Logica dei Predicati o Logica del Primo Ordine Il mondo `e

Logica dei Predicati
o Logica del Primo Ordine
Il mondo è analizzato in termini di OGGETTI, PROPRIETÀ, RELAZIONI.
I numeri primi maggiori di due sono dispari
• oggetti: due;
• relazioni e proprietà: essere un numero primo, essere dispari (proprietà), essere maggiore
di (relazione a due argomenti);
Per ogni oggetto x, se x è un numero primo e x è maggiore di due, allora x è dispari;
• x: variabile
• ∀: quantificatore universale
• 2: costante
• connettivi proposizionali
• primo, dispari, maggiore: simboli di
predicato
∀x(primo(x) ∧ maggiore(x, 2)→dispari(x))
Atomi: relazioni tra oggetti
Quantificatori: per ogni (∀), esiste (∃)
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Logica dei predicati: sintassi
(linguaggi del primo ordine)
Alfabeto :
1. Simboli logici (comuni a tutti i linguaggi del primo ordine):
(a) Variabili: x, y, z, x1 , x2, ... (insieme infinito);
(b) Connettivi proposizionali e costanti ⊤, ⊥;
(c) Quantificatori: ∀, ∃;
(d) Simboli separatori (parentesi e virgola);
(e) eventualmente, se si tratta di un linguaggio con uguaglianza, il simbolo di
predicato =.
2. Simboli non logici (specifici del singolo linguaggio):
(a) simboli di predicato, con associata “arità”: {pn, q m , rk , ...}; l’insieme dei simboli
di predicato “non logici” può essere vuoto solo se si tratta di un linguaggio con
uguaglianza (che ha comunque il simbolo “=”); altrimenti è un insieme non vuoto.
(b) Costanti: a, b, c, a1, a2, ...;
(c) Simboli funzionali, con associata “arità”: f1n1 , f2n2 , ...
2
TERMINI
Una formula atomica rappresenta il fatto che una data relazione vale tra alcuni oggetti.
maggiore(2, 0)
Per definire le formule si deve prima definire una classe di espressioni con le quali si possano
denotare gli oggetti: i termini del linguaggio.
Definizione induttiva dell’insieme dei termini:
• Ogni variabile è un termine
• Ogni costante è un termine
• Se t1, .., tn sono termini e f n è un simbolo funzionale, allora f (t1, ..., tn) è un termine
Termini chiusi: senza variabili
Definizione ricorsiva dell’insieme vars(t) delle variabili che occorrono in un termine t
• se t è una variabile x, allora vars(t) = {x}
• se t è una costante, allora vars(t) = Ø
• se t = f (t1, ..., tn), allora
vars(t) = vars(t1) ∪ ... ∪ vars(tn)
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FORMULE
1. Se p è un simbolo di predicato a n argomenti, e t1, ..., tn sono termini, allora p(t1, ..., tn)
è una formula (formula atomica)
2. ⊤ e ⊥ sono formule (atomiche)
3. se A è una formula, allora anche ¬A è una formula
4. se A e B sono formule, allora anche (A ∧ B), (A ∨ B), (A→B), (A ≡ B) sono formule
5. Se A è una formula e x una variabile, allora ∀xA e ∃xA sono formule
6. Nient’altro è una formula
Esempi
∀x(f ratello(x, abele)→assassino(x))
∃x(f ratello(x, abele) ∧ assassino(x))
f ratello(caino, abele)
¬f ratello(giovanni, robin hood)
f ratello(x, abele)→assassino(x)
∀x(f ratello(x, y)→f ratello(y, x))
∃x(padre(x, abele) ∧ padre(x, caino))
∀x∀y(f ratello(x, y) ≡ ∃z(padre(z, x) ∧ padre(z, y)))
4
Variabili libere e vincolate
Scopo o campo d’azione di un quantificatore:
di ∀x in ∀xA: A
di ∃x in ∃xA: A
scopo di ∀x
}|
z
scopo di ∃x
{
z
}|
y, z))}) ≡ ∃x ∀y q(x,
y)
p(c) ∧ ∀x (q(x, c)→∃y |(p(y) ∨ r(x,
| {z }
{z
scopo di ∃y
{
scopo di ∀y
Occorrenza vincolata di una variabile: x è la variabile di un quantificatore oppure occorre nello scopo di un quantificatore ∀x o ∃x
Occorrenza libera di x: occorrenza non vincolata
p(x) ∧ ∀x(q(x, y) ∨ ¬q(c, x))
• x è libera in A sse ha almeno un’occorrenza libera in A
(variabili libere ≈ variabili globali
variabili vincolate ≈ variabili locali)
Formula chiusa : senza variabili libere
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Definizione ricorsiva dell’insieme delle variabili libere in una formula
• se A = p(t1, ..., tn) allora f ree vars(A) = vars(t1) ∪ ... ∪ vars(tn)
• se A = ⊤ o A = ⊥ allora f ree vars(A) = Ø
• se A = ¬A1 allora f ree vars(A) = f ree vars(A1 )
• se A = A1 ⋆A2 dove ⋆ è un connettivo binario, allora f ree vars(A) = f ree vars(A1)∪
f ree vars(A2 )
• se A = Qx A1 dove Q è un quantificatore, allora f ree vars(A) = f ree vars(A1)−{x}
6
Sostituzione di variabili con termini
Se A è una formula, x una variabile e t un termine:
A[t/x]
denota la formula che si ottiene da A sostituendo ogni occorrenza LIBERA della variabile
x con il termine t
Sostituzione SIMULTANEA:
A[t1/x1, ..., tn/xn]
Esempio:
p(x, y)[f (y)/x, f (x)/y] = p(f (y), f (x))
p(x, y)[f (y)/x][f (x)/y] = p(f (y), y)[f (x)/y] = p(f (f (x)), f (x))
p(x, y)[f (x)/y][f (y)/x] = p(x, f (x))[f (y)/x] = p(f (y), f (f (y)))
Solo le occorrenze libere vengono sostituite:
p(x, c) ∧ ∀x(q(x, y)→∃y r(y))[t1/x, t2/y]
= p(t1, c) ∧ ∀x(q(x, t2)→∃y r(y))
7
Semantica
∃xp(x) ∨ ∃yq(y)→∃z(p(z) ∧ q(z)) è vera o falsa?
DOVE?
Nel dominio D = {1, 2}
COME SONO INTERPRETATI p e q?
Estensione di p: {2}
Estensione di q: {1, 2}
p(x) = x è pari
q(x) = x è maggiore o uguale a 1
∃xp(x) è vero se esiste d ∈ {1, 2} tale che d ∈ {2}
∃xq(x) è vero se esiste d ∈ {1, 2} tale che d ∈ {1, 2}
∃z(p(z) ∧ q(z)) è vero se esiste d ∈ {1, 2} tale che d ∈ {2} e d ∈ {1, 2}
Consideriamo ora D = {1, 2}
p(x) = x è pari; estensione: {2}
q(x) = x è dispari; estensione: {1}
∃xp(x) è vero se esiste d ∈ {1, 2} tale che d ∈ {2}
∃xq(x) è vero se esiste d ∈ {1, 2} tale che d ∈ {1}
∃z(p(z) ∧ q(z)) è vero se esiste d ∈ {1, 2} tale che d ∈ {2} e d ∈ {1}
8
Semantica (2)
Sia L un linguaggio, con costanti C, simboli funzionali F e simboli di predicato P
Interpretazione di L:
1. Insieme non vuoto D (dominio o universo dell’interpretazione)
2. Funzione di interpretazione che associa:
(a) a ogni c ∈ C un elemento M(c) ∈ D
(b) a ogni f n ∈ F una funzione M(f ) : D n −→ D
(c) a ogni pn ∈ P una relazione n-aria su D: M(p) ⊆ D n
Per linguaggi con eguaglianza: = è un simbolo logico e l’interpretazione di = è sempre
l’identità:
M(=) = {< d, d > | d ∈ D}
Interpretazione di una formula A: interpetazione di qualsiasi linguaggio che contenga tutti i simboli non logici di A
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Esempio
Sono interpretazioni di ∀xp(a, x), e del linguaggio con C = {a}, F = ∅, P = {p}:
1. M1 con dominio IN, M(a) = 0, e M(p) = {hn, mi ∈ IN2 | n ≤ m}.
2. M2 con dominio IN, M(a) = 1, e M(p) = {hn, mi ∈ IN2 | n ≤ m}.
3. M3 con dominio ZZ, M(a) = 0, e M(p) = {hx, yi ∈ ZZ2 | x ≤ y}.
4. M4 con dominio S uguale all’insieme di tutte le sequenze finite di caratteri alfanumerici,
M(a) = ǫ (la sequenza vuota), e M(p) = {hs1, s2i ∈ S 2 | s1 è una sottosequenza di
s2}.
5. M5 con dominio D = {0, 1, 2}, M(a) = 1 e M(p) = {h0, 1i, h0, 2i, h1, 0i, h2, 1i}
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Interpretazione dei termini chiusi
1. se c è una costante in L, l’interpretazione di c è M(c);
2. se f (t1, ..., tn) è un termine chiuso, la sua interpretazione è
M(f (t1, ..., tn)) = M(f )(M(t1), ..., M(tn))
Esempio: se C = {zero}, F = {succ, sum, times} e
M = hIN, {0}, {λx.x + 1, +, ×}i:
M(times(succ(succ(zero)), sum(succ(zero), zero)))
= M(times)(M(succ(succ(zero))), M(sum(succ(zero), zero)))
= M(succ(succ(zero)) × M(sum(succ(zero), zero))
= M(succ)(M(succ(zero))) × M(sum)(M(succ(zero)), M(zero))
= (M(succ(zero)) + 1) × (M(succ(zero)) + M(zero))
= (M(succ)(M(zero)) + 1) × (M(succ)(M(zero)) + 0)
= ((M(zero) + 1) + 1) × ((M(zero) + 1) + 0)
= ((0 + 1) + 1) × ((0 + 1) + 0)
=2×1=2
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Interpretazione di termini con variabili
Come interpretiamo le variabili?
Assegnazione: s : X → D
Interpretazione di un termine t secondo l’assegnazione s:
s(t)
1. se x ∈ X è una variabile, allora s(x) = s(x);
2. se c è una costante in L, allora s(c) = M(c);
3. se f (t1, ..., tn) è un termine, allora s(t) = M(f )(s(t1), ..., s(tn)).
Esempio: M su IN, con M(f ) = λn.2 × n e s tale che s(x) = 3:
s(f (x)) = M(f )(s(x))
= (λn.2 × n)(s(x))
= (λn.2 × n)3 = 2 × 3 = 6
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Interpretazione delle formule
Dipende dall’interpretazione delle variabili libere che occorrono nella formula.
Sia M su IN,
M(f ) = λn.2 × n,
M(p) = {hn, mi | n2 ≤ m},
e s tale che s(x) = 3 e s(y) = 5;
s′ tale che s′ (x) = 4 e s′(y) = 5
La formula p(x, f (y)) è vera in M secondo l’assegnazione s,
(è vero che 32 ≤ 2 × 5)
Ma è falsa in M secondo l’assegnazione s′
(è falso che 42 ≤ 2 × 5)
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x-varianti
s′ è una x-variante di s sse per ogni variabile y diversa da x: s′ (y) = s(y).
Esempio: le due assegnazioni qui sotto, s e s′ , sono x4-varianti l’una dell’altra.
x1
x2
x3
x4
x5
...
s′ = s[44/x4]
x1
x2
x3
x4
x5
...
1
2
3
4
5
...
e
1
2
3
44
5
...
s = s′ [4/x4]
Notazione: s[d/x] è la x-variante di s che assegna d a x
N.B. Per ogni assegnazione s e variabile x, s è una x-variante di se stessa:
s = s[s(x)/x]
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A è vera in M secondo l’assegnazione s
(o s soddisfa A in M)
(M, s) |= A
1. (M, s) |= p(t1, ..., tn) sse hs(t1), ..., s(tn)i ∈ M(p)
2. (M, s) |= ⊤ e (M, s) 6|= ⊥;
3. (M, s) |= ¬A sse (M, s) 6|= A;
4. (M, s) |= A ∧ B sse (M, s) |= A e (M, s) |= B;
5. (M, s) |= A ∨ B sse (M, s) |= A oppure (M, s) |= B;
6. (M, s) |= A→B sse (M, s) 6|= A oppure (M, s) |= B;
7. (M, s) |= A ≡ B sse (M, s) |= A e (M, s) |= B, oppure (M, s) 6|= A e (M, s) 6|= B
8. (M, s) |= ∀xA sse per ogni d ∈ D: (M, s[d/x]) |= A
9. (M, s) |= ∃xA sse esite d ∈ D, tale che: (M, s[d/x]) |= A
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Esempio
Sia M con D = {1, 2}, M(p) = {2} e M(q) = {1, 2}, e sia s qualsiasi assegnazione su D
(M, s) |= ∃y(p(y) ∧ q(y)) se e solo se esiste d ∈ {1, 2} tale che (M, s[d/y]) |= p(y) ∧ q(y).
Poiché ci sono solo due oggetti nel dominio, questo vale se e solo se si verifica uno di questi
due casi:
1. (M, s[1/y]) |= p(y) ∧ q(y): perché ciò sia vero si devono verificare entrambi i casi
seguenti:
(a) (M, s[1/y]) |= p(y): ciò vale se e solo se s[1/y](y) ∈ M(p), cioè 1 ∈ {2}, ma questo
è falso.
(b) (M, s[1/y]) |= q(y).
Poiché (a) è falso, è falso anche il caso 1.
2. (M, s[2/y]) |= p(y) ∧ q(y): perché ciò sia vero si devono verificare entrambi i casi
seguenti:
(a) (M, s[2/y]) |= p(y): ciò vale se e solo se s[2/y](y) ∈ M(p), cioè 2 ∈ {2}, e questo
è vero.
(b) (M, s[2/y]) |= q(y): ciò vale se e solo se s[2/y](y) ∈ M(q), cioè 2 ∈ {1, 2}, e anche
questo è vero.
Quindi il caso 2 è vero.
Perciò è vero che per ogni assegnazione s, (M, s) |= ∃y(p(y) ∧ q(y)).
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Esercizi
Sia M l’interpretazione definita precedentemente e siano:
• M′ uguale a M tranne che M(q) = {1}.
• M′′ uguale a M tranne che M′′ (p) = Ø.
Sia inoltre s qualsiasi assegnazione su D.
1. Verificare se (M′ , s) |= ∃y(p(y) ∧ q(y)).
2. Verificare se (M, s) |= ∀x(p(x) ∧ q(x)).
3. Verificare se (M, s) |= ∀x(p(x) ∧ q(x)).
4. Verificare se (M′ , s) |= ∀x(p(x) ∨ q(x)).
5. Verificare se (M′′ , s) |= ∀x(p(x) ∨ q(x)).
6. Verificare se (M′ , s) |= ∀x p(x) ∨ ∀x q(x).
7. Verificare se (M′′ , s) |= ∀x p(x) ∨ ∀x q(x).
8. Verificare se (M, s) |= ∀x(p(x)→q(x))
9. Verificare se (M′ , s) |= ∀x(p(x)→q(x))
10. Verificare se (M′′ , s) |= ∀x(p(x)→q(x))
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Definizione di (M, s) 6|= A
1. (M, s) 6|= p(t1, ..., tn) sse hs(t1), ..., s(tn)i 6∈ M(p)
2. (M, s) 6|= ⊤ è sempre falso e (M, s) 6|= ⊥ è sempre vero;
3. (M, s) 6|= ¬A sse (M, s) |= A;
4. (M, s) 6|= A ∧ B sse (M, s) 6|= A oppure (M, s) 6|= B;
5. (M, s) 6|= A ∨ B sse (M, s) 6|= A e (M, s) 6|= B;
6. (M, s) 6|= A→B sse (M, s) |= A e (M, s) 6|= B;
7. (M, s) 6|= A ≡ B sse (M, s) 6|= A e (M, s) |= B, oppure (M, s) |= A e (M, s) 6|= B
8. (M, s) 6|= ∀xA sse esiste d ∈ D, tale che: (M, s[d/x]) 6|= A
9. (M, s) 6|= ∃xA sse per ogni d ∈ D: (M, s[d/x]) 6|= A
Verità e falsità di una formula in una interpretazione
M |= A sse per ogni assegnazione s su M: (M, s) |= A.
A è falsa in una interpretazione M sse nessuna assegnazione la soddisfa:
per ogni assegnazione s su M: (M, s) 6|= A
Una formula può non essere né vera né falsa in una interpretazione M
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Proprietà della verità/falsità
1. A è falsa in M sse M |= ¬A;
M |= A sse ¬A è falsa in M.
2. Nessuna formula può essere contemporaneamente vera e falsa in una interpretazione.
3. Se M |= A e M |= A→B, allora M |= B.
4. A→B è falsa in M se e solo se M |= A e B è falsa in M.
5. M |= A sse M |= ∀xA. Quindi M |= A sse M |= ∀x1...∀xnA (chiusura universale di
A).
6. Se s(x) = s′ (x) per ogni variabile x che occorre libera in A, allora (M, s) |= A sse
(M, s′ ) |= A
(Lemma di coincidenza).
7. Se A è chiusa, allora per ogni M o M |= A oppure M |= ¬A
(o tutte le assegnazioni soddisfano A, oppure nessuna la soddisfa).
Se A è chiusa, M |= A sse esiste s tale che (M, s) |= A.
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Esempio: dimostrare che M |= A o M 6|= A
Sia A = ∀xp(a, x) e:
M1 con dominio IN, M1(a) = 0, e
M1(p) = {hn, mi ∈ IN2 | n ≤ m}.
M1 |= A sse per ogni s: (M1, s) |= A
sse per ogni n ∈ IN,
sse per ogni n ∈ IN,
sse per ogni n ∈ IN,
sse per ogni n ∈ IN,
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(M1, s[n/x]) |= p(a, x)
hs[n/x](a), s[n/x](x)i ∈ M1(p)
h0, ni ∈ M1(p)
0 ≤ n: vero
Il Programma models: il file di input
Il file di input specifica un modello e una formula:
/* Dichiarazione del dominio: contiene gli oggetti 0 e 1.
Se volessimo dichiarare un dominio con gli oggetti
0,1,2,3,4,5, la dichiarazione sarebbe
dom: 0...5
La dichiarazione ha sempre la forma
dom: 0...n
dove n e’ un intero maggiore o uguale a 0.
Se questa dichiarazione manca, e’ come se fosse dom: 0...0 */
dom: 0...1;
# dichiarazione dell’interpretazione delle costanti.
# e’ dichiarata, la sua interpretazione e’ 0
const a: 0;
const c: 1;
Se una costante non
/* dichiarazione dell’interpretazione dei simboli funzionali;
si intende che per ogni argomento (tupla) per cui non e’
specificato il valore, la funzione ha valore 0 */
fun f: (0,1) -> 1
(1,0) -> 0
(0,0) -> 1;
21
/* dichiarazione dell’interpretazione dei simboli di predicato.
Nell’esempio che segue, l’interpretazione di aereo e’ l’insieme
contenente 0 e 1, quella di guida contiene le coppie (1,0) e (0,1).
Si intende che se manca la dichiarazione di un predicato, la
sua interpretazione e’ l’insieme vuoto */
pred aereo: (0) (1);
pred aviatore: (0) (1);
pred guida: (1,0) (0,1);
# la formula di cui si vuole controllare la verita’
form: Forall x (aviatore(x) -> Exists y (aereo(y) & guida(x,y))) ;
####### questo e’ un commento
# Exists y (aereo(y) & Forall x (aviatore(x) -> guida(x,y))) ;
22
Il Programma models: l’esecuzione
> models sample-input
(M,s) |= Forall x (aviatore(x)->Exists y (aereo(y)&guida(x,y)))
-----------SE E SOLO SE
-----------PER OGNI d0 in D:
(M,s[d0/x]) |= (aviatore(x)->Exists y (aereo(y)&guida(x,y)))
-----------SE E SOLO SE
-----------PER OGNI d0 in D:
(M,s[d0/x]) |/= aviatore(x)
OPPURE
(M,s[d0/x]) |= Exists y (aereo(y)&guida(x,y)))
-----------SE E SOLO SE
23
-----------PER OGNI d0 in D:
(s[d0/x](x)) non in M(aviatore)
cioe’:
(d0) non in M(aviatore)
OPPURE
ESISTE d1 in D, tale che:
(M,s[d1/y,d0/x]) |= (aereo(y)&guida(x,y)))
-----------SE E SOLO SE
-----------PER OGNI d0 in D:
(d0) non in M(aviatore)
OPPURE
ESISTE d1 in D, tale che:
(M,s[d1/y,d0/x]) |= aereo(y)
E
(M,s[d1/y,d0/x]) |= guida(x,y))
-----------24
SE E SOLO SE
-----------PER OGNI d0 in D:
(d0) non in M(aviatore)
OPPURE
ESISTE d1 in D, tale che:
(s[d1/y,d0/x](y)) in M(aereo)
cioe’:
(d1) in M(aereo)
E
(s[d1/y,d0/x](x),s[d1/y,d0/x](y)) in M(guida)
cioe’:
(d0,d1) in M(guida))
-----------SE E SOLO SE
-----------(0) non in M(aviatore)
OPPURE
(0) in M(aereo)
E
25
(0,0) in M(guida)
OPPURE
(1) in M(aereo)
E
(0,1) in M(guida)
E
(1) non in M(aviatore)
OPPURE
(0) in M(aereo)
E
(1,0) in M(guida)
OPPURE
(1) in M(aereo)
E
(1,1) in M(guida)
-----------SE E SOLO SE
-----------FALSO
OPPURE
VERO
26
E
FALSO
OPPURE
VERO
E
VERO
E
FALSO
OPPURE
VERO
E
VERO
OPPURE
VERO
E
FALSO
-----------SE E SOLO SE
-----------VERO
27
Esempio
C = {f elix, silvestro, giovanni, riccardo}
F = {padre1}
P = {gatto1, f ratello2, =}
Sia M con:
• D = {0, 1, 2, 3}
• M(f elix) = 0, M(silvestro) = 1, M(giovanni) = 2, M(riccardo) = 2
• M(padre) = {< 0, 0 >, < 1, 0 >, < 2, 3 >, < 3, 2 >}
M(padre) = F tale che F (0) = 0, F (1) = 0, F (2) = 3, F (3) = 2
• M(gatto) = {0, 1},
M(f ratello) = {< 0, 1 >, < 1, 0 >}
A = gatto(padre(padre(silvestro)))
M |= A sse
sse
sse
sse
sse
sse
sse
per ogni assegnazione s: (M, s) |= A
s(padre(padre(silvestro))) ∈ M(gatto)
F (s(padre(silvestro))) ∈ {0, 1}
F (F (s(silvestro))) ∈ {0, 1}
F (F (1)) ∈ {0, 1}
F (0) ∈ {0, 1}
0 ∈ {0, 1}: vero
28
Esempio (segue)
A = ∃x(padre(silvestro) = x ∧ ∃y(padre(x) = y ∧ gatto(y)))
M |= ∃x(padre(silvestro) = x ∧ ∃y(padre(x) = y ∧ gatto(y)))
sse per ogni assegnazione s: (M, s) |= A
sse esiste d ∈ D tale che (M, s[d/x]) |= padre(silvestro) = x ∧ ∃y(padre(x) = y ∧ gatto(y))
sse esiste d ∈ D tale che (M, s[d/x]) |= padre(silvestro) = x e
(M, s[d/x]) |= ∃y(padre(x) = y ∧ gatto(y))
sse esiste d ∈ D tale che < s[d/x](padre(silvestro)), s[d/x](x) >∈ M(=) e
esiste d′ ∈ D tale che (M, s[d/x][d′/y]) |= padre(x) = y ∧ gatto(y)
sse esiste d ∈ D tale che F (1) = s[d/x](x) e
esiste d′ ∈ D tale che (M, s[d/x][d′/y]) |= padre(x) = y
e (M, s[d/x][d′/y]) |= gatto(y)
sse esiste d ∈ D tale che 0 = d e
esiste d′ ∈ D tale che s[d/x][d′/y](padre(x)) = s[d/x][d′/y](y)
e s[d/x][d′ /y](y) ∈ M(gatto)
sse VERO (esiste d ∈ D tale che 0 = d) e
esiste d′ ∈ D tale che F (0) = d′ e d′ ∈ M(gatto)
sse esiste d′ ∈ D tale che 0 = d′ e d′ ∈ M(gatto)
sse VERO perché 0 ∈ {0, 1}.
Esercizio: determinare l’interpretazione della formula
∀x(padre(x) = f elix ∨ padre(x) = padre(giovanni))
29
Soddisfacibilità, validità, equivalenza logica
1. A è soddisfacibile se esiste un’interpretazione M di A e un’assegnazione s su M tale
che (M, s) |= A.
2. A è valida (|= A) sse è vera in ogni sua interpretazione: cioè per ogni M e per ogni s:
(M, s) |= A.
A è valida sse ¬A non è soddisfacibile.
3. A è contraddittoria (o insoddisfacibile) sse essa è falsa in ogni interpretazione:
non esistono M e s tali che (M, s) |= A.
4. A implica logicamente B sse per ogni M e s, se (M, s) |= A, allora (M, s) |= B.
5. A e B sono logicamente equivalenti (A ↔ B) sse
per ogni M e s: (M, s) |= A sse (M, s) |= B.
30
Conseguenza logica
6. Sia S un insieme di formule: (M, s) |= S sse per ogni formula C in S, (M, s) |= C.
7. A è una conseguenza logica di S
S |= A
sse per ogni M e s, se (M, s) |= C per ogni formula C ∈ S, allora anche (M, s) |= A.
S |= A è più forte della relazione “A è vera in tutte le interpretazioni in cui sono vere tutte
le formule in S”.
• S |= A ⇔ per ogni M, s : [(M, s) |= S ⇒ (M, s) |= A]
• A è vera in tutte le interpretazioni in cui sono vere tutte le formule in S ⇔
per ogni M: M |= S ⇒ M |= A ⇔
per ogni M [per ogni s : (M, s) |= S ⇒ per ogni s : (M, s) |= A]
Infatti, per la proprietà 5 a pagina 19:
per ogni M, se M |= p(x) allora M |= ∀x p(x).
Ma p(x) 6|= ∀x p(x):
Sia M con dominio D = {0, 1}
M(p) = {0},
e s tale che s(x) = 0.
Allora (M, s) |= p(x), ma (M, s) 6|= ∀x p(x).
Quindi non per ogni M e s, se (M, s) |= p(x) allora (M, s) |= ∀x p(x).
31
Logica dei predicati e linguaggio naturale
1. Esiste un corvo nero: ∃x(corvo(x) ∧ nero(x))
2. Tutti sono corvi e sono neri: ∀x(corvo(x) ∧ nero(x))
3. ∃x(corvo(x)→nero(x)) è vero in ogni interpretazione in cui esista un oggetto d∗ che
non è un corvo (oppure esiste almeno un oggetto nero d∗):
Se
d∗ 6∈ M(corvo) (d∗ non è un corvo)
oppure se
d∗ ∈ M(nero) (d∗ è nero)
allora per ogni s: (M, s[d∗/x]) 6|= corvo(x) oppure
(M, s[d∗/x]) |= nero(x).
Questo vale sse (M, s[d∗/x]) |= corvo(x)→nero(x),
che implica
esiste d ∈ D tale che
(M, s[d/x]) |= corvo(x)→nero(x),
cioè
(M, s) |= ∃x(corvo(x)→nero(x))
32
4. Tutti i corvi sono neri: ∀x(corvo(x)→nero(x))
Affermazioni “vere a vuoto”: ∀x(corvo(x)→nero(x)) è vera in ogni interpretazione in cui non esistano corvi:
Per ogni d ∈ D, d 6∈ M(corvo) (non ci sono corvi)
vale sse:
per ogni s e per ogni d ∈ D,
(M, s[d/x]) 6|= corvo(x).
Ciò implica che: per ogni s e per ogni d ∈ D,
(M, s[d/x]) 6|= corvo(x)
oppure (M, s[d/x]) |= nero(x),
che equivale a: per ogni s e per ogni d ∈ D,
(M, s[d/x]) |= corvo(x)→nero(x),
cioè:
per ogni s, (M, s) |= ∀x(corvo(x)→nero(x)).
∀x(corvo(x)→nero(x)) è falsa sse esiste un oggetto d tale che (M, s[d/x]) 6|= corvo(x)→nero(x),
cioè tale che:
(M, s[d/x]) |= corvo(x) e (M, s[d/x]) 6|= nero(x)
(esiste un corvo che non è nero: un controesempio)
In particolare, esiste un corvo.
Dunque, se non esistono corvi, ∀x(corvo(x)→nero(x)) non può essere falsa, quindi è
vera.
33
Affermazioni “vere a vuoto”
È vero o falso che:
• Ogni numero in {1, 3, 5, 7} è dispari
• Ogni numero in {1, 3, 4, 5, 7} è dispari
• Ogni numero dispari compreso tra 2 e 8 è primo
• Ogni numero dispari compreso tra 2 e 10 è primo
Perché 2 e 4 sono false?
È vero o falso che:
• Ogni numero appartenente all’insieme vuoto è dispari
• Ogni numero maggiore di 10 e minore di 3 è primo
• qualsiasi sia P : per ogni numero naturale k < 0 vale P (k)
• Per ogni proprietà P , per ogni k ∈ ∅ vale P (k)
34
Alcune formule valide
1. ∀xp(x)→p(t)
Assumiamo che la formula non sia valida: esiste una sua interpretazione M e un’assegnazione s su M tali che (M, s) 6|= ∀x p(x)→p(t); cioè valgono (a) e (b):
(a) (M, s) |= ∀x p(x)
⇔ per ogni d ∈ D, (M, s[d/x]) |= p(x),
⇔ per ogni d ∈ D: s[d/x](x) ∈ M(p);
⇔ per ogni d ∈ D: d ∈ M(p).
(b) (M, s) 6|= p(t).
Dunque, se s(t) = d∗, d∗ 6∈ M(p).
Contraddizione
2. ¬∀xp(x) ≡ ∃x¬p(x)
3. ∀xp(x) ≡ ¬∃x¬p(x)
4. ∃xp(x) ≡ ¬∀x¬p(x)
5. ¬∃xp(x) ≡ ∀x¬p(x)
6. ∃x¬p(x) ≡ ¬∀xp(x)
7. ∀x(p(x)→q(x))→(∀xp(x)→∀xq(x))
8. ∀x(p(x)→q(x))→(∃xp(x)→∃xq(x))
9. ∀x(p(x) ∧ q(x)) ≡ (∀xp(x) ∧ ∀xq(x))
35
10. ∃x(p(x) ∨ q(z)) ≡ (∃xp(x) ∨ ∃xq(x))
11. ∀xp(x) ∨ ∀xq(x)→∀x(p(x) ∨ q(x))
12. ∃x(p(x) ∧ q(x))→∃xp(x) ∧ ∃xq(x)
13. ∃y∀xp(x, y)→∀x∃yp(x, y)
14. se A non contiene x libera, allora
|= ∀x(A→B)→(A→∀xB)
15. se A non contiene x libera, allora
|= ∀x(B→A)→(∃xB→A)
Esercizio: dimostrare la validità di tali formule
36
Alcune formule non valide
1. (∀xp(x)→∀xq(x))→∀x(p(x)→q(x))
∀xp(x)→∀xq(x) è vera quando ∀xp(x) è falsa (non tutti gli oggetti del dominio sono in
M(p)). Ma non è detto che, in questo caso, ogni oggetto in M(p) sia anche in M(q).
Contromodello: D = {0, 1}, M(p) = {0}, M(q) = Ø.
2. ∀x(p(x) ∨ q(x))→∀xp(x) ∨ ∀xq(x)
Pensare alle interpretazioni di p e q: “essere pari” e “essere dispari”
3. ∃xp(x) ∧ ∃xq(x)→∃x(p(x) ∧ q(x))
Come al punto precedente
4. ∀x∃yp(x, y)→∃y∀xp(x, y)
Pensare alla differenza tra continuità (per ogni x0 ∈ I esiste δ > 0 ... : δ dipende da
x0) e continuità uniforme (esiste δ > 0 tale che per ogni x0 ∈ I ... : δ è lo stesso per
ogni punto)
Esercizio: completare le dimostrazioni della non validità di tali formule
37
Per dimostrare che:
• la formula A è valida: per assurdo; si assume che esista un contromodello (M, s) di A
e si giunge ad un assurdo;
• la formula A non è valida: si costruisce un contromodello: (M, s) 6|= A
Per dimostrare che:
• S |= A:
– per assurdo: si assume che esistano un’interpretazione M e un’assegnazione s, tali
che (M, s) |= S e (M, s) 6|= A, e si giunge ad un assurdo;
– dimostrazione diretta: si assume che M e s siano qualsiasi interpretazione e assegnazione tali che (M, s) |= S, e si dimostra che (M, s) |= A
• S 6|= A: si costruisce un contromodello, cioè un’interpretazione M e un’assegnazione s,
tali che (M, s) |= S e (M, s) 6|= A.
38
Forme normali prenesse
Una formula è in forma normale prenessa se ha la forma:
Q
x Q x ...Qn xn}
| 1 1 2 {z2
pref isso
A
|{z}
matrice
la matrice è senza quantificatori
Ogni formula è logicamente equivalente a una formula in forma normale prenessa.
Per trasformare una formula in forma prenessa si utilizzano le seguenti equivalenze logiche:
• Ridenominazione di variabili vincolate:
|= ∀xA ≡ ∀yA[y/x]
|= ∃xA ≡ ∃yA[y/x]





y nuova
• Se x non occorre in B, allora:
∀xA ∧ B ↔ ∀x(A ∧ B)
∀xA ∨ B ↔ ∀x(A ∨ B)
∀xA→B ↔ ∃x(A→B)
B→∀xA ↔ ∀x(B→A)
¬∀xA ↔ ∃x¬A
∃xA ∧ B ↔ ∃x(A ∧ B)
∃xA ∨ B ↔ ∃x(A ∨ B)
∃xA→B ↔ ∀x(A→B)
B→∃xA ↔ ∃x(B→A)
¬∃xA ↔ ∀x¬A
∀xA→B ↔ ¬∀xA ∨ B ↔ ∃x¬A ∨ B ↔ ∃x(¬A ∨ B) ↔ ∃x(A→B)
39
Trasformazione di formule in forma prenessa
Esempio
¬(∀x∃y p(x, y) ∨ (∀x p(x, c)→∃y q(y)))
⇒ ¬(∀x∃y p(x, y)∨(∀x1 p(x1, c)→∃y1 q(y1 )))
⇒ ¬∀x(∃y p(x, y)∨∃x1 (p(x1, c)→∃y1 q(y1)))
⇒ ¬∀x∃y (p(x, y)∨∃x1∃y1 (p(x1, c)→q(y1 )))
⇒ ¬∀x∃y∃x1∃y1 (p(x, y) ∨ (p(x1, c)→q(y1 )))
⇒ ∃x¬∃y∃x1∃y1 (p(x, y) ∨ (p(x1, c)→q(y1 )))
⇒ ∃x∀y∀x1∀y1 ¬(p(x, y) ∨ (p(x1, c)→q(y1)))
40
Sostituzione di variabili con termini
È sempre vero che |= ∀xA→A[t/x]?
Esempio: ∀x∃y (x < y) è vero nell’interpretazione standard su IN
Quindi anche ∃y (0 < y), ∃y (1 < y), ..., ∃y (2 + 1 < y)
Se t = y + 1: è vero che ∃y (y + 1 < y) ?
Non per ogni termine t: |= ∀x∃y (x < y)→∃y (t < y)
A[t/x] non “dice” sempre di t quello che A dice di x:
∃y (x < y) “dice” che esiste un numero maggiore di x,
ma ∃y (y + 1 < y) non dice che esiste un numero maggiore di y + 1.
Ci si deve assicurare che nessuna variabile in t venga “catturata” da un quantificatore in A
t è sostituibile per x in A sse nessuna occorrenza libera di x in A si trova nel campo
d’azione di un quantificatore ∀y o ∃y, dove y occorre in t
f (y) è sostituibile per x in ∀zP (z, x),
è sostituibile per x in ∀xP (z, x),
non è sostituibile per x in ∀yP (y, x),
non è sostituibile per x in ∃yP (y, x)
41
Se t è sostituibile per x in A,
allora
|= ∀xA→A[t/x]
|= A[t/x]→∃xA
Se t è un termine chiuso, o se t = x, allora t è sostituibile per x in A,
quindi |= ∀xA→A[t/x]
Quando scriviamo A[t/x], intendiamo sempre che t è sostituibile per x in A
42
Sistema di inferenza hilbertiano
• Linguaggio del primo ordine con →, ¬ e ∀
• Assiomi:
1. A→(B→A)
2. (A→(B→C))→((A→B)→(A→C))
3. (¬B→¬A)→((¬B→A)→B)
4. ∀xA→A[t/x] se t è sostituibile per x in A
5. ∀x(A→B)→(A→∀xB) se A non contiene x libera
• Regole di inferenza:
A
A→B
1. MPP:
B
A
∀xA
Gli altri connettivi e ∃ sono simboli definiti
2. Generalizzazione
43
Teorie del primo ordine
Linguaggio del primo ordine
Sistema di inferenza :
• assiomi logici
• regole di inferenza
• assiomi propri (o non logici), che descrivono il dominio di interesse
Il sistema costituito dai soli assiomi logici e regole di inferenza è il
Calcolo dei Predicati del Primo Ordine
44
Esempi di teorie
• Teoria dei grafi non orientati
P = {R2}, F = C = ∅
Assioma proprio: ∀x∀y(R(x, y)→R(y, x))
• Teoria degli ordini parziali
P = {<}, F = C = ∅
Assiomi propri: ∀x¬(x < x)
∀x∀y∀z(x < y ∧ y < z→x < z)
• Teorie con uguaglianza
=∈ P
Assiomi propri: ∀x(x = x) (riflessivita’)
∀x∀y(x = y→(A→A′ ))
dove A′ si ottiene da A sostituendo alcune
(non necessariamente tutte) occorrenze libere
di x con y
Sono derivabili:
∀x∀y(x = y→y = x)
∀x∀y∀z(x = y ∧ y = z→x = z)
45
• Teoria dei numeri
P = {=}, F = {succ, +, ×}, C = {0}
Assiomi propri: assiomi per l’uguaglianza +
∀x¬(0 = succ(x))
∀x∀y(succ(x) = succ(y)→x = y)
∀x(x + 0 = x)
∀x∀y(x + succ(y) = succ(x + y))
∀x(x × 0 = 0)
∀x∀y(x × succ(y) = x + (x × y))
A[0/x] ∧ ∀x(A→A[succ(x)/x])→∀xA
(schema d’assiomi: principio di induzione
matematica)
46
Proprietà della logica dei predicati
• Semidecidibilità
Se I è un sistema di inferenza, in cui la proprietà di essere un assioma di I e la relazione
di derivabilità mediante ciascuna regola di inferenza di I sono nozioni decidibili, e se il
linguaggio è numerabile, allora la nozione di derivabilità in I è semidecidibile:
S ⊢I A è semidecidibile
(l’insieme delle formule valide è ricorsivamente enumerabile)
• Indecidibilità
Il calcolo dei predicati è INDECIDIBILE
Se L è un linguaggio con almeno una costante e un simbolo di predicato binario,
allora l’insieme delle formule valide di L non è ricorsivo
Casi di decidibilità:
– calcolo monadico (i predicati sono tutti a un solo argomento)
– formule puramente esistenziali:
∃x1...∃xnA
A senza quantificatori né simboli funzionali
– formule puramente universali:
∀x1...∀xnA
A senza quantificatori né simboli funzionali
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• Compattezza
Se S |= A allora esiste S0 finito, S0 ⊆ S, tale che S0 |= A.
S |= A =⇒ S ⊢ A (completezza)
=⇒ S0 ⊢ A per un S0 ⊆ S finito
=⇒ S0 |= A (correttezza)
Equivalentemente:
Se ogni sottoinsieme finito di S è soddisfacibile, allora S è soddisfacibile
S insoddisfacibile =⇒ S |= ⊥ (completezza)
=⇒ S0 |= ⊥ per un S0 ⊆ S finito
=⇒ S0 insoddisfacibile (correttezza)
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