Fare scienza con il computer
FISICA (“MODERNA”)
E PROBABILITÀ
Giorgio Pastore ([email protected])
Maria Peressi ([email protected])
3 febbraio 2011
L'imprevedibilità di alcuni fenomeni fisici può
essere controllata in modo statistico attraverso il
concetto di distribuzione di probabilità.
Esempi di fenomeni intrinsecamente probabilistici:
ce n’e` molti nella fisica classica, ma qui ne
consideriamo alcuni riguardanti la fisica moderna
e piu’ precisamente la meccanica quantistica
Ne discuteremo attraverso esempi di calcoli relativi
alla trattazione quantistica degli elettroni
(rilevati su uno schermo, o in atomi e molecole).
Perche’ ci interessiamo di
meccanica quantistica?
... per affrontare un argomento nuovo…
Ma c'è anche una ragione pratica che rende attuale
questo argomento. I più recenti sviluppi della
tecnologia (come la nanotecnologia) si basano sulla
manipolazione di singoli atomi, elettroni, molecole e
sul tentativo di usare questi oggetti per applicazioni
innovative. Il comportamento di questi oggetti
microscopici obbedisce alla meccanica quantistica.
Questa non è dunque solo importante per il progresso
della conoscenza scientifica; sicuramente essa
diventerà sempre più determinante per lo sviluppo
delle tecnologie del futuro.
Prima di parlare di meccanica quantistica e
fenomeni probabilistici, dobbiamo mettere a
fuoco che cosa e’ una distribuzione di
probabilita’ in generale e imparare a
generarla.
Distribuzioni di probabilità
Ad es. il lancio di un dado: la variabile “numero che
compare sulla faccia superiore” e’ una variabile
casuale. Piu’ lanci danno una sequenza di numeri casuali,
cioe’ una sequenza di numeri che sembrano
impredicibili ma che hanno ben definite proprieta’
statistiche.
I singoli risultati ci interessano poco, ma possiamo
chiederci:
- Qual e’ l’istogramma delle frequenze o distribuzione
di probabilita’ ?
(contiamo quante volte e’ uscito un certo numero)
- Qual e’ il valore medio (o massimo) ?
Distribuzione uniforme di probabilità E’ il caso del lancio di un singolo dado alla volta
e della variabile casuale associata
“numero che compare sulla faccia superiore” VariabiliCasuali.java
lanciato con Nvariabili=1, Nvalori=6, Nconf=3000!
Distribuzioni non uniformi di probabilità Giochiamo con due o piu’ (N) dadi..
Lanciati simultaneamente, e consideriamo la sequenza
dei risultati ottenuti per la variabile casuale
“somma dei numeri delle facce superiori di N dadi”
•
• valore medio?
istogramma delle frequenze ?
valore piu probabile?
VariabiliCasuali.java !
lanciato con Nvariabili=2 o piu’, Nvalori=6, Nconf=….!
Distribuzioni non uniformi di probabilità “somma dei numeri delle facce superiori di piu’ dadi”
Distribuzione triangolare
Somma di
2 dadi
Distribuzione gaussiana
Somma di
10 dadi
Distribuzioni di probabilità
• Come generare in un modo piu’ generale
una distribuzione di probabilita’ assegnata ?
• Algoritmo rifiuto-accettazione
per generare in altro modo alcune distribuzioni
di probabilita’ ottenute con i dati
• Sguardo a programmi e uso gnuplot
Algoritmo rifiuto-accettazione
Si vuole generare una variabile casuale x con distribuzione di
probabilità f(x) su un intervallo [a,b].
1.
si genera una coppia di variabili (x,y) distribuite in modo uniforme nel rettangolo
definito dagli intervalli [a,b][0,M] (M dev’essere maggiore o uguale al massimo di
f(x) in [a,b]) e si calcola f(x).
2. si accetta il valore di x se y<f(x), lo si rifiuta se e’ y>f(x) (cioe’: lo si accetta con
probabilità pari a f(x)/M, lo si rifiuta con probabilità 1- f(x)/M )
3. Il conteggio dei valori di x accettati da’ un istogramma che ha la forma di f(x)
(poi va normalizzato)
M
• Punti corrispondenti a
valori di x accettati
• Punti corrispondenti a
valori di x rifiutati
f(x)
a
b
Teniamo presente quanto abbiamo imparato
sulle distribuzioni di probabilita’ e cominciamo
ad addentrarci nella meccanica quantistica …
Cos è la Meccanica quantistica? - 1
A livello di oggetti molto piccoli come atomi, elettroni, protoni, neutroni
le leggi della meccanica classica non valgono più.
La fisica del ‘900 ha scoperto nuove leggi più adeguate a descrivere
e progettare sistemi e dispositivi di dimensioni atomiche.
Per quanto poco familiari possano apparire alla nostra percezione del
mondo costruita sulla base di esperienza su scala macroscopica,
i principi e risultati della meccanica quantistica (MQ) sono
coerenti e basati su fatti sperimentali, esattamente come quelli della
meccanica classica. Quest’ultima diventa un caso limite della MQ,
quando masse, energie e dimensioni divengono confrontabili con quelle
della scala quotidiana.
Cos è la Meccanica quantistica? - 2
A livello formale è possibile partire da principi analoghi ai principi
di Newton della meccanica classica (MC). Tuttavia, la struttura
matematica della MQ è più complessa di quella della MC.
Ci limitiamo quindi ad enunciare due dei principi della MQ in forma
qualitativa, senza pretesa di essere completi o rigorosi.
Cos è la Meccanica quantistica? - 3
1. Ogni misura di una proprietà fisica del sistema permette, in
generale, di fare predizioni puramente probabilistiche sui valori di
misure successive dello stesso o altri osservabili (però, in alcuni casi,
la probabilità può anche arrivare ad 1)
2. Non c è nessun limite (salvo di tipo pratico) sulla precisione con
cui posso misurare una singola quantità fisica. Ma ogni misura può
(secondo regole fisse) modificare la distribuzione di probabilità di
altre quantità fisiche dello stesso sistema.
Cos è la Meccanica quantistica? - 4
Conseguenze pratiche:
1. Lo stato del sistema non è più caratterizzabile, come in meccanica
classica, mediante i valori di (poche) quantità osservabili
(es: posizione, velocità, energia,…) ma richiede di assegnare (misurare)
una distribuzione di probabilità per i diversi possibili valori;
2. Le distribuzioni di probabilità di alcune quantità fisiche sono collegate:
un aumento di precisione sul valore di una quantità
(distribuzione di probabilità più concentrata)
implica una diminuzione di precisione su un’ altra
(distribuzione di probabilità meno concentrata)
(relazioni di indeterminazione di Heisenberg).
Cos è la Meccanica quantistica? - 5
Misure di posizione
1. La descrizione più completa sulla distribuzione di probabilità
relativa ad una misura di posizione r è data, in MQ, dalla funzione
d’onda Φ(r); per una singola particella, questa è una funzione della
coordinata r (in 3D: r=(x,y,z)), il cui quadrato |Φ(r)|2 fornisce la
distribuzione di probabilità di misure di posizione.
Elettroni e probabilita’
C’e’ un esperimento che ci fa ben capire la natura probabilistica
della posizione di un elettrone.
Consideriamo un cannone elettronico
che invii elettroni su uno schermo,
dopo aver attraversato una doppia
fenditura: quali saranno le posizioni
piu’ probabili?
Facciamo come i dadi: lanciamone
tanti, e, poiche’ ciascun elettrone
colpisce lo schermo in una posizione
ben precisa, individuata dalla macchia
luminosa che produce (come ogni
lancio di un dado ci da’ un numero
ben preciso), guardiamo il risultato...
Esperimento
doppia fenditura
(a) Con pochi elettroni non possiamo dire
molto circa la probabilita’ che una
parte o l’altra dello schermo venga
colpita: le posizioni sembrano
distribuite in modo casuale e uniforme
(b) Ancora..
(c) Ora invece si cominciano a distinguere
delle zone piu’ o meno colpite, cioe’ una
distribuzione non uniforme
(d) Aumentando il numero di elettroni
questo e’ sempre piu’ evidente
(e) Si tratta di un’alternanza di zone piu’ o
meno popolate…
e’ una tipica figura di interferenza
Esperimento doppia fenditura
Un filmino dell’esperimento:
http://www.hitachi.com/rd/research/em/movie.html
E anche (alcuni italiani lo hanno fatto per primi!):
http://www.bo.imm.cnr.it/users/lulli/downintel/index.html Esperimento doppia fenditura
Ma queste figure di interferenza vi
ricordano qualcosa dal mondo reale
macroscopico a noi piu’ familiare?
…ad esempio le
onde (sulla
superficie
dell’acqua):
…viste anche in questo filmino:
http://www.youtube.com/watch?v=5PmnaPvAvQY&feature=related
Esperimento doppia fenditura
La figura di interferenza che
gli elettroni danno e’ simile a
quella di onde materiali
(acqua) o anche onde luminose
(esperienza un po’ meno
comune, ci serve un laser e
due fenditure sottili sottili per
vederla)
Esperimento doppia fenditura
La figura di interferenza che
gli elettroni danno e’ diversa
da quella che potrebbero dare
oggetti macroscopici
Non per nulla abbiamo
cominciato a parlare di
meccanica quantistica
dicendo che
a livello di oggetti molto piccoli
come atomi, elettroni, protoni,
neutroni
le leggi della meccanica
classica non valgono più.
Esperimento doppia fenditura computazionale
Implementazione codice – visualizzazione
Commenti:
• Effetti di aumento della statistica
• …
L atomo di idrogeno
E’ il piu’ semplice atomo, costituito da un protone (nucleo)
e da un elettrone. L’elettrone puo’ avere diverse energie
e, in corrispondenza, diverse funzioni d’onda Φ (orbitali),
che danno (|Φ|2) le distribuzioni di probabilita’ di posizione
nello spazio attorno al nucleo.
Poiche’ l’elettrone ha carica, una
distribuzione di probabilita’
della sua posizione corrisponde
ad una densita’ di carica.
Questa e’ una raffigurazione della
distribuzione di probabilita’
dell’elettrone dell’atomo di H nello
stato ad energia piu’ bassa (1s)
L atomo di idrogeno
Queste sono altre raffigurazioni
della distribuzione di probabilita’
dell’elettrone dell’atomo di H
nello stato precedente e in altri
stati a energia piu’ alta
L atomo di idrogeno
Implementazione codice – visualizzazione
Commenti:
•
•
•
•
Effetti di aumento della statistica
Nodi delle funzioni d’onda
Estensione delle funzioni d’onda
(eventualmente: atomi idrogenoidi e dipendenza da
Z)
• Si potrebbe anche calcolare l energia potenziale…
Come?
Molecole e
spiegazione quantistica del
legame
H2+ e sovrapposizione di orbitali atomici
Molecole e
spiegazione quantistica del
legame
H2+ e sovrapposizione di orbitali atomici
Implementazione codice – visualizzazione
• Studio distribuzione di carica in funzione
della distanza intramolecolare R
• Verifica dell’accumulo di elettroni
nell’orbitale legante
Ancora atomi e molecole
Ora che sappiamo qualcosa, possiamo anche
vedere altri programmini… :
- Per l’atomo di idrogeno:
http://www.falstad.com/qmatom/
- Per lo ione molecolare H2+:
http://www.falstad.com/qmmo/
