Scuola Estiva di Fisica Moderna
per studenti di scuole secondarie superiori - IDIFO3
Fare scienza con il computer
Meccanica Quantistica e
Probabilità:
Un approccio numerico
Giorgio Pastore ([email protected])
Maria Peressi ([email protected])
28 luglio 2011
L'imprevedibilità di alcuni fenomeni fisici può
essere controllata in modo statistico attraverso il
concetto di distribuzione di probabilità.
Nella fisica classica ci sono molti esempi di
descrizioni probabilistiche di fenomeni fisici ma
nella fisica moderna la meccanica quantistica
assegna al punto di vista probabilistico un ruolo
centrale.
Ne discuteremo attraverso esempi di calcoli
relativi alla trattazione quantistica della posizione
di elettroni (rilevati su uno schermo, o in atomi e
molecole).
Perché ci interessiamo di
meccanica quantistica?
... per affrontare un argomento nuovo…
Ma c'è anche una ragione pratica che rende attuale questo
argomento. I più recenti sviluppi della tecnologia (come la
nanotecnologia) si basano sulla manipolazione di singoli atomi,
elettroni, molecole e sul tentativo di usare questi oggetti per
applicazioni innovative. Il comportamento di questi oggetti
microscopici è controllato dalla meccanica quantistica. Questa
non è dunque solo importante per il progresso della
conoscenza scientifica; sicuramente essa diventerà sempre più
determinante per lo sviluppo delle tecnologie del futuro.
Gli atomi oggi si possono
“vedere” e manipolare…
La prima immagine degli
atomi” la sigla IBM
“scritta” con atomi di Xe
su superficie (110) di Ni
http://www.almaden.ibm.com/vis/stm/gallery.html
La parola “atomo”
(letteralmente qualcosa
come “bambino originale”)
in caratteri Kanji
“scritta” con atomi di Fe
su superficie (111) di Cu
Nanochitarra
(Cornell Univ.)
Ogni corda ha uno spessore di 10
nm, cioe’ circa 100 atomi
Un numero per capire: tipica distanza tra atomi: ~3Å (3x10–8 cm)
Prima di parlare di meccanica quantistica e
fenomeni probabilistici, dobbiamo mettere a
fuoco che cosa è una distribuzione di
probabilità in generale e imparare a
utilizzarla.
Distribuzioni di probabilità
Ad es. il lancio di un dado: la variabile “numero che
compare sulla faccia superiore” è una variabile
casuale. Più lanci danno una sequenza di numeri casuali,
cioè una sequenza di numeri che sembrano
impredicibili ma che hanno ben definite proprietà
statistiche.
I singoli risultati ci interessano poco, ma possiamo
chiederci:
-Qual è l’istogramma delle frequenze o distribuzione di
probabilità ?
(contiamo quante volte è uscito un certo numero)
-Qual è il valore medio (o massimo) ?
Distribuzione uniforme di
probabilità
E’ il caso del lancio di un singolo dado alla volta
e della variabile casuale associata
“numero che compare sulla faccia superiore”
VariabiliCasuali.java
lanciato con Nvariabili=1, Nvalori=6, Nconf=3000
Distribuzioni non uniformi di
probabilità
Giochiamo con due o più (N) dadi..
Lanciati simultaneamente, e consideriamo la sequenza
dei risultati ottenuti per la variabile casuale
“somma dei numeri delle facce superiori di N dadi”
• istogramma delle frequenze ?
• valore medio? valore più probabile?
VariabiliCasuali.java
lanciato con Nvariabili=2 o più, Nvalori=6, Nconf=….
Distribuzioni non uniformi di probabilità
“somma dei numeri delle facce superiori di più dadi”
Distribuzione triangolare
Somma di
2 dadi
Distribuzione gaussiana
Somma di
10 dadi
Distribuzioni di
probabilità
• Il problema: come generare una o più variabili
casuali i cui valori seguono una distribuzione di
probabilità assegnata ?
• Una soluzione: Algoritmo rifiuto-accettazione
• Sguardo a programma distribuzione.cpp e
uso gnuplot
Algoritmo rifiuto-accettazione
Si vuole generare una variabile casuale x con distribuzione di
probabilità f(x) su un intervallo [a,b].
1. si genera una coppia di variabili (x,u) distribuite in modo uniforme nel rettangolo
definito dagli intervalli [a,b][0,M] (M dev’essere maggiore o uguale al massimo di
f(x) in [a,b]) e si calcola f(x).
2. si accetta il valore di x se u<f(x), lo si rifiuta se è u>f(x) (cioè: lo si accetta con
probabilità pari a f(x)/M, lo si rifiuta con probabilità 1- f(x)/M )
3. il conteggio dei valori di x accettati dà un istogramma che ha la forma di f(x)
(poi va normalizzato)
M
f(x)
a
b
•
Punti corrispondenti a
valori di x accettati
•
Punti corrispondenti a
valori di x rifiutati
Teniamo presente quanto abbiamo imparato
sulle distribuzioni di probabilità e cominciamo
ad addentrarci nella meccanica quantistica …
Cos’è la Meccanica quantistica? - 1
A livello di oggetti molto piccoli come atomi, elettroni, protoni, neutroni
le leggi della meccanica classica non valgono più.
La fisica del ‘900 ha scoperto nuove leggi più adeguate a descrivere
e progettare sistemi e dispositivi di dimensioni atomiche.
Per quanto poco familiari possano apparire alla nostra percezione del
mondo costruita sulla base di esperienza su scala macroscopica,
i principi e risultati della meccanica quantistica (MQ) sono
coerenti e basati su fatti sperimentali,
esattamente come quelli della meccanica classica.
Quando masse, energie e dimensioni divengono confrontabili con quelle
della scala quotidiana, la fenomenologia descritta dalla MQ
è ben approssimata dalla meccanica classica.
Cos’è la Meccanica quantistica? - 2
A livello formale è possibile partire da principi così come nella
meccanica classica (MC) si parte dai principi di Newton.
Tuttavia, la struttura matematica della MQ è più complessa
di quella della MC.
Ci limitiamo quindi ad enunciare due dei principi della MQ in forma
qualitativa, senza pretesa di essere completi o rigorosi.
Cos’è la Meccanica quantistica? - 3
1. Ogni misura di una proprietà fisica del sistema permette, in
generale, di fare predizioni puramente probabilistiche sui valori di
misure successive dello stesso o altri osservabili (però, in alcuni casi,
la probabilità può anche arrivare ad 1). Questo comporta che anche
nella descrizione più completa possibile dello stato di un sistema
quantistico permane un aspetto genuinamente stocastico.
2. Non c’è nessun limite (salvo di tipo pratico) sulla precisione con
cui posso misurare una singola quantità fisica. Ma ogni misura può
(secondo regole fisse) modificare la distribuzione di probabilità di
altre quantità fisiche dello stesso sistema.
Cos’è la Meccanica quantistica? - 4
Conseguenze pratiche:
1. Lo stato del sistema non è più caratterizzabile, come in meccanica
classica, mediante i valori di (poche) quantità osservabili
(es: posizione, velocità, energia,…) ma richiede di assegnare (misurare)
una distribuzione di probabilità per i diversi possibili valori;
2. Le distribuzioni di probabilità di alcune quantità fisiche sono collegate:
un aumento di precisione sul valore di una quantità
(distribuzione di probabilità più concentrata)
implica una diminuzione di precisione su un’ altra
(distribuzione di probabilità meno concentrata)
(relazioni di indeterminazione di Heisenberg).
Cos’è la Meccanica quantistica? - 5
Misure di posizione
1. La descrizione più completa sul risultato di una misura di
posizione r è data, in MQ, dalla funzione d’onda Φ; per una
singola particella, questa è una funzione di r (in 3D: r=(x,y,z)),
il cui quadrato Φ(r)2 fornisce la distribuzione di probabilità di misure
di posizione.
Elettroni e probabilità
C’è un esperimento che ci fa ben capire la natura
probabilistica della posizione di un elettrone.
Consideriamo un cannone elettronico
che invii elettroni su uno schermo,
dopo aver attraversato una doppia
fenditura: quali saranno le posizioni
piu’ probabili?
Facciamo come i dadi: lanciamone
tanti, e, poiche’ ciascun elettrone
colpisce lo schermo in una posizione
ben precisa, individuata dalla macchia
luminosa che produce (come ogni
lancio di un dado ci da’ un numero
ben preciso), guardiamo il risultato...
Esperimento
doppia fenditura
(a) Con pochi elettroni non possiamo dire
molto circa la probabilità che una
parte o l’altra dello schermo venga
colpita: le posizioni sembrano
distribuite in modo casuale e uniforme
(b) Ancora..
(c) Ora invece si cominciano a distinguere
delle zone piu’ o meno colpite, cioe’
una distribuzione non uniforme
(d) Aumentando il numero di elettroni
questo e’ sempre piu’ evidente
(e) Si tratta di un’alternanza di zone piu’
o meno popolate… assomiglia ad
una tipica figura di interferenza
Esperimento doppia fenditura
Un filmino dell’esperimento:
http://www.hitachi.com/rd/research/em/movie.html
E anche (alcuni italiani lo hanno fatto per primi!):
http://www.bo.imm.cnr.it/users/lulli/downintel/index.html
Esperimento doppia fenditura
Ma queste figure di interferenza ci
ricordano qualcosa dal mondo reale
macroscopico a noi più familiare?
…ad esempio le
onde (sulla
superficie
dell’acqua):
…viste anche in questo filmino:
http://www.youtube.com/watch?v=5PmnaPvAvQY&feature=related
Esperimento doppia fenditura
La figura di interferenza
creata da molti elettroni è
analoga a quella ottenibile con
luce monocromatica e simile a
quella di onde materiali
(acqua)
Esperimento doppia fenditura
La figura di interferenza creata
da molti elettroni è diversa da
quella formata dai punti di
impatto di oggetti macroscopici
(2 massimi, no frange)
Non per nulla abbiamo
cominciato a parlare di
meccanica quantistica
dicendo che
a livello di oggetti molto
piccoli come atomi, elettroni,
protoni, neutroni
le leggi della meccanica
classica non valgono più.
Esperimento doppia fenditura
- computazionale
Implementazione codice distribuzione.cpp
Commenti:
•Simula la “costruzione” di un sistema di frange di
diffrazione a partire a singoli eventi (misurare la
presenza di un elettrone) la cui distribuzione di
probabilità è assegnata e mostra effetti di
interferenza.
•Effetti di aumento della statistica
•…
L’ atomo di idrogeno
E’ il più semplice atomo, costituito da un protone (nucleo)
e da un elettrone. L’elettrone può avere diversi valori
dell’ energia e del momento angolare e, in corrispondenza,
diverse funzioni d’onda Φ (orbitali), individuate dai valori di
indici interi (i numeri quantici), che generano (via Φ2) le
distribuzioni di probabilità per la posizione nello spazio
attorno al nucleo.
Questa e’ una raffigurazione della
distribuzione
di probabilità
dell’elettrone dell’atomo di H nello
stato ad energia piu’ bassa (1s)
L’ atomo di idrogeno
Queste sono altre raffigurazioni
della distribuzione di
probabilita’ dell’elettrone
dell’atomo di H nello stato
precedente e in altri stati
L’ atomo di idrogeno
Implementazione codice Horbitals.cpp –
visualizzazione plotta.gn/plotta_colori.gn
Commenti:
•Anche qui simuliamo misure indipendenti di posizione
su atomi identici nello stesso stato
•Effetti di aumento della statistica
•Nodi delle funzioni d’onda
•Estensione delle funzioni d’onda
•…
•Si potrebbe anche calcolare l‘energia potenziale…
Molecole e
spiegazione quantistica del
legame
H2+ e sovrapposizione di orbitali atomici
Molecole e
spiegazione quantistica del
legame
H2+ e sovrapposizione di orbitali atomici
•Studio distribuzione di carica in funzione
della distanza intramolecolare R
codice H2.cpp
•Verifica dell’accumulo di elettroni
nell’orbitale legante
codice H2bond.cpp
Ancora atomi e molecole
Ora che sappiamo qualcosa, possiamo anche vedere altri
programmi in rete :
- Per l’atomo di idrogeno:
http://www.falstad.com/qmatom/
-Per lo ione molecolare H2+:
http://www.falstad.com/qmmo/
-Dalle rappresentazioni mediante nuvole di punti a altre
rappresentazioni di densità ed orbitali:
http://winter.group.shef.ac.uk/orbitron/AOs/1s/e-density-dots.html
