Matematica Discreta (6 crediti) BBBB
9 Gennaio 2017
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1. Dimostrare per induzione che, per ogni n ≥ 1, il numero n3 + 5n è divisibile per 6.
Soluzione: Base dell’induzione n = 1:
13 + 5 × 1) = 1 + 5 = 6,
che è divisibile per 6. Supponiamo per ipotesi di induzione che n3 + 5n sia divisibile per 6.
Verifichiamo che anche (n + 1)3 + 5(n + 1) è divisibile per 6.
(n + 1)3 + 5(n + 1) = n3 + 3n2 + 3n + 1 + 5n + 5 = (n3 + 5n) + 3n2 + 3n + 6.
Sia n3 + 5n che 6 sono divisibili per 6. Proviamo che 3n2 + 3n è divisibile per 6. Si ha:
3n2 + 3n = 3n(n + 1),
che è divisibile per 3. Inoltre, n(n + 1) sono due numeri consecutivi, uno dei quali è sicuramente pari. In conclusione, 6 divide 3n2 + 3n e quindi (n + 1)3 + 5(n + 1) è divisibile per
6. Il principio d’induzione ci permette di concludere che n3 + 5n è divisibile per 6 per ogni
n ≥ 1.
2. Formalizzare nel linguaggio matematico i seguenti enunciati, specificando l’universo del
discorso, i simboli di relazione e le eventuali costanti
• “Tutti i calciatori amano un figlio di Giovanni”.
• “Tutti gli studenti in corso amano qualche libro”.
Soluzione: L’universo del discorso relativo al primo enunciato è l’insieme di tutte le persone.
Utilizzeremo le seguenti relazioni:
(a) C(x) sse x è un calciatore;
(b) xF y sse x è figlio di y;
(c) xAy sse x ama y;
(d) G è una costante che denota Giovanni.
1
∀x(C(x) → ∃y(yF G ∧ xAy)).
L’universo del discorso relativo al secondo enunciato è l’unione dei seguenti due insiemi:
l’insieme di tutte le persone e l’insieme di tutti i libri. Utilizzeremo le seguenti relazioni:
(a) S(x) sse x è uno studente;
(b) C(x) sse x è in corso;
(c) xAy sse x ama y;
(d) L(x) sse x è un libro.
∀x(S(x) ∧ C(x) → ∃y(L(y) ∧ xAy)).
3. Si trovi il resto della divisione di 576 per 17.
Soluzione: 17 è un numero primo; quindi possiamo applicare il piccolo teorema di Fermat al
numero 5 che è relativamente primo con 17: 516 ≡17 1. Dividiamo 76 per 16: 76 = 16 × 4 + 12
e procediamo come segue:
576 = 516×4+12 = 516×4 512 = (516 )4 512 ≡17 14 512 = 512 .
Proseguiamo come segue:
512 = (52 )6 ≡17 86 = (82 )3 = (−4)3 = (−4)2 × (−4) = 16 × (−4) ≡17 −(−4) = 4.
4. Sia Z insieme dei numeri interi e sia E la relazione sull’insieme R dei numeri reali definita
da
xEy ⇔ x2 − y 2 ∈ Z.
Dimostrare che E è una relazione di equivalenza. Determinare la classe di equivalenza del
numero 1.
Soluzione: Dobbiamo provare che E verifica le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.
(a) (Proprietà Riflessiva) Dalla definizione di E abbiamo: xEx sse x2 −x2 ∈ Z. Da x2 −x2 =
0 si ricava che xEx per ogni numero reale x.
(b) (Proprietà Simmetrica) Dall’ipotesi xEy si ricava x2 − y 2 ∈ Z. Ricordiamo che ogni
numero intero z ammette un opposto −z che è sempre un intero. Quindi, da x2 −y 2 ∈ Z
si ricava che −(x2 − y 2 ) ∈ Z, cioé y 2 − x2 ∈ Z. In conclusione, yEx.
(c) (Proprietà Transitiva) Per ipotesi si ha xEy e yEz, che implicano x2 −y 2 ∈ Z e y 2 −z 2 ∈
Z. Allora (x2 − y 2 ) + (y 2 − z 2 ) ∈ Z, perché la somma di due interi è un numero intero.
Infine, (x2 − y 2 ) + (y 2 − z 2 ) = x2 + (y 2 − y 2 ) − z 2 = x2 − z 2 ∈ Z, che implica xEz.
Per definizione, la classe di equivalenza di 1 è l’insieme [1]E = {z ∈ R : z 2 − 1 ∈ Z}. Dal
fatto che z 2 − 1 ∈ Z sse z 2 ∈ Z si ricava che [1]E = Z.
5. Sia A un insieme di cardinalità n. Dimostrare che i sottoinsiemi di A di cardinalità k sono
n
.
k
