Elettronica – Risoluzione dei circuiti elettrici;
serie e parallelo di bipoli
Valentino Liberali
Dipartimento di Fisica
Università degli Studi di Milano
[email protected]
Elettronica – Risoluzione dei circuiti; serie e parallelo – 18 marzo 2015
Valentino Liberali (UniMI)
Elettronica – Risoluzione dei circuiti; serie e parallelo – 18 marzo 2015
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Contenuto
1
Risoluzione dei circuiti in continua
2
Teorema di Tellegen
3
Bipoli in serie
4
Bipoli in parallelo
5
Resistenze in serie e in parallelo
6
Generatori in serie e in parallelo
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Programma – parte 2
2
Circuiti in continua.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
...
Risoluzione dei circuiti elettrici in continua.
Teorema di Tellegen.
Resistenze in serie e in parallelo.
Generatori in serie e in parallelo.
Dualità.
Uso dei concetti di serie e parallelo per la semplificazione dei circuiti.
...
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Risoluzione di un circuito elettrico
Risolvere un circuito significa calcolare la tensione e la corrente per ogni bipolo.
Per i circuiti in continua, si usano:
la legge di Ohm per i resistori:
V = RI
la legge di Kirchhoff per le tensioni alle maglie:
X
Vk = 0
k∈maglia
la legge di Kirchhoff per le correnti ai nodi:
X
Ik = 0
k∈nodo
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Esempio: risoluzione di un circuito
Risolvere il circuito illustrato, calcolando la tensione e la corrente per ogni bipolo.
V0 = 4.5 V; R1 = 1.2 kΩ; R2 = 1 kΩ; R3 = 1.5 kΩ.
R1
+
R2
R3
V0 -
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Esempio (1/13)
Primo passo: definire per ogni bipolo il terminale positivo (+) e quello negativo
(–). In questo modo risultano fissati i versi delle tensioni e delle correnti.
In ogni caso, adottare la convenzione degli utilizzatori.
Per i bipoli simmetrici (come le resistenze), la scelta dei segni è indifferente.
Per i bipoli non simmetrici (come i generatori), seguire il verso indicato per la
tensione o per la corrente.
+
+
V1
I0 I1 R 1
I2 +
R2
V0 -
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I3 +
R3
V2
-
V3
-
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Esempio (2/13)
Secondo passo: identificare i nodi e le maglie del circuito.
Questo circuito ha tre nodi (A, B, C) e tre maglie (1, 2, 3).
A
3
B
R1
+
1
R2
2
V0 -
R3
-
C
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Esempio (3/13)
Terzo passo: determinare il numero di incognite del circuito, che è anche il
numero di equazioni indipendenti che bisogna scrivere.
Per ogni resistenza, occorre calcolare la tensione e la corrente (2 incognite
per bipolo).
Per ciascun generatore occorre calcolare una sola grandezza (la corrente per i
generatori di tensione, e la tensione per i generatori di corrente).
Per il circuito assegnato, il numero di incognite è 7 (cioè 4 correnti e 3 tensioni).
Occorre scrivere 7 equazioni tra loro indipendenti nelle 7 incognite, e risolvere il
sistema di equazioni.
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Esempio (4/13)
Quarto passo: scrivere le equazioni.
Anzitutto, per ogni resistenza vale la legge di Ohm. Abbiamo le tre equazioni:
V 1 = R 1 I1
+
V 2 = R 2 I2
V1
I0 I1 R 1
+
V 3 = R 3 I3
I2 +
R2
I3 +
-
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R3
V2
V0 -
V3
-
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Esempio (5/13)
Legge di Kirchhoff per le correnti (KCL) ai nodi:
−I0 − I1 = 0
I1 − I2 − I3 = 0
I0 + I2 + I3 = 0
Utilizziamo solo due di queste equazioni, perché la terza è dipendente dalle altre
due.
A
+
+
V1
I0 I1 R 1
B
I2 +
R2
I3 +
R3
V2
V0 -
-
V3
-
C
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Esempio (6/13)
Legge di Kirchhoff per le tensioni (KVL) alle maglie:
−V1 − V2 + V0 = 0
− V3 + V2 = 0
− V1 − V3 + V0 = 0
Utilizziamo solo due di queste equazioni, perché la terza è dipendente dalle altre
due.
V1
+
3
+
R1
+
1
R2
V0 -
+
2
V2
-
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V3
R3
-
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Esempio (7/13)
V 1 = R 1 I1
Ohm V2 = R2 I2
V 3 = R 3 I3
(
−I0 − I1 = 0
KCL
I1 − I2 − I3 = 0
(
−V1 − V2 + V0 = 0
KVL
−V3 + V2 = 0
Il sistema di 7 equazioni in 7 incognite (V0 , R1 , R2 e R3 sono noti) può essere
risolto con un metodo qualsiasi. Ad esempio, si possono sostituire le V date dalla
legge di Ohm, ottenendo un sistema nelle 4 incognite I0 , I1 , I2 , I3 .
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Esempio (8/13)
−I0 − I1 = 0
I1 − I2 − I3 = 0
−R1 I1 − R2 I2 + V0 = 0
−R3 I3 + R2 I2 = 0
4 equazioni in 4 incognite:
L’incognita I0 compare solo nella prima equazione; quindi è possibile risolvere
separatamente il sistema costituito dalle restanti tre equazioni.
I1 − I2 − I3 = 0
−R1 I1 − R2 I2 + V0 = 0
3 equazioni in 3 incognite:
−R3 I3 + R2 I2 = 0
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Esempio (9/13)
3 equazioni in 3 incognite:
I1 − I2 − I3 = 0
−R1 I1 − R2 I2 + V0 = 0
−R3 I3 + R2 I2 = 0
Ricavando dalla prima equazione I3 = I1 − I2 e sostituendo nelle altre due:
(
−R1 I1 − R2 I2 + V0 = 0
2 equazioni in 2 incognite:
−R3 I1 + R3 I2 + R2 I2 = 0
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Esempio (10/13)
Dall’ultima equazione si ricava
I1 = I2
R3 + R2
R3
che sostituita nell’altra equazione dà:
−R1
R3 + R2
I2 − R 2 I2 + V 0 = 0
R3
da cui si ricava la soluzione per l’incognita I2 :
I2 =
V0
R3 +R2
R 1 R3
+ R2
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=
4.5 V
1.2 kΩ
1.5 kΩ+1 kΩ
1.5 kΩ
+ 1 kΩ
=
4.5 V
= 1.5 mA
3 kΩ
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Esempio (11/13)
Dopo avere ricavato I2 , si procede a ritroso, ricavando le altre incognite dalle
equazioni del sistema:
I1 = I2
1.5 kΩ + 1 kΩ
R3 + R2
= 1.5 mA
= 2.5 mA
R3
1.5 kΩ
I3 = I1 − I2 = 2.5 mA − 1.5 mA = 1 mA
e così via, calcolando anche l’ultima corrente (I0 ) dall’equazione −I0 − I1 = 0, e le
tre tensioni (V1 , V2 , V3 ) con la legge di Ohm.
Un consiglio: per evitare errori di calcolo, è meglio ricavare la soluzione in forma
simbolica, e solo alla fine sostituire i valori numerici.
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Esempio (12/13)
La soluzione completa del sistema è:
V1 = 3 V; V2 = 1.5 V; V3 = 1.5 V;
I1 = 2.5 mA; I2 = 1.5 mA; I3 = 1 mA;
I0 = −2.5 mA.
Si verifica immediatamente che:
per i componenti passivi (resistori) i segni della tensione e della corrente sono
concordi e la potenza è positiva (assorbita);
per il generatore i segni di tensione e corrente sono discordi e la potenza è
negativa (erogata).
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Esempio (13/13)
Calcolo della potenza dissipata:
Resistenza R1 : P1 = V1 I1 = 7.5 mW
Resistenza R2 : P2 = V2 I2 = 2.25 mW
Resistenza R3 : P3 = V3 I3 = 1.5 mW
Generatore V0 : P0 = V0 I0 = −11.25 mW
La potenza erogata dal generatore è pari alla somma delle potenze assorbite dalle
resistenze: infatti la somma algebrica delle potenze è:
P1 + P2 + P3 + P0 = 7.5 mW + 2.25 mW + 1.5 mW − 11.25 mW = 0
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Teorema di Tellegen
In qualsiasi circuito, la somma algebrica delle potenze di tutti i bipoli è nulla.
Infatti, poiché l’energia si conserva, W = costante e
P=
dW
=0
dt
Quindi la potenza totale è nulla.
Questo risultato, noto come teorema di Tellegen, si scrive di solito nella forma:
X
X
P=
Pk =
V k Ik = 0
k
k
dove la sommatoria è estesa a tutti i bipoli.
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Serie di bipoli (1/2)
Due bipoli sono detti in serie quando sono percorsi dalla stessa corrente:
I1 = I2
+
1
-
+
I1
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2
I2
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Serie di bipoli (2/2)
Applicando la legge di Kirchhoff per le tensioni, si ricava che per due bipoli in serie
la tensione complessiva ai capi è data dalla somma delle tensioni di ciascun bipolo:
V = V1 + V2
V
I1
+
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I2
A
- +
1
V1
2
V2
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Parallelo di bipoli (1/2)
Due bipoli sono detti in parallelo quando hanno la stessa tensione ai capi:
V1 = V2
V1
+
+
1
-
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V2
2
-
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Parallelo di bipoli (2/2)
Applicando la legge di Kirchhoff per le correnti, si ricava che per due bipoli in
parallelo la corrente complessiva è data dalla somma delle correnti di ciascun
bipolo:
I = I1 + I2
I
A
+
+
1
V1
I1 I2
2
-
V2
-
B
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Resistenze in serie
Due resistenze in serie sono percorse dalla stessa corrente:
I1 = I2 = I .
+
+
V
-
V1
R1
I
+
R2
V = V1 + V2 = R1 I + R2 I = (R1 + R2 )I
Le resistenze in serie si sommano
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V2
−→
R = R1 + R2
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Resistenze in parallelo (1/3)
Due resistenze in parallelo hanno la stessa tensione ai capi:
V1 = V2 = V .
+
+
I
I = I1 + I2 =
I1
R1
-
R2
-
I2
1
1
V+
V = G1 V + G2 V = (G1 + G2 )V
R1
R2
−→
G = G1 + G2
Le conduttanze in parallelo si sommano
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Resistenze in parallelo (2/3)
+
+
I
I1
R1
-
R2
I2
-
G = G1 + G2
R=
1
1
=
=
G
G1 + G2
1
R1
1
+
1
R2
=
1
R1 +R2
R1 R2
=
R1 R2
R1 + R2
Attenzione: l’ultimo passaggio è corretto, ma dà un risultato non generalizzabile
nel caso di più di due resistenze in parallelo!
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Resistenze in parallelo (3/3)
Nel caso di tre resistenze in parallelo:
G = G1 + G2 + G3
R=
=
1
1
=
=
G
G1 + G2 + G3
1
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
=
1
R1 R2 +R1 R3 +R2 R3
R1 R2 R3
=
R1 R2 R3
R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
e NON
R1 R2 R3
R1 + R2 + R3
che dimensionalmente non è una resistenza!
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Generatori di tensione in serie
+
V1
+
V2
V = V1 + V2
La tensione ai capi di una serie di generatori di tensione è la somma delle
tensioni
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Generatori di tensione in parallelo
+
+
V2
V1
V = V1 ;
V = V2
−→
V1 = V2
Se la tensione dei due generatori è la stessa abbiamo un’identità; altrimenti
l’uguaglianza è impossibile
Non si possono collegare in parallelo generatori di tensioni DIVERSE
Quando la batteria dell’automobile è scarica, possiamo collegarla in parallelo ad
un’altra batteria perché tutte hanno la stessa tensione (12 V)!
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Generatori di corrente in parallelo
I1
I2
I = I1 + I2
La corrente nel parallelo di generatori di corrente è la somma delle correnti
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Generatori di corrente in serie
I1
I2
I = I1 ;
I = I2
−→
I1 = I2
Se la corrente dei due generatori è la stessa abbiamo un’identità; altrimenti
l’uguaglianza è impossibile
Non si possono collegare in serie generatori di correnti DIVERSE
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Dualità
Coppie di grandezze elettriche, concetti e leggi DUALI:
corrente
generatore di corrente
conduttanza
nodo
circuito aperto
I = GV
KCL
parallelo
stella
capacità
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←→
←→
←→
←→
←→
←→
←→
←→
←→
←→
tensione
generatore di tensione
resistenza
maglia
cortocircuito
V = RI
KVL
serie
triangolo
induttanza
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Esempio bis
Risolvere il circuito, calcolando la tensione e la corrente per ogni bipolo.
V0 = 4.5 V; R1 = 1.2 kΩ; R2 = 1 kΩ; R3 = 1.5 kΩ.
R1
+
V0
R2
R3
-
Questo circuito è già stato risolto in precedenza scrivendo un sistema di 7
equazioni, ma l’uso intelligente dei concetti di serie e parallelo aiuta a semplificare
i calcoli!
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Esempio bis (1/3)
+
R1
R23
V0 -
Sostituisco le due resistenze R2 e R3 con una resistenza data dal parallelo delle
due:
R2 R3
= R2 //R3
R23 =
R2 + R3
Il simbolo // indica il parallelo di due resistenze.
R23 =
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1 kΩ · 1.5 kΩ
= 0.6 kΩ
1 kΩ + 1.5 kΩ
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Esempio bis (2/3)
+
I
R123
V0 -
Sostituisco le due resistenze R1 e R23 con una resistenza data dalla serie delle due:
R123 = R1 + R23 = 1.2 kΩ + 0.6 kΩ = 1.8 kΩ
A questo punto, il calcolo della corrente I è immediato:
I =
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V0
4.5 V
=
= 2.5 mA
R123
1.8 kΩ
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Esempio bis (3/3)
+
+
V1
R1
V0 -
I
I
R23
La corrente I è anche la corrente nella resistenza R1 , quindi si può calcolare la
tensione V1 :
V1 = R1 I = 1.2 kΩ · 2.5 mA = 3 V
A questo punto si calcola la tensione ai capi del parallelo di resistenze R23 usando
la KVL: V2 = V3 = V0 − V1 = 1.5 V.
Infine si trovano le correnti in R2 , in R3 e nel generatore.
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