Diffusione dei raggi X da parte di un elettrone
Consideriamo un’onda elettro-magnetica piana polarizzata lungo
x che si propaga lungo z
L’onda interagisce con un singolo elettrone (libero) inducendo
un moto di tipo armonico.
ax=-eE/me
In seguito all’accelerazione impressagli, l’elettrone irraggia.
In base all’elettromagnetismo classico, una
particella carica accelerata irraggia onde e.m. il
cui vettore campo elettrico Eφ, in un generico
punto P è dato da:
Eφ=e a sinφ / 4πε0 c2 r
dove φ è l’angolo tra r ed a.
Sostituendo l’espressione per a si ottiene:
Eφ=e2 E sinφ / 4πε0 c2 me r
In termini di intensità:
Iφ/I= Eφ2/E2= e4 (sinφ)2 / (4πε0)2 c 4 me2 r2
dove I è l’intensità dell’onda piana incidente
Se l’onda incidente non è polarizzata, è conveniente fissare il
piano x-z attraverso il versore z e il vettore r. Il campo elettrico
incidente E può essere risolto nelle componenti Ex ed Ey che, in
media, sono uguali:
<Ex>2 = <Ey>2; inoltre <E>2 = <Ex>2 + <Ey>2
Osserviamo che per la componente lungo x vale:
sinφ = cosθ
mentre per la componente lungo y vale:
sinφ = 1
Quindi l’intensità totale diffusa Is in P diventa:
IS = e 4 I [(1/2x1)+(1/2xcos2θ)] / (4πε0)2 c4 me2r2
= I e4 [1+(cos2θ)] / (4πε0 )2 c4 me2r2
dove I è l’intensità dell’onda piana incidente e θ è l’angolo tra
r e l’asse z
Integrando l’espressione per Is su una sfera di raggio r centrata
sull’atomo cui appartiene l’elettrone che diffonde l’onda e.m., si
può calcolare la potenza totale diffusa PS come:
PS =
∫[
0,π] Is
2πr2 sinθ dθ = (8π/3)(e2 / 4πε0 c 2 me)2 I
dove (e2/ 4πε0 c2 me)2 =2.82 x 10-15 m = re
è definito come raggio classico dell’elettrone.
Il rapporto tra la potenza diffusa e l’intensità dell’onda incidente è
definita come “sezione d’urto di diffusione” ( o coefficiente di
diffusione) dell’elettrone libero
σe= (8π/3)(e2/ 4πε0 c2 me)2
Il coefficiente di diffusione ha le dimensioni di una superficie. Di
tutta la radiazione incidente per unità di superficie, l’elettrone ne
diffonde la frazione che “illumina” un’area pari a σe.
σe = 0.666 x 10-28 m2 = 0.666 barn ( 1 barn = 10-24 cm2 =10-28 m 2)
Diffusione di onde e.m. da parte di un generico centro
diffusore
φinc= φ 0 cos (k0 .r-ω0 t); onda incidente su un centro diffusore
Il centro diffusore emette un’onda sferica che in R vale:
φsc= φ 0 A cos(KR- ω0t + α)/R;
A= lunghezza di diffusione
α= fase dell’onda diffusa
A e α dipendono dalla natura del processo di diffusione.
Eliminando, per convenienza, le parti dipendenti dal tempo si
ottiene:
onda incidente su un centro diffusore
φinc= φ 0 exp (i k0 .r);
onda diffusa
φsc= φ 0 a exp (i KR) / R; dove a=A exp(iα)
Nel caso di diffusione di raggi X da parte di elettroni legati:
A= -re sinβ
β= angolo compreso tra R e il vettore di polarizzazione della
radiazione incidente.
Consideriamo in caso in cui vi siano due centri diffusori, il primo
nell’origine del sistema di riferimento e il secondo in un punto
che dista r dall’origine.
Bisogna introdurre una differenza di fase (k’-k0 ).r, con |k’| = |k0|.
Definendo K=k’-k0 possiamo scrivere:
φsc= φ 0 a exp (i KR- i K.r) / R
Consideriamo due diffusori posti in O e O’. Se un’onda
piana li eccita, essi divengono sorgenti di onde sferiche
che interferiscono tra loro. Sia n il versore associato alla
direzione di propagazione dei raggi X incidenti. La
differenza tra la fase dell’onda diffusa da O’ nella
direzione definita dal versore n’ e quella diffusa da O
nella stessa direzione è:
δ= 2π/λ (n’-n).R = 2π r*.R
dove r* = 1/λ (n’-n)
Il modulo di r* si ricava dalla geometria della figura:
r* = 2/λ sin(θ)
dove 2θ è l’angolo tra la direzione dei raggi X incidenti e
quella di osservazione.
n'
O' θ
θ
L
1/λ n'
r
n
B
R
θ
A θ
d
*
O
θ
K
1/λ n
AO= - R . n
BO = R . n’
Se tracciamo due piani normali a r* passanti per O e O’
possiamo anche considerare la diffrazione come
ottenuta per riflessione speculare rispetto a tali piani.
D’altra parte, se si vuole avere un massimo di
interferenza, deve valere:
δ= 2π r*.R = 2πm (m=0, 1, 2, 3, ...)
Ma r*.R è la proiezione di R sulla retta perpendicolare ai
piani (che, per costruzione, è parallela a r*). Pertanto la
condizione di interferenza si riduce a:
2π d 2sin(θ) /λ = 2πm
da cui:
2 d sin(θ) = m λ
LEGGE DI BRAGG
λ
θ
d
d sin(θ)
Costruzione di Bragg per l‘interferenza costruttiva:
2d sin(θ) = m * λ
Lunghezza d‘onda
Spaziatura tra i piani
Numero intero
Diffrazione come riflessione speculare tra piani successivi
La stessa disposizione
degli atomi in un cristallo
permette di individuare
diversi piani reticolari.
L’angolo di Bragg (θ) è la metà dell’angolo
totale di deflessione del raggio incidente.
I cristalli si comportano come reticoli di diffrazione
per la radiazione X di lunghezza d’onda comparabile
alle distanze fra i piani reticolari.
In particolare, una data fase cristallina diffrange i
raggi X con uno spettro caratteristico in cui compaiono
massimi di intensità (riflessi, o picchi, di Bragg).
Diffrattometro a due cerchi in geometria θ-θ.
2π
k0 =
nˆ
λ
k0 − k
θ
'
2θ
θ
2π '
k =
nˆ
λ
'
Consideriamo ora un insieme di N diffusori posti nei siti r i
(i=1, 2, 3, …, N). L’ampiezza del campo diffuso in un punto P
lontano dall’aggregato di centri diffusori diventa:
φsc= (φ0a / R) exp (i KR)
Σ exp (- i K r )
j
.
j
Introduciamo ora la funzione densità:
ρ(r)=
Σ
j
δ(r- rj)
La φsc può quindi essere scritta come:
φsc= (φ0a / R) exp (i KR)
∫ ρ(r) exp (- i K r) dr
.
La potenza diffusa per angolo solido in un punto R è proporzionale a
|φsc |2R2 .
Definiamo la sezione d’urto differenziale di diffusione σ(K) come:
σ(K)= (| φsc |2 R2 )/| φ inc |2= aa* |
∫ ρ(r) exp (- i K r) dr |
.
2
Definiamo la funzione di scattering S(K) come:
S(K) = |
∫ ρ(r) exp (- i K r) dr | / ∫ ρ(r) dr
.
Pertanto: σ(K)= aa* S(K)
2
∫ ρ(r) dr
aa*
=> Processo fisico (tipo di scattering)
S(K)
=> Struttura (disposizione spaziale
∫ ρ(r) dr
=> densità di centri diffusori
Si può dimostrare che:
S(K) =
dove
∫ exp (- i K r) [∫ρ(r ) ρ(r +r) dr ] dr / ∫ ρ(r) dr
.
1
1
1
∫ ρ(r ) ρ(r +r) dr = < ρ(r ) ρ(r +r) >
1
1
1
1
1
é la funzione di autocorrelazione della densità.
Consideriamo una catena unidimensionale di N centri diffusori
equidistanti (a = distanza tra centri adiacenti).
Abbiamo quindi un sistema ordinato spazialmente.
rm
0
1
Na
2
N-2
a
L’ampiezza di scattering sarà quindi proporzionale a:
N −1
Φ sc ∝ ∑ e
m=0
−iK ⋅rm
con rm = m a.
N-1
La sommatoria sulle N ampiezze è una serie geometrica troncata:
N−1
∑e
−iK ⋅ma
− iK⋅ a
= 1+ e
− iK⋅ 2a
+e
− iK⋅ ( N−1) a
+ ...+ e
=
m= 0
− iK⋅ Na
1
1
1− e
− iK⋅ Na
−e
=
−iK ⋅a
− iK⋅ a
1− e
1− e
1− e −iK⋅ a
Poiché l’intensità diffusa è il modulo quadro dell’ampiezza totale
di diffusione:
*
sc sc
I ∝Φ Φ
avremo che, ponendo x=Ka
1− e 1− e
2 − 2cosNx sin Nx /2
=
− ix
+ ix =
2
1− e 1− e
2 − 2cos x
sin x /2
−iNx
+iNx
2
L’ultima espressione ha dei massimi “principali” per x/2=Nπ
cioé quando:
K . a= 2 Nπ
(cfr. con 2π r*.R = 2πm ottenuta in precedenza)
Abbiamo quindi determinato una relazione tra:
- il vettore d’onda scambiato K = k’-k 0,
- un vettore, a, associato alla disposizione
ordinata dei centri diffusori nello spazio
- i massimi della intensità della radiazione X diffusa
Estensione al caso tridimensionale -> diffrazione da
cristalli.
Consideriamo il caso in cui la distribuzione di carica di un singolo
centro diffusore non venga trattato con una delta di Dirac ma con
una funzione che abbia una determinata estensione nello spazio.
∫
I(K)=Φ sc* φsc∝ ρ(r) exp (- i K.r) dr 2
La diffusione elastica della radiazione X ci fa conoscere il quadrato della
trasformata di Fourier della densità elettronica.
Distribuzione simmetrica (sferica) degli elettroni di un atomo: ρ(r) = ρ(r)
∫
I(K) ∝ ρ(r) r2 dr
∫
= 2π ρ(r) r2 dr
∫ exp (- i Krcosχ) sinχ dχ ∫ dφ =
2
[ exp (- i Kr cosχ)/ i Kr ]
(χ= 0, χ=π)
∫
2 = 4π ρ(r) r sin(Kr ) dr 2
Fattore atomico di diffusione
