PRINCIPALI TIPI DI
SEGNALI ELETTRICI
PROF. MASSIMO SCALIA
E CON
Ing. Fabrizio Guidi
Dott. Massimo Sperini
Ing. Giampaolo Giraldo
SOCIETÀ EDITRICE ANDROMEDA
1
Sommario
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Il concetto di segnale. .............................................................................................................................................. 4
Classificazione dei segnali elettrici. ........................................................................................................................ 4
Segnali elettrici periodici ed aperiodici. ................................................................................................................ 6
Il segnale sinusoidale. .............................................................................................................................................. 7
Onda quadra, rettangolare, impulsiva .................................................................................................................. 8
Forma d'onda triangolare .................................................................................................................................... 10
Segnale digitale ...................................................................................................................................................... 11
Rappresentazione matematica delle oscillazioni................................................................................................. 13
Approfondimenti sui parametri della forma d'onda sinusoidale ...................................................................... 16
Approfondimenti sui parametri delle forme d’onda quadra, rettangolare, impulsiva. .................................. 19
Approfondimenti sulla forma d'onda triangolare. ............................................................................................. 21
Altri tipi di forme d'onda...................................................................................................................................... 25
2
Modulo 1
Principali tipi di segnali elettrici
3
1. Il concetto di segnale.
Con il termine segnale si indica una funzione, generalmente del tempo, rappresentante la legge
di variazione di una grandezza fisica, che può essere di tipo acustico, elettrico, ottico etc. Esempi di
segnali, in base alla definizione ora data, possono essere considerati: la pressione acustica prodotta
da un suono, il campo elettromagnetico irradiato da un’antenna, la tensione in uscita da un microfono o da una testina di un giradischi, l’intensità luminosa di una scena televisiva o di una lampadina,
la temperatura in un processo chimico, la velocità angolare di un albero motore, ecc.
Nel momento in cui questa funzione risulti essere legata a grandezze fisiche di natura elettrica,
come ad esempio la tensione e la corrente, allora più specificamente si parla di segnale elettrico.
Nel prosieguo di queste note, considereremo sempre segnali elettrici.
2. Classificazione dei segnali elettrici.
Gli elementi da tenere presenti per classificare i segnali sono due: il tempo e i valori assunti dal
segnale in funzione di esso, ossia l’ampiezza. Entrambe queste quantità possono assumere infiniti
valori spazianti all’interno di un certo range oppure un numeri limitato di essi. Nel primo caso
Distinguiamo allora il:
a) segnale tempo continuo, quando il tempo assume ogni possibile valore all’interno di un
certo intervallo tmin÷tmax ;
b) segnale tempo discreto, quando il tempo assume solo un numero finito di valori
all’interno dell’intervallo tmin÷tmax .
Similmente per l’ampiezza abbiamo:
c) segnale ad ampiezza continua, quando questa assume tutti gli infiniti valori all’interno
di un certo range Vmin÷Vmax;
d) segnale ad ampiezza discreta, quando questa assume solo un numero finito di valori
all’interno del range Vmin÷Vmax.
In base a quanto detto possiamo fornire le seguenti definizioni:
• il segnale analogico è quello che risulta essere a tempo continuo e ad ampiezza continua, ossia è quello in cui sia il tempo che l’ampiezza variano con continuità all’interno
dei rispettivi intervalli di variabilità (fig.1);
•
il segnale digitale (o numerico) è quello che risulta essere a tempo discreto e ad ampiezza discreta, ossia in cui sia il tempo che l’ampiezza variano in maniera discreta
all’interno dei rispettivi intervalli di variabilità (fig.2);
•
il segnale quantizzato è quello a tempo continuo ed ampiezza discreta (fig. 3);
•
il segnale campionato è quello a tempo discreto ed ampiezza continua; un esempio di
questo tipo è dato dal segnale che esce da un modulo campionatore prima di essere sottoposto al processo di quantizzazione (fig.4).
Alcune considerazioni:
• i segnali analogici sono così denominati poiché nel rappresentare la grandezza di origine, come ad es. un suono, variano seguendo l’andamento di quest’ultima, ovvero «in analogia» con essa. Nei circuiti di misura e di controllo, questi segnali sono associati a dei
trasduttori, che normalmente convertono grandezze fisiche non elettriche (ad esempio
suoni, immagini, temperatura, pressione) in tensioni e correnti il cui andamento nel tempo contiene le informazioni riguardanti tali grandezze fisiche;
4
•
i segnali digitali (dall’inglese digit, cifra) o numerici sono così definiti in quanto idonei a
rappresentare sequenze di cifre associate ai possibili livelli;
•
nel caso particolare in cui il numero di valori distinti assunti da un segnale digitale sia
pari a due allora si parla più precisamente di segnale digitale binario.
s(t)
smax
smin
0
t
tmax
tmin
Fig. 1: segnale analogico
Fig. 2: segnale numerico (o digitale)
Fig. 3: segnale quantizzato
5
Fig. 4: segnale campionato
3. Segnali elettrici periodici ed aperiodici.
Oltre alla classificazione sopra menzionata, è possibile operare una ulteriore caratterizzazione
dei segnali osservando che, in moltissimi casi, la loro evoluzione nel tempo mostra una ripetitività
nella successione dei valori dell’ampiezza ad intervalli di tempo regolari: trattasi dei segnali periodici.
Allora:
• dicesi segnale periodico quello per il quale è possibile individuare un intervallo di tempo a partire dal quale esso si ripete identicamente.
L’intervallo di tempo in questione prende il nome di periodo, si indica con la lettera T e si misura
in secondi (in quanto tempo!).
Usando il formalismo matematico, la definizione di prima può sintetizzarsi nel modo seguente:
Eq. 1:
s(t+T)=s(t)
I segnali per i quali non sia possibile individuare il predetto intervallo di tempo prendono il nome di
segnali aperiodici.
Un segnale periodico si definisce alternato quando la media aritmetica dei valori che assume in un
periodo è uguale a zero. Un segnale periodico alternato quindi, di fatto, è a valore medio nullo (fig.)
Fig. 5: segnale periodico alternato
•
•
•
Tra i segnali periodici maggiormente impiegati nell’elettronica pratica ci sono:
la sinusoide, o onda sinusoidale;
l’onda rettangolare, l’onda quadra ed l’onda impulsiva;
l’onda triangolare e a dente di sega.
6
Nell’elettronica è comune che al posto del termine “segnale elettrico” si impieghi il sinonimo
“forma d’onda”, prendendo spunto dalla sagoma del grafico associato al segnale stesso; ad esempio,
al posto del termine “segnale elettrico sinusoidale” si impiega il termine “forma d’onda sinusoidale”.
Per l’importanza che riveste in ogni argomento di elettronica e fisica, qui di seguito analizzeremo il segnale sinusoidale ed i suoi principali parametri descrittivi.
4. Il segnale sinusoidale.
In elettronica si può parlare di forma d’onda sinusoidale quando la grandezza in esame (tensione
v o intensità di corrente i) è una funzione sinusoidale del tempo t. Per una tensione sinusoidale alternata vale la seguente relazione analitica:
Eq. 2:
v (t ) = V p sin(θ + ϕ 0 )
e, ricordando che θ = ωt se il moto al quale il segnale si riferisce è di tipo circolare uniforme:
Eq. 3:
v (t ) = V p sin(ωt + ϕ 0 ) + a0
Fig. 6: segnale sinusoidale alternato (valore medio nullo)
in cui (fig. 6):
•
valore istantaneo v(t), ovvero il valore assunto istante per istante dalla forma d’onda; nel caso
in questione, si misura in volt [V];
•
valore massimo o di picco Vp, che è il più grande dei valori istantanei in un periodo;
•
valore picco-picco Vpp, pari al doppio del valore massimo della forma d’onda alternata: Vpp =
2Vp, corrispondente alla differenza tra il massimo valore positivo e quello negativo;
•
periodo di oscillazione T, definito come l’intervallo di tempo che intercorre tra due picchi massimi consecutivi (oppure tra due punti in concordanza di fase, corrispondente alla durata di un
oscillazione completa (T = 2π/ω misurato in secondi [s]);
•
frequenza di oscillazione f, definita come il numero di volte che la forma d’onda si ripete in un
secondo (l’unità di tempo), ossia il numero di oscillazioni (periodi) compiute in un secondo, ed
7
è uguale all’inverso del periodo. La frequenza si misura in cicli al secondo, unità nota come
Hertz (Hz). Vale la relazione: f = 1/T = ω/2π, misurata in Hertz [Hz];
•
valore medio Vme, rappresentante la media dei valori istantanei in un periodo. Nel caso della
forma d’onda sinusoidale alternata, il suo valore è Vme=0, così come per un qualsiasi segnale
periodico alternato (come l’esempio della fig. 6);
•
valore medio convenzionale Vm, rappresentante la media dei valori istantanei di un semiperiodo. Il valor medio è circa il 64% del valore massimo:
Eq. 4:
•
Vm =
2
π
V p = 0.637V p
valore efficace Veff, che rappresenta la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati dei
valori istantanei di un intero periodo. Il valore efficace, definito anche valore quadratico medio (RMS, Root Mean Square), è circa il 71% del valore massimo:
Eq. 5:
Veff =
Vp
2
= 0.707V p
5. Onda quadra, rettangolare, impulsiva
Un segnale costituito dalla successione di due livelli di durata differente è denominato segnale
ad onda rettangolare (fig. 7); qualora i due livelli presentino la stessa durata, il segnale si definisce
onda quadra (fig. 8). L’onda quadra e rettangolare si presentano come una forma d’onda caratterizzata dalla presenza di due segmenti verticali, chiamati fronti d’onda positivo e negativo e che si
succedono con periodicità T (fig. 3).
Ovviamente un siffatto segnale non può esistere in natura se non con una certa approssimazione:
basti pensare infatti che in un medesimo istante di tempo t non possono coesistere due valori distinti
per l’ampiezza del segnale, situazione questa che si verifica proprio in corrispondenza dei fronti positivo e negativo.
Fig. 7: onda rettangolare
Fig. 8: onda quadra.
8
Fig. 9: segnale rettangolare di tipo impulsivo (o treno d’impulsi).
Si definisce una particolare grandezza denominata duty-cycle δ (alla lettera, rapporto pieno/vuoto)
mediante la relazione:
Eq. 6:
δ=
t1
T
in cui t1 è la durata del primo livello e T il periodo dell’onda.
L’onda quadra è allora un segnale rettangolare con δ = 0.5; per δ diverso da 0,5 si parla invece
di onda rettangolare e tale situazione rappresenta il caso più generale. Per δ < 0,5 (50%), la forma
d’onda è detta “segnale impulsivo” o treno d’impulsi (fig. 9).
Gli elementi caratteristici di una forma d’onda rettangolare sono:
• l’ampiezza Vo;
• la durata t1;
• per i segnali periodici: la frequenza, o cadenza di ripetizione, che è l’inverso del periodo T (f =
1/T);
• il duty cycle δ che rappresenta una misura del tempo in cui il segnale presenta ampiezza positiva.
Difficilmente la forma d’onda rettangolare risulta avere un grafico perfetto, ovvero a segmenti
perfettamente verticali od orizzontali (rispetto all’asse dei tempi); i tratti che la compongono non si
presentano sempre rettilinei, specialmente nelle vicinanze degli spigoli, che molto spesso risultano
arrotondati; altre volte si verifica un'oscillazione del valore istantaneo attorno al valore finale. Per
caratterizzare queste deformazioni si definiscono grandezze quali: tempo di salita, tempo di discesa, caduta percentuale, sovratensione percentuale e larghezza dell’impulso (fig. 10).
9
Fig. 10: Deformazioni caratteristiche della forma d’onda rettangolare
Il tempo di salita (rise time) tr = t2 – t1 è l’intervallo di tempo necessario affinché il valore istantaneo salga dal 10% al 90% del valore finale V0. Il tempo di discesa (fall time), dato da tf = t4 –
t3 è l’intervallo di tempo necessario affinché il valore istantaneo scenda dal 90% al 10% del valore
finale V0. La caduta percentuale è data da 100h/V0, mentre la sovratensione percentuale risulta
100∆V/V0. La larghezza dell’impulso, nota come tw, è l’intervallo di tempo che intercorre tra quando il fronte d’onda di salita raggiunge il 50% di V0 e quando il fronte di discesa scende al 50% di
V0.
6. Forma d'onda triangolare
Il segnale triangolare è una grandezza che varia in modo periodico e linearmente con il tempo,
prima crescente (sino a t = T/2) e poi decrescente (da T/2 a T) come riportato in fig. 10.
Un tipo di segnale triangolare, molto impiegato negli apparati di visualizzazione, è quello a dente
di sega, in cui la variazione linearmente crescente della tensione è bruscamente interrotta nel punto
di discontinuità t=T, dove l’ampiezza del segnale torna istantaneamente a zero (fig.4c).
10
Fig. 11: segnale triangolare
Fig. 12: segnale a dente di sega
•
•
Gli elementi caratteristici della forma d’onda triangolare sono:
l’ampiezza V0;
la frequenza, o cadenza di ripetizione, ν nel caso di forma d’onda periodica.
7. Segnale digitale
Per segnale digitale si intende una tensione che può variare nel tempo secondo una sequenza
quasi regolare e che assume solo due livelli di tensione ben definiti, ovvero 0 (zero) e 1 (uno): ad
ognuno di essi corrisponde una fascia di valori compresa in un determinato intervallo; ad esempio,
lo 0 può corrispondere ad ogni valore di tensione compreso tra 0 e 0.8 V, mentre 1 ad ogni valore
superiore a 2.8 V (fig. 12).
Fig. 13: segnale digitale
11
Nei sistemi digitali le due cifre binarie 1 e 0 sono rappresentate da due diversi livelli di tensione.
Se la più alta delle due tensioni rappresenta un 1 e la più bassa rappresenta uno 0, il sistema è detto
a logica positiva. Viceversa, se la tensione più bassa rappresenta un 1 e la tensione più alta rappresenta uno zero, abbiamo un sistema a logica negativa.
Fig. 14: segnale digitale periodico ad onda quadra
I segnali digitali possono essere periodici e non periodici: il segnale digitale mostrato in fig. 13
è un segnale periodico ad onda quadra con t1 = t2, in altre parole sono identici i tempi di durata dello
stato 0 e dello stato 1; il segnale in fig. 14 rappresenta un’onda rettangolare, poiché i tempi di durata
degli stati 0 e 1 sono diversi: t1 ≠ t2.
2
Fig. 15: segnale digitale periodico ad onda rettangolare
Il passaggio dal livello 0 al livello 1 si definisce transizione positiva o fronte di salita del segnale (rising edge), mentre il passaggio da 1 a 0 si definisce transizione negativa o fronte di discesa del
segnale (falling edge). Per segnale digitale non periodico si intende una successione irregolare di
stati 1 e 0, come appare in fig. 15.
Fig. 16: segnale digitale binario non periodico
12
8. Rappresentazione matematica delle oscillazioni
Fenomeni oscillatori sono presenti in forma empirica nel mondo della fisica: tra gli esempi più
noti, l’allungamento oppure la compressione di una molla (oscillazioni meccaniche), la variazione
di pressione acustica dovuta alle vibrazioni di una membrana in un microfono oppure in un altoparlante (oscillazioni acustiche), le variazioni di tensione industriale in un conduttore e del campo elettromagnetico che ne consegue (oscillazioni elettromagnetiche). Tali fenomeni si studiano e si quantificano mediante le funzioni trigonometriche, quali seno e coseno, di cui segue una essenziale ed
esauriente trattazione.
L’oscillazione armonica o sinusoidale si rappresenta matematicamente come segue:
Eq. 7:
Φ (t ) = sin(ωt ) oppure Φ (t ) = cos(ωt )
in cui Φ(t) è la funzione trigonometrica che descrive il moto oscillatorio e ω è una costante introdotta al fine di rendere adimensionale l’argomento del seno o del coseno.
La rappresentazione grafica della funzione sen è riportata in fig. 15: in questo caso, permette di
descrivere lo spostamento di un punto materiale che si muove in senso antiorario di moto circolare
uniforme e velocità angolare ω. Riportando la posizione istantanea del punto P in funzione dell'angolo θ si ottiene:
Eq. 8:
Φ (θ ) = A sin(θ )
Fig. 17: Rappresentazione grafica o trigonometrica di un’oscillazione sinusoidale
Nella tab. 1 sono riportati i valori della funzione Φ(θ) al variare dell’angolo θ. Tale tabella illustra come la funzione seno sia in grado di descrivere l’oscillazione periodica di uno stato fisico in
funzione dell’angolo θ. Analogo ragionamento si può applicare alla funzione coseno. Da un punto
di vista strettamente geometrico si può facilmente intuire anche il significato della funzione sen: essa fornisce l’ordinata del punto P mentre questo descrive una traiettoria circolare, con velocità ω (eventualmente costante se trattasi di moto circolare uniforme). Similmente si può dire la funzione
cos fornisce il valore dell’ascissa dello stesso punto P nelle condizioni prima dette. Alla luce di queste osservazioni allora si può dire che le funzioni sen e cos permettono di calcolare le coordinate
cartesiane di un punto P che sta descrivendo una traiettoria circolare.
È noto dalla fisica che la velocità angolare o pulsazione ω del punto P è data da:
13
ω=
Eq. 9:
θ
(radianti/secondo, ovvero rad/s)
t
ricavando θ da questa espressione (θ =
ωt) e sostituendola nell’Eq. 8 si ottiene:
Eq. 10:
Φ (t ) = A sin(ωt )
Il valore A, definito ampiezza del moto armonico, rappresenta la variazione massima della
grandezza Φ che oscilla con centro di oscillazione in 0.
GRADI
0
18
30
45
60
90
120
135
180
240
270
360
540
720
RADIANTI
0
π/10
π/6
π/4
π/3
π/2
(2/3)π
(3/4)π
π
(4/3)π
(3/2)π
2π
3π
4π
SENO
0
0,31
0,5
0,707
0,86
1
- 0,86
- 0,707
0
- 0,86
-1
0
-1
0
Φ(θ)
0
0,31 A
0,5 A
0,707 A
0,86 A
A
- 0,86 A
-0,707 A
0
- 0,86 A
-A
0
-A
0
Tab. 1: Andamento della funzione Φ(θ) al variare dell’angolo θ. La formula di conversione fra angolo in gradi e
θ/180 (gradi).
angolo in radianti è la seguente: θ (radianti) = ·
Le funzioni seno e coseno sono monodrome (ad ogni valore della variabile indipendente t corrisponde un solo valore della Φ), limitate fra i valori ± 1 e periodiche, dopo un intervallo di tempo T
(detto periodo) il loro grafico si ripropone con le medesime caratteristiche. Ne consegue la relazione:
Eq. 11:
Asen[ω (t + T )] = Asenωt
che mette in evidenza la periodicità della funzione Φ(t) per T = 2π/ω, 4π/ω, ..., n⋅2π/ω con n intero
positivo. Il periodo di oscillazione T può anche essere definito come l’intervallo di tempo che intercorre tra due picchi massimi consecutivi, corrispondente alla durata di un'oscillazione completa.
La frequenza di oscillazione ν (oppure f) si definisce come il numero di volte che la forma
d’onda si ripete in un secondo (l’unità di tempo), in altre parole come il numero di oscillazioni
compiute in un secondo, ed è uguale all’inverso del periodo, come descritto dalla relazione ν = 1/T
-1
= ω/2π. La frequenza si misura in cicli al secondo, unità nota come Hertz [Hz], dove Hz = s .
Una relazione più generale in grado di descrivere il moto del punto P, nel caso in cui non inizia
dall’origine, è la seguente (fig. 17):
Eq. 12:
Φ (t ) = A sin(ωt + ϕ 0 )
in cui ωt evidenzia la posizione angolare in funzione del tempo e ϕo la posizione iniziale all’istante t
= 0 (fase iniziale); ωt + ϕo rappresenta la fase al generico istante t.
14
Dalla relazione precedente è possibile calcolare il valore del tempo to quando l’oscillazione
Φ(to) = 0 (punto 1):
0 = sen(ωt + ϕ 0 )
ω t0 + ϕ0 = 0
da cui:
ϕ0
ω
e il valore dell’oscillazione Φ(0) nell’istante t = 0 (punto 2):
t0 = −
Φ(0) = Asen ϕ 0
Fig. 18: Oscillazione del punto P non iniziante nell’origine
Nei fenomeni acustici, Φ(t) potrebbe identificarsi con lo spostamento armonico s di uno stantuffo che in un tubo comprime lo strato d’aria ad esso aderente, mentre nei fenomeni elettrici Φ(t) si
identifica con la tensione o la corrente sinusoidale in un circuito.
Mediante il teorema di Fourier è possibile ricondurre lo studio dei segnali periodici non armonici, quali pulsazioni cardiache oppure oscillazioni acustiche,a quello dei segnali armonici: tale teorema permette infatti di scomporre il segnale periodico in una somma di oscillazioni armoniche,
ovvero di funzioni seno e coseno, le cui frequenze sono multipli interi di una frequenza, detta fondamentale ed uguale all’inverso del periodo del segnale non armonico. Questo procedimento matematico è denominato analisi di Fourier.
Ne consegue che le considerazioni riportate in questo paragrafo sono valide per qualsiasi moto
non armonico.
15
9. Approfondimenti sui parametri della forma d'onda sinusoidale
In elettronica si può parlare di forma d’onda sinusoidale quando la grandezza in esame (tensione
v o intensità di corrente i) è una funzione sinusoidale del tempo t. Per una tensione sinusoidale si
può scrivere:
Eq. 13:
v = v (θ ) = V M sen(θ + ϕ 0 ) ,
oppure ricordando che θ = ωt, si ottiene:
Eq. 14:
v = v (t ) = V M sen(ωt + ϕ 0 )
Fig. 19: Tensione sinusoidale con ϕo = 0.
•
•
•
•
•
•
•
Di ogni forma d’onda si possono indicare (fig. 18):
valore istantaneo v(t), ovvero il valore assunto istante per istante dalla forma d’onda; il valore
istantaneo si misura in volt [V].
Valore massimo VM, che è il più grande dei valori istantanei di un periodo; il valore massimo è
anche detto valore di picco.
Valore picco-picco Vpp, è il doppio del valore massimo della forma d’onda: Vpp = 2VM.
Periodo di oscillazione T = 2π/ misurato in secondi [s].
Frequenza di oscillazione f = 1/T = /2π misurata in Hertz [Hz].
Valor medio Vme, rappresentante la media dei valori istantanei di un periodo. Nel caso della
forma d’onda sinusoidale, il suo valore è
1T
Eq. 15:
V me = ∫ v (t )dt = 0
T 0
Valor medio convenzionale Vm, rappresentante la media dei valori istantanei di un semiperiodo. Il valor medio è circa il 64% del valore massimo:
Eq. 16:
Vm =
T
2
2
∫ v (t )dt = 0,637 V M
T 0
16
•
Valore efficace Veff, il quale rappresenta la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati
dei valori istantanei di un intero periodo. Il valore efficace, definito anche valore quadratico
medio (RMS, Root Mean Square), è circa il 71% del valore massimo:
Eq. 17:
V eff =
1T 2
∫ v (t )dt = 0,707 V M
T 0
Come esempio esplicativo, si può considerare un caso molto comune, ovvero la tensione
dell’impianto di distribuzione domestico a 50 Hz. Inserendo un voltmetro con scala in alternata in
una presa di corrente, la deviazione dell’indice dello strumento indicherà una tensione efficace di
220 volt: essa è una delle motivazioni per cui nell’ambito dell’elettrotecnica tutte le tensioni sono
riportate in valore efficace; l’altra è legata alla formula della potenza dissipata Pwm tra un componente ai cui capi si applica una tensione sinusoidale, ovvero Pwm = VeffIeff cosϕ, quando tensione e
corrente sono in fase (cosϕ = 1) si ha la relazione
Eq. 18:
P wm = V eff I eff =
V ⋅I
2
Nel caso di un segnale sinusoidale, il valore medio vme è dato da:
v me =
Eq. 19:
1T
∫ V Msenωtdt
T 0
Ricordando che ω = 2π/T, si ottiene:
V me =
Eq. 20:
1T
2π
tdt
∫ V Msen
T 0
T
L’integrale si identifica con le due aree tratteggiate (fig. 19), ovvero quella positiva, compresa
tra la curva dei valori istantanei e l’asse dei tempi, e quella negativa, al di sotto dell’asse dei tempi,
le quali si annullano a vicenda:
VM
V me = −
2π
T
2π
VM
VM
cos T t = − 2π [cos 2π − cos 0] = − 2π [1 − 1] = 0
0
Per ottenere un valore diverso dallo zero, nel caso dell’onda sinusoidale si calcola il valor medio
convenzionale Vm, definito come l’integrale del valore istantaneo del segnale presente nel semiperiodo positivo:
17
Fig. 20: Operazione di integrazione sulla forma d’onda sinusoidale
Vm =
Eq. 21:
T
2
2
2π
tdt
∫ V Msen
T 0
T
T
V M cos 2π t 2 = − V M [cos π − cos 0] = − V M [− 1 − 1] = 2V M = 0,637
Vm = −
VM
π
π
π
T 0
2π
Infine, il valore efficace Veff dell’onda sinusoidale si calcola come la radice quadrata
dell’integrale dei valori istantanei al quadrato su un intero periodo:
V eff =
Ricordando che:
sen
2
1T 2
2 2π
tdt
∫ V M sen
T
T 0
2π
1
4π
t)
t = (1 − cos
T
2
T
si ottiene:
V M (T dt − T cos 4π tdt )
V eff =
∫
∫
2T 0
T
0
2
V eff
2
2
T
= VM T − VM ⋅
2T
2T 4π
T
4π
cos T t
0
18
2
2
V M − V M (cos 4π − cos 0)
V eff =
2
8π
2
V eff
2
2
= V M − V M (1 − 1) = V M = V M = 0,707 V M
2
8π
2
2
10. Approfondimenti sui parametri delle forme d’onda quadra, rettangolare,
impulsiva.
Contempliamo in questo contesto alcuni aspetti analitici relativi all’onda quadra, rettangolare
ed impulsiva. Partiamo dalla definizione analitica dell’onda rettangolare:
Fig. 6: Forma d’onda: a) Rettangolare (t1 ≠ T/2); b) Quadra (t1 = T/2); c) Impulsiva (t1 << T/2)
L’espressione analitica, ovvero il valore istantaneo v(t), nel periodo T per la forma d’onda riportata in fig. 6 è data da:
v (t ) = V 0 per 0 ≤ t ≤ t 1
v (t ) = 0 per t 1 ≤ t ≤ T
Nota v(t), è possibile calcolare il valore medio Vme:
V me =
1 t1
V 0 t1 = V 0 = δ
[t ]
t1 V 0
∫ V 0dt =
T 0
T 0 T
19
Nel caso particolare dell’onda quadra si ha δ = 0,5 e quindi V me = V 0 .
2
Per il valor medio Vme, calcolato eseguendo la media dei valori istantanei su un periodo si ha:
V me =
1T
∫ v (t )dt
T 0
Il valore efficace Veff è calcolato eseguendo la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati dei valori istantanei di un intero periodo:
V eff
=
2
2
1T 2
1 t1 2
V 0 t1 = V 0 =
dt
t
dt
(
)
=
=
[
]
t
t1 V 0 δ
∫v
∫V 0
T
T 0
T 0
T 0
e nel caso particolare dell’onda quadra si ha δ = 0,5 e Veff = 0,707⋅V0.
Nel caso di un’onda rettangolare simmetrica (fig. 7a) e asimmetrica (fig. 7b), il valore medio ed
il valore efficace si calcolano tenendo conto dell’espressione analitica.
Per il segnale rettangolare simmetrico l’espressione analitica v(t) in un periodo T è:
v (t ) = V 0
v (t ) = − V 0
per 0 ≤ t ≤ t 1
per t 1 ≤ t ≤ T
Il valore medio Vme è dato da:
V me =
T
1
1T
1 t 1
2 t1 − T
= V 0 (2δ − 1)
∫ v (t )dt = ∫ V 0 dt − ∫ V 0 dt = [V 0 t 1 − V 0 (T − t 1)] = V 0
T 0
T 0
T
T
t1
e nel caso particolare dell’onda quadra si ha δ = 0,5 e Vme = 0.
Per il valore efficace Veff si ottiene:
V eff =
2
2
T
1 t 1 2
1T 2
V 0 t1 + 2 − V 0 t1 =
∫ V 0 dt + ∫ V 02 dt =
V0
V0
∫ v (t )dt =
T
T
T 0
T 0
t1
In generale, per il segnale rettangolare simmetrico si ha anche il valore picco-picco, in questo
caso Vpp = 2V0.
20
Fig. 7: Forma d'onda rettangolare: a) Simmetrica; b) Asimmetrica
•
Nella situazione di onda rettangolare asimmetrica si otterrà:
espressione analitica v(t):
per 0 ≤ t ≤ t 1
v (t ) = V 0
v (t ) = − V 1 per t 1 ≤ t ≤ T
•
valore medio Vme:
T
1
1T
1 t 1
t1
V me = ∫ v (t )dt = ∫ V 0 dt − ∫ V 1 dt = [V 0 t 1 − V 1 (T − t 1)] = (V 0 + V 1) − V 1 = δ (V 0 − V 1) − V 1
T 0
T 0
T
T
t1
• valore efficace Veff:
V eff
=
2
2
T
1T 2
1 t 1 2
V 0 t1 + 2 − V 1 t1 = δ ( 2 − 2 ) − 2
2
(
t
)
dt
=
dt
+
dt
=
V1
V 0 V1 V1
∫v
∫V 0
∫V 1
T 0
T 0
T
T
t1
• valore picco-picco Vpp:
Vpp = V0 + V1
11. Approfondimenti sulla forma d'onda triangolare.
L’espressione analitica per la forma d’onda triangolare nel periodo T (fig. 9a) è data da:
21
2 t
v( t ) = V 0
T
per 0 ≤ t ≤
v ( t ) = 2V 0 − 2V 0
T
2
t
t
T
= 2V 0 ( 1 − ) per ≤ t ≤ T
T
T
2
nota v(t), si calcola il valore medio Vme:
V me
T
T
1T
1 2V 0 2
2V 0 T 2V 0 T 2 2V 0 T 2V 0 T 2 T 2
+
⋅ − 2 ( − )=
= ∫ v (t )dt =
∫ tdt + 2 V 0 ∫ dt −
∫ tdt = 2 ⋅
T 0
T T 0
T T
T
8
2 T
2
8
T
T
2
2
= V0 +V0 −V0 + V0 = V0
4
4
2
Il valore efficace Veff è dato da:
V eff
2
1T 2
1 T 4V 02 t 2
1T
t
2
dt + ∫ 4V 0 ( 1− ) dt =
=
∫ v ( t )dt =
∫
T 0
T 0 T 2
TT
T
2
=
4 V 02 T 2
4 V 02 T
4 V 02 T 2
8 V 02 T
dt
dt
dt
−
+
+
tdt =
∫
2 ∫
3 ∫t
3 ∫t
T T
T T
T 0
T T
2
2
2
4 2 3
4 2 T
4 2 3
4 2 3
8 2 2
8 2 2
= ( V3 0 ⋅ T ) + ( V 0 ⋅ ) + [( V3 0 ⋅ T ) − ( V3 0 ⋅ T )] − [( V20 ⋅ T ) − ( V20 ⋅ T ) =
24
3
24
2
8
T 2
T
T
T
T
T
2
2
4
= V 0 + 2 V 02 + V 02 − V 0 − 4 V 02 + V 02 =
3
6
6
•
•
•
2
4 2
V 0 = V 0 = 0,577
2
V0 −V0 =
V0
3
3
3
Per la forma d’onda triangolare simmetrica (fig. 9b) si ha:
valore picco-picco Vpp = 2V0;
valore medio:
1T
V me = ∫ v ( t )dt
T 0
in cui l’integrale è dato dalla somma algebrica di due aree uguali, una positiva da 0 a T/2 ed una
negativa da T/2 a T, e pertanto risulta Vme = 0;
valore efficace:
1T 2
∫ v ( t )dt
T 0
il quale è identico (cfr. fig. 9b) al caso della forma triangolare periodica, ovvero
Veff = V0/3 = 0,577V0.
V eff =
Nel caso del dente di sega (fig. 9c), l’espressione analitica è data da:
22
v( t ) = V 0
T
t
per 0 ≤ t ≤ T
il valore medio Vme:
V me =
2
T
1 T V0t
dt = V 20 ∫ tdt = V 20 [ T − 0 ] = V 0
∫
2
T 0 T
T 2
T 0
il valore efficace Veff:
V eff
=
2
2
3
1T 2
V 0 T 2 dt = V 0 [ T − 0 ] = V 0 = 0,577
=
(
t
)
dt
V0
∫v
3 ∫t
3
T 0
3
T 0
T 3
Analizzando il dente di sega simmetrico (fig. 9d), si ottengono i seguenti risultati:
• valore picco-picco: Vpp = 2V0;
• espressione analitica:
T
2 t
per 0 ≤ t ≤
v( t ) = V 0
T
2
2 t
t
T
per ≤ t ≤ T
v ( t ) = ( V 0 − 2V 0 ) = 2V 0 ( − 1)
T
T
2
•
valore medio Vme:
T
T
T
2
t
1T
1 2 2V 0 t
2
2 T
2 T
V
0
dt + ∫ 2V 0 ( − 1)dt = 2 ∫ tdt + V20 ∫ tdt − V 0 ∫ dt =
V me = ∫ v ( t )dt =
∫
T 0
T
T 0
T 0 T
T
T T
T T
2
2
2
2
2
= V 0 + V 02 − V 0 + V 02 = 0
4
4
•
valore efficace Veff:
V eff =
2
2
2
1T 2
1 T 4 V 02 t 2
1T
V0 + 4 2 − V0 + 2 2 − 4 2 + 2 =
2 t
+
=
dt
dt
4
−
(
)
1
V
V0
V0 V0
V
∫
∫
∫ v ( t )dt =
0
0
TT
T 0 T2
T 0
6
6 3
T
2
= V 0 = 0,577 V 0
3
Anche la forma d’onda a dente di sega non presenta un grafico perfetto (fig. 10); le deformazioni sono caratterizzate da:
• errore relativo di spostamento es;
• errore relativo di velocità ev;
• tempo di discesa td.
L’errore relativo di spostamento e l’errore relativo di velocità determinano lo scostamento dalla
linearità del fronte di salita; con riferimento alla fig. 10, si ottiene:
eS =
∆V
V0
23
dv
dv
) −(
)
dt
dt
t =0
t =T
eV =
dv
(
)
dt t =0
(
essendo Vo l’ampiezza e Vlo scostamento da Vo; (dv/dt)t =0 e (dv/dt)t =T sono l’inclinazione della
curva (fronte di salita) rispettivamente nel punto iniziale (t = 0 e v(t) = 0) e nel punto di massimo (t
= T e v(T) = Vo). Il tempo di discesa td è l’intervallo di tempo che il fronte di discesa impiega per
portare il segnale dal valore Vo a zero.
Fig. 10: Deformazioni caratteristiche della forma d'onda triangolare
24
12. Altri tipi di forme d'onda.
Anche se a rigore non possono essere annoverati tra le forme d’onda, è interessante trattare segnali non periodici ma che possono essere utilizzati come segnali di prova in molte applicazioni
(nella teoria dei sistemi sono denominati segnali canonici):
• gradino;
• rampa;
• esponenziale;
• sinusoide smorzata;
• impulso di Dirac.
Si definisce gradino o scalino di tensione di ampiezza Vo il passaggio istantaneo di una tensione dal valore zero al valore finito Vo (fig. 15a).
Fig. 15: a) Gradino di tensione; b) Gradino di tensione ritardato
Analiticamente il gradino di tensione è dato dalla seguente relazione:
v ( t ) = V 0 ⋅ u( t )
in cui u(t) è la funzione gradino unitario, intesa come quella funzione che risulta uguale a zero per
t < 0 ed uguale a Vo per t ≥ 0, ovvero
per t < 0
v( t ) = 0
per t ≥ 0
v( t ) = V 0
Nel caso del gradino di tensione ritardato, l’andamento del segnale è
v ( t ) = V 0 ⋅ u( t − t 1 )
come riportato in fig. 15b, in cui:
u( t − t 1 ) = 0
u( t − t 1 ) = 1
per t < t 1
per t ≥ t 1
L’espressione analitica di un segnale ad onda quadra (δ = 0,5) simmetrica (Vpp = 2V0) è data da
(fig. 16):
25
T
3
v ( t ) = V 0 ⋅ u( t ) − 2u( t − ) + 2u( t − T ) − 2u( t − T ) + ...
2
2
e pertanto per il primo periodo si avrà:
v( t ) = 0
per t < 0
v( t ) = V 0
per 0 ≤ t <
v ( t ) = −V 0
per
T
2
T
≤ t <T
2
Fig. 16: Successione periodica di un’onda quadra
Il segnale a rampa si ottiene integrando la funzione a gradino: analiticamente la rampa è data
da:
v ( t ) = V 0 ⋅ t ⋅ u( t ) = V 0 ⋅ r ( t )
in cui il valore di V0 determina la pendenza della rampa (fig. 17a) ed r(t), ovvero t⋅u(t), rappresenta
la rampa unitaria:
per t < 0
r(t ) = 0
per t ≥ 0
r(t ) = t
Nel caso di rampa ritardata, l’andamento del segnale è:
r ( t ) = ( t − t 1 ) ⋅ u( t − t 1 )
come riportato in fig. 17b, in cui, in questo caso,
r(t ) = 0
r(t ) = t
per t < t 1
per t ≥ t 1
Fig. 17: a) Segnale a rampa; b) Rampa ritardata
26
La forma d’onda esponenziale, rappresentata in fig. 18, si può incontrare nello studio del comportamento dei circuiti RC e RL in regime continuo: analiticamente si rappresenta nella forma v(t) =
-t/τ
-t/τ
Vo·e , detta esponenziale decrescente, oppure v(t) = Vo⋅(1- e ), esponenziale crescente, con τ costante di tempo del circuito.
Fig. 18: Forma d'onda esponenziale. a) Crescente; b) Decrescente
La sinusoide e la cosinusoide smorzata, rappresentate nelle fig. 19a e 19b, sono tipiche dei circuiti RLC in regime continuo: analiticamente si rappresentano rispettivamente con le equazioni v(t)
-t/τ
-t/τ
= Vo·e ·senωt e v(t) = Vo·e ·cosωt.
Fig. 19: a) Forma d'onda sinusoidale smorzata; b) Cosinusoidale smorzata
27
