
l
se dal punto medio di un lato di un triangolo si traccia la parallela a un altro lato, questa incontra il terzo
lato nel punto medio
la congiungente i punti medi di due lati di un triangolo eÁ parallela al terzo lato e congruente alla sua
metaÁ.
Fai gli esercizi
15
ESERCIZIO GUIDA
Dato il triangolo ABC, tracciamo la mediana BM e dai punti medi N e P dei lati BC e BA tracciamo le
parallele a tale mediana che incontrano il lato AC in Q e R. Dimostriamo che:
a. AC rimane diviso dalla mediana e dalle sue parallele in quattro segmenti congruenti fra loro
b. il quadrilatero PNQR eÁ un parallelogramma.
Hp. AM  :::::::;
BN  ::::::::;
Th. AR  RM  MQ  QC;
BP  ::::::::;
NQ k ::::::::;
PR k :::::::::
PNQR parallelogramma
a. Considera il triangolo BCM: N eÁ punto medio di BC e NQ k BM,
quindi .................
Considera il triangolo BMA: P eÁ punto medio di AB e PR k BM,
quindi ...................
Allora, essendo M punto medio di AC ........................
b. P e N sono punti medi dei lati AB e BC, quindi PN .................
NQ k PR perche .............................., quindi ..............................
16 Dato il quadrato ABCD, sia M il punto medio del lato AB e N il punto medio del lato BC. Dimostra che:
a. MN ? BD;
b. DN eÁ congruente e perpendicolare a CM.
(Suggerimento: a. traccia la diagonale AC ed osserva che il segmento MN congiunge i punti medi dei lati
AB e BC del triangolo ABC, quindi ....................)
17 Dal vertice A della base minore AB di un trapezio isoscele ABCD traccia una semiretta che incontra il
d  ADE.
d Dimostra che il quadrilatero ABCE eÁ un parallelogramma. Che
lato DC in E in modo che AED
caratteristiche deve avere il trapezio affinche ABCE sia un rombo?
18 EÁ dato un quadrato ABCD ; sul lato DC ed internamente al quadrato costruisci un triangolo equilatero
DCE ; sul lato AD ed esternamente al quadrato costruisci un triangolo equilatero ADF. Dimostra che i
punti F, E, B sono allineati.
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Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
21
Verifica del recupero
1 Barra vero o falso.
Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti:
a. due lati
b. tre lati
c. tre angoli
d. due lati e l'angolo compreso
e. due angoli e il lato compreso
f. due angoli e un lato qualsiasi.
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
0,5 punti
2 Sia M il punto medio della base BC di un triangolo isoscele ABC; prendi un punto D su AB e un punto E su
AC in modo che sia AD  AE; traccia i segmenti DM e EM e dimostra che AM eÁ bisettrice dell'angolo
d
DME.
1,5 punti
3 Barra vero o falso.
Due rette sono parallele se
a. hanno una perpendicolare comune
b. tagliate da una trasversale formano angoli coniugati congruenti
c. tagliate da una trasversale formano angoli alterni congruenti
d. tagliate da una trasversale formano angoli corrispondenti supplementari
e. tagliate da una trasversale formano angoli coniugati complementari
f. tagliate da una trasversale formano angoli corrispondenti congruenti.
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
0,5 punti
4 Disegna un triangolo qualsiasi ABC, traccia da un punto P del lato AB la parallela ad AC che incontra in
Q il lato BC; traccia da Q la parallela al lato AB che incontra AC in R. Dimostra che i triangoli BPQ e
RCQ hanno gli angoli congruenti a quelli del triangolo ABC.
1,5 punti
c di vertice V , prendi un punto A sul lato a e un punto B sul lato b in modo che
5 Dato un angolo convesso ab
sia VA  VB; traccia da tali punti le parallele ai lati dell'angolo che si incontrano in C. Dimostra che AB e
VC sono perpendicolari.
2 punti
6 Completa in modo che le proposizioni che seguono risultino vere.
a. Un triangolo ABC ha l'angolo di vertice A di ampiezza e l'angolo di vertice B di ampiezza 2; l'angolo
esterno di vertice C ha ampiezza ....................
b. Un triangolo ha un angolo di ampiezza , un angolo di ampiezza 2 e un angolo di ampiezza 3; il triangolo eÁ ....................
c. Un triangolo isoscele ha l'angolo al vertice che eÁ doppio di ciascuno degli angoli alla base; il triangolo eÁ
....................
1 punto
7 Barra vero o falso.
a. In un triangolo isoscele la retta dell'altezza relativa alla base eÁ asse di simmetria.
b. Un segmento ha un centro di simmetria.
22
Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
V
F
V
F
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
c. Un angolo ha come asse di simmetria la bisettrice.
d. Due segmenti che si corrispondono in una rotazione sono perpendicolari.
V
F
V
F
0,5 punti
8 Disegna un triangolo ABC qualsiasi e traccia la retta r bisettrice dell'angolo di vertice A; costruisci poi il
simmetrico AB 0 C 0 di tale triangolo rispetto a r. Rispondi ora alle seguenti domande:
a.
b.
c.
d.
r eÁ ancora bisettrice dell'angolo di vertice A del triangolo trasformato?
come sono i punti A, B 0 , C ?
come sono i punti A, B, C 0 ?
indicato con O il punto di intersezione di BC con B 0 C 0 , dove si trova O?
0,5 punti
9 Dato un quadrato ABCD, conduci dal vertice A due rette fra loro perpendicolari in modo che la prima
intersechi il lato BC in E, la seconda intersechi la retta del lato CD in F. Dimostra che il triangolo AFE
eÁ isoscele.
2 punti
Soluzioni
1 a. F, b. V, c. F, d. V, e. V, f. V
2
AM eÁ mediana e bisettrice dell'angolo di vertice A; i triangoli ADM e AEM sod  EAM;
d
no congruenti per il primo criterio: AD  AE, AM in comune, DAM
d  AME
d
quindi AMD
3 a. V, b. F, c. V, d. F, e. F, f. V
4
d  RQC
d
AB k QR : ABC
d  QRC
d perche corrispondenti
BAC
d  BPQ
d
AC k PQ : BAC
d  BQP
d perche corrispondenti
ACB
5
I triangoli VAB e CAB sono congruenti per il secondo criterio: AB in comune,
d  CBA
d perche alterni interni delle rette parallele VA e BC, CAB
d  VBA
d
VAB
perche alterni interni delle rette parallele AC e VB ed inoltre i quattro angoli
sono tutti congruenti fra loro.
Essendo VA  VB, si ha che VA  VB  AC  BC; i triangoli VAC e VBC sono quindi isosceli e AB eÁ la bisettrice dell'angolo al vertice di ciascuno dei due
triangoli; poiche la bisettrice eÁ anche altezza, AB ? VC.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
23
6 a. 3, b. rettangolo, c. rettangolo
7 a. V, b. V, c. V, d. F
a. si perche la bisettrice di un angolo eÁ asse di simmetria
8
b. allineati perche le rette dei lati dell'angolo di vertice di A sono simmetriche, quindi
il simmetrico di B appartiene ad AC
c. allineati per lo stesso motivo
d. appartiene all'asse di simmetria percheÂ, essendo B 0 C 0 simmetrico di BC, il loro punto di intersezione eÁ unito
d e DAF
d sono congruenti perche complementari dello stesso angolo
Gli angoli BAE
d quindi i triangoli rettangoli ABE e ADF sono congruenti (hanno ordinataDAE,
mente congruenti un cateto e un angolo acuto): AE  AF ed il triangolo eÁ isoscele.
9
Esercizio
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Punteggio
Valutazione
in decimi
24
Tema 5 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Gli esercizi proposti in questa rubrica conclusiva dell'area provengono da gare di Matematica internazionali e
da esami finali, opportunamente adattati, in varie scuole dei Paesi di lingua anglosassone.
angle
bisector
blank
lenght
measure
measurement
angolo
bisettrice
spazio vuoto
lunghezza
misura
misurazione
point
quadrilateral
side
rotation
transformation
triangle
punto
quadrilatero
lato
rotazione
trasformazione (geometrica)
triangolo
1 In the figure on the right hand, AB k CD. Find the value of x.
ex. 1
2 In triangle ABC, AB ˆ 10 and BC ˆ 21. The lenght of side AC must be
between what two measurements? (Write the two answers in the blanks
provided below)
::::::::::: < AC < :::::::::::::
3 Triangle FGH is shown on the right hand, with point K located on GH.
If the measure of Gb is …2x ‡ 7† , the measure of Fb is …8x 1† and the
d
d is …9x ‡ 21† , find the measure of FHG.
measure of FHK
a. 15
9
d. 93 19
b. 24
ex. 3
c. 37
e. 156
4 In the figure shown, the measure of an angle formed by the bisectors of
two angles in triangle ABC is 120 . Find the measure of angle B.
a. 40
b. 45
c. 50
d. 60
e. 80
p p
p
5 The sides of a triangle are 2, 3 and 11. Which of the following
best describes the triangle?
a. isosceles
b. non existent
c. acute
d. equilateral
e. scalene
ex. 4
6 Which of the following cannot be used to prove that a quadrilateral is a parallelogram?
a. Show that the adjacent angles are complementary.
b. Show that both pairs of opposite sides are congruent.
c. Show that both pairs of opposite sides are parallel.
d. Show that both pairs of opposite angles are congruent.
e. Show that the diagonals bisect each other.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Tema 5 - MATH IN ENGLISH
25
7 Which of objects 2-5 below could represent the image of object 1 as the result of a single rotation (with
no other transformations applied)?
a. Objects 2 and 3 only
b. Objects 4 and 5 only
c. Objects 4 only
d. Objects 2, 3 and 4 only
e. Objects 2, 3, 4 and 5.
1.
2.
3.
4.
5.
8 In the quadrilateral on the right hand, BA k CD, BC k AD, the measure
d is …3x ‡ 4† and the measure
d is …6x 5† , the measure of ABD
of CBD
ex. 8
d is …7x ‡ 5† . Find the measure of ADB.
d
of BAD
a. 13
b. 98
c. 11
d. 37
e. 61
d is 100 . Point F is chosen in9 In the figure shown, the measure of BEA
d and line FB bisects EBA.
d
side triangle BEA so that line FA bisects EAB
ex. 9
d
Find the measure of BFA.
a. 140
b. 145
c. 150
d. 155
e. 160
ex. 10
10 In the given figure, if `1 k `2 and AB  CD, then:
a. AD ? BC
d. BC  DE
b. AC  BD
e. AD  BC
c. AE  EC
11 A regular polygon has an interior angle that measures 144 degrees, and a side of which is 12 units long.
What is the perimeter of the regular polygon?
a. 80
b. 100
c. 120
d. 140
e. 160
7 c.
8 e.
9 a.
10 b.
11 c.
6 a., the statement should read "... are supplementary"
2 11 < AC < 31
3 b.
4 d.
5 b.
Tema 5 - MATH IN ENGLISH
1 x ˆ 12
26
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA