SCOPRIAMO SUCCESSIONI

SCOPRIAMO SUCCESSIONI
Obiettivi
- Formulare ipotesi e provarle su casi particolari.
- Scoprire la regolarità presente in una successione ed esprimerla con l’uso delle lettere.
Metodi e attività
Le attività sulle successioni sono tese a sviluppare l’attenzione alle regolarità in situazioni numeriche e geometriche con il fine di condurre all’utilizzo delle lettere al posto dei numeri. Qui presentiamo un’esperienza centrata sulla costruzione di quadrati con fiammiferi.
Ogni alunno ha a disposizione 40 fiammiferi o stuzzicadenti. Inizialmente, ognuno lavora singolarmente, successivamente si passerà all’attività in coppie. Una scheda, da compilare man mano che
procede il lavoro, consente a tutti gli alunni di raccogliere i dati ed avere gli elementi per riflettere
sulle regolarità, facilitando i più deboli.
Scheda di lavoro
Costruisci prima di tutto un quadrato con il lato di un fiammifero; aggiungi poi i fiammiferi necessari per realizzare i disegni che vedi qui sotto e scrivi il numero dei fiammiferi utilizzati per il perimetro ed il numero dei fiammiferi utilizzati in totale per ciascun disegno.
lato
1
4
numero dei fiammiferi
utilizzati
4
2
8
12
3
4
disegno
perimetro
2
ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO
Senza realizzare il disegno, cerca di stabilire quanti fiammiferi utilizzeresti per il perimetro e quanti ne utilizzeresti in tutto se il lato fosse di
# 5 fiammiferi
perimetro ............................................................
numero dei fiammiferi utilizzati ............................................................
oppure
# 7 fiammiferi
perimetro ............................................................
numero dei fiammiferi utilizzati ............................................................
Promuoviamo quindi la discussione fra gli alunni, chiedendo di esplicitare un ragionamento che
possa condurre alle risposte richieste nella parte conclusiva della scheda.
Fra i ragionamenti degli alunni vi potrà essere quello che fa riferimento ad un grafo:
lato
perimetro
lato
numero dei
1
4
+
2
8
1
fiammiferi utilizzati 4
+8
3
12
+
+
4
4
16
+
4
5
...
+
4
6
...
2
3
4
5
6
12
24
40
...
...
+12
16
20
24
Domande del tipo:
- se il lato fosse di 100 (oppure n) fiammiferi, da quanti sarebbe formato il perimetro?
- se il lato fosse di 100 (oppure n) fiammiferi, quanti ne servirebbero in tutto?
stimolerebbero la riflessione, la ricerca di ipotesi per individuare una formula, un’uguaglianza che
gli alunni potrebbero esprimere a parole o con l’uso delle lettere.
Possiamo chiedere di scegliere uno dei ragionamenti (il proprio o quello di un compagno), di scriverlo sul quaderno e di metterlo alla prova disegnando il quadrato di lato 5 o di lato 6 ecc.
Per calcolare la somma Sn dei primi n numeri naturali è possibile utilizzare la formula Sn=n·(n+1):2,
nota fin dall’Antichità e che un celebre aneddoto accredita anche a Gauss giovanissimo scolaro.
Con una generalizzazione della stessa formula, possiamo calcolare, ad esempio, 3+4+5+6 facendo
(3+6)·4:2 (4 è il numero dei numeri naturali consecutivi di cui va trovata la somma).
Inoltre, 4+8+12+16+20+24=(4+24)·6:2=84.
ATTIVITÀ PER L’INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO
3
Abbiamo così calcolato il numero di fiammiferi utilizzati per realizzare:
6
6
EUREKA è un gioco da fare in classe di cui esistono diverse versioni.
1° giocatore:
- in segreto scrive una regola che dia origine ad una successione (a parole, con un grafo di flusso, con una formula);
- alla lavagna scrive tre termini della successione.
Gli altri giocatori:
- (cercando di scoprire la caratteristica della successione) a turno propongono un numero che ritengono adatto a proseguirla.
1° giocatore:
- scrive alla lavagna ciascun numero proposto e precisamente nella colonna del SI quelli coerenti con la sua regola (segreta), nella colonna del NO le ipotesi sbagliate.
Gli altri giocatori:
- possono enunciare la regola scoperta solo dopo averla scritta in uno dei tre modi.
Il vincitore assume il ruolo del 1° giocatore.
Verifiche
Oltre a quesiti che riprendono parti significative delle attività precedenti, se ne possono proporre altri, analoghi a quelli qui di seguito riportati.
- Ripensa agli esempi di successioni che abbiamo visto in classe. Spiega con le tue parole come
puoi calcolare il più velocemente possibile la SOMMA DEI TERMINI DI UNA SUCCESSIONE.
1. Calcola:
a) la somma dei primi 30 numeri naturali;
b) la somma dei numeri naturali da 16 a 45 (compresi);
c) la somma dei primi 20 numeri pari;
2. Fai un’ipotesi: la regola che hai seguito negli esercizi precedenti vale anche nel caso che le successioni siano formate da numeri interi relativi? Perché?
3. Calcola la somma dei numeri interi da –5 a +4.