Esercizio 4 (17/3/2010): Tre cariche puntiformi identiche q=-2.0 nC sono poste ai vertici di un triangolo equilatero di lato 1.0 cm. Determinare l’intensità della forza elettrica che agisce su ciascuna di esse e l’energia potenziale elettrica del sistema. Soluzione: Per simmetria basta fare il calcolo per una sola carica. Prendiamo la carica posta in 0, 3L 2 Sempre per simmetria le componenti x si elidono a vicenda metre le componenti y si sommano. F 21y F 31y =2F 21y dove F 21y =k q1 q 2 L2 cos 30 ° = 4 x 8.9 x 10 9 Nm 2 C −2 cos 30 ° 10−18 C 2 =31 x 10−5 N −4 2 10 m Pertanto −4 F 21y F 31y =2F 21y =6.2 x 10 N Per ottenere l'energia potenziale del sistema supponiamo che la carica q1 sia già presente e portiamo dall'infinito la carica q2 nella sua posizione. L'energia potenziale per questo sistema sarà U 2,1=k q1 q2 r 1,2 A questo punto portiamo la carica q3 dall'infinito nella sua posizione attuale. Poiché ora sono presenti sia la carica q1 cha le carica q2, l'energia potenziale relativa all'inserimento di q3 vale U 3,1U 3,2=k q 1 q3 q q k 3 2 r 1,3 r 3,2 Pertanto l'energia potenziale totale del sistema risulta U 2,1U 3,1U 3,2 =k 9 −2 3 x 8.99 x 10 NC m 2 q1 q 2 q q q q k 1 3 k 3 2 r 2,1 r 1,3 r 3,2 4 x 10−18 C 2 −7 −5 =107.88 x 10 N m≈1.1 x 10 J −2 10 m Problema 4 (15/07/2011) Quattro cariche elettriche uguali sono poste ai vertici di un quadrato di lato pari a 10 cm. Ognuna di esse e' respinta dalle altre con una forza pari a 10-4 N. Si trovi quale sia la direzione delle forze che agiscono sulle quattro cariche. Si trovi il valore delle quattro cariche. Soluzione: Dal disegno si evince che una delle cariche (q1) e' soggetta ad una forza diretta verso l'esterno del quadrato e lungo la diagonale che la congiunge con la carica che le e' opposta. Tale carica (q3) dista da q1, D = 7,07cm e respinge q1 proprio lungo la diagonale con una forza di modulo 2 1 Q =1,11⋅10 10⋅Q2 /7,07⋅10−2 2=2,22⋅1012 Q 2 N /C 4 0 r 2 Sempre guardando il disegno si vede che l'effetto combinato delle rimanenti due cariche (q2 e q4) genera una forza F' di repulsione su q1 diretta lungo la diagonale che la congiunge a q3. Questa forza ha valore in modulo F =2 F ' =2 1 Q2 cos 45=2⋅1,11⋅10 10⋅Q 2 /5⋅10−2 2⋅cos 45=6,28⋅1012 Q 2 N /C 2 4 0 r La forza totale vale F+F' e dunque Q=0,34⋅10−8 C. Problema 3 (20/09/2010) Nell'origine O degli assi (x,y) è fissata una particella carica positivamente con carica +Q = 3 10-8 C. Una carica di prova positiva +q = 5 10-16 C, si sposta dal punto A=(2m, 1m) al punto B=(4m, 1m). Si calcoli: a) il modulo del campo elettrostatico nel punto A; b) il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica durante lo spostamento della particella da A a B. (Nota: = 0=8,85×10−12 C 2 / N m 2 ) Soluzione: a) Il campo elettrostatico E è generato dalla carica +Q, sorgente di campo. Il modulo di E nel punto A di coordinate (2m,1m) è dato da: ∣ E∣=k Q 1 Q 1 3×10−8 C = = × =53.9 N /C~54 N /C OA2 4 0 OA2 4××8,85×10−12 C 2 / N m2 5m2 b) Il lavoro L compiuto dalla forza elettrostatica per spostare la carica di prova +q da A a B è uguale ed opposto alla variazione di energia potenziale elettrostatica U fra i punti A e B: = L=− U =U A−U B 1 1 1 9 −8 −16 Qq − =8.99×10 ×3×10 C ×5×10 C × OA OB 4 0 −14 =2.757×10 −14 J ~2.7×10 J 1 1 J− J 2 5m 17 m2 Esercizio 2: (01/09/2009) Si consideri un sistema composto da due cariche elettriche positive q1=Q e q2=4Q, poste ad una distanza d . Esiste un punto dove il campo elettrico prodotto dalle due cariche è nullo ? Se così fosse dove si trova questo punto ? Cosa cambia se q1 = - Q ? Soluzione: x = d/3 Esercizio 3 (4/7/2008) Trovare il campo ed il potenziale elettrico al centro di un quadrato di lato 2.0 cm, con una carica di +9.0 µC in un vertice e con cariche -3.0 µC ciascuna negli altri tre vertici del quadrato. Soluzione : Ey(0) = 0, Ex(0) = 54 x 107 N/C V(0) = 0 V