1) Leve e muscoli 2) Meccanismo di contrazione muscolare 3) Fra6ure

1)  Leve e muscoli 2)  Meccanismo di contrazione muscolare 3)  Fra8ure dovute a forze impulsive 4)  La natura della luce e la visione 5)  Dife> della visione e correzione 6)  Pressione del sangue e controllo 7)  EnergeDca del ﬂusso sanguigno 8)  Trasmissione di impulsi nervosi 9)  Il feedback 1 Testo base del corso: Testo principale Paul Davidovits, Physics in Medicine and Biology, 3rd Ed. Academic Press (2008). Altri tesD: Jay Orear, FISICA GENERALE, Zanichelli 1970. Desmond M. Burns e Simon G.G. MacDonald: Fisica, Zanichelli. hFp://mcvirgo.roma1.infn.it/~majorana/ 2 Lezione 1 LE LEGGI DELLA DINAMICA Esiste la massa, esiste lo spazio, esistono le interazioni tra i corpi materiali ed esiste il loro moto. Il conceFo di massa gioca un ruolo centrale nella dinamica, ovvero nello studio delle cause del moto dei corpi materiali nello spazio. Il modo con cui le posizioni evolvono nel tempo è descriFo dalla cinema(ca. La sta(ca descrive le condizioni uQli perché le posizioni reciproche dei corpi materiali non evolvano. L’impostazione della dinamica è fondata sui conceT di massa e di forza secondo le tre leggi di Newton e sinteQzzata da una legge fondamentale della natura: Io) Un corpo materiale manQene il suo stato di quiete o di moto reTlineo uniforme se non interagisce con altri corpi. o
II ) Se un corpo accelera, su di esso agisce una forza data dal prodoFo della sua massa per l’accelerazione che subisce. IIIo) Se due corpi interagiscono la forza esercitata dal primo sul secondo è uguale e opposta a quella esercitata dal secondo sul primo. !
!
!
Fris = 0 " a = 0
!
!
Fris = m " a
!
!
FAB = "FBA
4 LA LEGGE FONDAMENTALE: LA CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO !
!
P=m "v
Deﬁnizione di quanDtà di moto In assenza di forze esterne, la somma delle quanQtà di moto dei singoli corpi materiali che compongono un sistema si conserva. !
! !
!
! !
!
P1 + P2 + ...+ PN = P1" + P2" + ...+ PN"
prima Esempi: !
urD elasDci dopo !
!
!
!
mA v A + mB v B = mA v "A + mB v "B
Q. di moto prima dell’urto = Q. di moto dopo l’urto !
!
0 = mA v "A + mB v "B
molla ! compressa e traFenuta tra due masse a riposo = Q. di moto al rilascio della molla 5 o coeﬃc
ie
angola nte re v
Moto re>lineo: accelerazione a = [L / T 2 ]
s so Richiamo di scuola media y = m" x + b
coeﬀ. angolare termine noto !
0 t nel caso speciﬁco, b=0: accelerazione: la velocità cambia ! caso ﬁsico: la variazione avviene in un tempo ﬁnito s !
v1 v1 " v 0 = a# $t
vo so s = v0 " t
0 "t
t v1 " v 0 $v
%a=
=
$t
$t
Δ indica la “variazione” di una quanQtà a è dunque il “tasso di variazione” della velocità 6 Moto re>lineo: accelerazione a = [L / T 2 ]
Moto reTlineo accelerato s Moto reTlineo uniforme v1 anche in questo caso si può deﬁnire l’accelerazione (istante per istante) vo so 0 "t
t ai = lim
!t"0
!v
!t
Se l’accelerazione ! è costante l’accelerazione istantanea è uguale alla variazione totale di velocità lim
!t"0
!v !v
=
!t !t
se a = const v1 " v 0 = a# $t
v1 " v 0 $v
%a=
=
$t
$t
7 Moto re>lineo: accelerazione a = [L / T 2 ]
s in generale "v "v
%
lim
"t
"t # $ "t
so velocità variabile e accelerazione variabili 0 t !
v Se un oggeFo parte con velocità vo e parte al tempo to=0 v " v 0 = a# $t
% v " v 0 = a# (t " t 0 )
% v = a# t + v 0
vo so 0 t Se l’accelerazione è costante si hanno variazioni di velocità uguali in tempi uguali 8 Forza çè Accelerazione Se v << c (velocità della luce) la II legge di Newton si può anche scrivere così : variazione della Q. di moto !
!
!
! "P "(m # v )
"v
!
F=
=
=m
=m #a
"t
"t
"t
accelerazione L’unità di misura della forza nel sistema MKS è il Newton (N) che corrisponde alla forza ! ad imprimere ad una massa di 1 kg l’accelerazione di 1 m/s2 necessaria ! !
"P = F # "t
è l’impulso che corrisponde alla forza agente su un sistema per un intervallo di tampo Δt (teorema dell’impulso) 9 A8enzione (II e III legge di Newton): considerare la forza risultante CASO A: 1 corpo !
F
!
!
F = Fris
m per la III legge si ha: !
!
!
!
Fris = F + (" F ) # Fris = 0
F
!
=0
e dunque: a =
m
CASO B: 2 corpi !
F
!
!
F"
m1 m2 !
e dunque: (coerente con la II legge) 2 corpi, 2 equazioni !
!
!
!
Fris!1 = F + (! F ") = m1 # a
!
!
!
!Fris!2 =! F " = m
!2 # a
!
Fris!1 + Fris!2 = F = (m1 + m2 ) " a
F
a=
!0
m1 + m2
(si ha un’accelerazione) 10 Esercizio importante (come orientare i ve8ori nel caso più semplice, unidimensionale) M1g " T = M1a1
M 2 g " T = M 2 a2
!
!
Risultante sulla massa M2 Il ﬁlo è inestensibile e la carrucola non fa a1 = "a2
aFrito e non pesa
# M 2 g " T = "M 2 a1
# T = M 2 ( g " a1 )
ovvero Risultante sulla massa M1 M1 " M 2
a1 =
g
M1 + M 2
da sosQtuire nella prima equazione Per minimizzare l’accelerazione conviene equilibrare la massa e il contrappeso 11 !
M1M 2
Fg = ! G " 2 r̂
r
Legge della gravitazione di Newton r̂ indica la direzione congiungente I due corpi, con masse M
1 e M
2 (aFraTva, segno -‐ ) “Massa gravitazionale” di un corpo in caduta libera sulla Terra. MTerra M
Fg = G"
=M "g
2
RTerra
II Legge della dinamica di Newton (F=m a): notare la diﬀerenza nella deﬁnizione di M, qui si parla di “massa inerziale”. 2
RTerra
=> G = g
= 6.67 " 10 #11 N m 2 /kg 2
MTerra
Il valore della costante gravitazionale sorprende per la sua piccolezza, la scienza deve tu8o allo studio della gravitazione 12 Esercizio (moto armonico) α
T L Fris x
=
Fg L
x Frisultante Fg= m g Massa m sostenuta da un pendolo privo di massa lungo L (nel disegno lo spostamento x è fuori scala), l’approssimazione del moto armonico semplice è valida per piccoli angoli α, ovvero sin(α) ∼ α. Da considerazioni geometriche sui triangoli si ha: g
"a=# x
L
il segno – è dovuto al verso dell’accelerazione (opposto a quello dello spostamento) !
il rapporto tra l’accelerazione e lo spostamento dipende solo da L 13 Le qua8ro forze fondamentali struFura e la produzione di energia nell’universo chimica e struFure biologiche struFura e la produzione di energia nell’universo struFura e la produzione di energia nell’universo e caraFerizza lo sviluppo degli esseri vivenQ. 14 Il centro di massa (o centro di gravità o baricentro) La massa della Terra esercita sulla massa di un corpo una forza aFraTva. Ogni parQcella di quel corpo è soggeFa alla forza di gravità e la risultante di tuFe queste componenQ cosQtuisce il veFore che indica il peso del corpo stesso. I principi della dinamica impongono che se la forza peso non viene bilanciata da una forza di reazione, il corpo è soggeFo ad accelarazione. Dunque perché un corpo si trovi in equilibrio staQco (stabile) occorre che esso sia opportunamente supportato meccanicamente. Il centro di gravità è quel punto dello spazio ove si può considerare sia concentrata tuFa la massa del corpo. Sospendendo un corpo dal suo centro di gravità il corpo rimane immobile. Per un sistema discreto (masse punQformi disQnte) : N
! m1r!1 + m2 r!2 + ...mN r!N
R=
=
M
!
" mi ri
i=1
N
"m
i=1
i
15 Il centro di massa (o di gravità) In un sistema con0nuo occorre considerare la densità di massa per unità di volume (es: kg/m3) (da “integrare” sugli elemenQ inﬁnitesimi su un dato volume). !
R=
!
# "(r ) dV
A V
Centro di gravità ΔM ΔM M
0.56 x A Se la forma del volume del corpo cambia la posizione del centro di massa si sposta. Se le coordinate orizzontali del centro di massa sono contenute entro la base geometrica che supporta l’equilibrio il sistema è stabile, ma ovviamente esistono situazioni più o meno stabili rispeFo all’azione di una forza esterna. 16 W = forza peso Fr = reazione Rotazione applicata al corpo stabile: a) viene riequilibrata dalla forza peso ﬁnché il centro di 17 gravità rimane entro la base. b) più è piccola la base più è criQca la stabilità Esempio: l’amputazione di un braccio costringe spesso all’uso di una protesi, anche se inaTva, allo scopo di non provocare deformazioni trasversali della colonna vertebrale. Per la ragione oppos
si tende naturalmen
a inclinare il busto porQando un carico 18 Momento angolare Nel 1600 Keplero sostenne, con osservazioni supportate da mezzi matemaQci, le ipotesi copernicane (sistema eliocentrico), ma senza conoscere le leggi di Newton che spiegavano l’origine della forza di gravità. I legge) Ogni pianeta descrive un’orbita elliTca di cui il Sole occupa un fuoco. II legge) Un raggio che congiunge il fuoco a un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali. (v2 )!
Componente della velocità perpendicolare al raggio, (v
)
1 !
nei punQ 1 e 2 III legge) Il rapporto tra i cubi delle distanze dal Sole di tue pianeQ è pari al raporto tra i quadraQ dei rispeTvi periodi. 19 Per piccoli angoli per il calcolo delle aree si può considerare la componente perpendicolare delle velocità (v)
! , area del triangolo 1 = area del triangolo 2 (II Keplero) 1
1
(v1 )! "t # R1 = (v2 )! "t # R2
2 base alt. 2
considerando la quanQtà di moto: perpendicolare (P)
! = M
" (v)
! (dove M è la massa), dunque si ha: R1 ! (M ! v1 )" = R2 ! (M ! v2 )"
R1 ! (P1 )" = R2 ! (P2 )"
abbiamo così introdoFo il momento della quan(tà di moto (o momento angolare) Il prodo8o del braccio R per la componente perpendicolare della quanDtà di moto (P)
! è de8o momento della quan(tà di moto e si conserva (secondo la II legge di Keplero). 20 • Il momento angolare è un veFore la cui direzione indica l’asse e il verso della rotazione. Esso è deﬁnito tramite un Qpo di operazione tra veFori deFa prodo8o ve8oriale tra il veFore di posizione e ll veFore quanQtà di moto. Questo asse è è perpendicolare al piano deﬁnito da quesQ due veFori. ! !
! ! !
L = R ! mv = R ! p = R " p " sin(! )
!
R
Modulo o valore assoluto Importante sul prodo8o ve8oriale: il verso -‐  uniD i punD di applicazione dei veFori -‐  il verso del veFore momento è quello da cui si vede ruotare il primo ve8ore del prodoFo veForiale sul secondo in senso anDorario Il momento angolare assume dunque intensità (modulo) massima se i due veFori sono a 90o 21 Le condizioni per l’equilibrio staDco La prima condizione per l’equilibrio staQco è il bilancio delle forze agenD sul sistema e deriva direFamente dalla dinamica di Newton (conservazione della quanQtà di moto): ! !
!
F1 + F2 + ...+ FN = 0
N
"
!
Fi = 0
[N] i=1
La seconda condizione per l’equilibrio staQco deriva invece dalla conservazione del momento della quanDtà di moto (Keplero). Per dimostrarlo introduciamo nella formula dell’area dei triangoli orbitali una quanQtà deFa momento della forza (in inglese Torque), deﬁnita come variazione nel tempo ! della componente perpendicolare della quanQtà di moto: pag9 !
"(P1 )#
R1 !
= R1 ! (F)# = T1
"t
si ha: ovvero: momento della forza ! si misura in [N m] R1 ! (F1 )" + R2 ! (F2 )" +... + RN ! (FN )" = 0
N !
È stata dedoFa dalla conservazione del momento T
=
0
#i
angolare dividendo per l’intervallo di tempo i=1
22 Homo erectus Forza richiesta per stare in piedi camminando (istante per istante possiamo suddividere il problema in una sequenza di staQ di equilibrio) Fw
momento della forza peso sulla larghezza dell’appoggio. L = 1.5 m
forza Fw = m" g
momento della forza : tende a far ruotare il corpo aForno al punto A mantenendolo ereFo. braccio di leva Ta = L" Fa
Tw = d" Fw
Fa ? forza forza peso applicata al centro di gravità. Ta = Tw condizione di equilibrio dei momenQ  Fa " 50 N (applichiamo una torsione corrispondente a circa 5 kg Per un corpo da 80 kg) leva 23 d=0.1 m Homo erectus In verità, si è in grado di camminare trasportando anche pesi notevoli. Ciò è possibile traslando di poco il centro di massa. forza braccio di leva analogamente a prima si ha: (d + !d)" (m + !m)" g
Fa =
L
!m
Fa
Fw
? forza Esempio: se un uomo di 80 kg sposta il suo centro di massa di 2 cm riesce ad applicare ancora una modesta forza trasversale (~50 N) per o8enere la torsione trasportando 20 kg ! !m
A leva 24 d=0.1 m Leve meccaniche Il punto di rotazione di una barra (leva) vincolata a ruotare è deFo fulcro, consideriamo di applicare due forze in due punQ diversi della barra: si disQguono tre categorie di leve. Tipo I punto di appl. della forza fulcro Tipo II Tipo III fulcro fulcro forza forza carico (resistenza) carico carico Type I Type II Type III Dato un peso p applicato a distanza d1, la forza applicata a distanza d2 dal fulcro per riportare la leva in equilibrio è data da: d1
p
F = p! =
d2 Gm
I) Gm < o >1, II) Gm>1, III) Gm<1 Guadagno meccanico : deﬁnito come d2/d1 25 I muscoli sono composQ da migliaia di ﬁbre riunite insieme al livello dei tendini. Essi conneFono due ossa conQgue, vincolate a compiere rotazione relaQva tramite arQcolazioni dotate di stop meccanici. Data un’arQcolazione meccanica, maggiore è la sezione del muscolo (numero di ﬁbre) maggiore è la forza sviluppata. Quando il cervello dispone la contrazione, un numero variabile di ﬁbre viene coinvolto nell’esecuzione del comando. Quasi tuT I movimenQ si compiono in modo controllato. Dunque a seconda della necessità il numero di ﬁbre coinvolto varia automaQcamente. Muscoli e Leve Trazione sull’area della sezione del tendine 7 !10 5 N
5
P=
=
7
!10
Pa
2
m
[N/m2] Nota: si esprime come una pressione grandezza ﬁsica molto importante 26 Standard Feedback ConﬁguraQon d Sistema decisionale e cervello + r K -‐ G: meccanica muscolo ar0colazione + + y + m + Sistema sensoriale e cervello Deﬁnizioni r à posizione meccanica di riferimento u à impulso nervoso y à posizione meccanica raggiunta mà errore di misura sensoriale d à disturbo meccanico esterno Kà Feedback, ovvero come si realizza la correzione in base all’esperienza G x K à Open Loop Transfer Func0on 27 Leve e arDcolazioni scheletriche fulcro forza d2= carico carico d1= Leva di Qpo III, d2/d1 < 1 vincolo sulla spalla incognita 1 incognita 2 Prima condizione della staQca : bilancio delle forze (dividiamo in componenQ cartesiane) x) Il giunto di rotazione (gomito) è l’elemento ove si esercita la forza di reazione. y) Fm cos" = Fr cos #
Fm sin " = Fpeso + Fr sin #
28 Leve e arDcolazioni scheletriche l’angolo θ si deduce da considerazioni geometriche (*) " = 72.6 o
II condizione per l’equilibrio: bilanciare la torsione pag22 d2 ! Fm sin ! = d1 ! Fpeso
!
d1 Fpeso
da cui si ricava Fm =
! 1440N
d2 sin !
d2= d1= da inserire nel sistema dato dal bilancio delle forze (I condizione), si oTene: d2 Fr cos " = 430N
Fr sin " = 1240N
d1 " Fr = 1320N
!
" # = 70.9 o
29 versi momenD pag21 * ! ! !
T =d!F
Nel prordoFo ve8oriale T è orientato dalla parte cui si vede ruotare il primo veFore del prodoFo sul secondo in senso anQorario (regola della mano destra) Componente della forza perpendicolare al braccio (Fm )! = Fm sin(! )
d2 d1 già perpendicolare al braccio Tm veFore uscente dalla pagina Tpeso veFore entrante dalla pagina Esercizio: veriﬁcare applicando a pag23 30 Leve meccaniche del III Dpo (prevalenD nel corpo umano) d1 s2
s1 = s2 =
d2 Gm
La variazione nel tempo degli spostamenQ da le velocità  !s1 !s2 d1
=
!t
!t d2
d1 v2
v1 = v2 =
d2 Gm
s1
d1
d2
s2
le leve del III Qpo assicurano maggiore rapidità d’azione, infaT lo spostamento e la velocità del carico sono inversamente proporzionali al guadagno meccanico (sempre < 1 per il III Qpo) 31 Curiosità: tensione superﬁciale e contrazione muscolare L (perimetro della superﬁcie) Le molecole della superﬁcie di un liquido risentono di una forza tangenziale alla superﬁcie dovuta all’interazione non uniforme con altre molecole (coesione). La superﬁcie si comporta come una membrana tesa. FTS = T ! L
Esempio, se il liquido “bagna le pareQ” (adesione maggiore della coesione), ciò porta all’eﬀeFo di innalzamento del livello nei capillari (fenomeno della capillarità) 32 Curiosità: tensione superﬁciale e contrazione muscolare 1.6 10 !6 cm
0.5 10 !6 cm
Premesso che il meccanismo di contrazione, innescato dal rilascio di Ca2+ tramite impulso nervoso nella struFura, è oggi ben descriFo nella sua completezza in altri ambiQ, si può valutare quanto sia rilevante l’eﬀeFo della tensione superﬁciale (G. Gamow, 1967) 33 Curiosità: tensione superﬁciale e contrazione muscolare !6
Dm = 1.6 10 cm
Da = 0.5 10 !6 cm
N=
con 1
Numero di ﬁbre per cm2 ! 2
Dmedio
4
!6
Dmedio = 10 cm
Al rilascio di Ca2+ scaFa su ogni ﬁbra una tensione superﬁciale pari a ( pag26 , lascio T indeﬁnita): Ffibra = ! DmedioT
perimetro Per avere la trazione per cm2 desiderata si devono considerare N ﬁbre 6
(dyn misura la forza nel 2
 Ftotale = N Ffibra = 4 ! T !10 dyn / cm
sistema c.g.s.) 34 Curiosità: tensione superﬁciale e contrazione muscolare Confronto con un dato sperimentale per le ﬁbre muscolari (per comodità si è usato il sitema di misura cgs e non MKS, preferibile, v. pag26 ): 6
2 * Fm = 7 !10
dyn / cm
Modello grossolano basato sulla tensione superﬁciale: Ftotale = N Ffibra = 4 ! T !10
6
dyn / cm
2
 Data la dimensione e il numero delle ﬁbre musolari basta 2
6
un piccolo contributo di tensione superﬁcale T
=
1.75
!10
dyn
/ cm
(di enQtà pari a qualche % della tensione superﬁciale dell’acqua) per permeFere al muscolo di sollevare svariaQ kg ! * usata impropriamente nei tesQ americani, è cgs, andrebbe trasformata in Pascal, unità MKS: (L’unità, spesso dyn 10 !3 kg "10 !2 m 1
1
=
= 0.1Pa
2
2
!4
2
cm
s
10 m
35 Energia cineDca EC e lavoro, dipendenza quadraDca dalla velocità stato iniziale !
v0
forza Fe M "s,"t
stato ﬁnale !
v
vel. media M acc. media !
!(considerando Si ha dunque una forza esterna agente sul !sistema Fe=m a è a=Fe /M ) combinazione " v
(prodoFo notevole) Fe
v " v = 2 #s
M
1
$ M(v 2 " v 02 ) = Fe % #s = #E C
2
2
v + v0 !s
!s
=
" v + v0 = 2
2
!t
!t
v # v0 = a $ !t
2
# v02 = 2a $ !s
2
0
L’unità di misura fondamentale delll’energia è il Joule [1 J = 1 N m] Il lavoro fa8o da una forza esterna su una massa M si manifesta come variazione della sua energia cine(ca ΔEc (il conce8o di lavoro è qui introdo8o in modo naturale). 36 Energia cineDca Ec e lavoro Se un corpo fermo viene accelerato applicando una data forza lungo un traFo di spostamento, ciò signiﬁca che gli si è conferita una energia cineQca pari a : !
v0 = 0
1
2
! EC = Fe " #s
=
Mv
! 2
!
Se il corpo che si muove con velocità v viene decelerato ﬁno all’arresto, gli si è soFraFa una energia cineQca pari a : 1
" E C = Mv 2
2
!
M !
v
"s,"t
M !
!
v
M !
!
v =0
"s,"t
M Il fa8o che l’energia venga conferita o so8ra8a si traduce nell’espressione del segno del lavoro compiuto ! !
L = Fe ! "s = F ! "s cos!!
(si noQ che !
il lavoro non è descriFo da un veFore, ma da un numero o “scalare”. Il suo valore 37 dipende dalla componente della forza lungo il “grado di libertà” del movimento) Energia potenziale Data la deﬁnizione di lavoro l = Fe " #s
Ad esempio, se la forza esterna è la gravità, il lavoro faFo per elevare un corpo di massa m all’altezza sarà: l = Fe " h = m g h
Una volta elevata, la massa si troverà dunque ferma in una posizione tale da poter acquisire nuovamente energia cineQca se lasciata cadere: il corpo avrà dunque una data energia potenziale. Rilasciato, sarà soggeFo ad accelarazione costante (s=1/2 g t2 , v=g t), per cui si ha: !
1
E P = m g h = m v 2 = EC
2
Mentre l’energia cineQca dipende dalla velocità, quella potenziale dipende dalla posizione (intesa rispe8o a un campo di forze, in questo caso quello gravitazionale) !
38 Energia potenziale e conservazione Segni e convenzioni Deﬁnizione: una forza conservaDva è una forza dipende solo dalla posizione  Possiamo dunque deﬁnire l’energia potenziale come il lavoro compiuto per cambiare la posizione di un corpo materiale soggeFo a una forza conservaQva. ! !
"U = # Fe $ "s = #Fe $ "s cos %
def. di lavoro Se il lavoro consegue uno spostamento nella stessa direzione della forza la variazione di posizione comporterà una variazione negaQva di energia potenziale, viceversa se lo spostamento viene eﬀeFuato contro la forza (pensare al corpo che viene elevato o a una molla), !
evidente anche il caso della forza di gravità. 39 Energia potenziale e conservazione Segni e convenzioni *Dimostrazione che l’energia cineQca in un campo di forza varia col segno opposto all’energia Potenziale. Si consideri una massa che si muove nel verso di una forza esterna: II legge di Newton Moto accelerato (pag36) Fe
a=
m
v 2 " v 02
a=
2#s
1 2 1
2
" mv # mv 0 = #Fe $s = #$U
2
2
"E C = #"U
Ovvero: in un campo d!
i forza conservaQvo le variazioni di energia cineQca e potenziale si compensano !
!
!EC + !U = 0
40 Energia potenziale rappresentazione graﬁca: forza di richiamo di una molla (senza a8rito) F Legge di Hooke Fe = "k x
kx 1
Fmedia = kxmedia
2
 xmedia
x s 0 Introduciamo dunque l’energia potenziale media della molla in base a quella di lavoro = forza x spostamento !
1
1 2
U = k x" x = k x
2
2
41 Energia meccanica + a8rito Fn
!
Fa
W = Fa " #x
Fe
Lavoro faFo contro la f!
orza di aFrito !forze di aFrito non dipendono dalla posizione, ma dalla velocità Le La quanQtà di calore sviluppato è proporzionale al lavoro faFo contro le forze di aFrito pag41 1
1
2
Fe " #x = Mv $ Mv 0 2 + (U $ U 0 ) + Fa #x
2
2
Energia meccanica del sistema Energia termica Conservazione dell’energia includendo l’energia termica 42 A8rito Fn
Fa
!
Fa = µ Fn
Fe
!
La forza di aFrito tra due ! superﬁci è proporzionale alla componente perpendicolare alle superﬁci dinamico staQco volvente *> viscoso 43 *Generalmente l’aFrito staQco è maggiore dell’aFrito dinamico A8rito : ci perme8e di camminare La forza di aFrito (staQco) è: Fa = µ Fn
dove Fn = Fpeso cos "
La forza peso lungo la superﬁcie inclinata è: !
Fp = Fpeso sin "
Fa
All’aumetare della pendenza verso i 90 gradi (!
!
) dunque F
p !
e Fa !
!
Si scivola quando Fa = Fp
44