Microeconomia
Douglas Bernheim, Michael Whinston
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LA MASSIMIZZAZIONE DEL PROFITTO ATTRAVERSO LA
FISSAZIONE DEL PREZZO IN FUNZIONE DELLE QUANTITÀ
In questa Appendice mostreremo come trovare la tariffa in due parti che massimizza i profitti di
Clearvoice, il monopolista della telefonia wireless introdotto nella Sezione 17.4.
Assumiamo, come nella Sezione 17.4, che esistano due tipi di clienti: quelli con domanda elevata, ognuno
dei quali ha una funzione di domanda QH = 100 - 100PH, e quelli con domanda bassa, per i quali la
funzione di domanda è data da QL = 50 - 100PL.
PH e PL sono i prezzi (espressi in euro al minuto) per due servizi. Le funzioni di domanda inverse sono PH
= 1 – 0,01QH e PL = 0,5 – 0,01QL. Supponiamo ora che i clienti con domanda elevata siano 100 e gli altri
siano 400.
LA TARIFFA IN DUE PARTI
Per individuare la tariffa in due parti più profittevole, è necessario confrontare la miglior tariffa che induce
solo i clienti con domanda elevata a comprare il bene con la tariffa che induce a comprare entrambe le
categorie di clienti.
Come visto nella Sezione 17.4, se Clearvoice vendesse i suoi servizi unicamente ai clienti con domanda
elevata, troverebbe ottimale praticare un prezzo al minuto uguale al costo marginale, che supponiamo
essere di € 0,10 al minuto. La quota fissa dovrebbe essere invece posta uguale al surplus che i clienti con
domanda elevata ottengono in corrispondenza di questo livello di prezzo, vale a dire € 40,50 (si veda a tal
proposito l’Esercizio svolto 17.1). Dato che i clienti con domanda elevata sono 100, i profitti
ammonterebbero dunque a € 4.050.
Troviamo ora la tariffa in due parti ottimale nel caso in cui Clearvoice venda i suoi servizi ad entrambe le
categorie di clienti. Se Clearvoice potesse decidere QL, ovvero il numero complessivo di minuti di chiamata
da vendere a ciascuno dei clienti con bassa domanda, la sua decisione determinerebbe sia il costo al minuto
delle singole telefonate, sia la quota fissa da pagare per accedere al servizio (che sarebbe pari al surplus che
i clienti con bassa domanda registrano in corrispondenza del livello di prezzo stabilito). Per trovare quindi
la tariffa in due parti ottimale, si rende necessario esaminare l’effetto di un incremento al margine di QL,
ovvero di un minuto in più di telefonate per i clienti con bassa domanda.
In corrispondenza della quantità ottimale – quella che massimizza il profitto – sappiamo che, come sempre,
il ricavo marginale derivante da questa variazione deve eguagliare il relativo costo marginale. Un minuto in
più di telefonate per i clienti con bassa domanda induce una variazione del ricavo di Clearvoice in
riferimento ad entrambe le categorie di consumatori. Più specificatamente :
1. modifica il ricavo che Clearvoice riceve dai clienti con bassa domanda per effetto della vendita di minuti
di telefonate. Se Clearvoice vende un minuto addizionale di telefonate ai clienti con bassa domanda, il
ricavo marginale derivante dall’effettuazione di telefonate da parte di questi clienti sarà:
MRL = P + (ΔP/ΔQL) QL
= (0,5 – 0,01QL) – 0,01QL
= 0,5 – 0,02QL
(1)
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2. modifica il ricavo che Clearvoice riceve dai clienti con elevata domanda per effetto della vendita di
minuti di chiamate. Siccome la variazione del prezzo al minuto è ΔP = -0,01ΔQL e ΔQH = -100ΔP, la
variazione osservabile in QH sarà data da ΔQH = - 100 (-0,01ΔQL) = ΔQL.
In altre parole, la quantità di minuti di chiamate per i clienti con domanda elevata si modificherà così come
la quantità di minuti per l’altra categoria di consumatori. Il ricavo marginale derivante quindi
dall’effettuazione di telefonate da parte clienti con domanda elevata sarà:
MRH =P + (ΔP/ΔQH)QH
= (1 – 0,01QH) – 0,01QH
(2)
= 1 – 0,02QH
Dal momento che, per qualsiasi livello di prezzo al minuto, QH = QL + 50, è possibile sostituire QH
all’interno dell’espressione (2) e scrivere quindi il ricavo marginale come funzione di QL:
MRH = 1 – 0,02(QL + 50)
(3)
= -0,02QL
3. cambia la quota fissa, F, che Clearvoice richiede ai suoi clienti per accedere al servizio, senza perdere
quelli con bassa domanda. Quando si riduce il prezzo in una misura pari a ΔP, l’extra surplus dei clienti
con bassa domanda risulta, approssimativamente, -(ΔP x QL), che equivale al risparmio di questa parte di
clienti per effetto della riduzione del prezzo. (Se disegniamo un grafico relativo al surplus dei clienti con
bassa domanda prima e dopo il cambiamento del prezzo per esaminarne gli effetti, possiamo notare come
l’extra surplus risultante sia, approssimativamente, un rettangolo di altezza di ΔP e larghezza di QL.) Un
minuto in più di chiamate da parte dei clienti con bassa domanda richiede una riduzione del prezzo pagato
al minuto pari a ΔP = -0,01 e fa aumentare la quota fissa per l’accesso al servizio del seguente ammontare:
ΔF = 0,01QL
(4)
Il ricavo marginale complessivamente derivante da queste variazioni risulta quindi:
MR = 500(ΔF) + 400(MRL) + 100(MRH)
= 500(0,01QL) + 400(0,5 – 0,02QL) + 100( - 0,02QL)
(5)
= 200 - 5QL
Come influenza i costi questa variazione? Con essa ciascun consumatore decide di acquistare un minuto in
più di telefonate. Di conseguenza, ci saranno complessivamente 500 minuti addizionali di telefonate. Il
costo marginale complessivo è quindi MC = € 50. Possiamo allora individuare il prezzo al minuto ottimale
uguagliando costo e ricavo marginale:
200 - 5QL = 50
Risolvendo per QL, otteniamo QL = 30. Utilizzando la funzione di domanda inversa relativa ai clienti con
bassa domanda, troviamo allora che il prezzo al minuto che massimizza il profitto della Clearvoice è di €
0,20. La quota fissa di accesso al servizio sarà uguale al surplus dei clienti con bassa domanda in
corrispondenza di un prezzo al minuto pari a € 0,20 e risulterà pertanto uguale a € 4,50.
Calcoliamo ora i profitti che Clearvoice ottiene praticando questa tariffa in due parti. I clienti con bassa
domanda comprano 30 minuti di chiamate mentre quelli con domanda elevata ne comprano 80. Il numero
complessivo di minuti venduti è dunque (400 x 30) + (100 x 80) = 20.000. I profitti derivanti da questo
numero di minuti venduti è pari a € 2.000, dal momento che Clearvoice ottiene un profitto di € 0,10 per
ogni minuto di telefonate. Tutti i 500 clienti pagano inoltre la quota fissa, corrispondenti ad altri € 2.250. Il
profitto mensile totale è quindi € 4.250. Dato che questo profitto è superiore a quello che si avrebbe
vendendo esclusivamente ai clienti con domanda elevata (corrispondente a €4.050), per l’impresa è
ottimale vendere i propri servizi a entrambe le categorie di clienti praticando la tariffa in due parti.
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ESERCIZIO 17A.1 Trova la tariffa in due parti che massimizza i profitti di Clearvoice nel caso
in cui la funzione di domanda dei clienti con domanda elevata sia QH = 150 - 100PH.
(Si continui ad assumere una funzione di domanda QL = 50 - 100PL per l’altra categoria di clienti e si
continui ad assumere che vi siano 100 clienti con domanda elevata e 400 con domanda bassa; il costo
marginale è sempre di 10 centesimi al minuto.)
Resta ora da vedere come varia il prezzo al minuto ottimale in funzione della proporzione fra il numero di
clienti con bassa domanda e quello dei clienti con domanda elevata, sempre nell’ipotesi che i servizi
vengano venduti ad entrambe le categorie di clienti. Per rispondere a tale quesito, supponiamo che vi siano
N clienti in tutto, e che si sappia che una quota sL di loro sia rappresentata dai clienti con bassa domanda.
Ci saranno quindi sL N clienti con bassa domanda e (1 - sL) N clienti con domanda elevata. Date queste
informazioni, il ricavo marginale complessivamente derivante dalla vendita di un minuto di telefonate in
più ai clienti con bassa domanda sarà:
MR = N(ΔF) + sLN(MRL) + (1 - sL)N(MRH)
= N [(0,01QL) + sL(0,5 – 0,02QL) + (1 - sL)( - 0,02QL)]
(6)
= N [0,5sL – 0,01QL]
Il costo addizionale per la fornitura di un minuto addizionale di telefonate rispetto a QL è (0,10 x N) dato
che ogni cliente, come già visto, deciderà di acquistare il minuto extra (sappiamo che ΔQH = ΔQL), i clienti
sono complessivamente N e il costo marginale del servizio offerto da Clearvoice è pari a 10 centesimi. Il
costo marginale totale che deriva all’impresa dalla decisione di fornire un minuto in più di telefonate è
quindi MC = 0,10 N. Imponendo che ricavi e costi marginali siano uguali, otteniamo:
N [0,5sL – 0,01QL] = 0,10N
(7)
Dividendo ambo i membri di quest’ultima equazione per il numero complessivo di clienti N, possiamo
riscrivere l’espressione (7) come:
0,5sL – 0,01QL = 0,10
(8)
La soluzione è dunque:
QL = (0,5sL – 0,10) / 0,01
(9)
Se la proporzione rappresentata dai clienti con bassa domanda sul totale è inferiore a 1 (sL < 1), QL risulta
minore di 40, il che - come si evince dalla funzione di domanda inversa dei clienti con bassa domanda implica che il prezzo al minuto è maggiore del costo marginale di 10 centesimi al minuto. Inoltre, è bene
notare come QL si riduca quando si riduce la quota dei clienti con bassa domanda, sL , determinando, di
conseguenza, un aumento del prezzo al minuto. La tariffa in due parti più profittevole per Clearvoice si
individua quindi confrontando il profitto che si otterrebbe vendendo il servizio ad entrambe le categorie di
clienti con quello che si avrebbe vendendo il servizio ai soli clienti con domanda elevata.
IL MENU OTTIMALE DI TARIFFE IN DUE PARTI
Vediamo ora come trovare il menu delle tariffe in due parti che massimizza il profitto dell’impresa 1 . Come
visto nella Sezione 18.4, la politica ottimale consiste in un piano tariffario in due parti rivolto ai clienti con
elevata domanda, con un prezzo al minuto pari a 10 centesimi (uguale quindi al costo marginale).
Un cliente con domanda elevata finirebbe per utilizzare 90 minuti di chiamate con questo piano tariffario.
La politica di vendita ottimale per l’impresa prevede però anche un altro piano tariffario in due parti,
1
Si può dimostrare che il menù ottimale di tariffe in due parti coincide con l’applicazione delle tariffa in due parti ottimale in
riferimento ad ogni singolo e distinto segmento di clientela che la politica di vendita prevede di servire.
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specificatamente rivolto ai clienti con bassa domanda in grado di coprire il numero di minuti che questo
tipo di clienti desidererebbe acquistare dato il prezzo al minuto previsto dal piano.
Clearvoice deve quindi determinare solamente il prezzo al minuto per il piano tariffario a basso consumo,
oltre che la quota fissa richiesta per ciascun piano. Questi tre valori possono essere fissati sulla base di QL,
ovvero dei minuti di chiamate che – si pensa – verranno acquistati dai clienti con bassa domanda. Una volta
stimata la quantità QL, si può quindi procedere a fissare i fondamentali dei piani tariffari (si riveda a tal
proposito tutta la discussione fatta nella Sezione 17.4):
• il prezzo al minuto nel piano tariffario a basso consumo è il prezzo che induce i clienti con bassa domanda
a utilizzare QL minuti di telefonate. Tale prezzo si determina a partire dalla curva di domanda di tale
tipologia di clienti o, più precisamente, dalla loro funzione di domanda inversa.
• la quota fissa del piano tariffario a basso consumo è invece uguale al surplus che i clienti con bassa
domanda ottengono in corrispondenza del prezzo al minuto praticato.
• la quota fissa del piano tariffario ad alto consumo è invece pari all’importo che rende i clienti con
domanda elevata indifferenti fra i due piani tariffari di consumo, dato un prezzo al minuto per il piano ad
alto consumo esattamente uguale al costo marginale di 10 centesimi.
Supponiamo, per esempio, che Clearvoice voglia vendere ai clienti con bassa domanda un pacchetto di 30
minuti di chiamate; il piano tariffario a basso consumo dovrebbe prevedere un costo al minuto di 20
centesimi a fronte di una quota fissa di € 4,50, mentre il piano tariffario ad alto consumo dovrebbe
prevedere una quota fissa di € 25,50. Se i clienti con bassa domanda sono 400 e quelli con domanda elevata
sono 100, i profitti complessivi di Clearvoice saranno allora di € 5.550.
Per individuare la politica di prezzo ottimale, occorre considerare gli effetti di una variazione al margine di
QL, ovvero del numero di minuti di telefonate offerti ai clienti con bassa domanda. Supponiamo che venga
offerto un minuto addizionale di chiamate. Per massimizzare il profitto, la condizione fondamentale è
sempre quella di uguagliare il ricavo ed il costo marginale derivanti da questa decisione. L’incremento
marginale di QL ha tre effetti sui ricavi:
1. varia il ricavo che Clearvoice riceve dai clienti con bassa domanda per effetto della vendita di minuti di
chiamate. Si tratta dello stesso effetto che avevamo considerato quando ci proponevamo di individuare la
tariffa in due parti ottimale. Come in quel caso, possiamo quindi scrivere:
MRL = 0,5 - 0,02QL
(10)
2. varia la quota fissa che Clearvoice richiede ai suoi clienti per l’accesso al servizio, senza però perdere
quelli con bassa domanda. Anche qui, vale quanto detto in precedenza a proposito della tariffa in due parti
ottimale. Denotando con FL la quota fissa prevista dal piano tariffario a basso consumo, possiamo scrivere:
ΔFL = 0,01QL
(11)
3. varia la quota fissa che Clearvoice richiede ai clienti con domanda elevata. Per illustrare questo effetto,
consideriamo la Figura 17A.1: l’area tratteggiata in rosso mostra la riduzione della quota fissa prevista dal
piano tariffario ad alto consumo che fa seguito alla decisione di Clearvoice di portare il pacchetto di
chiamate previsto dal piano tariffario a basso consumo da 30 a 31 minuti. L’area in questione è
approssimativamente uguale all’area di un rettangolo che ha, per altezza, la distanza fra le curve di
domanda delle due tipologie di clienti, corrispondente a € 0,50 [= (1 - QL) - (0,5 - QL)], e per larghezza la
variazione nel numero complessivo di minuti di telefonate previsto dal piano a basso consumo. Possiamo
quindi scrivere la variazione della quota fissa del piano tariffario ad alto consumo come:
ΔFH = - 0,5
(12)
Figura 17A.1
La variazione della quota fissa prevista dal piano tariffario ad alto consumo. Il pacchetto previsto
dal piano tariffario a basso consumo passa da 30 a 31minuti, il che corrisponde ad una riduzione del
prezzo al minuto da 20 a 19 centesimi; la quota fissa prevista dal piano tariffario ad alto consumo si
riduce allora in una misura data dall’area tratteggiata in rosso.
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Lettering:
sull’asse verticale, scrivere Prezzo (€ al minuto)
sull’asse orizzontale, scrivere Minuti di chiamate mensili
sostituire lungo l’asse verticale i valori “0.10, 0,20, …, 1.00” con 0,10 0,20 … 1,00
sostituire “=1 minute” con = 1 minuto
sostituire “=$0.50” con = € 0,50
Considerando i tre effetti congiuntamente, possiamo quindi concludere che il ricavo marginale derivante da
questa decisione sarà:
MR = 400(MRL) + 400(ΔFL) + 100(ΔFH)
= 400(0,5 – 0,02QL) + 400(0,01QL) - 100(0,5)
(13)
= 150 - 4QL
Passiamo ora ad esaminare la variazione dei costi. Ciascuno dei clienti con bassa domanda deciderà di
acquistare il minuto in più di telefonate, mentre i clienti con domanda elevata non modificheranno le loro
scelte e continueranno ad utilizzare 90 minuti di conversazioni telefoniche, esattamente come prima. Il
costo marginale derivante all’impresa ammonta quindi a € 40. Per massimizzare il profitto di Clearvoice, Il
prezzo al minuto praticato ai clienti con bassa domanda deve uguagliare ricavi e costi marginali
complessivi:
150 - 4QL = 40
Risolvendo per QL troviamo che QL = 27,5 minuti. La funzione di domanda inversa per i clienti con bassa
domanda associa tale quantità ad un prezzo di € 0,225 al minuto: sarà dunque questo il prezzo al minuto
previsto dal piano tariffario a basso consumo. La quota fissa prevista da tale piano sarà invece uguale al
surplus che i clienti con bassa domanda ottengono in corrispondenza di un prezzo di € 0,225 al minuto,
ovvero € 3,78125 (= 0,5 x 0,275 x 27,5).
La quota fissa prevista dal piano tariffario ad alto consumo deve invece essere scelta, come detto, in modo
da rendere i clienti con domanda elevata indifferenti fra i due diversi piani. Con un prezzo al minuto di 10
centesimi, i clienti con domanda elevata hanno un surplus di € 0,405. Il surplus complessivo che deriva loro
dal sottoscrivere il paino tariffario ad alto consumo è quindi di € 0,405 meno la quota fissa FH. Se, anziché
scegliere il piano tariffario ad alto consumo, questi clienti optassero per il piano a basso consumo, il loro
surplus risulterebbe di € 13,75, uguale cioè ai 27,5 minuti di chiamate offerte dal pacchetto moltiplicati per
i € 0,50 che rappresentano la differenza tra la loro disponibilità a pagare per ciascuno di questi minuti e
quella dei clienti con bassa domanda. (Ricordiamo che i clienti con bassa domanda hanno un surplus nullo
con questo piano. Dal momento che i clienti con domanda elevata utilizzano lo stesso numero di minuti e
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pagano le stesse cifre, il surplus che questi ultimi ottengono dal paino tariffario a basso consumo coincide
con la loro disponibilità a pagare in eccesso rispetto a quella dei clienti con bassa domanda.) Alla luce di
tutto ciò, la quota fissa che garantisce l’indifferenza fra i due piani tariffari è data da:
40,5 - FH = 13,75
Risolvendo tale equazione, scopriamo che la quota fissa associata dal piano tariffario ad alto consumo sarà
pari a € 26,75.
In sintesi, la politica di vendita che massimizza i profitti della Clearvoice si articola su due paini tariffari:
uno rivolto a clienti con domanda elevata, con una quota fissa mensile di € 26,75 ed un costo al minuto di
10 centesimi, ed uno rivolto invece ai clienti con bassa domanda, con una quota fissa mensile di € 3,78125
ed un prezzo al minuto di 22,5 centesimi. Clearvoice guadagnerà complessivamente € 4.187,50 dalle quote
fisse più, approssimativamente, €1,375 per ogni minuto di chiamate da parte dei clienti con bassa domanda.
(Non guadagnerà invece nulla per ogni minuto di chiamata da parte dei clienti con domanda elevata,
praticando loro un prezzo uguale al costo marginale.) Il profitto mensile complessivo sarà allora di €
5.562,50: ben € 1.312,50 in più rispetto ai € 4.250 che l’impresa guadagnerebbe applicando un’unica tariffa
in due parti (applicando, in particolare, la tariffa ottima individuata in precedenza): si tratta del 30% in più.
ESERCIZIO 17A.2 Si trovi il menu di tariffe in due parti che massimizza i profitti di Clearvoice
quando la funzione di domanda per i clienti con domanda elevata è QH = 150 -100PH. (Continuiamo
ad assumere che la curva di domanda per gli altri clienti sia data da QL = 50 - 100PL, che i clienti con
domanda elevata siano 100, che quelli con bassa domanda siano 400 e che il costo marginale sia
sempre di 10 centesimi al minuto.)
Consideriamo ora come il prezzo al minuto ottimale previsto dal piano tariffario a basso consumo dipenda
dalla proporzione fra il numero di clienti con bassa domanda e quello dei clienti con domanda elevata.
Supponiamo che la quota che i clienti con bassa domanda rappresentano sul totale dei clienti sa sL.. Sotto
queste condizioni, il ricavo addizionale che deriva complessivamente all’impresa dalla scelta di
incrementare al margine il numero di minuti per i clienti con bassa domanda è dato da:
MR = N [sL(MRL) + sL(ΔFL) + (1 - sL)( ΔFH)]
= N [sL(0,5 – 0,02QL) + sL(0,01QL) + (1 - sL)(- 0,5)]
(14)
= N [sL(1 – 0,01QL) – 0,5]
Il costo marginale associato all’incremento di QL con un minuto addizionale di telefonate è MC = (0,10 x
sL N) dal momento che, come visto, solo i clienti con bassa domanda modificano le loro scelte di consumo.
Imponendo l’uguaglianza fra costi e ricavi marginali, otteniamo:
N [sL(1 – 0,01QL) - 0,5] = 0,10 sLN
(15)
Dividendo ambo i membri di quest’ultima equazione per il numero complessivo di clienti N, è possibile
riscrivere l’espressione (15) come
sL(1 – 0,01QL) – 0,5 = 0,10 sL
(16)
la soluzione è dunque:
QL = 90 – (50/sL)
(17)
Per ogni proporzione fra clienti con bassa domanda e clienti con domanda elevata inferiore all’unità (sL <
1), QL risulta minore di 40, il che - come si evince dalla funzione di domanda inversa dei clienti con bassa
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domanda - implica che il prezzo al minuto previsto dal paino tariffario a basso consumo è maggiore del
costo marginale di 10 centesimi. Inoltre, QL si riduce quando si riduce sL, ovvero la quota che i clienti con
bassa domanda rappresentano sul totale dei clienti; questo significa, quindi, che quando si riduce sL il
prezzo al minuto previsto dal piano tariffario a basso consumo aumenta.
