Lez2

CORRETTA RAPPRESENTAZIONE DI UN RISULTATO:
LE CIFRE SIGNIFICATIVE
Definiamo cifre significative quelle cifre che esprimono realmente il risultato
di una misura, o del suo errore, cioè che non sono completamente incluse
nell’intervallo di incertezza dovuto all’errore. In altri termini non risultano
significative le cifre che sono “piccole” rispetto al valore dell’errore.
Benché esistano regole più o meno pratiche per definire se una cifra può
essere considerata significativa, è innanzitutto bene usare il buon senso.
Esempio:
Supponiamo che il risultato di una serie di misure dia come risultato:
12459 ± 6740
Essendo l’errore dell’ordine delle migliaia, le cifre indicanti le centinaia, le
decine e le unità non sono significative e non vanno pertanto esplicitate.
Di conseguenza il valore 6740 diverrà 7000 e analogamente anche il valore
12459 dovrà essere approssimato alle migliaia diventando così 12000.
Presenteremo allora il risultato nella forma:
12000 ± 7000
CORRETTA RAPPRESENTAZIONE DI UN RISULTATO:
LE CIFRE SIGNIFICATIVE
Esempi:
112859 ± 6240
731 ± 23
113000 ± 6000
730 ± 20
1096 ± 364
1100 ± 400
7.853 ± 0.482
7.9 ± 0.5
2.95 ± 0.06268
2.95 ± 0.06
3.05 ± 0.034
3.05 ± 0.03
3.05 ± 0.0034
3.050 ± 0.003 (facendo i pignoli …)
Esercizio
Esprimere i risultati seguenti con il corretto numero di cifre significative
96456.87 ± 503.02
0.457 ± 0.073
23.11 ± 2.3
0.00459 ±0.00077
4.15 ± 0.0482
1304 ± 38
44.568 ± 0.022
Esercizio
Esprimere i risultati seguenti con il corretto numero di cifre significative
96456.87 ± 503.02
0.457 ± 0.073
23.11 ± 2.3
0.00459 ±0.00077
4.15 ± 0.0482
1304 ± 38
44.568 ± 0.022
96500 ± 500
0.46 ± 0.07
23 ± 2
0.0046 ± 0.0008
4.15 ± 0.05
1300 ± 40
44.57 ± 0.02
Esercizio
Si misura la lunghezza d’onda  di una riga spettrale nell’intervallo delle microonde e si
trovano i seguenti valori, espressi in nanometri:
36400 36300 36400 36200 36100 36710
Trovare la miglior stima della lunghezza d’onda con il suo errore, utilizzando il corretto
numero di cifre significative. Stimare inoltre la precisione dell’apparato di misura usato.
( xi  x ) 2
i
xi
1
36400
2336.079
x
2
36300
2669.479
La deviazione standard, che fornisce la stima della
precisione, si ricava come:
3
36400
2336.079
4
36200
23002.879
5
36100
63336.279
6
36710
128402.539
218110
222083.334

N
i 1
Applicando le formule della media, troviamo:
218110
 36351.667
6
N
Sx 
 (x  x)
i 1
i
( N  1)
2

L’errore sulla media :
222083.334
 210.75
5
Sx 
Sx
210.75

 86
N
6
La miglior stima della lunghezza d’onda quindi è:
36350 ± 90 nanometri
Esercizio
Due sperimentatori misurano la stessa grandezza usando due metodi differenti, e facendo
ognuno 8 misure:
A) 35.3
35.6
34.9
35.3
35.2
35.4
35.2
34.8
B) 34.9
35.1
35
35.2
35.1
34.9
35
35
Trovare le precisioni SA, SB dei due metodi, e specificare il numero di misure che bisogna
fare col metodo meno preciso per avere un errore sulla media uguale o migliore a quello
trovato in 8 misure col metodo più preciso.
La precisione è data dalla deviazione standard:
N
SA 
 (x  x)
i 1
N
2
i
( N  1)
 0.2588
SB 
 (x  x)
i 1
i
( N  1)
2
 0.1035
Dal confronto tra le due precisioni si vede che il metodo B è quello più preciso. L’errore sulla
SB
0.1035
media ottenuto con il metodo B facendo 8 misure è pari a:
SB 
N

8
Per avere un errore sulla media uguale o migliore con il metodo A è necessario effettuare un
numero N’ di misure tale da avere:
S
S
S A  SB  A  B
N'
8
S 
N '  8   A 
 SB 
2
N ' 50
Esercizio
Due sperimentatori misurano la stessa grandezza usando due metodi differenti, e facendo
ognuno 8 misure:
A) 35.3
35.6
34.9
35.3
35.2
35.4
35.2
34.8
B) 34.9
35.1
35
35.2
35.1
34.9
35
35
Trovare le precisioni SA, SB dei due metodi, e specificare il numero di misure che bisogna
fare col metodo meno preciso per avere un errore sulla media uguale o migliore a quello
trovato in 8 misure col metodo più preciso.
ATTENZIONE
La precisione è data dalla deviazione
standard:
ALLE APPROSSIMAZIONI:
se avessimo calcolato N’ utilizzando come
N
N
2
( xi  x )
precisioni0.3

( xi e
 x0.1
) 2 (cioè la rappresentazione
 0.2588 delle
S A  i 1
SA e
 i 1
 0S.1035
S Bprecisioni
B con le corrette cifre
( N  1)
( Navremmo
 1)
significative)
trovato un numero N’
ugualeB aè quello
72! più preciso. L’errore sulla
Dal confronto tra le due precisionimaggiore
si vede che o
il metodo
media ottenuto con il metodo B facendo 8 misure è pari a:
SB 
0.1035
SB

N
8
Per avere un errore sulla media uguale o migliore con il metodo A è necessario effettuare un
numero N’ di misure tale da avere:
S
S
S A  SB  A  B
8
N'
S 
N '  8   A 
 SB 
2
N ' 50
Esercizio
Uno studente cronometra il lasso di tempo che intercorre tra due eventi ripetendo la misura
6 volte trovando i seguenti valori:
7.6 s
7.9 s
8.1 s
7.8 s
8.3 s
7.9 s
Dopo aver calcolato la media e il suo errore dire quante misure si dovrebbero eseguire per
ottenere un errore 3 volte più piccolo.
Applicando le formule della media, troviamo:
2
xi
( xi  x )
47.6
x
 7.9333
La deviazione standard è:
6 N
i
1
7.6
2
7.9
0.1111
0.0011
3
8.1
0.0278
4
7.8
0.0178
5
8.3
0.1344
6
7.9
0.0011
47.6
0.2933

N
i 1
Sx 
 (x  x)
i 1
2
i
( N  1)
La deviazione standard
della media è:

0.2933
 0.2422
5
Sx 
Sx
0.2422

 0.0989
6
N
La miglior stima dell’intervallo di tempo quindi è:
7.9 ± 0.1 s
Per avere un errore sulla media 3 volte più piccolo, visto
che la precisione resta la stessa, è necessario un maggior
numero di misure N’ tale per cui:
S 'x 
Sx
3

Sx
1 S
  x
N' 3 N
 N '  9 N  9  6  54
LE MEDIE PESATE:
Spesso una grandezza può essere misurata con metodi differenti (aventi
precisioni diverse), oppure da diversi sperimentatori mediante misure ripetute.
Si avranno pertanto a disposizione vari risultati nella forma:
 x1  1
x  
2
 2
 x3   3

...
...

 x N   N
Si può dimostrare che la miglior stima della grandezza si ricava
considerando tutte queste determinazioni come:
Errore della
media pesata:
Media pesata:
N
X best 
xi

i 1
N
1

i 1
2
i
2
i
X
best

1
N
1

i 1
2
i
LE MEDIE PESATE:
Esplicitiamo la formula della media pesata:
N
X best 
xi

2
i 1
i
N
1

i 1

x1

1

12
12
2
i
x2

1

 22
 22
x3
 .... 
1
 .... 
 32
 32
xN
 N2
1
 N2
Esplicitiamo la formula dell’errore della media pesata:
X
best

1

2
1

1

2
2

1
1

2
3
 ..... 
1
 N2
LE MEDIE PESATE:
Osservazioni:
Il valore della media pesata (così come quello della media aritmetica) è
sempre compreso tra il minimo e il massimo delle misure considerate
L’errore della media pesata è sempre minore del più piccolo degli errori delle
misure considerate
La formula della media pesata si riduce a quella della media aritmetica nel
caso in cui gli errori sono tutti uguali tra loro
LE MEDIE PESATE:
Esempio:
Quattro gruppi di studenti misurano con quattro differenti metodi la massa di rame
depositata sul catodo in seguito ad una elettrolisi con solfato di rame, e trovano i
seguenti valori, espressi in mg:
10.3  0.3 9.8  0.1 10.5  0.5 9.9  0.4
Calcoliamo la miglior stima della massa e la sua incertezza
N
i
xi
xi
1
 i2
10.3
0.3
11.11
 i2
114.433
X best 
i 1
N
0.1
100
980
10.5
0.5
4
42
9.9
0.4
6.25
6.1875
X best
X
2
i
best

1

i 1
9.8
xi

X
best

N
i 1
121.36
1198.308
1

2
i
1
 0.091
121.36
Tenendo conto delle cifre significative:

N
i 1
2
i
1198.308

 9.874
121.36
1
9.87  0.09
LE MEDIE PESATE:
Esempio:
10.3  0.3 9.8  0.1 10.5  0.5 9.9  0.4
Media pesata:
9.870.09
Se si trascurano gli errori e si calcola la media aritmetica e la deviazione standard della media:
Applicando le formule della media: x 
( xi  x ) 2
i
xi
1
10.3
0.030625
2
9.8
0.105625
40.5
 10.125
4
Media aritmetica:
La deviazione standard della media:
10 .1  0.2
Sx 
0.3275
 0.165
43
Media aritmetica
3
10.5
0.140625
Media pesata
4

N
i 1
9.9
0.050625
40.5
0.3275
Esercizi
In una esperienza di laboratorio viene condotto un esperimento al fine di trovare il valore della carica
depositata sulle armature di un condensatore. Tre gruppi di studenti, dotati di strumentazione con
diversa precisione trovano i seguenti valori:
gruppo 1: carica = (1.54 ± 1.2) 10–19 C
gruppo 2: carica = (1.62 ± 0.8) 10–19 C
gruppo 3: carica = (1.61 ± 0.8) 10–19 C
Quale è la miglior stima della carica depositata? E quale la sua incertezza?
Si tratta semplicemente di applicare le formule della media pesata. Per comodità è meglio tralasciare
nei conti il termine 10-19 e considerarlo solo alla fine.
N
i
xi
1.54
1.2
1
xi
 i2
 i2
0.6944
1.0694
X best 
i 1
N
0.8
1.61
0.8
N

i 1
1.5625
2.5312
1.5625
2.5156
3.8194
6.1162
X best
X
2
i
best

1

i 1
1.62
xi

X
best

1

2
i
1
 0.5117
3.8194
Tenendo conto delle cifre significative:
(1.60  0.5) 10 19 C
N
i 1
2
i
6.1162

 1.6014
3.8194
1
Esercizi
Tre biologi, attraverso tre differenti tecniche di misura, calcolano il tasso di riproduzione di una
colonia di batteri, cioè misurano il tempo necessario affinché la popolazione della colonia di
batteri raddoppia. I tempi registrati sono:
biologo 1: tempo = 11.4 ± 0.6 giorni
biologo 2: tempo = 11.8 ± 0.2 giorni
biologo 3: tempo = 12.2 ± 0.6 giorni
Trovare la miglior stima del tempo e la sua incertezza.
Si tratta semplicemente di applicare le formule della media pesata.
N
i
xi
1

2
i
xi

2
i
11.4
0.6
2.778
31.67
11.8
0.2
25
295
12.2
0.6
2.778
33.89
X best 
xi

i 1
N
best

N
N
i 1
30.556
360.56
360.56
 11.79998
30.556
2
i
1
1

i 1

X best 
1

i 1
X
2
i
X
best
2
i

1
 0.1809
30.556
Tenendo conto delle cifre significative:
(11.8  0.2) giorni