Variabili Gaussiane Variabili Gaussiane
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Corso di: Affidabilità delle costruzioni meccaniche Verifiche sforzo‐resistenza Variabili Gaussiane Se le distribuzioni di sforzo (L) e di resistenza (S) sono gaussiane o normali, allora si può calcolare facilmente il valore della probabilità di rottura Pf dell’oggetto in esame (o la sua affidabilità). La variabile sforzo L avrà dunque un valor medio μL e deviazione standard σ L La variabile resistenza S avrà dunque un valor medio μS e deviazione standard σ S μL = 400, σ L = 10 Mpa μS = 700, σ S = 5 Mpa In questo caso non c’è praticamente sovrapposizione tra le gaussiane, per cui la probabilità di rottura è sostanzialmente nulla Corso di: Affidabilità delle costruzioni meccaniche Verifiche sforzo‐resistenza Variabili Gaussiane Se le distribuzioni di sforzo (L) e di resistenza (S) sono gaussiane o normali, allora si può calcolare facilmente il valore della probabilità di rottura Pf dell’oggetto in esame (o la sua affidabilità). La variabile sforzo L avrà dunque un valor medio μL e deviazione standard σ L La variabile resistenza S avrà dunque un valor medio μS e deviazione standard σ S μL = 400, σ L = 100 Mpa μS = 700, σ S = 70 Mpa Qui invece, il fatto che le due campane si intersechino mostra che c’è una probabilità che il carico sia superiore alla resistenza 1 Corso di: Affidabilità delle costruzioni meccaniche Verifiche sforzo‐resistenza Variabili Gaussiane Nel caso si variabili gaussiane, si può definire il parametro Loading Roughness (LR) come: LR L S2 L2 che rappresenta quanto il carico sia “distribuito” distribuito rispetto alla resistenza - LR = 0 significa che la resistenza è molto più “dispersa” rispetto al carico - LR = 1 significa che il carico è molto più disperso “rispetto” alla resistenza Nel caso di LR estremi, la probabilità di rottura Pf si può ricavare come area sottesa dalla pdf Corso di: Affidabilità delle costruzioni meccaniche Verifiche sforzo‐resistenza Variabili Gaussiane Nei casi più generali conviene invece definire la variabile D = S-L (anch’essa gaussiana) con parametri: D S L D S2 L2 in accordo con l’algebra delle variabili gaussiane In questa rappresentazione, la probabilità di rottura è rappresentata graficamente dal’area sottesa dalla curva per valori di D < 0 2 Corso di: Affidabilità delle costruzioni meccaniche Verifiche sforzo‐resistenza Variabili Gaussiane Quanto vale allora la probabilità di cedimento? P f Prob ( L S ) Prob ( D 0 ) Essa è calcolabile semplicemente rispondendo alla domanda: qual è la probabilità che la variabile D sia minore di 0? Come al solito occorre passare alla variabile standardizzata z = (y-μD)/σD, ponendo y = 0. 0 D P f F ( 0 ) D D D Il termine tra parentesi prende il nome di Safety Margin. Esso rappresenta il modo più corretto per calcolare la probabilità di rottura S L S L P f SM SM D 2 2 D s2 L2 s L Corso di: Affidabilità delle costruzioni meccaniche Verifiche sforzo‐resistenza Variabili Gaussiane Andamento della probabilità di rottura Pf in funzione del Safety Margin SM SM = 0 significa che le gaussiane del carico e della resistenza hanno lo stesso valore medio -> 50% di probabilità di rottura 3 Corso di: Affidabilità delle costruzioni meccaniche Verifiche sforzo‐resistenza Esercizio Si consideri una verifica di resistenza sulla base delle seguenti grandezze caratteristiche: L = 100 MPa S = 270 MPa L = 50 MPa S = 30 MPa Variabile D D = S - L = 70 MPa D 2 s 2 L SM 58.30952 S L D 2.915476 D s2 L2 P f ( SM ) 0.18% Calcolando il coefficiente di sicurezza come rapporto tra il percentile 5% della distribuzione della resistenza e il percentile 95% dello sforzo si ottiene: = 1.21 Corso di: Affidabilità delle costruzioni meccaniche Verifiche sforzo‐resistenza Esercizio Si consideri una verifica di resistenza sulla base delle seguenti grandezze caratteristiche: L = 600 MPa S = 870 MPa L = 50 MPa S = 30 MPa Variabile D D = S - L = 275 MPa D s2 L2 58.30952 SM S L D 4.722834 D s2 L2 P f ( SM ) 0.0001% Calcolando il coefficiente di sicurezza come rapporto tra il percentile 5% della distribuzione della resistenza e il percentile 95% dello sforzo si ottiene: = 1.21 4 Corso di: Affidabilità delle costruzioni meccaniche Verifiche sforzo‐resistenza Esercizio Si richiede di valutare l’affidabilità di un tirante di una struttura metallica, il cui materiale ha tensione di snervamento media di 350 N/mm2, con deviazione standard 20 N/mm2. Si consideri che la tensione di lavoro media è di 280 N/mm2 con deviazione standard di 80 N/mm2 Si chiede inoltre di determinare di quanto occorre aumentare la resistenza media del materiale (mantenendo inalterata la deviazione standard) per avere una probabilità di rottura minore dello 0.1%. Corso di: Affidabilità delle costruzioni meccaniche Verifiche sforzo‐resistenza Esercizio Calcolare la probabilità di rottura di una barra sottoposta a trazione in base alle seguenti distribuzioni: F = N(70000,5000) N(70000 5000) [N]; d=N(20,0.1) d=N(20 0 1) [mm]; σu= N(240,12) N(240 12) [MPa] 5 Corso di: Affidabilità delle costruzioni meccaniche Verifiche sforzo‐resistenza Variabili NON Gaussiane dR f L l dl f S s ds f L l dl 1 FS l l R f L l 1 FS l dl 0 -3 3 x 10 load strength 2.5 2 1.5 dl 1 [1‐FS(l)] 0.5 0 0 l 500 Corso di: Affidabilità delle costruzioni meccaniche 1000 1500 Verifiche sforzo‐resistenza Variabili NON Gaussiane R 0 f L l 1 FS l dl R 1 Pf Pf 0 0 f L l R S l dl f L l FS l dl 6 Corso di: Affidabilità delle costruzioni meccaniche Verifiche sforzo‐resistenza Variabili NON Gaussiane dR f S s ds f L l dl f S s ds F L s s 0 R 0 f S s F L s ds -3 3 x 10 load strength 2.5 2 1.5 1 ds FL(s) 0.5 0 0 s 500 Corso di: Affidabilità delle costruzioni meccaniche 1000 1500 Verifiche sforzo‐resistenza Variabili NON Gaussiane R 0 f S s F L s ds d R 1 Pf Pf 0 0 f S s F L s ds f S s R L s ds 7 Corso di: Affidabilità delle costruzioni meccaniche Verifiche sforzo‐resistenza Esercizio Calcolare la probabilità di rottura di un componente, assegnate le seguenti distribuzioni per il carico e la resistenza: σ = W(400, W(400 1.7) 1 7) [Mpa] σu= W(1100,8) W(1100 8) [MPa] 8
