Lezione 12 e Lezione 13

Lezione 12 e Lezione 13
Giovedı́ 26 Marzo 2009
Avendo introdotto i linguaggi del primo ordine, diamo adesso le regole di deduzione naturale che riguardano i quantificatori. Come nel caso della logica
proposizionale daremo, per ciascun quantificatore, regole di introduzione e regole di eliminazione. Come vedremo, le regole di deduzione naturale per i
quantificatori coinvolgono anche condizioni che ne restringono l’applicazione.
Cominciamo con il quantificatore universale. La regola di introduzione é
φ(x)
∀xφ(x)
∀I
Condizione per ∀I : la variabile x non é una delle variabili libere delle ipotesi non scaricate nel sottoalbero con
conclusione φ(x).
La regola di eliminazione per il quantificatore universale é:
∀xφ(x)
φ(t)
∀E
Condizione per ∀E : il termine t deve essere sostituibile per
x in φ(x)
Definiremo precisamente che cosa vuol dire che un termine t é sosituibile per una
variabile x in una formula φ(x) piú avanti. Informalmente, questa condizione
garantisce che nessuna delle variabili libere che compaiono in t venga resa legata
da uno dei quantificatori che compaiono in φ(x). Per il momento, ci basterà
sapere che x é sempre sostituibile per x in φ(x), cosicché la seguente istanza
della regola ∀E é sempre corretta:
∀xφ(x)
φ(x)
∀E
(1)
Diamo adesso qualche esempio di alberi di derivazione costruiti con le regole
per il quantificatore universale.
Esempio 1. Costruiamo un albero di derivazione la cui unica ipotesi non scaricata é ∀x∀yφ(x, y) e la cui conclusione é ∀y∀xφ(x, y). L’albero é costruito
come segue:
∀x∀yφ(x, y)
∀E
∀yφ(x, y)
∀E
φ(x, y)
∀I
∀xφ(x, y)
∀I
∀y∀xφ(x, y)
1
Si noti come le applicazioni della regola ∀I soddisfano la condizione necessaria
per la loro applicazione, visto che le variabili x e y non compaiono come variabili
libere nell’ipotesi non scaricata dell’albero. La regola ∀E é stata poi applicata
solo nel caso speciale indicato in (1).
Esempio 2. Costruiamo un albero con conclusione la formula ∀xφ(x)∧∀xψ(x)
e la cui unica ipotesi non scaricata é la formula ∀x(φ(x) ∧ ψ(x)). L’albero é
costruito come segue:
∀x(φ(x) ∧ ψ(x))
φ(x) ∧ ψ(x)
φ(x)
∀xφ(x)
∀x(φ(x) ∧ ψ(x))
∀E
φ(x) ∧ ψ(x)
∧E
ψ(x)
∀I
∀xψ(x)
∀xφ(x) ∧ ∀xψ(x)
∀E
∧E
∀I
∧I
Esempio 3. Lavorando nel linguaggio dell’aritmetica di Peano, diamo adesso
un esempio di applicazione scorretta della regola ∀I :
x=0
∀x(x = 0)
L’ipotesi non scaricata é la formula x = 0, che contiene x come variabile libera.
Esempio 4. Diamo anche un esempio di applicazione scorretta della regola ∀E :
∀x¬∀y(x = y)
¬∀y(y = y)
Qui, avremmo voluto applicare la regola di ∀E con ¬∀y(x = y) al posto della
formula φ(x) e y al posto del termine t. Secondo la definzione che daremo piú
avanti, tuttavia, y non é sostituibile per x in ¬∀y(x = y). Informalmente, questo
avviene perché la variabile y appare tra le variabili quantificate di ¬∀y(x = y)
e quindi se sostituiamo y per x in questa formula otteniamo che y viene ‘legata’
dal quantificatore ∀y. Anche se non abbiamo introdotto ancora la nozione di
validità di una formula, anticipiamo che l’ipotesi non scaricata dell’albero é
valida in ogni struttura con almeno due elementi distinti, mentre la conclusione
non é valida in una tale struttura.
Diamo adesso le regole per il quantificatore esistenziale. La regola di introduzione é:
φ(t)
∃xφ(x)
∃I
Condizione per ∃I : il termine t deve essere sostituibile per
x in φ(x)
La regola di eliminazione é:
[φ(x)]∗
·
·
·
·
ψ
∃xφ(x)
ψ
∃E,∗
Condizione per ∃E : la variabile x non é una delle
variabili libere né di ψ né delle ipotesi non scaricate nel sottoalbero con conclusione ψ tranne
φ(x).
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Diamo un esempio dell’applicazione di queste regole.
Esempio 5. Costruiamo un albero con conclusione ∃xφ(x) ∨ ∃xψ(x) e con
unica ipotesi non scaricata ∃x(φ(x) ∨ ψ(x)). L’albero é il seguente:
[φ(x) ∨ ψ(x)]3
[φ(x)]1
[ψ(x)]2
∃xφ(x)
∃xψ(x)
∃xφ(x) ∨ ∃xψ(x)
∃xφ(x) ∨ ∃xψ(x)
∨E,1,2
∃x(φ(x) ∨ ψ(x))
∃xφ(x) ∨ ∃xψ(x)
∃E,3
∃xφ(x) ∨ ∃xψ(x)
Si noti che l’applicazione della regola ∃E é corretta in quanto le ipotesi φ(x)
e ψ(x) che potrebbero contenere la x tra le loro variabili libere sono state
scaricate nell’applicazione della regola ∨E , e quindi non sono piú tra le ipotesi
non scaricate del sottoalbero con conclusione ∃xφ(x) ∨ ∃xψ(x).
Le nozioni di albero di derivazione, di derivabilità di una formula φ da un
insieme di formule Γ, e di teorema, sono definite come nel caso della logica proposizionale, e useremo notazione identica a quella introdotta precendentemente.
In particolare, scriveremo Γ ` φ per indicare che esiste un albero di derivazione
con conclusione φ e le cui ipotesi non scaricate sono contenute in Γ.
Concludiamo dando la definizione formale di che cosa vuol dire che un termine
t é sostituibile per una variabile x in una formula φ. Per ricorsione su φ,
definiamo:
(1) t é sempre sostituibile per x in P (t1 , . . . , tn ).
(2) t é sostituibile per x in φ ∗ ψ, ove ∗ ∈ {∧, ∨, ⇒}, se t é sostituibile per x in
φ e ψ.
(3) t é sostituibile per x in ∀yφ e ∃yφ se vale almeno una delle seguenti due
possibilità:
(3a) x non compare come variabile libera in (∀y)φ e ∃yφ.
(3b) y non compare come variabile libera in t e t é sostuibile per x in φ.
In pratica, la condizione piú utile é quella in (3b), che definisce formalmente
che nessuna variabile di t sará catturata dal quantificatore ∀y.
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