Conduttori
●
si può dimostrare che il campo elettrico
all'interno di un conduttore in equilibrio
elettrostatico è nullo
➠ se così non fosse, la presenza di un campo
elettrico agirebbe sugli elettroni liberi degli
atomi spostandoli, creando quindi una corrente
elettrica interna, il che contraddice l'ipotesi
di equilibrio elettrico
➯un campo elettrico interno appare solo nel
momento in cui il conduttore viene caricato
–
una conseguenza è che il potenziale elettrico è
costante all'interno di un conduttore in
equilibrio
V
= −∇
E
1
Conduttori
●
con il teorema di Gauss si può dimostrare che
una carica fornita a un conduttore isolato si
sistema totalmente sulla superficie del
conduttore, nessuna carica può stazionare
entro il corpo conduttore
➯intuitivamente, se mettiamo una carica elettrica
in un conduttore, essendo libera di muoversi,
essa si dispone in modo tale da stare il più
possibile lontano dalle cariche dello stesso
segno, e questo corrisponde al trovarsi sulla
superficie del conduttore
–
consideriamo una superficie
gaussiana interna al
conduttore, su cui è
depositata una carica q
–
il campo elettrico E all'interno
del conduttore è nullo
2
Conduttori
–
se E è nullo all'interno il flusso
attraverso una superficie chiusa è nullo e
quindi
q
E =
= 0 ⇒ q = 0
0
➯ciò è valido per ogni superficie interna al
conduttore, quindi la carica si distribuisce
sulla superficie esterna
3
Conduttori (cont.)
●
si può dimostrare che in una cavità
all'interno di un conduttore isolato il
campo elettrico è nullo
●
–
–
considerando il caso precedente si può
pensare che l'asportazione di un pezzo
interno del conduttore non influenzi la
distribuzione delle cariche
consideriamo una superficie gaussiana che
circonda la cavità interna completamente
contenuta nel conduttore:
q
E =
= 0 ⇒ q = 0
0
quindi sulla superficie interna la carica
elettrica è nulla
4
Conduttori (cont.)
–
se prendiamo un circuito che
attraversi in parte la cavità
∮ E e⋅d r
–
= 0
essendo la circuitazione del tutto
generica e potendo avere contributo
solo dalla cavità (in quanto il campo
all'interno del conduttore è nullo)
anche qui il campo E è nullo
5
Conduttori (cont.)
●
la carica elettrica si distribuisce sul
conduttore in modo da equilibrare le forze
repulsive tra ogni singola carica
➫ sulla superficie il campo elettrico è orientato
sempre perpendicolarmente alla superficie
stessa
➥se il campo avesse una componente tangente alla
superficie del conduttore le cariche si
metterebbero in moto (fino ad annullare questa
componente)
6
Conduttori (cont.)
●
il campo elettrico E sulla superficie di un
conduttore in equilibrio è proporzionale alla
densità di carica superficiale ():
E =
0
–
–
se consideriamo una superficie
cilindrica posta a cavallo della
superficie del conduttore
dq
d E = ∫ E⋅n ds = E d =
0
e quindi:
dq 1
E =
=
d 0
0
7
Conduttori (cont.)
●
si può inoltre dimostrare che il campo
elettrico sulla superficie di un isolante con
carica distribuita sulla superficie è dato
dalla seguente equazione
E =
20
8
Conduttori
proprietà dei conduttori in equilibrio
➟ proprietà
elettrostatico:
elettrostatico
➛ il campo elettrico all'interno di un conduttore
è nullo
➛ il potenziale elettrico è costante all'interno
di un conduttore in equilibrio
➛ una carica fornita a un conduttore isolato si
sistema totalmente sulla sua superficie
➥nessuna carica può stazionare entro il corpo
conduttore
➛ in una cavità all'interno di un conduttore
isolato il campo elettrico è nullo
➛ il campo elettrico è orientato sempre
perpendicolarmente alla sua superficie
➛ il campo elettrico E sulla superficie di un
conduttore in equilibrio è proporzionale alla
densità di carica superficiale ():
E=
0
9
Conduttori (cont.)
●
se un conduttore isolato viene posto in un
campo elettrico esterno tutti i punti del
conduttore sono allo stesso potenziale, sia
che il conduttore abbia o no una carica in
eccesso
➠ gli elettroni liberi di conduzione si
distribuiscono sulla superficie in modo tale
che il campo elettrico che producono nei punti
interni annulli il campo elettrico esterno
➠ la distribuzione degli
elettroni fa si che il campo
elettrico netto in tutti i
punti della superficie sia
perpendicolare alla
superficie
10
Capacità
●
consideriamo una sfera conduttrice di raggio
R e carica Q
–
–
–
●
isolata
●
carica
●
in equilibrio elettrostatico
in un punto P ad una distanza r dal centro
della sfera il potenziale elettrico è
1 Q
V =
4 0 r
sulla superficie della sfera il potenziale
elettrico è
1 Q
V =
4 0 R
per continuità questo è anche il valore del
potenziale all'interno del conduttore
11
Capacità
Capacità
➜ il potenziale elettrico della sfera è
proporzionale alla carica depositata e
dipende dalla geometria (raggio R) del corpo
➯ si può dimostrare che questa è una
proprietà generale dei conduttori
●
si definisce capacità elettrica C di un
conduttore il rapporto (costante) tra la
carica Q che un conduttore possiede e il suo
potenziale elettrico V:
Q
C =
V
➛ per la nostra sfera C vale:
Q
Q
C =
=
= 4 0 R
V
1 Q
40 R
12
Capacità
Capacità
●
l'unità di misura della capacità è il farad
(F)
➯ questo rapporto costante è una caratteristica
del conduttore
13
Capacità (cont)
●
calcoliamo il lavoro necessario a caricare la
sfera
–
il processo di carica consiste nel portare
sulla sfera n cariche dq fino a raggiungere la
carica finale Q
●
se il potenziale V della sfera rimanesse costante
durante tutto il processo il lavoro sarebbe
uguale a:
L = QV
il processo di carica non avviene a potenziale
costante (se non è collegato ad un generatore
di potenziale)
➛il potenziale dipende dalla carica del conduttore
➛la carica del conduttore dipende dal tempo
14
Capacità (cont)
–
–
durante il processo di carica il conduttore
avrà una carica q e un potenziale V', per cui
il lavoro fatto sulla carica dq sarà
dL = dq V '
questa variazione di carica comporta una
variazione di potenziale, possiamo scrivere:
q
dL = dq
C
integrando otteniamo
1 Q2
1
1
L =
= QV = CV 2
2 C
2
2
●
la differenza col caso a V costante è che, in
quel caso, dobbiamo tener conto del lavoro
esterno speso per mantenere il potenziale
costante
15
Condensatori
●
fino ad ora abbiamo considerato conduttori
isolati
–
●
la presenza di altri conduttori può cambiare
molto le condizioni del sistema
consideriamo un conduttore sferico A di
raggio R e carica Q:
gli avviciniamo un secondo conduttore B
scarico
●
quello che si osserva è che il potenziale di
A diminuisce
16
Condensatori
●
una spiegazione intuitiva può essere la
seguente:
–
per induzione su B si ha un accumulo di cariche
negative nella parte più vicina ad A ed un
accumulo di cariche positive nella parte più
distante
●
–
indichiamo con q il modulo di questa carica
sulla superficie di A più vicina a B il
potenziale è dato da 3 componenti:
●
VA: potenziale di A isolato
●
VB-: potenziale delle cariche negative di B
●
VB+: potenziale delle cariche positive di B
17
Condensatori (cont.)
–
il potenziale totale sulla superficie di A
diventa allora
V = V A V -B V +B
Q
q
q
V = k
− k
k
R
rr+
nella assunzione che l'effetto delle cariche
indotte sul conduttore B sia tale che:
–
●
si possa approssimare come se le cariche fossero
concentrate in punti distanti r+ e r- dal punto
considerato sulla superficie di A
●
che in valore assoluto la carica indotta positiva e
quella negativa siano uguali
risulta allora:
r - r + ⇒ ∣V -B∣ ∣V +B∣
e quindi
V VA
18
Condensatori (cont.)
●
essendo A isolato per ipotesi la sua carica
non cambia, poiché abbiamo definito la
capacità come
Q
C =
V
–
ne segue che la capacità cambia, in particolare
aumenta
➠in questa trattazione ci sono molte
approssimazioni, inoltre non si tiene conto della
variazione di densità di carica sul conduttore A,
una trattazione più rigorosa permette di trovare
i valori corretti, ma la sostanza non cambia
19
Condensatori (cont.)
●
su questa proprietà si basa l'idea dei
condensatori:
condensatori sono oggetti costituiti da due
conduttori affacciati (chiamati armature) e,
spesso, separati da un dielettrico
–
un tale strumento permette di mantenere una
carica elettrica Q su di un conduttore e di
avere un potenziale più basso di quello che
avrebbe su di un conduttore singolo
●
–
questo è importante, per esempio, se si deve
mantenere una carica elevata e si vuole ridurre
il pericolo di scariche elettriche con l'ambiente
si può dimostrare che la differenza di
potenziale tra le armature V è direttamente
proporzionale alla carica Q presente su una
delle armature
20
Condensatori (cont.)
●
la capacità di un condensatore viene definita
come il rapporto tra la carica elettrica
depositata sopra un'armatura e la differenza
di potenziale tra le armature
Q
C =
V
21
Condensatore Sferico
●
consideriamo un condensatore sferico
–
●
un sistema costituito da un conduttore sferico
contenuto entro un altro conduttore sferico
●
concentrico col primo
●
isolato da esso
una carica depositata sul conduttore più
interno si distribuisce uniformemente su di
essa (supponiamo la carica positiva)
–
sulla superficie interna ed esterna del
conduttore esterno compaiono, per induzione,
una carica negativa e una positiva uguali in
valore assoluto a quella depositata
➞Q: la carica presente sull'armatura interna
➞r: il raggio dell'armatura interna
➞R: il raggio dell'armatura esterna
22
Condensatore Sferico (cont.)
●
●
●
●
poiché la carica si distribuisce
uniformemente, il potenziale sul conduttore
interno è:
Q
Vr = k
r
se mettiamo a terra l'armatura esterna
la relativa carica positiva si
disperde al suolo
per l'armatura esterna, in modo analogo, si
ricava il potenziale dovuto alla carica
elettrica presente su di essa:
Q
−V R = −k
R
la differenza di potenziale risulta allora:
Vr − VR
Q
Q
= k
− k
r
R
23
Condensatore Sferico (cont.)
●
●
la capacità del condensatore, dalla
definizione, risulta allora:
Q
Q
1 Rr
C =
=
= ⋅
Q
Q
k R−r
V
k
− k
r
R
se la differenza d tra i due raggi è piccola
rispetto ai raggi si ha:
2
Rr ~r
quindi, ricordando la definizione di k, si
ottiene:
2
r
C = 40
d
– ma 4r2 è l'area S di una superficie sferica di
raggio r, quindi:
S
C = 0
d
24
Condensatore
●
questa espressione
S
C = 0
d
è del tutto generale, indipendente dalla
forma del condensatore
➥ se le dimensioni delle armature sono abbastanza
grandi e la separazione tra le armature
abbastanza piccola da rendere sensibilmente
trascurabile la deformazione del campo
elettrico in prossimità dei bordi
25
Condensatore piano
●
consideriamo due conduttori piani di uguale
forma e dimensione S, posti ad una distanza d
l'uno dall'altro
–
depositiamo una carica q su un conduttore e
colleghiamo a terra la faccia esterna
dell'altro conduttore (per scaricare la
carica positiva generata nell'induzione)
–
il campo elettrico E fra i due conduttori è
uniforme
–
E =
0
dove
q
=
S
essendo il campo uniforme la differenza di
potenziale risulta essere
V = Ed
26
Condensatore piano
–
possiamo allora scrivere la capacità del
sistema
q
C =
V
come
S
S
S
C =
=
= 0
Ed
d
d
0
27
Serie di Condensatori
●
supponiamo di avere n condensatori messi in
cascata, come nello schema seguente
questa configurazione si indica come serie di
condensatori
–
se depositiamo una carica +Q sulla armatura più
esterna del primo condensatore, per induzione
elettrica sull'altra armatura si avrà una
carica -Q e sull'armatura del secondo
condensatore, collegata a quella precedente,
comparirà una carica +Q
28
Serie di Condensatori
●
considerando la catena di condensatori nel
suo complesso:
–
–
–
–
●
sulla prima armatura abbiamo una carica +Q
sull'ultima armatura abbiamo una carica -Q
sulle armature interne (connesse tra loro
elettricamente) la carica complessiva è nulla
tra la prima e l'ultima armatura c'è una
differenza di potenziale V
per il sistema possiamo definire una capacità
Q
C =
V
29
Serie di Condensatori (cont.)
●
esaminiamo il contributo dei singoli
condensatori:
–
tra le armature di ogni singolo condensatore ci
sarà una differenza di potenziale Vi
–
ogni condensatore avrà una capacità Ci
per ogni condensatore vale la relazione
Vi =
●
la differenza di potenziale complessiva, tra
la prima e l'ultima armatura del sistema, è
data dalla somma delle singole differenze di
potenziale
n
V =
●
Q
Ci
Vi
∑
i=1
che possiamo scrivere come
Q
=
C
n
∑
i=1
Q
Ci
30
Serie di Condensatori (cont.)
da cui si ricava che
1
=
C
n
1
∑
i=1 C i
☛ un insieme di condensatori collegati in serie è
equivalente ad un condensatore la cui capacità
risulta il reciproco della somma dei reciproci
delle capacità dei singoli condensatori
−1
n
1
C = ∑
i=1 C i
➠si dice che i condensatori collegati sono in
serie tra loro quando la differenza di potenziale
applicata alla combinazione di condensatori è la
somma delle differenze di potenziale presenti su
ogni condensatore
31
Parallelo di condensatori
●
consideriamo ora n condensatori collegati tra
loro come in figura
questa configurazione si indica come
parallelo di condensatori
●
è evidente che, se applichiamo una differenza
di potenziale V ai capi del sistema, tutti i
condensatori presentano la stessa differenza
di potenziale tra le rispettive armature
–
ogni condensatore ha una sua capacità Ci
–
sulle armature dei condensatori ci
sarà una carica
Qi = C iV
32
Parallelo di condensatori
●
la carica totale positiva è data dalla somma
delle cariche positive presenti sui singoli
condensatori
n
Q =
●
Qi
∑
i=1
possiamo anche scrivere le singole cariche
come prodotto della differenza di potenziale
per la carica sulle armature del singolo
condensatore, quindi
n
n
Q =
V Ci
∑
i=1
= V
Ci
∑
i=1
= VC
☛ il sistema può essere visto come un unico
condensatore di capacità pari alla somma
delle capacità dei singoli condensatori:
n
C =
Ci
∑
i=1
33
Parallelo di condensatori (cont.)
➛ si dice che i condensatori collegati sono in
parallelo tra loro quando la differenza di
potenziale, applicata al loro insieme, è la
stessa differenza di potenziale applicata a
ognuno di essi
➣ condensatori in serie si utilizzano quando si
lavora con elevate differenze di potenziale
➣ condensatori in parallelo si utilizzano quando
si richiedono capacità più grandi di quelle
disponibili con condensatori singoli
34
Condensatori (cont.)
●
l'energia può essere immagazzinata come
energia potenziale
➛tendendo una molla
➛sollevando un libro
➛tirando la corda di un arco
➛immagazzinando acqua ad una certa quota (con una
diga)
–
tutte quelle indicate sono forme di energia
potenziale meccanica, è possibile immagazzinare
energia (potenziale) anche in un campo
elettrico
➠ il condensatore elettrico è uno strumento che
è in grado di immagazzinare energia
che può essere utilizzata in un secondo tempo
35
Energia nel campo elettrico
●
la separazione di due cariche di segno
opposto richiede del lavoro
●
il processo di carica di un condensatore si
può pensare come un processo di separazione
di carica
➯le cariche positive vengono portate su una
armatura, quelle negative sull'altra
–
questo richiede del lavoro, che viene
effettuato da un generatore (una pila, in
questo caso si spende una parte dell'energia
chimica)
–
per il principio di conservazione dell'energia
questo lavoro speso deve essere disponibile
sotto qualche altra forma di energia
➠nel processo di carica abbiamo separato cariche e
abbiamo generato un campo elettrico
36
Energia nel campo elettrico
●
è naturale pensare che l'energia spesa sia
associata al campo elettrico creato
➠è disponibile in tutto lo spazio dove il campo
elettrico non è nullo
–
abbiamo già visto che il lavoro necessario per
caricare un conduttore è
1 Q2
1
1
L =
= QV = CV 2
2 C
2
2
➯questa è anche l'energia accumulata tra le
armature del condensatore
–
nel caso del condensatore piano il volume
occupato dal campo elettrico è quello
all'interno delle armature: v = Sd, la densità
di energia legata al campo elettrico è:
1
2
CV
2
2
U
2
1 S V
1 V
1
2
u =
=
= 0
= 0 2 = 0 E
V
Sd
2 d Sd
2 d
2
37
Energia del campo elettrico
●
quanto ricavato
1
2
u = 0 E
2
è di validità del tutto generale, non
ristretta al caso specifico che abbiamo
utilizzato per ricavarla
●
se in un punto dello spazio vuoto esiste un
campo elettrico E, l'energia che vi è
distribuita per unità di volume è
1
2
u = 0 E
2
– se siamo in presenza di un dielettrico la
densità di energia diventa
1
2
u = 0 r E
2
38
Dielettrici
●
tutti i materiali hanno una qualche capacità
di conduzione elettrica
●
–
ci sono materiali che hanno un comportamento
molto vicino a quello di un isolante ideale
abbiamo già accennato al fatto che la forza
elettrostatica in presenza di un materiale
isolante viene ridotta di una quantità r (>1)
q1q2
1
F =
4 0 r r 2
39
Dielettrici
●
se si riempie lo spazio tra le armature di
un condensatore con un dielettrico la
capacità aumenta di un fattore numerico r,
caratteristico del materiale, chiamato
costante dielettrica relativa
C = r C vuoto
–
●
relativa perché ci riferiamo sempre al vuoto
●
r > 1 sempre
una caratteristica dei condensatori con
dielettrici è che la differenza di potenziale
non può superare un valore Vmax (detto rigidità
elettrica)
elettrica
●
una differenza di potenziale maggiore di questo
valore causa una rottura del dielettrico e si
instaura una conduzione (scarica elettrica)
40
Dielettrici (cont.)
dal punto di vista atomico i dielettrici possono
essere divisi in due categorie:
●
dielettrici polari:
polari le molecole
di alcune sostanze (come l'acqua)
hanno un momento di dipolo
elettrico permanente
➠in questi materiali i dipoli tendono
ad allinearsi in presenza di un campo
elettrico esterno
➠a causa della agitazione termica l'allineamento
non è completo, ma aumenta all'aumentare del
campo elettrico esterno E0
➠a parità di campo elettrico
l'orientamento dei dipoli risulta
inferiore a temperature più
elevate
41
Dielettrici (cont.)
●
dielettrici non polari:
polari sia che
le molecole abbiano o no momento
di dipolo elettrico, esse possono
acquistarlo per induzione quando
vengono immerse in un campo
elettrico
non soggetta a campo elettrico
➠ il campo elettrico tende a stirare le
molecole separando leggermente i
centri di carica positiva e negativa,
creando in questo modo un dipolo
elettrico il cui momento è
proporzionale ad E
●
soggetta a campo elettrico E0
il rapporto tra il momento indotto e
l'intensità del campo elettrico viene
indicato col termine polarizzabilità
p
E
42
Dielettrici (cont.)
➙ il momento di dipolo di un elemento di volume
è la somma dei momenti dei dipoli contenuti
nel volume
➙ il processo che porta alla formazione dei
dipoli indotti prende il nome di
polarizzazione
●
definito il momento di dipolo per unità di
volume P, nella maggior parte dei dielettrici
risulta che P è proporzionale al campo
elettrico esterno E
P = 0 r −1E
43
Dielettrici (cont.)
–
●
le cariche superficiali indotte
si dispongono sempre in modo
tale che il campo elettrico E'
da esse generato si opponga al
campo esterno E0
l'effetto è quello di diminuire il campo
elettrico totale all'interno del dielettrico
➯ il campo elettrico del dipolo è orientato in
senso inverso rispetto al campo esterno
➯ la somma dei due campi, il campo elettrico
efficace, è chiaramente inferiore al campo
esterno applicato
➠ c'è accordo col fatto che la forza di Coulomb
in presenza di dielettrici risulta ridotta
44
Dielettrici
sostanza
aria
acqua
alcool etilico
olio per trasformatori
ambra
bachelite
carta
polietilene
polistirolo
porcellana
teflon
vetro
costante dielettrica
relativa
1.00059
80
28
2.5
2.7
4.9
3.7
2.3
2.6
6.5
2.1
4÷ 7
rigidità
rigidità dielettrica
(V/ m)
3·106
20·106
90·106
24·106
16·106
50·106
25·106
4·106
60·106
20·106
45
Vettore induzione elettrica
●
●
in presenza di dielettrici è utile utilizzare
una nuova grandezza, il vettore induzione
dielettrica D,
D definito come
D = 0 E P = 0 r E
nel caso del vuoto il flusso di D attraverso
una superficie chiusa risulta
q
D = ∮ D⋅d S = ∮ 0 E⋅d S = 0
= q
0
–
●
il flusso del vettore induzione attraverso una
superficie chiusa è uguale alla carica q
racchiusa all'interno della superficie
si dimostra che questo è vero anche in
presenza di un dielettrico
D =
∮ D⋅d S
=
∮ E⋅d S
= q libera
46
Unità
Unità di misura
➫ la polarizzazione e l'induzione dielettrica
hanno la stessa unità di misura (C/m2)
➫ la densità di energia elettrostatica in
presenza di dielettrici risulta
u =
1
2
0 r E
2
dove E è il campo risultante dalla
sovrapposizione del campo elettrico esterno e
da quello dovuto alla polarizzazione del
dielettrico
47
Esercizio
Consideriamo il sistema di
condensatori in figura, con
–
C1 = 12 F
–
C2 = 5.3 F
–
C3 = 4.5 F
calcolare la capacità
equivalente del sistema
●
–
C p = C 1∥C 2 = C 1C 2 = 17.3 F
–
per risolvere il problema
bisogna scomporre in parti
il sistema:
–
–
si trova la capacità del
parallelo dei
condensatori C1 e C2 (Cp)
avremo quindi
la capacità totale si
trova
CT
–
1
1
=
C 3 C 1C 2
−1
che ha il valore di
C T = 3.57 F
si calcola la capacità
della serie C3 e Cp
48
Esercizio
Due condensatori piani C1 e C2
con armature di area S uguale
distanti rispettivamente d1 = 1
cm e d2 = 3 cm sono carichi e
collegati in parallelo. In
queste condizioni il campo
elettrico del condensatore C1
vale E1 = 104 V/m e l'energia
elettrostatica di tutto il
sistema vale W = 5.91·10-8 J.
Calcolare:
Una lastra di dielettrico di
spessore d = 1 cm e costante
dielettrica relativa k viene
inserita in C1 e un'altra di
materiale conduttore di
spessore s = 1 cm viene
inserita in C2 parallelamente
alle armature ed equidistante
da esse. In queste condizioni
il campo elettrico in C1 vale
E1* = 4/9·104 V/m, calcolare:
a) le densità di carica 1 e 2
presenti sulle armature
c) le densità di carica 1* e
2* presenti sulle armature
b) la carica totale del sistema
d) la polarizzazione P del
dielettrico
49
Esercizio
●
la densità di
carica sul
condensatore C1
si ricava
immediatamente
dal campo
elettrico E1
1
E1 =
⇒ 1 = E 1 0
0
−8
2
= 8.85⋅10 C / m
●
Ricordiamo che l'energia
elettrostatica di un
condensatore è data da
1
W = QV
2
da cui possiamo ricavare
poiché i condensatori sono
in parallelo la differenza
di potenziale ai capi delle
armature è uguale
2
V 1 = E 1 d 1 = V 2 = E 2 d 2 = 10 V
da cui ricaviamo
E2 =
la carica totale non è
ricavabile dalla densità in
quanto non conosciamo la
dimensione delle armature
V2
1
= ⋅104 V / m
d2
3
e quindi
1
4
−12
2 = 0 E 2 = ⋅10 8.85⋅10
3
−8
2
= 2.95⋅10 C / m
−8
●
2W
2⋅5.91⋅10
Q =
=
V
100
−9
= 1.18⋅10 C
nel secondo
caso la carica
elettrica
totale rimane
costante
(essendo il
sistema
isolato)
50
Esercizio
cambiano però le capacità
dei conduttori:
C1' = k C 1
il condensatore C2 con
inserito il conduttore è
assimilabile alla serie di
due condensatori uguali di
capacità C1
−1
C
1
1
1
C 2 '−1 =
=
C1 C1
2
il parallelo di C1' e C2' è
allora
1
C T ' = C 1 'C 2 ' = C 1 k
2
ma non conosciamo k
la differenza di potenziale
ai capi dei condensatori C1'
e C2 ' è
∗
V '=E 1 d 1=44.4V
per poter proseguire
dobbiamo determinare la
dimensione delle armature
Q = 1 2 S
⇒ S =
= 0.01 m
Q
1 2
2
da cui la capacità di C1
C 1 = 0
da
S
−12
= 8.85⋅10 F
d1
Q = C T'V '
e quindi
1
Q
C 1 k =
2
V'
Q 1
⇒ k =
−0.5 = 2.5
V ' C1
dalla
E
∗
1
1∗
=
k 0
51
Esercizio
ricaviamo
∗
1
∗
−8
= E 1 k 0 = 9.83⋅10 C / m
2
ed infine
∗
∗
⇒ 2
●
∗
1 2 = 1 2
∗
−8
2
= 1 2− 2 = 1.97⋅10 C / m
la polarizzazione si ricava
da
∗
P = k −10 E 1
∗
−8
2
P = k −1 0 E 1 = 5.9⋅10 C / m
52
Esercizio
Un condensatore piano ha le
armature di dimensioni d×d
distanti h ed è
parzialmente riempito con
una lastra di materiale
dielettrico di costante
dielettrica relativa k che
è inserita per un tratto x.
Calcolare la forza F
necessaria perché la lastra
venga inserita nel
condensatore a velocità
costante v nei seguenti due
casi:
a)il generatore è
staccato
b)il generatore è
collegato
●
sperimentalmente notiamo che
la lastra viene risucchiata
all'interno del condensatore
con una forza F.
Intuitivamente possiamo dire
che le cariche presenti
sulle armature attirano le
cariche, di segno opposto,
che compaiono per induzione
sulla superficie del
dielettrico.
Per inserire a velocità
costante il dielettrico
dobbiamo applicare una forza
esterna Fext in modo che
m a = F F ext = 0
Per determinare la forza
studiamo l'energia del
sistema
53
Esercizio
●
il sistema possiamo pensarlo
come il parallelo di due
condensatori
●
la capacità equivalente del
sistema risulta
C T = C 1C 2 = 0
0 d
=
d −x kx
h
Questo sistema ha una
energia potenziale U legata
al campo elettrico. Sappiamo
che
F = −∇ U
∂U
⇒ F =−
∂x
Il condensatore di sinistra
(1) ha dimensioni (d-x)×d×h
mentre quello di destra (2)
x×d×h.
La capacità di un
condensatore piano è data da
●
S
C
=
k
quindi avremo0 h
d −x d
h
xd
= 0 k
h
C 1 = 0
C2
d −x d
xd
0 k
h
h
quando il generatore è
scollegato l'unico
contributo all'energia
potenziale del sistema viene
dalla sua energia
elettrostatica
1
U e = CV 2
2
54
Esercizio
nel nostro caso C dipende da
x (da quanto spazio viene
occupato dal dielettrico),
quindi anche V non sarà
costante, la carica
elettrica Q rimane costante
Q = CV
perciò possiamo scrivere
2
1Q
U
=
e
quindi
2 C
2
dU e
1 2 d 1
1 Q dC
= Q
= −
dx
2 dx C
2 C 2 dx
dove
0 d
dC
d 0 d
=
d −x kx =
k −1
dx
dx h
h
quindi
2
dU e
0 d
1 2
h
= − Q 2 2
k −1
dx
2 0 d d −x kx 2 h
da cui ricaviamo
F =
1 2 h k −1
1
Q
2
0 d [d k−1 x ]2
dal momento che k > 1 e x >
0 (per costruzione) F
risulta sempre positiva, e
quindi concorde con il verso
crescente di x (da destra
verso sinistra), quindi la
forza dovuta alla carica
depositata tende a far
entrare il dielettrico
La forza che dobbiamo
applicare per far muovere il
dielettrico di moto uniforme
è quindi
1 2 h k −1
1
F ext = − Q
2
0 d [d k −1 x ]2
55
Esercizio
●
nel caso in cui il
condensatore sia collegato
ad un generatore la
differenza di potenziale
risulta costante mentre la
carica varia.
Per un avanzamento dx del
dielettrico la capacità
aumenta di
0 d
dC =
k −1dx
h
a cui corrisponde una
variazione di carica
0 d
dQ = VdC = V
k−1dx
h
questa variazione di carica
è dovuta al lavoro del
generatore
2
dW gen = VdQ = V dC =
2 0 d
V
k−1 dx
h
La variazione di energia
elettrostatica del
condensatore è data da
1 2
dU e = V dC
2
il lavoro fornito dal
generatore viene utilizzato
per metà per variare
l'energia elettrostatica del
condensatore, l'altra metà
va a finire nel lavoro della
forza che agisce sul
dielettrico
dW = F dx = dW gen −dU e = dU e =
1 2 0 d
V
k −1 dx
2
h
da cui ricaviamo
1 2 0 d
F = V
k −1
2
h
anche in questo caso F > 0
in questo caso F è costante
56
Corrente Elettrica
●
quando due conduttori a potenziali diversi
vengono collegati mediante un terzo
conduttore, questo è sede di una corrente
elettrica
➥ è percorso da un insieme di cariche che si
spostano dal conduttore a potenziale più alto
all'altro in modo ordinato
–
raggiunto l'equilibrio la corrente cessa
➯i conduttori si possono mantenere a un dato
potenziale
➯ la differenza di potenziale rimane costante
➯ si ottiene una corrente costante
●
la corrente elettrica è dovuta al moto
ordinato delle cariche elettriche
➠non tutte le cariche in movimento danno luogo a
una corrente elettrica
57
Corrente Elettrica
–
gli elettroni all'interno di un filo di rame
isolato si muovono in modo casuale con una
velocità dell'ordine di 106 m/s
●
se consideriamo una sezione del filo gli
elettroni di conduzione si muovono in entrambi i
sensi
➙non c'è un trasporto netto di carica, non c'è
corrente elettrica
–
il flusso d'acqua che attraversa un tubo per
innaffiare il giardino porta un flusso di
cariche positive (i protoni) ma non c'è
trasporto netto di carica in quanto trasporta
anche cariche negative (elettroni) in egual
misura
58
Corrente Elettrica (cont.)
●
●
●
si definisce intensità di una corrente
elettrica il rapporto tra la carica che
attraversa una sezione del conduttore in un
intervallo di tempo e tale intervallo:
Q
i =
t
in modo più rigoroso questa va formulata in
termini differenziali:
dQ
i =
dt
l'unità di misura della corrente elettrica
nel Sistema Internazionale è l'ampere (A)
➠ questa è una unità fondamentale, da essa si
ricava l'unità di misura della carica elettrica
dalla relazione:
1 A = 1C /s
59
Corrente Elettrica (cont.)
●
l'ampere è quella corrente costante che, se
mantenuta in due conduttori rettilinei di
lunghezza infinita, di sezione circolare
trascurabile, e posti a 1 m di distanza,
produce su ognuno di questi conduttori una
forza pari a 2·10-7 N per metro di lunghezza
–
1 A corrisponde al passaggio di 1 C in 1 s
attraverso la superficie considerata
➠ poiché la corrente elettrica descrive il moto
delle cariche elettriche essa ha un verso:
➥ il verso della corrente è quello nel quale si
muoverebbero le cariche positive, anche se gli
effettivi portatori di carica sono negativi
➯il verso della corrente non è il verso del moto
dei portatori di carica
60
Generatori
●
dispositivi in grado di mantenere costante
una differenza di potenziale
–
sono pile, accumulatori o generatori di
tensione
➠i dispositivi reali garantiscono la costanza
della tensione solo entro certi valori
● pile e accumulatori generano la differenza di
potenziale per mezzo di processi chimici
● generatori di tensione in genere utilizzano una
fonte elettrica esterna per fornire la tensione
desiderata
● la tensione in uscita può dipendere dalle
condizioni ambientali (per i dispositivi chimici)
e dal carico collegato (per tutti)
–
i generatori di tensione vengono schematizzati
col seguente simbolo
61
Circuito elettrico
●
collegando le estremità del generatore con un
conduttore creiamo un circuito chiuso in cui
circola corrente elettrica
➯ la presenza di una differenza di potenziale ai
capi del conduttore implica la presenza di un
campo elettrico lungo il conduttore
➯ il moto delle cariche è dovuto alla presenza
del campo elettrico nel conduttore
62
Corrente Elettrica
●
in un conduttore metallico la corrente
elettrica è dovuta al moto degli elettroni
➠ gli elettroni di un conduttore di rame hanno
velocità con direzione casuale dell'ordine di
106 m/s
➠ la corrente diretta degli elettroni viaggia a
una velocità di deriva molto più bassa
➠in una tipica applicazione domestica la velocità
di deriva è dell'ordine di 10-3 m/s
●
la corrente elettrica può essere espressa in
termini di velocità di deriva vd:
i = n Aevd
63
Corrente Elettrica (cont.)
i = n Aevd
–
n è il numero di cariche per unità di volume
–
A è l'area della sezione del filo
–
e è la carica elettrica dell'elettrone
–
vd è la velocità di deriva
➭ il moto dei portatori di carica viene
impedito dal sistema di molecole:
➠ l'elettrone viene accelerato dal campo
elettrico presente
➠ l'elettrone urta una molecola e cambia
direzione
➠perde velocità lungo la direzione del conduttore
64
Corrente elettrica
●
●
in una regione di un conduttore abbiamo
–
n+ portatori di carica +e per unità di
volume
–
n- portatori di carica -e
in presenza di un campo elettrico E i
portatori si muoveranno sotto l'azione di una
forza F = qE originando una corrente
elettrica
–
il moto delle cariche negative avviene in
verso opposto
–
indichiamo con vd la
velocità lungo la
direzione di E
65
Corrente elettrica
●
●
la corrente è definita come
q
dq
i = lim
=
dt
t 0 t
consideriamo una superficie che formi un
angolo con il campo elettrico E
–
●
nell'intervallo di tempo t le cariche
percorrono una distanza vdt
la carica complessiva che attraversa la
superficie d in un tempo t è quella
contenuta nel volume
d = v d t d cos
66
Corrente elettrica
●
conoscendo la densità di cariche positive
otteniamo
q = n e d = n e v d t d cos
la corrente che passa attraverso la
superficie d risulta
q
di =
= n e v d d cos
possiamo quinditdefinire il vettore densità
di corrente
j = n evd
67
Corrente elettrica
●
possiamo riscrivere
di = j⋅n d
l'intensità di corrente attraverso la
superficie finita è
i = ∫ j⋅n d
se la superficie è ortogonale a j avremo
i = j
➫ la densità di corrente è la corrente che
attraversa l'unità di superficie
perpendicolare alla direzione del moto delle
cariche
–
se, come nei conduttori, i portatori di carica
sono gli elettroni
j = −n − e v
−
68
Corrente elettrica
➠ se i portatori di carica sono sia gli
elettroni che gli ioni, come nei
semiconduttori o nei fluidi
j = −n − e v
−
n e v
sperimentalmente si osserva che
j = E
questa è la legge di Ohm della conduttività
elettrica
●
la costante è una grandezza caratteristica
del conduttore detta conduttività elettrica
➜ molto spesso è scritta nella forma
E = j
con
1
=
69
Resistenze
●
applichiamo una differenza di potenziale V ad
un conduttore di lunghezza h:
B
V = ∫ E⋅d s = Eh
A
la corrente che percorre
il conduttore è
E
i = j =
⇒ E =
i
possiamo quindi scrivere
h
V = Eh =
i
che possiamo scrivere come
V = Ri
con
h
R =
70
Resistenze
➫ un conduttore a cui sia applicata una
differenza di potenziale V viene percorso da
una corrente elettrica i tale che il loro
rapporto è una costante:
V
= R
i
●
questa osservazione sperimentale si traduce
nella legge di Ohm per i conduttori
metallici:
metallici
–
●
il rapporto tra la differenza di potenziale
applicata agli estremi di un conduttore e
l'intensità della corrente che la percorre è
costante
tale rapporto costante viene detto
resistenza elettrica R
➥ dipende dalle caratteristiche del conduttore
71
Resistenze
●
l'unità di misura della resistenza è l'Ohm
Ohm
()
1V
1 =
1A
➠ si dice ohm la resistenza elettrica di un
conduttore che, sottoposto alla differenza di
potenziale di 1 V, sia percorso dalla corrente
di 1 A
➠ la resistenza elettrica di un conduttore è
direttamente proporzionale alla lunghezza di
questo, inversamente proporzionale alla sua
sezione e dipende dalla natura del materiale
h
R =
➠ è una costante caratteristica del materiale
detta resistività o resistenza specifica del
conduttore
72
Resistenze (cont.)
●
una caratteristica dei conduttori è che la
resistenza varia con la temperatura, per
variazioni della temperature contenute vale
R t = R 0 1 t
una legge analoga vale per la resistività
t = 0 1 t
●
è il coefficiente termico della resistenza (si
misura in °C-1)
➯la resistenza fornisce una stima dell'attrito che
gli elettroni incontrano nel moto all'interno del
conduttore
73
Resistenza
Materiale
argento
rame
oro
alluminio
stagno
mercurio
carbonio
germanio
silicio
acqua
vetro
resistività
resistività (Ωm)
1.59 · 10-8
1.67 · 10-8
2.35 · 10-8
2.65 · 10-8
11.0 · 10-8
98.4 · 10-8
1.38 · 10-5
0.46
2.30 · 103
2 · 105
10 10 ÷ 10 14
coefficiente termico (°
(°C-1)
4.1 · 10-3
6.8 · 10-3
4.0 · 10-3
4.3 · 10-3
4.7 · 10-3
-0.5 · 10-3
-48 · 10-3
-75 · 10-3
74
Resistenze in serie
●
quando si considera un conduttore con
specifico riferimento alla sua resistenza
elettrica lo si rappresenta con il simbolo
seguente:
●
consideriamo un insieme di resistenze
collegate in serie, siano Ri i loro rispettivi
valori e Vi le differenze di potenziale alle
quali esse sono sottoposte
75
Resistenze in serie
●
la corrente i che attraversa queste
resistenze è la stessa
●
–
gli elettroni non possono fermarsi nei
conduttori, formerebbero un accumulo di carica e
ciò è incompatibile con la natura dei conduttori
quindi:
V i = Ri i
–
la differenza di potenziale ai capi della serie
è la somma delle differenze di potenziale
n
V =
–
n
Vi
∑
i=1
=
n
Ri i
∑
i=1
= i ∑ Ri
i=1
indicando con R la resistenza totale del
sistema avremo
n
V = R i = i ∑ Ri
i=1
76
Resistenze in serie (cont.)
–
quindi
n
R =
Ri
∑
i=1
➠ la resistenza di un sistema di resistenze in
serie è pari alla somma dei valori delle
singole resistenze
77
Resistenze in parallelo
●
consideriamo ora il caso di n
resistenze Ri poste in parallelo
–
ai capi di ogni singola resistenza
abbiamo la stessa differenza di
potenziale V
–
ogni singola resistenza è percorsa da una
corrente ii tale che
–
V = ii R i
la somma totale delle correnti ii è pari alla
corrente totale i immessa nel circuito
n
i =
ii
∑
i=1
78
Resistenze in parallelo
–
tale corrente è anche il rapporto tra la
differenza di potenziale applicata ai capi del
sistema e la resistenza totale:
V
R
i =
–
quindi
V
=
R
–
da cui segue
1
=
R
n
V
∑
i=1 R i
n
∑
i=1
1
Ri
➜ l'inverso della resistenza di n resistori in
parallelo è uguale alla somma dei reciproci
delle resistenze dei singoli resistori
79
Potenza di una corrente elettrica
●
consideriamo una carica dq che si muove
attraverso la differenza di potenziale V
–
viene compiuto il lavoro
dW = Vdq = V idt
e spesa la potenza
dW
P =
= Vi
dt
➠ la potenza di una corrente continua è data
dal prodotto della sua intensità per la
differenza di potenziale che attraversa
●
nel caso di una resistenza avremo
2
P = V i = Ri
in un intervallo di tempo finito il
passaggio di una corrente i comporta il
t
t
lavoro
W = ∫ Pdt = ∫ R i2 dt
0
0
80
Effetto Joule
●
questo lavoro è necessario per vincere la
resistenza opposta dal reticolo cristallino
al moto ordinato degli elettroni
➠ da un punto di vista termodinamico, esso viene
assorbito dal conduttore la cui energia interna
aumenta
➟l'energia interna di un corpo è proporzionale
alla sua temperatura, quindi aumenta la
temperatura del corpo
●
l'effetto di riscaldamento di un conduttore
percorso da corrente elettrica si chiama
effetto Joule
–
una resistenza R percorsa da una
corrente elettrica i dissipa in
calore una potenza
2
P = V i = Ri
81
Esercizio
Si consideri una tipica
resistenza di filo avvolto
a spirale per
riscaldamento, costituita
da una lega di nichel,
cromo e ferro (chiamata
comunemente nichelcromo)
avente una resistenza di 72
. Quale è la potenza
dissipata nei due casi
seguenti?
2)Il filo viene tagliato a
metà e viene applicata la
differenza di potenziale
V = 120 V a entrambi i
pezzi di resistenza
●
●
1)Viene applicata una
differenza di potenziale
V = 120 V su tutta la
lunghezza della
resistenza
La potenza dissipata da una
resistenza R a cui sia
applicata una differenza di
potenziale V è data da
2
V
V
P = Vi = V
=
R
R
nel primo caso la potenza
dissipata risulta essere:
120V
P =
72
2
= 200W
82
Esercizio
●
nel secondo caso, per ogni
metà della resistenza si
applica quanto applicato al
caso 1), quindi la potenza
dissipata da una metà
risulta essere
2
120V
P =
= 400W
36
la potenza complessiva
dissipata risulta quindi il
doppio di questo valore
–
P T = 800 W
questo è giustificato dal
fatto che questa
situazione è equivalente
a quella che si avrebbe
raddoppiando la
differenza di potenziale
83
Generatore reale
●
un generatore di tensione reale ha sempre una
resistenza interna non nulla
–
–
supponiamo che la resistenza interna
del generatore r sia 10 e la
resistenza esterna R sia 1 k, in
questo vaso la differenza di
potenziale ai capi della resistenza
è
ℰ
VR =
R = ℰ⋅0.9901
r R
se la resistenza esterna vale 20 la
differenza di potenziale ai capi della
resistenza R vale
ℰ
VR =
R = ℰ⋅0.6667
r R
➠minore è la resistenza interna r del generatore
migliore è il generatore
84
Generatore di corrente
●
un generatore di corrente ideale è un
generatore in grado di fornire una corrente
indipendente dal carico collegato al
generatore
●
–
un generatore di corrente è
schematizzabile come in figura
in questo caso la corrente erogata
dal generatore è
rR
i = ℰ
rR
la corrente che circola in R è
ℰ
iR =
R
mentre quella assorbita dalla resistenza
interna è
ℰ
ir =
r
con
iRir = i
85
Generatore di corrente
–
la frazione di corrente utilizzabile è quindi
ℰ
iR
R
r
=
=
i
rR
r R
ℰ
rR
86
Esercizio
dimostrare che nel circuito
elettrico mostrato si
ottiene il massimo
trasferimento di potenza su
una resistenza esterna R
quando R è uguale alla
resistenza interna r del
generatore
●
in questo
circuito ℰ sta
ad indicare la
forza
elettromotrice
del generatore
–
un generatore reale
presenta sempre una
resistenza interna che
riduce la differenza di
potenziale utilizzabile
●
l'intensità della corrente è
data da
ℰ
i =
Rr
la potenza dissipata su R è
quindi
R
2
2
P R = Ri = ℰ
Rr 2
per determinare quando
abbiamo dissipazione massima
possiamo derivare PR
rispetto a R
dP R
2 r −R
= ℰ
dR
Rr 3
che è chiaramente nulla per
r = R
questo è un massimo in
quanto la derivata seconda
risulta negativa
87
Esercizio
●
in condizioni di massimo la
corrente vale
ℰ
i =
2r
inferiore al massimo valore
possibile
La potenza spesa dal
generatore è
2
ℰ
P =
2r
mentre quella dissipata
dalla resistenza risulta
2
ℰ
PR =
4r
88
Leggi di Kirchhoff
●
●
un circuito elettrico viene spesso definito
col termine rete elettrica
gli elementi geometrici della rete sono:
➛nodi
➛rami
●
–
un nodo è un punto nel quale convergono
almeno 3 conduttori
–
i nodi sono collegati da rami in cui
possono esserci elementi attivi
(generatori) e passivi (resistenze)
–
all'interno di una rete ci possono
essere dei percorsi chiusi, detti maglie
l'analisi delle reti elettriche è possibile
utilizzando le due leggi di Kirchhoff
89
Leggi di Kirchhoff
●
prima legge di Kirchhoff o legge dei nodi: la
somma algebrica delle correnti che
confluiscono in un nodo è nulla:
∑ ik = 0
k
–
●
ci dice che in un punto non possiamo accumulare
carica, è una generalizzazione del principio di
conservazione della carica
seconda legge di Kirchhoff o legge delle
maglie: la somma algebrica delle forze
elettromotrici presenti nei rami della maglia
è uguale alla somma algebrica dei prodotti
Rkik:
Rk ik
∑
k
=
ℰk
∑
k
90
Leggi di Kirchhoff
–
nell'uso delle leggi di Kirchhoff bisogna
mettere i vari termini con i segni corretti
V A −V B = Ri
V A −V B = −Ri
91
Circuito RC
●
consideriamo un circuito costituito da
un generatore di tensione, da una
resistenza R e da un condensatore C in
serie
–
se il circuito è aperto non c'è passaggio di
corrente e il condensatore rimane scarico (se
inizialmente era scarico)
–
se chiudiamo il circuito il generatore
preleva carica da un'armatura e la
porta sull'altra
●
il processo continua fino a che la differenza di
potenziale V ai capi del condensatore è uguale
alla forza elettromotrice ℰ
●
durante il processo la resistenza R viene
percorsa da una corrente i
➛ai capi della resistenza V è
VR = Ri
92
Circuito RC
●
●
ai capi del condensatore troveremo una differenza
di potenziale proporzionale alla carica q
presente sulle armature
q
VC =
C
in un qualsiasi istante avremo
ℰ = V R V C
la carica sulle armature non è costante e anche
la corrente elettrica varia nel tempo, quindi
possiamo scrivere
q t
ℰ = Rit
C
ricordando che la corrente è definita come
it =
quindi scriviamo
dq t
dt
dq t q t
ℰ = R
dt
C
93
Circuito RC
che possiamo riscrivere come
dq t
q t
R
= ℰ−
dt
C
che è chiaramente una equazione differenziale di
primo grado, separando le variabili possiamo
scrivere
dq t
dt
= −
RC
q t−ℰ C
integrando ambo i membri otteniamo
q
t
dq t
dt
=
−
∫ q t−ℰ C
∫ RC
0
0
l'integrazione
porta a
q t−ℰ C
t
ln
= −
RC
−ℰ C
da cui ricaviamo
−
q t = ℰ C 1−e
t
RC
94
Circuito RC
●
la tensione ai capi del condensatore risulta
t
quindi
−
q t
V C t =
= ℰ1−e RC
C
mentre la corrente che circola si ottiene
derivando rispetto al tempo la carica
t
t
−
dq t
d
ℰ − RC
RC
it =
=
ℰ C 1−e =
e
dt
dt
R
la differenza di potenziale ai capi della
resistenza risulta quindi
t
V R t = Rit = ℰ e
–
●
verifichiamo che
−
−
t
RC
RC
−
t
RC
V = V R tV C t = ℰ 1−e ℰ e
= ℰ
la carica finale presente sulle armature del
condensatore è
q0 = ℰC
95
Circuito RC
●
il fattore RC ha le dimensioni di un tempo
V C
C
[RC ] = ⋅F = ⋅ =
= s
A V
A
lo indichiamo con il nome costante di tempo del
circuito RC
= RC
–
questa costante ha la seguente caratteristica:
● dopo un tempo la carica presente sulle
armature del condensatore
è
q = ℰ C 1−e
−
RC
1
= q 0 1− = q 0 1−0.367879
e
analogamente per VC
V C = ℰ 1−e
–
−
RC
1
= ℰ 1−
e
dopo un tempo pari a 3 la
tensione risulta essere
−
V C 3 = ℰ 1−e
3
RC
= ℰ 1−
1
3
e
= ℰ1−0.05
96
Circuito RC
●
la potenza fornita dal generatore risulta essere
t
2
ℰ − RC
P gen = ℰ it =
e
R
mentre la potenza dissipata sulla resistenza
risulta
2t
2
−
ℰ
P R = R i t 2 =
e RC
R
la potenza associata al condensatore è
dq
dW
PC = V C
=
dt
dt
dove W è il lavoro corrispondente all'aumento
dell'energia elettrostatica − t
t
−
ℰ
P C = V C it = ℰ1−e RC e RC =
R
t
2t
ℰ − RC ℰ − RC
e − e
R
R
da cui ritroviamo la conservazione dell'energia
P gen = P R P C
97
Circuito RC
●
nel processo di carica del condensatore nel
circuito RC
–
–
il 50% del lavoro del generatore viene impiegato
per accumulare energia elettrostatica tra le
armature del condensatore
il 50% del lavoro del generatore viene dissipata
sulla resistenza R
indipendentemente dal valore di R e C
∞
W gen
∞
t
ℰ 2 − RC
= ∫ P gen t dt = ∫
e
dt = C ℰ 2
0
0 R
∞
WR =
∫ P R t dt =
0
∞
U e =
∫ P C t dt
0
=
1
C ℰ2
2
1
2
Cℰ
2
98
Circuito RC
–
una volta caricato il condensatore
stacchiamo il generatore
●
●
se il circuito è aperto la carica
rimane sulle armature del condensatore
se chiudiamo il circuito abbiamo una
differenza di potenziale VC ai capi
della resistenza e quindi una
corrente i = VC/R
q t
= V R = Rit
C
dove
dq C t
it = −
dt
il segno negativo deriva dal fatto che la carica
elettrica sulle armature del condensatore
diminuisce
dq C t
q C t
= −
dt
RC
VC =
99
Circuito RC
separando le variabili otteniamo
dq C t
dt
= −
q C t
RC
q
t
dq C t
dt
=
−
∫ q C t
∫ RC
q
0
0
da cui ricaviamo
q
t
ln
= −
q0
RC
e quindi
t
−
q t = q 0 e RC
la differenza di potenziale ai capi delle
armature del condensatore risulta
t
t
−
q 0 − RC
q t
V C t =
=
e
= V 0 e RC
C
C
mentre la corrente elettrica risulta
t
t
q 0 − RC
V 0 − RC
VC
dq t
it = −
=
e
=
e
=
dt
RC
R
R
100
Circuito RC
●
●
RC ha le dimensioni di un tempo e anche in questo
caso viene indicato come costante di tempo
la potenza dissipata sulla resistenza R vale
2
2t
V 0 − RC
2
P R = Rit =
e
R
l'energia dissipata durante l'intero processo di
scarica è
∞
WR
∞
2t
V 20 − RC
q 20
= ∫ P R dt = ∫
e dt =
R
2C
0
0
101
Onde quadre
●
consideriamo il circuito in
figura in cui abbiamo un
interruttore che
alternativamente può
collegare un generatore di
tensione in serie ad una
resistenza e un
condensatore oppure
escluderlo collegando
direttamente un altro ramo
di circuito
●
ai capi del sistema composto da resistenza
più condensatore avremo una differenza di
potenziale che varrà ℰ quando è collegato il
generatore e varrà 0 quando il generatore
viene escluso
102
Onde quadre
●
nell'intervallo di tempo in cui
il generatore è attivo il
condensatore è nella fase di
carica, nell'intervallo in cui
il generatore è escluso il
condensatore si trova nella
fase di scarica
●
se l'intervallo di tempo
durante il quale il generatore
rimane attivo è troppo breve la
carica del condensatore non
sarà completa
➠ la differenza di potenziale ai suoi capi sarà
inferiore a quella del generatore
➠ anche il processo di scarica partirà da un
potenziale inferiore
103
Onde quadre
➠ chiaramente anche il processo di scarica non
viene completato
●
dopo un tempo pari a 5 nel processo di
carica la tensione raggiunta ai capi del
condensatore risulta
essere:
5
−
V C 5 = ℰ 1−e
RC
= ℰ 1−
1
= ℰ⋅0.9933
5
e
quindi possiamo ritenere, con buona
approssimazione, che la carica sia completa
●
analogamente si prova che il processo di
scarica dopo un tempo pari a 5 può ritenersi
concluso
V C 5 = ℰ e
−
5
RC
= ℰ
1
= ℰ⋅0.0067
5
e
104
Filtri
●
circuiti RC opportunamente collegati con
segnali dipendenti dal tempo funzionano da
filtro
–
a seconda di come sono disposti possono fungere
da
●
●
passa basso: lascia passare segnali con una
frequenza più bassa del reciproco della costante
di tempo
passa alto: lascia passare segnali con una
frequenza più alta del reciproco della costante
di tempo
105
Correnti alternate
●
●
fino ad ora abbiamo considerato correnti o
differenze di potenziale costanti, esistono
anche correnti o differenze di potenziali che
variano nel tempo in modo ciclico, queste
sono dette alternate
un generatore di potenziale
alternato produce una
differenza di potenziale che
varia nel tempo secondo una
legge sinusoidale
–
il potenziale esegue un ciclo nell'intervallo
di tempo (chiamato periodo), la funzione che
lo descrive è una funzione seno:
è il potenziale di picco
t
V = V p sin 2
dove Vp
106
Correnti alternate (cont.)
●
●
è una fase che definisce V all'istante
iniziale
se questo potenziale è applicato ad una
resistenza R, la corrente che attraversa
questa resistenza è data dalla legge di Ohm:
t
I = I p sin 2
dove
Vp
Ip =
R
la frequenza dell'oscillazione è data da:
1
=
– in Europa è 50 Hz
107
Potenza di Corrente Alternata
●
la potenza dissipata da una resistenza R
percorsa da una corrente alternata I è data
sempre dalla equazione:
2
W = R I t
che diventa (assumendo la fase nulla):
2
2
2
W = R [I P sin2 t ] = R I p sin 2 t
–
la potenza dissipata:
●
●
●
è sempre positiva o nulla,
varia col tempo, tra 0 e il
valore massimo 2 volte,
dato che la frequenza non è
molto piccola, quello che
interessa è la potenza
dissipata in media su di un
intervallo di tempo.
108
Potenza di Corrente Alternata
●
●
●
si può dimostrare che la potenza media
dissipata da una resistenza R è:
1
2
2
W = RI = R I p
2
è utile utilizzare il valore efficace della
corrente, definito come:
Ip
I rms =
2
possiamo allora scrivere la potenza media
come
2
W = RI rms
●
●
la formula per il calcolo della potenza media
dissipata assume la stessa forma del caso della
corrente continua
si può anche introdurre il valore efficace
per il potenziale:
Vp
V rms =
2
109
Magnetismo
●
●
abbiamo già accennato al fatto che in natura
esistono degli elementi capaci di attirare (o
respingere) altri corpi la cui causa viene
attribuita ad una forza magnetica
–
la proprietà di attirare la limatura di ferro,
mostrata da alcuni minerali di ferro, era già
nota nel VII secolo A.C.
–
questa proprietà non si manifesta su tutto il
corpo ma è localizzata in alcuni punti, detti
poli
un magnete permanente è un corpo in grado di
attirare un corpo ferromagnetico (ferro) e di
attirare o respingere un altro magnete
110
Magnetismo
●
se ad un magnete sospeso al centro mediante
un filo avviciniamo una altro magnete si
osserva che questo esercita sul primo una
certa forza
–
analogamente al caso elettrostatico possiamo
interpretare queste forze in termini di un
campo magnetico
–
una analisi dettagliata porta a stabilire che
la forza è repulsiva tra poli dello stesso
segno e attrattiva tra poli di segno opposto
–
esistono solo due specie di poli (positivo e
negativo
➠ questo fenomeno non è dovuto alle cariche
elettriche in quanto i magneti sono materiali
conduttori e l'effetto è indipendente dal fatto
che il secondo magnete venga tenuto in mano o
meno
111
Magnetismo
–
se si avvicina ad un magnete una barretta di
ferro sottile questo acquista la proprietà di
attirare limatura di ferro, soprattutto in
prossimità dell'estremità
➠la bacchetta immersa nel campo magnetico è
diventata un magnete e possiede due poli di segno
opposto
–
un magnete di piccole dimensioni lasciato
libero di ruotare si orienta sempre nella
stessa direzione (il nord)
●
●
il magnete si comporta come un dipolo
il polo che si orienta verso il nord si chiama
polo nord
112
Magnetismo
●
lo studio
forza tra
in questo
relazione
–
quantitativo fatto da Coulomb sulla
poli magnetici dimostrò che anche
caso, per poli puntiformi, vale una
∗
∗
del tipo
q1 q2
F = km
2
r
la forma della legge è simile a quella della
forza gravitazionale e a quella elettrostatica
➜ la differenza fondamentale è che mentre le
cariche elettriche possono esistere isolate i
poli magnetici esistono sempre appaiati a
formare un dipolo
–
se prendiamo un magnete e lo
spezziamo a metà nella parte del
taglio compaiono due poli opposti
●
continuando a spezzare il magnete continuiamo a
creare dipoli magnetici
113
Magnetismo
●
come nel caso del campo elettrico possiamo
rappresentare il campo magnetico con linee di
forza
–
la figura mostra le linee di forza
di un campo magnetico generato da
una barra magnetica
●
●
–
il campo più intenso si ha vicino
alle estremità
l'estremità da cui escono le linee di campo è
detta polo nord, l'altra polo sud
nel caso del campo magnetico possiamo vedere le
linee di campo
●
la limatura di ferro in presenza di un campo
magnetico si dispongono in modo ordinato lungo
linee regolari
114
Magnetismo
●
il campo magnetico viene indicato col simbolo
B, la sua unità di misura del campo magnetico
nel sistema internazionale è il Tesla (T)
N
N
1T = 1
= 1
C⋅m /s
A⋅m
115
Magnetismo
●
il campo magnetico non è solo dovuto alla
presenza di un magnete
➯Oersted mostrò che un ago magnetico posto nelle
vicinanze di un filo percorso da corrente tende
ad orientarsi in un modo ben definito
–
si interpreta questo fatto affermando che un
filo percorso da una corrente elettrica genera
un campo magnetico B
➯Ampere mostrò che anche due fili percorsi da
corrente sono soggetti ad una interazione
magnetica reciproca
➫ le azioni magnetiche non sono altro che la
manifestazione dell'interazione tra cariche
elettriche in movimento
116
Magnetismo
●
il magnetismo di alcuni materiali si spiega
in termini microscopici col fatto che atomi o
molecole presentano dei momenti magnetici
elementari dovuti al moto degli elettroni
–
●
anche i costituenti elementari della materia e,
p e n hanno un momento di dipolo magnetico
●
quello di p e n viene attribuito alla struttura a
quark
●
quello di e è intrinseco (visto che è puntiforme)
Maxwell riscrisse le leggi dell'elettricità e
del magnetismo in modo molto compatto da cui
risulta che campi elettrici e magnetici non
hanno esistenza indipendente ma vanno
unificati in un unico concetto di campo
elettromagnetico
117
Forza di Lorenz
●
una carica elettrica in
moto in un campo
magnetico subisce una
forza
F = q v×B
detta forza di Lorenz
–
il modulo della forza vale
F = q v Bsin
●
–
la forza è massima, a parità di velocità carica e
campo magnetico, per direzioni ortogonali di
valoctà e campo magnetico
la forza è sempre perpendicolare alla
velocità
●
non c'è accelerazione tangente
1
1
2
2
Ek = mv B− mv A = W =
2
2
B
∫ F⋅d s
= 0
A
118
Magnetismo
●
poiché la forza di Lorentz è ortogonale al
campo magnetico in magnetismo si parla di
linee di campo e non linee di forze
–
in elettrostatica le due coincidono
119
Forza magnetica su un conduttore
●
la corrente elettrica è dovuta al moto di
cariche
–
in un conduttore percorso da corrente immerso
in un campo magnetico i portatori di cariche
sono soggetti ad una forza di Lorentz
F L = e v d ×B
attraverso gli urti col reticolo cristallino
questa forza viene trasmessa al filo
–
un elemento ds di conduttore è soggetto alla
forza FL moltiplicata per il numero di
portatori contenuti in quell'elemento
d F = n ds F L = n ds e v d ×B = ds j ×B
da cui ricaviamo
d F = i d s×B
che è la seconda legge elementare di Laplace
120
Forza magnetica su un conduttore
●
ovviamente la forza totale si ottiene
integrando
F = i ∫ d s×B
121
Campo magnetico prodotto da una
corrente
●
da misure sperimentali sui campi magnetici
prodotti da correnti elementari si ottiene la
prima legge elementare di Laplace
0 i d s×u r
dB =
4 r 2
dove 0 è la permeabilità magnetica
del vuoto
H
−7
−6
0 = 4⋅10 ~1.26⋅10
●
●
m
per un circuito chiuso integrando otteniamo
la legge di Ampere-Laplace:
0 i d s×ur
B =
∮
4
r2
un filo rettilineo percorso da corrente
genera un campo magnetico
0 i
B =
u t ×u n
2R
122
Campo magnetico generato da una carica
in moto
●
ricordando che la densità di corrente è
legata alla densità di portatori di carica e
alla loro velocità
j = nq v
possiamo riscrivere la prima legge elementare
di Laplace come
0 q v×u r
dB =
nd
2
4
r
dove nd è il numero di cariche che
contribuiscono al campo dB, il campo prodotto
dalla singola carica risulta allora
0 q v ×u r
B =
4
r2
123
Effetto Hall
●
consideriamo un conduttore sottile di sezione
= ab percorso da una corrente i concorde
con l'asse x
–
se è immerso in un campo
magnetico B perpendicolare a
j (lungo l'asse y) la forza
di Lorentz agisce lungo
l'asse z
F L = e v d ×B
possiamo definire un campo elettrico
(equivalente)
FL
j
EH =
= v d ×B =
×B
e
ne
➯possiamo definire in ogni caso un campo elettrico
di origine magnetica (un campo elettromotore)
E = v ×B
124
Effetto Hall
–
nel nostro caso EH è orientato lungo l'asse z
●
–
concorde con l'asse se e > 0
EH, campo di Hall,
Hall provoca una deflessione nel
moto delle cariche aggiungendo una componente
trasversa alla velocità di deriva
●
●
il processo tende ad accumulare cariche di segno
opposto sulle due facce ortogonali a EH
queste cariche generano un campo Eel opposto a EH
–
●
in condizioni di equilibrio i due
campi si annullano a vicenda
tra le due facce ortigonali a z
E E el = 0
abbiamo una Hdifferenza
di
potenziale
Q
ℰH =
∫ E H⋅d z
= ±EH b
P
125
Effetto Hall
●
–
il segno è positivo se il portatore di carica è
positivo, negativo in caso contrario
in modulo la tensione di Hall vale
ℰ H = EH b =
jBb
iB
=
ne
nea
questo fenomeno si chiama effetto Hall
trasversale
●
●
il segno di ℰH fornisce il segno dei portatori di
carica
dal modulo di ℰH e B si può ricavare la densità
ne dei portatori di carica
–
per la maggior parte dei metalli i portatori di
carica risultano negativi e la loro densità è in
buon accordo col numero di elettroni di valenza per
unità di volume
126
Effetto Hall
–
per alcuni metalli bivalenti (come lo zinco) e
semiconduttori il segno di ℰH corrisponde a
portatori di carica positivi
●
–
questa anomalia è attribuita a una particolare
modalità del moto di deriva degli elettroni: gli
elettroni vanno a riempire posizioni vuote nel
reticolo, dette lacune,
lacune creando a loro volta
delle lacune nelle posizioni che lasciano libere
questo effetto può essere usato per la misura
del campo magnetico (sonda di Hall)
●
la tensione di Hall può avere valori di 10-6 V,
collegando gli estremi P e Q con una resistenza
di 10-4 si ottiene una corrente di 10 mA
facilmente misurabile
127
