Materiale

APPUNTI DI MATEMATICA
CORSO IN SCIENZE
GEOLOGICHE
Prof.ssa SERENA DORIA
A cura di:
Mauricio Secchi e Valerio Granata
A.A. 2014/2015
ii
APPUNTI DI MATEMATICA CORSO IN
SCIENZE GEOLOGICHE
Serena Doria
5 ottobre 2015
ii
c
2015
Serena Doria
Stampato in proprio
Soggetto alla licenza Creative Commons
Finito di stampare il 1 ottobre 2015
iii
Dedica
iv
Prefazione
Indice
1 Elementi di Teoria degli Insiemi
1.1 Insieme . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Rappresentazione di Insiemi . . . . . .
1.3 Sottoinsieme . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Operazioni tra Insiemi . . . . . . . . .
1.4.1 Unione Insiemistica . . . . . .
1.4.2 Intersezione Insiemistica . . . .
1.4.3 Differenza Insiemistica . . . . .
1.4.4 Prodotto Cartesiano . . . . . .
1.5 Insiemi Numerici . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Insieme dei Numeri Naturali .
1.5.2 Insieme dei Numeri Interi . . .
1.5.3 Insieme dei Numeri Razionali .
1.5.4 Insieme dei Numeri Reali . . .
1.5.5 Insieme dei Numeri Irrazionali
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2 Funzioni
2.1 Relazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Relazione Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Funzioni Composte . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Funzione Iniettiva . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Funzione Suriettiva . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Funzione Inversa . . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Funzioni Monotone . . . . . . . . . . . .
2.4 Funzioni Elementari . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Funzione Esponenziale . . . . . . . . . .
2.4.2 Funzione Logaritmica . . . . . . . . . .
2.4.3 Funzioni Trigonometriche e loro inverse
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3 Spazio Topologico
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3.1 Esempi di spazi topologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1 Topologia banale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.2 Topologia discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
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vi
INDICE
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4 Limiti in uno Spazio Topologico
4.1 Definizione di limite . . . . . . . . .
4.2 Calcolo dei Limiti . . . . . . . . . . .
4.3 Funzione Parte Intera . . . . . . . .
4.4 Funzioni che non ammettono limite .
4.5 Operazioni tra i Limiti . . . . . . . .
4.6 Limiti Notevoli . . . . . . . . . . . .
4.7 Teorema di Unicita’ del Limite . . .
4.8 Limite Destro e limite Sinistro . . .
4.9 Teorema della Permanenza del segno
4.10 Teorema del Confronto tra limiti . .
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3.2
3.1.3 Topologia naturale di R
Elementi degli spazi topologici
3.2.1 Intorno . . . . . . . . .
3.2.2 Punto Interno . . . . . .
3.2.3 Punto di Frontiera . . .
3.2.4 Punto Accumulazione .
3.2.5 Insieme Aperto . . . . .
3.2.6 Insieme Chiuso . . . . .
3.2.7 Topologia Naturale di R̂
3.2.8 Estremo Superiore . . .
3.2.9 Estremo Inferiore . . . .
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5 Funzioni Continue
5.1 Discontinuità . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Discontinuità Eliminabile . . . .
5.1.2 Discontinuità di Prima Specie . .
5.1.3 Discontinuità di Seconda Specie .
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6 Derivate
6.1 Regole generali di Derivazione . . . . . . .
6.2 Funzioni Derivabili e Monotonia . . . . .
6.2.1 Stretta crescenza . . . . . . . . . .
6.2.2 Crescenza . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Stretta decrescenza . . . . . . . . .
6.2.4 Decrescenza . . . . . . . . . . . . .
6.3 Teorema di Crescenza di una Funzione . .
6.4 Teorema di Decrescenza di una Funzione .
6.5 Teoremi di Stretta crescenza e decrescenza
6.6 Derivate di ordine n dove n ≥ 2 . . . . . .
6.7 Concavità di una funzione . . . . . . . . .
6.8 Convessità di una Funzione . . . . . . . .
6.9 Punto di Massimo Relativo . . . . . . . .
6.10 Punto di Minimo Relativo . . . . . . . . .
6.11 Studio di una Funzione . . . . . . . . . . .
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INDICE
7 Teoremi
7.1 Teorema di de l’Hopital . . . . . . .
7.2 Insieme Compatto. . . . . . . . . . .
7.3 Teorema di Bolzano-Weistrass. . . .
7.4 Teorema de Weistrass Generalizzato.
7.5 Teorema de Weistrass in R . . . . .
7.6 Insiemi Connessi. . . . . . . . . . . .
7.7 Teorema di Bolzano Generalizzato. .
7.8 Teorema di Bolzano in R. . . . . . .
7.9 Teorema dei Valori Intermedi. . . . .
7.10 Teorema degli zeri. . . . . . . . . . .
7.11 Teorema di Rolle. . . . . . . . . . . .
7.12 Teorema di Lagrange . . . . . . . . .
7.13 Teorema di Cauchy . . . . . . . . . .
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8 Sviluppo Mediante il Polinomio di Taylor.
69
8.1 Sviluppo con il resto di Peano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.1.1 Sviluppo di Mclaurin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.2 Sviluppo con il Resto di Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9 Calcolo Integrale
75
9.1 Funzioni Integrabili Secondo Riemann . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.1.1 Partizione dell’intervallo [a,b]. . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.1.2 Ampiezza di una partizione P. . . . . . . . . . . . . . . . 76
9.1.3 Somma integrale σ della funzione f(x) relativa alla partizione P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
9.1.4 f (x) è integrabile secondo Riemann in [a, b]. . . . . . . . . 77
9.2 Differenziale di una funzione derivabile. . . . . . . . . . . . . . . 77
9.3 Esempio di una funzione non integrabile. . . . . . . . . . . . . . . 78
9.4 Teoremi sulle funzioni integrabili. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.5 Proprietà degli Integrali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.5.1 Linearità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.5.2 Confronto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.5.3 Additività dell’Integrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.6 Primitiva di una funzione integrabile. . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.7 Integrale Indefinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9.8 Teorema della Media Integrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9.9 Teorema di Torricelli-Barrow. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.10 Teoremi sulle primitive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.11 Calcolo di Integrali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.11.1 Integrali Inmediati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.11.2 Integrazione per Sostituzione. . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.11.3 Integrazione per Parti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
viii
10 Equazioni Differenziali.
10.1 Problema di Cauchy. . . . . . . . .
10.2 Equazioni a Variabili Separabili. .
10.3 Equazioni Differenziali Lineari. . .
10.3.1 Omogenee. . . . . . . . . .
10.3.2 Non Omogenee. . . . . . . .
10.4 Equazioni Differenziali del Secondo
10.4.1 Omogenee. . . . . . . . . .
10.4.2 Non Omogenee. . . . . . . .
INDICE
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
Ordine a Coefficenti Costanti.
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
87
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Capitolo 1
Elementi di Teoria degli
Insiemi
Introduciamo i seguenti simboli:
• S = Insieme Universo.
• P, Q, R = Proprietà (lettere in maiuscola).
• x, y, z = Elementi (lettere in minuscola).
• A, B, C = Insiemi.
Introduciamo i seguenti concetti:
• Proprietà: Una affermazione senza equivoci, vera o falsa.
• Elemento: Oggetto dell’insieme Universo (S) che soddisfa una certa proprietà.
1.1
Insieme
Definizione 1 Classe di elementi appartenenti all’insieme Universo S e che
soddisfano tutti una stessa proprietà.
1.2
Rappresentazione di Insiemi
Rappresentazione mediante proprietà:
A = { n ∈ S : x soddisfa la proprietà L}
Rappresentazione mediante elencazione:
A = {a, b, c, d}
1
2
CAPITOLO 1. ELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI
Rappresentazione mediante diagrammi di Venn:
1.3
Sottoinsieme
(
Definizione 2 A è un sottoinsieme proprio di S ⇐⇒
Ogni elemento di A ∈ S
C’è almeno un elemento di S ∈
/ A
∀ x∈A:x∈S∧∃ y ∈S :y ∈
/A⇔A⊂S
Definizione 3 A è un sottoinsieme di S ⇐⇒ ∀ x ∈ A : x ∈ S ⇔ A ⊆ S
Sottoinsiemi banali di S
• Insieme Vuoto ∅: insieme definito da una proprietà sempre falsa in S.
• Insieme Universo S : insieme definito da una proprietà sempre vera in S.
1.4
1.4.1
Operazioni tra Insiemi
Unione Insiemistica
Dato l’insieme universo S e A,B ⊆ S:
S
A B = { x ∈ S : x ∈ A e/o x ∈ B}
S
Graficamente A B:
1.4. OPERAZIONI TRA INSIEMI
1.4.2
3
Intersezione Insiemistica
Dato l’insieme universo S e A,B ⊆ S:
T
A B = { x ∈ S : x ∈ A e x ∈ B}
T
Graficamente A B:
1.4.3
Differenza Insiemistica
Dato l’insieme Universo S e A,B ⊆ S:
A−B = { x∈S : x∈A e x∈
/ B}
Graficamente A − B:
1.4.4
Prodotto Cartesiano
Dato l’insieme Universo S e A,B ⊆ S:
Definizione 4 Il prodotto cartesiano A × B è l’insieme delle coppie ordinate
tali che il primo elemento è in A, e il secondo elemento è in B
A × B = { (x, y) : x ∈ A e y ∈ B}
Il prodotto cartesiano non è una operazione commutativa A × B 6= B × A
4
CAPITOLO 1. ELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI
Esempio 1 A × B:
A : {1, 2, 3}, B : {1, 2}
A × B= {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}
Graficamente A × B:
Esempio 2 B × A:
A : {1, 2, 3}, B : {1, 2}
B × A= {(1, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3), (1, 3)}
Graficamente B × A:
1.5
1.5.1
Insiemi Numerici
Insieme dei Numeri Naturali
N = {0, 1, 2, 3, ...}
Le propietà caratterizzanti di questo insieme sono:
• 0 è il primo elemento.
• Se n è un numero naturale allora anche n + 1 (successivo) lo è.
1.5. INSIEMI NUMERICI
1.5.2
5
Insieme dei Numeri Interi
Z = {0, ±1, ±2, ±3, ...}
Z Rappresenta una estensione di N, si introduce questo insieme per rendere
possibile la sottrazione.
1.5.3
Q=
Insieme dei Numeri Razionali
n
m
: n, m ∈ Z, m 6= 0
Q Rappresenta una estensione di Z, si introduce questo insieme per rendere
possibile la divisione.
1.5.4
Insieme dei Numeri Reali
R = {N, Q, Z, R − Q}
R Rappresenta l’unione insiemistica di tutti gli insiemi precedenti.
1.5.5
Insieme dei Numeri Irrazionali
R−Q
Si introduce questo insieme per rendere possibile l’operazione di radice
quadrata.
6
CAPITOLO 1. ELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI
Capitolo 2
Funzioni
2.1
Relazioni
Dato l’insieme Universo S e A,B ⊆ S:
Definizione 5 Possiamo definire una relazione come una legge che associa ad
ogni elemento di A un sottoinsieme di B
< : A −→ B
x −→ y = <(x)
con:
• A= Dominio
• B= Codominio
• <= Relazione
• <(x)= Insieme immagine di x mediante la relazione <
• Cardinalità |A| = numero di elementi dell’insieme A.
7
8
CAPITOLO 2. FUNZIONI
• Insieme di definizione A∗ : è il sottoinsieme degli elementi del dominio
che hanno una immagine diversa dal vuoto.
A∗ = {x ∈ R : <(x) 6= ∅}
• Insieme Dei Valori B ∗ : è il sottoinsieme degli elementi del codominio
che sono in relazione con qualche elemento del dominio
B ∗ = { y ∈ B: ∃ x ∈ A / y ∈ <(x)}
2.2
Relazione Inversa
Dato l’insieme Universo S e A,B ⊆ S:
Definizione 6 La relazione inversa di < si ottiene scambiando il dominio con
il codominio ed e’ espressa dalla proprieta’ inversa.
R−1 : B −→ A
x −→ y = R−1 (x)
La relazione inversa esiste sempre.
2.3
Funzione
Dato l’insieme Universo S e A,B ⊆ S:
Definizione 7 Una funzione è una particolare relazione che ad ogni elemento
del dominio associa una immagine di cardinalità= 1.
f : A −→ B
x −→ y = f (x) con |f (x)|=1
2.3. FUNZIONE
2.3.1
9
Funzioni Composte
Dato l’insieme Universo S e A,B,C ⊆ S:
f : A −→ B,
x −→ y = f (x)
g : B −→ C
y −→ z = g(y)
Definizione 8
g ◦ f : A −→C
x −→ z= g(f (x))
2.3.2
Funzione Iniettiva
Dato l’insieme Universo S e A,B ⊆ S
f : A −→ B
x −→ y = f (x)
Definizione 9 f è iniettiva ⇐⇒ ∀ x1 , x2 ∈ A : x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 )
Caratterizzazione grafica
Una funzione f è iniettiva se soltanto se ogni retta parallela all’asse delle
ascisse interseca il grafico della funzione al più in un punto.
10
CAPITOLO 2. FUNZIONI
Esempio 3
è iniettiva
2.3.3
non è iniettiva
Funzione Suriettiva
Dato l’insieme Universo S e A,B ⊆ S
f : A −→ B
x −→ y = f (x)
Definizione 10 Una funzione f è Suriettiva se l’insieme dei valori coincide
con il codominio.
Una funzione f è Suriettiva ⇐⇒ B ∗ =B
Dove B ∗ = { y ∈ B : ∃ x ∈ A / y = f (x)}
Caratterizzazione grafica
Una funzione f è suriettiva se soltanto se ogni retta parallela all’asse delle
ascisse e passante per un punto del codominio interseca il grafico della
funzione in almeno un punto.
2.3. FUNZIONE
11
Esempio 4
è suriettiva
f : R −→ R+
R+ = R+
2.3.4
non è suriettiva
f : R+ −→ R+
R+ 6= [0, M ]
Funzione Inversa
Dato l’insieme Universo S e A,B ⊆ S
f : A −→ B
x −→ y = f (x)
Definizione 11 Una funzione f è invertibile se ad ogni elemento del dominio
viene associato un elemento del codominio e viceversa.
Quindi:
y = f (x) sarà invertibile ⇐⇒ ∃ f −1 : B −→ A
y −→ x = f −1 (y)
Teorema 1 f è invertibile ⇐⇒ f è iniettiva e suriettiva.
Esempio 5 Trovare la inversa di:
• f : R −→ R
x −→ y = 3x + 5
si esplicita rispetto ad x:
x=
y−5
3
Si indica con x sempre la variabile indipendente
f −1 (x) =
x−5
3
12
CAPITOLO 2. FUNZIONI
Siccome:
f −1 (x) : R −→ R
x −→ y = f −1 (x)
f −1 (x) = y =
f −1 (x) =
x−5
3
x−5
3
è iniettiva e suriettiva.
Esempio 6 Trovare l’ inversa di:
• f : R −→ R+
x −→ y = x2
si esplicita rispetto ad x:
x=
√
y
si indica con x sempre la variabile indipendente
f −1 (x) =
√
x
Siccome:
f −1 (x) : R+ −→ R
x −→ y = f −1 (x)
f −1 (x) = y =
√
x
È iniettiva ma non suriettiva dato che R+ 6= R.
Per rendere f −1 (x) suriettiva si deve restringere ulteriormente il codominio in
questo modo:
2.3. FUNZIONE
13
f −1 (x) : R+ −→ R+ √
x −→ y = x
f −1 =
2.3.5
√
x è iniettiva e suriettiva.
Funzioni Monotone
Dato l’insieme Universo S e A,B ⊆ S, e date x, y ∈ R con: f : A −→ B
x −→ y = f (x)
Strettamente monotona crescente
Definizione 12 f è strettamente monotona crescente ⇐⇒ ∀ x1 , x2 ∈ A :
x1 > x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 )
14
CAPITOLO 2. FUNZIONI
Strettamente monotona decrescente
Definizione 13 f è strettamente monotona decrescente ⇐⇒ ∀ x1 , x2 ∈ A :
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 )
Monotona crescente
Definizione 14 f è monotona crescente ⇐⇒ ∀ x1 , x2 ∈ A :
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )
Monotona decrescente
Definizione 15 f è monotona decrescente ⇐⇒ ∀ x1 , x2 ∈ A :
x2 < x1 ⇒ f (x2 ) ≥ f (x1 )
2.4. FUNZIONI ELEMENTARI
15
Teorema 2 Legame tra stretta monotonia e iniettività
se f (x) è strettamente monotona=⇒ f (x) è iniettiva.
Dimostrazione:
f (x) è strettamente monotona ⇐⇒ ∀x1 , x2 ∈ A con x1 < x2 =⇒ f (x1 ) > f (x2 )
o
f (x1 ) < f (x2 )
Quindi:
∀x1 , x2 ∈ A: x1 6= x2 =⇒ f (x1 ) 6= f (x2 )
Iniettività
2.4
Funzioni Elementari
2.4.1
Funzione Esponenziale
Consideriamo: f : R −→ R+
x −→ y = ax
con a 6= 1
16
CAPITOLO 2. FUNZIONI
ax : R −→ R+ con a > 1 oppure 0 < a < 1
• Con a > 1 la funzione è strettamente crescente.
• Con 0 < a < 1 la funzione è strettamente decrescente.
• È iniettiva ma non suriettiva perchè il codominio R non coincide con
l’insieme dei valori R+
Ma se vogliamo renderla suriettiva: Basta restringere il dominio della
funzione a: R+
In questo caso esiste la funzione inversa denominata funzione logaritmica.
2.4.2
Funzione Logaritmica
Consideriamo: f : R+ −→ R
x −→ y = ax
con a 6= 1
La funzione Logaritmo è l’inversa della funzione esponenziale.
f (x) = loga x
2.4. FUNZIONI ELEMENTARI
loga x : R+ −→ R con a > 1 oppure 0 < a < 1
2.4.3
Funzioni Trigonometriche e loro inverse
Consideriamo la circonferenza goniometrica su un sistema di assi cartesiani
ortogonali di centro l’origine e raggio unitario:
17
18
CAPITOLO 2. FUNZIONI
Si consideri un punto P che si muove con verso antiorario sulla circonferenza
formando un angolo α con il semiasse positivo delle ascisse. Poichè il raggio
del cerchio è 1, si definisce:
cos(α) = OQ, sen(α) = OR
Per il teorema di Pitagora:
2
2
OQ +OR = OP
2
cos(α)2 +sen(α)2 = 1
Quindi:
Relazione trigonometrica fondamentale.
Seno
f (x) : R −→ R
x −→ y = sen(x)
• Non è iniettiva nè suriettiva
• Ha una periodicità di 2kπ
Perchè sia invertibile deve essere iniettiva e suriettiva
Quindi restringiamo la funzione e diventa:
2.4. FUNZIONI ELEMENTARI
sen(x) :
19
−π
2
, π2 −→ [−1, 1]
In questo caso esiste la funzione inversa denominata arcoseno(x)
Coseno
f (x) : R −→ R
x −→ y = cos(x)
• Non è iniettiva nè suriettiva
• Ha una periodicità di
π
2
+ 2kπ
Perchè sia invertibile deve essere iniettiva e suriettiva
20
CAPITOLO 2. FUNZIONI
Quindi restringiamo la funzione e diventa:
cos(x) : [0, π] −→ [−1, 1]
In questo caso esiste la funzione inversa denominata arcocoseno(x)
Tangente
f (x) = tg(x) =
f :R−
π
2
sen(x)
cos(x)
con cos(x) 6= 0 Quindi: x 6=
π
2
+ kπ
+ kπ −→ R
x −→ y = tg(x)
• Non è iniettiva nè suriettiva
• Ha una periodicità di π
Perchè sia invertibile deve essere iniettiva e suriettiva
2.4. FUNZIONI ELEMENTARI
21
Quindi restringiamo la funzione e diventa:
tg(x) :
−π π
2 , 2
−→ (−∞, +∞)
In questo caso esiste la funzione inversa denominata arcotangente(x)
Arcoseno
π
f : [−1, 1]−→ −π
2 , 2]
x −→ y = arcsen(x)
22
Arcocoseno
f : [−1, 1]−→[0, π]
x −→ y = arccos(x)
Arcotangente
π
f : [−∞, +∞] −→ −π
2 , 2
x −→ y = f (x) = arctg(x)
CAPITOLO 2. FUNZIONI
2.4. FUNZIONI ELEMENTARI
Valore assoluto
f : R −→ R
x −→ y = |x| =
(
x se x ≥ 0
-x se x<0
23
24
CAPITOLO 2. FUNZIONI
Capitolo 3
Spazio Topologico
Introduciamo prima il concetto di topologia:
Sia S 6= ∅ e P (S) la famiglia di tutti i sottoinsiemi di S.
Definizione 16 a ⊆ P (S), è una topologia per S ⇐⇒
• a contiene i due sottoinsiemi banali: ∅, S ∈ a.
• {A}i con i ∈ I e I finito o numerabile.
S
Ai ∈ a =⇒
Ai ∈ a
l’unione finita o numerabile di insiemi che appartengono ad a appartiene ad a
• {A}i con i ∈ I e I finito.
S
Ai ∈ a =⇒
Ai ∈ a
l’intersezione finita di insiemi che appartengono ad a appartiene ad a
Definizione 17 Sia S 6= ∅, ed a una topologia per S, la coppia:
Si definisce spazio topologico la coppia (S, a)
E gli insiemi appartenenti ad a si chiamano aperti nella topologia.
3.1
3.1.1
Esempi di spazi topologici
Topologia banale
Definizione 18 La topologia banale è costituita dai sottoinsiemi S,∅:
25
26
CAPITOLO 3. SPAZIO TOPOLOGICO
siano S = {a, b}, e P (S) = {S, ∅, {a} , {b}}
e siccome:
a = {S, ∅}, è una topologia per S; infatti a ⊆ P (S)
e soddisfatte le condizioni della definizione:
a = {S, ∅} topologia banale,
(S, a) è lo spazio topologico banale.
Dimostrazione 1
• ∅ e S per definizione appartengono ad a
 S S

∅...∈ a
∅ S ∅
• ∅ S∈a

 S S
S S
S...∈ a
 T T

∅...∈ a
∅ T ∅
• ∅ S∈a

 T T
S S
S...∈ a
(S, a) è lo spazio topologico banale. 3.1.2
Topologia discreta
Definizione 19 La topologia discreta è la topologia che coincide con la
famiglia di tutti i sottoinsiemi di S:
Siano S = {1, 2}, e P (S) = {S, ∅, {1} , {2}}
e siccome:
a = {S, ∅ {1} {2}} è una topologia per S; infatti a ⊆ P (S)
e soddisfatte le condizioni della definizione:
a = {S, ∅ {1} {2}} topologia discreta.
(S, a) è lo spazio topologico discreto.
Dimostrazione 2
• ∅ e S per definizione appartengono ad a
3.1. ESEMPI DI SPAZI TOPOLOGICI
27
 S

∅ S S =⇒ S ∈ a



∅ ∅ =⇒ ∅ ∈ a


S

∅ {1} =⇒ {1} ∈ a



∅ S {2} =⇒ {2} ∈ a
•
S

{1}
{2} =⇒ {1, 2} ∈ a


S



{1}
{1} =⇒ {1} ∈ a


S


{1}
S
=⇒ S ∈ a



S

{1}
∅ =⇒ {1} ∈ a
 T

∅ S =⇒ ∅ ∈ a


T


∅ ∅ =⇒ ∅ ∈ a



T


∅ {1} =⇒ ∅ ∈ a



T
∅ {2} =⇒ ∅ ∈ a
•
T

{1}
{2} =⇒ ∅ ∈ a


T



{1}
{1}
=⇒ {1} ∈ a


T


{1} S =⇒ {2} ∈ a



T

{1} ∅ =⇒ {1} ∈ a
(S, a) è lo spazio topologico discreto. 3.1.3
Topologia naturale di R
Definizione 20 La topologia naturale di R è generata dagli intervalli aperti di
R:
Si definisce l’intervallo aperto:
(a, b) = { x ∈ R / a < x < b}
Sia S = R
Sia a la sottofamiglia di P (R) che contiene R, ∅, gli intervalli aperti, le unioni
finite o numerabili di intervalli aperti, le intersezioni finite di intervalli aperti:
a è una topologia per R detta topologia naturale di intervalli aperti di R
28
CAPITOLO 3. SPAZIO TOPOLOGICO
Dimostrazione 3
• ∅ e S per definizione appartengono ad a
si prendono due intervalli aperti A1 , A2 e si ha che:
• A1
T
A2 ∈ a
• A1
S
A2 ∈ a
(R, a) è lo spazio topologico naturale. 3.2
3.2.1
Elementi degli spazi topologici
Intorno
Dati uno spazio topologico (S, a), X ⊆ S, x0 ∈ S
Definizione 21 Si definisce intorno di x0 e si indica con I(x0 ) Qualunque
sottoinsieme contenente un aperto A della topologia, e che contiene un x0 .
∃ A ∈ a: x0 ∈ A ⊆ I(x0 )
3.2.2
Punto Interno
Dato uno spazio topologico (S, a), X ⊆ S, x0 ∈ S
Definizione 22 x0 è un punto interno di X se soltanto se esiste un aperto A
della topologia a, tale che x0 appartiene al sottoinsieme A che è un
sottoinsieme di X.
x0 è un punto interno di X =⇒ ∃ A ∈ a: x0 ∈ X ⊆ A
L’insieme dei punti interni di X si chiama interno e si indica con Ẋ
3.2.3
Punto di Frontiera
Dato uno spazio topologico (S, a), X ⊆ S, x0 ∈ S:
Definizione 23 x0 è un punto di frontiera per X se soltanto se l’intersezione
di un qualunque intorno di x0 con l’insieme X è diverso dall’insieme vuoto e
l’intersezione dell’intorno con l’insieme X complementare è diverso
dall’insieme vuoto.
(
T
I(x0 )
X 6= ∅
x0 è un punto di frontiera per X =⇒ ∀ I(x0 )
T c
I(x0 )
X 6= ∅
3.2. ELEMENTI DEGLI SPAZI TOPOLOGICI
29
L’insieme dei punti di frontiera di X si chiama frontiera di X e si indica con
F r(x).
Definizione 24 si definisce chiusura dell’insieme X l’insieme:
S
X = X F r(x).
3.2.4
Punto Accumulazione
Dato uno spazio topologico (S, a), X ⊆ S, x0 ∈ S:
Definizione 25 x0 è un punto di accumulazione per X se per ogni intorno
di x0 , l’intersezione dell’intorno con X privato del punto x0 è diversa
dall’insieme vuoto.
T
X − {x0 } =
6 ∅
x0 è un punto di accumulazione =⇒ ∀ I(x0 ) : I(x0 )
L’insieme dei punti di accumulazione di X si chiama derivato di X e si indica
con D(X)
3.2.5
Insieme Aperto
Dato uno spazio topologico (S, a), X ⊆ S, Ẋ = punti interni.
Definizione 26 Gli insiemi di una topologia si dicono aperti dello spazio
topologico. Per gli insiemi aperti vale la seguente caratterizzazione:
X è aperto ⇐⇒ X = Ẋ.
3.2.6
Insieme Chiuso
Dato uno spazio topologico (S, a), X ⊆ S, F r(x) = punti di frontiera.
Definizione 27 Si definiscono insiemi chiusi di uno spazio topologico i
complementari degli aperti della topologia. Per gli insiemi chiusi di uno spazio
topologico vale la seguente caratterizzazione:
S
X è chiuso ⇐⇒ X = X ⇐⇒ X = X F r(x).
3.2.7
Topologia Naturale di R̂
Definizione 28 Si definisce R ampliato l’insieme che si ottiene unendo ad R
i valori −∞ e +∞.
b R S {−∞, +∞}
R=
b generata dagli intervalli aperti di R
b
b
a: Topologia naturale di R
b (−∞, 0) S(0, +∞)
Intervalli aperti di R=
30
CAPITOLO 3. SPAZIO TOPOLOGICO
3.2.8
Estremo Superiore
b b
b:
Dato (R,
a), X ⊆ R
Definizione 29 Definiamo il concetto di maggiorante:
b è un maggiorante dell’insieme X ⇐⇒ se ogni elemento
• Γ∈R
dell’insieme X è minore o uguale a Γ.
b è un maggiorante dell’insieme X ⇐⇒ ∀ x ∈ X: x ≤ Γ.
• Γ∈R
con M : Insieme dei Maggioranti
M = [b, +∞]
Quindi definiamo l’estremo superiore:
Definizione 30
• Si definisce estremo superiore Λ per l’insieme X se soltanto se Λ è il più
b
piccolo dei maggioranti. Con Λ ∈ R
b si definisce estremo superiore Λ per l’insieme X se si
• Con Λ ∈ R
verificano le seguenti condizioni:
(
Λ è un Maggiorante ∀ x ∈ X: x ≤ Λ
∀ > 0 ∃ x ∈ X: Λ − < x
• Se Λ ∈ R =⇒ X è superiormente limitato.
• Se Λ = +∞ =⇒ X non è superiormente limitato.
• Se Λ ∈ X =⇒ Λ è il massimo dell’insieme.
3.2.9
Estremo Inferiore
b a), X ⊆ R
b:
Dato (R,b
Definizione 31 Definiamo il concetto di minorante:
b è un minorante dell’insieme X ⇐⇒ se ogni elemento dell’insieme
• γ ∈R
X è maggiore o uguale a γ.
b è un minorante dell’insieme X ⇐⇒ ∀ x ∈ X: x ≥ γ.
• γ ∈R
3.2. ELEMENTI DEGLI SPAZI TOPOLOGICI
31
con m: Insieme dei Minoranti
m = [−∞, a]
Quindi definiamo l’estremo inferiore:
Definizione 32
• Si definisce estremo inferiore λ per l’insieme X se soltanto se λ è il più
b
grande dei minoranti. Con λ ∈ R.
b si definisce estremo inferiore λ per l’insieme X se si
• Con λ ∈ R
verficano le seguenti condizioni:
(
λ è un Minorante ∀ x ∈ X: x ≥ λ
∀ > 0 ∃ x ∈ X: x < λ + • Se λ ∈ R =⇒ X è inferiormente limitato.
• Se λ = −∞ =⇒ X non è inferiormente limitato.
• Se λ ∈ X =⇒ λ è il minimo dell’insieme.
Esempio 7 Determinare i punti interni, i punti di frontiera, i punti di
accumulazione, se X è apero o chiuso, e l’estremo superiore e inferiore del
seguente insieme:
{R, a} con X = x ∈ R : x = n1 , n ∈ N
Punti interni:
x0 è un punto interno di X ⇐⇒ ∃ A ∈ a: x0 ∈ X ⊆ A
Ẋ=∅
Punti di frontiera
(
x0 è un punto di frontiera per X ⇐⇒ ∀I(x0 )
Quindi F r(x) = X
S
{0}
T
I(x0 )
X 6= ∅
T c
I(x0 )
X 6= ∅
32
CAPITOLO 3. SPAZIO TOPOLOGICO
Punti di Accumulazione
x0 è un punto di accumulazione per X =⇒ ∀ I(x0 ) : I(x0 )
T
X − {x0 } =
6 ∅
Quindi D(X) = {0}
È aperto?
X è aperto se soltanto se X = Ẋ
X 6= Ẋ
X 6= 0
Quindi X non è aperto.
È chiuso?
X è chiuso se soltanto
se X = x
S
X = X SF r(x)
X 6= X {0}
Quindi non è chiuso.
Estremo inferiore
Ipotesi λ= 0
Si definisce estremo inferiore
λ per l’insieme X se si verificano le seguenti
(
λ è un minorante ∀ x ∈ X: x ≥ λ
condizioni:
∀ > 0 ∃ x ∈ X: x < λ + Quindi:
• ∀ x ∈ X: x ≥ λ
1
n
≥ 0 è vero.
• ∀ > 0 ∃ x ∈ X: x < λ + 1
n
1
< 0+ < n è vero.
Quindi:
• λ = 0, è estremo inferiore di ”X”, ma non è minimo dell’insieme perchè
non appartiene a X
• X è inferiormente limitato.
Estremo superiore
Ipotesi Λ= 1
Si definisce estremo superiore
Λ per l’insieme X se si verificano le seguenti
(
Λ è un maggiorante ∀ x ∈ X: x ≤ Λ
condizioni:
∀ > 0 ∃ x ∈ X: Λ − > x
3.2. ELEMENTI DEGLI SPAZI TOPOLOGICI
33
Quindi:
• ∀ x ∈ X: x ≤ Λ
1
n
≤1
n ≥ 1 ∀ n ∈ N è vero.
• ∀ > 0 ∃ x ∈ X: Λ − < x
1−<
1
n
1 − < 1 è vero.
Quindi:
• Λ = 1 è estremo superiore e massimo dell’insieme perchè appartiene a X
• X è superiormente limitato.
Esempio 8 Determinare i punti interni, i punti di frontiera, i punti di
accumulazione, se X è apero o chiuso, e l’estremo superiore e inferiore del
seguente insieme:
o
n
o
n
S
2
R̂, â con X = (2, 4) A, A = x ∈ R : x = n n+1 , n ∈ N
Punti interni:
x0 è un punto interno di X ⇐⇒ ∃ A ∈ a: x0 ∈ X ⊆ A
Ẋ= (2, 4)
Punti di frontiera
(
T
I(x0 )
X 6= ∅
x0 è un punto di frontiera per X =⇒ ∀ I(x0 )
T c
X =
6 ∅
I(x0 )
Quindi F r(x) = X
S
{2, 4}
Punti di Accumulazione
x0 è un punto di accumulazione per X =⇒ ∀ I(x0 ) : I(x0 )
Quindi D(X) = [2, 4]
È aperto?
X è aperto se soltanto se X = Ẋ
X 6= Ẋ
X 6= (2, 4)
Quindi X non è aperto.
T
X − {x0 } =
6 ∅
34
CAPITOLO 3. SPAZIO TOPOLOGICO
È chiuso?
X è chiuso soltanto
se X = X
S
X = X Sf r(X)
X 6= X {4}
Quindi non è chiuso.
Estremo inferiore
Ipotesi λ= 2
Si definisce estremo inferiore
λ per l’insieme X se si verificano le seguenti
(
λ è un minorante ∀ x ∈ X: x ≥ λ
condizioni:
∀ > 0 ∃ x ∈ X: x < λ + Verifico che 2 è un minorante dell’insieme X
• ∀ x ∈ X: x ≥ λ = 2
1a) ∀ x ∈ (2, 4)
x ≥ 2 è vero.
1b) ∀ x ∈
n
n2 +1
n
o
n2 +1
n
≥2
n2 − 2n + 1 ≥ 0
(n − 1)2 ≥ 0 è vero.
• ∀ > 0 ∃ x ∈ X: x < λ + 2a)
n2 +1
n
≥ 2 è vero ∀ n ∈ R
2b) ∃ X = 2 + 2 < 2 + è vero.
Quindi:
• λ = 2 è estremo inferiore di X e minimo dell’insieme perchè appartiene
aX
• X è inferiormente limitato.
3.2. ELEMENTI DEGLI SPAZI TOPOLOGICI
35
Estremo superiore
Ipotesi Λ= +∞
Si definisce l’estremo inferiore
Λ per l’insieme X se si verificano le seguenti
(
Λ è un Maggiorante ∀ x ∈ X: x ≤ Λ
condizioni:
∀ > 0 ∃ x ∈ X: Λ − < x
Quindi:
• ∀ x ∈ X: x ≤ Λ
n2 +1
n
≤ +∞
n2 + 1 ≤ (+∞)n
1 ≤ (+∞)n −n2
1 ≤ n(+∞ − n) ∀ n ∈ N è vero.
• ∀ > 0 ∃ x ∈ X: Λ − < x
+∞ − <
n2 +1
n
(+∞ − )n < n2 + 1
(+∞ − )n − n2 < 1
n(+∞ − − n) < 1 ∀ n ∈ N è vero.
Quindi::
• Λ = +∞ è l’estremo superiore dell’insieme X
• X non è superiormente limitato.
36
CAPITOLO 3. SPAZIO TOPOLOGICO
Capitolo 4
Limiti in uno Spazio
Topologico
Dopo aver introdotto il concetto di spazio topologico, vediamo come in esso sia
possibile dare il concetto di limite.
Sia:
(S, a) lo spazio topologico di partenza.
(T, b) lo spazio topologico di arrivo.
X ⊆ S, x0 ∈ D(X) ossia x0 è un punto di accumulazione per X; Si ha quindi
che f (x0 ) potrebbe non essere definita, in quanto si potrebbe avere che x0 ∈
/ X.
Y ⊆ T,
f: X → Y
x → y = f (x)
l∈T
4.1
Definizione di limite
Definizione 33 Si dice che il limite di f (x) per x che tende a x0 esiste ed è
uguale ad l e si scrive:
lim f (x) = l
x→x0
Se e soltanto se
∀I(l) ∈ F (l)∃J(x0 ) ∈ F (x0 ) : x ∈ X ∩ J(x0 ) − {x0 } ⇒ f (x0 ) ∈ I(l)
che viene letta come ”Per ogni intorno di l appartenente alla famiglia degli
intorni di l, esiste un intorno J di x0 , appartenente alla famiglia di intorni di
x0 , tale che se x appartiene ad X intersecato l’intorno J di x0 , escluso al piu’
il punto x0 , si ha che f(x) appartiene all’intorno di l”’
37
38
CAPITOLO 4. LIMITI IN UNO SPAZIO TOPOLOGICO
4.2
Calcolo dei Limiti
Per procedere al calcolo dei limiti in uno spazio topologico bisogna applicare
alcuni teoremi, che valgono per funzioni monotone:
(S, a) = (T, b) = (R̂, â)
Teorema 3 :
f : X → Y Monotona crescente con x0 ∈ D(X)
X, Y ⊆ R̂
Se x0 è Estremo superiore di X =⇒ ∃ lim f (x) ed è uguale all’estremo
x→x0
superiore di f (X) ;
Se x0 è Estremo inferiore di X =⇒ ∃ lim f (x) ed è uguale all’estremo
x→x0
inferiore di f (X).
Esempio 9
• lim log(x) = −∞ estremo inferiore
x→0
• lim log(x) = +∞ estremo superiore
x→∞
•
lim ax = 0 estremo inferiore
x→−∞
• lim ax = ∞ estremo superiore
x→∞
Teorema 4
f : X → X , con x0 ∈ D(X)
X, Y ⊆ R̂
Se x0 è estremo superiore di X =⇒ ∃ lim f (x) ed è uguale all’estremo
x→x0
inferiore di f (X);
Se x0 è estremo Inferiore di X =⇒ ∃ lim f (x) ed è uguale all’estremo
x→x0
superiore di f (X).
Esempio 10
•
lim ax = ∞ estremo superiore, con 0 < a < 1 −→ax funzione non
x→−∞
limitata superiormente
• lim ax = 0 estremo inferiore, con 0 < a < 1
x→∞
• lim loga (x) = ∞ estremo superiore, con 0 < a < 1 −→loga (x) funzione
x→0
non limitata superiormente e inferiormente
• lim loga (x) = −∞ estremo inferiore, con 0 < a < 1
x→∞
4.3. FUNZIONE PARTE INTERA
39
TEOREMA 3 è più generale, ed è riferito ad una qualunque funzione
monotona.
f : X → Y , con x0 ∈ ẋ
X, Y ⊆ R̂
Notiamo cone in questo caso f (x0 ) sara’ sempre definita, si ha che:
∃ lim f (x) = f (x0 )
x→x0
Esempio
• lim 3x = 35
x→5
4.3
Funzione Parte Intera
Definizione 34 Si definisce parte intera di x la funzione che ad ogni numero
reale x, associa il piu’ grande numero intero minore o uguale ad x.
[x] :R→ R
x → y = [x]
Esempio 11
• x = 0 ⇒ [0] = 0
• x = 1 ⇒ [1] = 1
• x = 1, 5 ⇒ [1, 5] = 1
• x = −1, 5 ⇒ [−1, 5] = −2
Quindi ∀ k ∈ Z x=k ⇒ [k] =k
4.4
Funzioni che non ammettono limite
1. Funzione di Dirichlet
2. sin x1 con x −→ 0
1) Funzione di Dirichlet
Definizione 35 è una funzione di variabile reale, che assume due soli
valori, diversi a seconda che la variabile indipendente sia razionale o
irrazionale.
(
1 x∈Q
f (x)=
0 x∈R\Q
Dimostrazione 4 Dimostrazione della non esistenza del limite
Si suppone per assurdo che il limite esista, e se si arriva ad una
contraddizione, l’assurdo prova la non esistenza del limite.
40
CAPITOLO 4. LIMITI IN UNO SPAZIO TOPOLOGICO
Supponenndo per assurdo che il limite esista:
∃ lim f (x) = l ∀ x0 ∈ R ⇐⇒∀I(l) ∈ F (l) ∃ j(x0 ) ∈ F (x0 ): x
x→x0
∈ X ∩ j(x0 ) − {x0 }
=⇒ f (x) ∈ I(l) ⇔ l − < f (x) < l + Si avra’ che:
– x ∈ X ∩ J(x0 ) − {x0 }
T
Q ⇒ l- < f (x) = 1 < l + – x ∈ X ∩ J(x0 ) − {x0 }
T
R − Q ⇒ l- < f (x) = 0 < l + (
quindi
l- < 1 < l + l- < 0 < l + Scegliamo per esempio che = 21
e arriviamo all’assurdo per il quale se sono vere sia
l+
l−
1
2
1
2
>1
<0
si avrà contemporaneamente che
l > 21
l < 12
Ma questo è assurdo perche’ nessun numero reale puo’ essere
contemporaneamente minore e maggiore di 12 e l’assurdo nega
l’esistenza del limite
Sin( x1 )
2) Analogamente supponiamo che ∃ lim sin x1 dove X = R − {0} ∈ D(x)
x→0
e 0 ∈ D(X)
Supponiamo per assurdo che il limite esista:
∃ lim sin x1 = l ⇐⇒∀ I(l) ∈ F (l) ∃ J(0) ∈ F (0): x ∈ X ∩ J(0) − {0}
x→0
=⇒ f (x) ∈ I(l):l − < f (x) < l + PoichÃĺ in ogni intorno di J(0) cadono infiniti punti in cui la funzione
1
1
sin
( x vale 1 ed infiniti punti in cui sin x vale -1 Si ha che:
l- < 1 < l + l- < −1 < l + Scegliamo per esempio che = 12
e arriviamo all’assurdo per il quale sono vere entrambe le seguenti
disuguaglianze:
4.5. OPERAZIONI TRA I LIMITI
41
l − 21 > 1
l + 21 < −1
ossia devono valere contemporaneamente :
l > 23
l < − 23
Ma questo è un assurdo e ciÃš nega l’esistenza del limite. 4.5
Operazioni tra i Limiti
Sia
(R̂, â)
X, Y ⊆ R̂
f , g : X → Y con x0 ∈D(X)
∃ lim f (x)
x→x0
∃ lim g(x)
x→x0
si definiscono Forme Indeterminate le seguenti espressioni:
• ∞ −∞ ,
• 0∗∞,
• 0/0 e ∞ /∞
• 00 , ∞
0
e 1∞
si avrà che
• lim [f (x) ± g(x)] = lim f (x) ± lim g(x)
x→x0
x→x0
x→x0
• lim [f (x) ∗ g(x)] = lim f (x) ∗ lim g(x)
x→x0
x→x0
x→x0
• lim [f (x)/g(x)] = lim f (x)/ lim g(x)
x→x0
x→x0
x→x0
∃I(x0 ) : g(x) 6= 0 quando le
espressioni a destra di ogni uguaglianza non sono forme indeterminate.
4.6
Limiti Notevoli
Esistono limiti particolari, alcune forme indeterminate possono essere risoltre
tramite con limiti notevoli.
Essi sono:
• lim
x→0
•
sin x
x
=1
lim (1 + x1 )x = e
x→∞
• lim
x→0
loga (1+x)
x
= loga e con a > 0 e a 6= 1
42
CAPITOLO 4. LIMITI IN UNO SPAZIO TOPOLOGICO
• lim
x→0
log(1+x)
x
x
=1
• lim
x→0
a −1
x
= loga
• lim
ex −1
x
=1
• lim
1−cos x
x2
• lim
tan x
x
x→0
x→0
x→0
• lim
x→0
• lim
x→0
4.7
= 1/2
=1
α
(1+x) −1
x
α
=α
(1+βx) −1
x
= α∗β
Teorema di Unicita’ del Limite
Definizione di spazio topologico separato
Definizione 36 Uno spazio topologico (S, a) e’ detto separato
⇔ ∀x; y ∈ S : x 6= y ∃ I(x)eI(y) : I(x) ∩ I(y) = ∅
Esempio 12 Un esempio di spazio topologico non separato è lo spazio
topologico banale.
Esempio 13 Un esempio di spazio topologico separato è lo spazio topologico
naturale.
Il teorema di unicita’ del limite vale solamente se lo spazio topologico di arrivo
considerato e’ separato.
Teorema 5 Sia (S, a) lo spazio topologico di partenza e (T, b) lo spazio
topologico di arrivo separato con |T | (cardinalita’)≥ 2
X ⊆ S con x0 ∈ D(X)
Y ⊆ T con l ∈ T
sia f : X → Y
Se esiste lim f (x) = l1 ed esiste lim f (x) = l2
x→x0
x→x0
allora il limite e’ unico, ovvero l1 = l2 =
Dimostrazione 5 Si procede per assurdo, ossia
Neghiamo che l1 = l2 ⇒ l1 6= l2 , allora
∀I1 (l1 ) ∈ F (l1 ) ∃ J1 (x0 ) ∈ F (x0 ) : x ∈ J1 (x0 ) ∩ X − {x0 } ⇒ f (x) ∈ I1 (l1 )
∀I2 (l2 ) ∈ F (l2 ) ∃ J2 (x0 ) ∈ F (x0 ) : x ∈ J2 (x0 ) ∩ X − {x0 } ⇒ f (x) ∈ I2 (l2 )
4.8. LIMITE DESTRO E LIMITE SINISTRO
43
endflushleft
Considero J(x0 ) = J1 (x0 ) ∩ J2 (x0 )
se x ∈ J(x0 ) ∩ X − {x0 } ⇒ f (x) ∈ I1 (l1 ) ∩ I2 (l2 ) ∀I1 (l1 ), eI2 (l2 )
ossia ogni coppia di intorni I1 (l1 ) I2 (l2 ) ha intersezione non vuota in quanto
contiene f (x) Questo e’ un assurdo in quanto lo spazio topologico (T, b) e’
separato, vale a dire esistono almeno due intorni I1 (l1 ) e I2 (l2 ) la cui
intersezione Ãĺ vuota:
L’assurdo prova la tesi, ossia, l1 = l2 .
4.8
Limite Destro e limite Sinistro
(S, a) →spazio topologico di Partenza
(T, b) →spazio topologico di arrivo
X ⊆ S con x0 ∈ D(X)
Y ⊆T el∈T
f :X→Y
x → y = f (x)
Definiamo dominio destro e dominio sinistro rispetto a x0 ∈ D(X) Sia X ⊆ R̂
Destro: X + = X ∩ [x0 , +∞]
Sinistro: X − = X ∩ [−∞, x0 ]
Per i rispettivi limiti si ha invece che :
Limite destro: lim+ f (x) = l1 cioe’
x→x0
∀I(l1 ) ∈ F (l1 ) ∃ J(x0 ) ∈ F (x0 ) : x ∈ X + ∩ J(x0 ) − {x0 } ⇒ f (x) ∈ I(l1 )
Limite sinistro: lim− f (x) = l1 cioè
x→x0
∀I(l1 ) ∈ F (l1 ) ∃ J(x0 ) ∈ F (x0 ) : x ∈ X − ∩ J(x0 ) − {x0 } ⇒ f (x) ∈ I(l1 )
Esempi
• lim+
1
x =∞
• lim−
1
x =−∞
x→0
x→0
4.9
Teorema della Permanenza del segno
Teorema 6 (R̂, â) →spazio topologico di Partenza
X, Y ⊆ R̂
x0 ∈ D(X)
f :X→Y
44
CAPITOLO 4. LIMITI IN UNO SPAZIO TOPOLOGICO
• lim f (x) = l con (l > 0)
x→x0
∗
∃ J (x0 ) ∈ F (x0 ) : ∀x ∈ J(x0 ) ∩ J ∗ (x0 ) − {x0 } ⇐⇒ f (x) > 0
ovvero se esiste il limite allora esiste almeno un intorno in cui la funzione
assume lo stesso segno del limte
• lim f (x) = l con (l < 0)
x→x0
∃ J∗ (x0 ) ∈ F (x0 ) : ∀x ∈ J(x0 ) ∩ J ∗ (x0 ) − {x0 } ⇐⇒ f (x) < 0
ovvero se esiste il limite allora esiste almeno un intorno in cui la funzione
assume lo stesso segno del limite
4.10
Teorema del Confronto tra limiti
Teorema 7 (R̂, â)
X, Y ⊆ R̂
x0 ∈ D(X)
f :x→y
g:x→y
h:x→y
lim f (x) = l
x→x0
lim g(x) = l allora
x→x0
∗
∃ J (x0 ) :
f(x)≤ h(x) ≤ g(x)∀ x ∈ J ∗ (x0 ) − {x0 } ⇒ ∃ lim h(x) = l
x→x0
Capitolo 5
Funzioni Continue
Nel caso di funzioni di una variabile reale, spesso la continuità viene
presentata come una proprietà del grafico: la funzione è continua se il suo
grafico è formato da un’unica curva che non compia mai salti. Sebbene questa
nozione possa essere usata quando il dominio di una funzione è un intervallo,
non è corretta perchÃĺ non vale in generale.
b Un punto x0 ∈ X e’ detto isolato se esiste un
Definizione 37 Sia X ⊆ <:
intorno I(x0 di x0 tale che I(x0 ∩ X = x0 .
In un punto isolato del dominio di una funzione il grafico della funzione
presenta un salto ma in un punto isolato una funzione e’ sempre continua
Definizione 38
(S, a) →spazio topologico di Partenza
(T, b) →spazio topologico di arrivo
X ⊆ S con x0 ∈ X
Y ⊆ T con Y ⊆ T e l ∈ T
f : X → Y f è continua in x0 ⇐⇒
∀ I(f (x0 )) ∈ F (f (x0 )) ∃J(x0 ) ∈ F (x0 ) : se x ∈ J(x0 ) ∩ X ⇒ f (x) ∈ I(f (x0 ))
Se x0 ∈ D(x) ∩ X allora f è continua in x0 ⇐⇒ lim f (x) = f (x0 )
x→x0
ovvero la funzione è continua in un punto di accumulazione del suo dominio se
e soltanto se il limite è uguale a f (x0 )
45
46
CAPITOLO 5. FUNZIONI CONTINUE
5.1
5.1.1
Discontinuità
Discontinuità Eliminabile
(R̂, Â) ; X, Y ⊆ R̂
f :X→Y
x0 ∈ D(X) ∩ X
∃ lim f (x) 6= f (x0 )
x→x0
(
x-2
Esempio 14 f (x)=
5
x 6= 0
x=0
Si ha che il lim f (x) = lim x − 2 = −2 che è diverso da f (0) = 5
x→0
x→0
Per x 6= 0 è continua per il Teorema 3 .
In caso di discontinuita’ eliminabile e’ possibile ridefinire in x0 la funzione
ugula al(valor del limite in modo da renderla continua in tutto il dominio.
x-2 x 6= 0
f (x)=
−2 x = 0
5.1.2
Discontinuità di Prima Specie
(R̂, â) ; X, Y ⊆ R̂
f :X→Y
x0 ∈ D(X) ∩ X
∃ lim+ f (x) = l1 , e ∃ lim f (x) = l2 con l1 6= l2
x→x−
0
x→x0
Esempio 15 : la funzione PARTE INTERA è un esempio di discontinuità di
prima specie
Sia k ∈ Z , avremmo che:
lim [x] = k
x→k+
lim [x] = k − 1
x→k−
Abbiamo una discontinuità di prima specie perchè ∀k ∈ Z ⇒ k 6= k − 1
5.1.3
Discontinuità di Seconda Specie
(R̂, â) ; x, y ⊆ R̂
f :x→y
x0 ∈ D(X) ∩ X
f ha una discontinuita’ di seconda specie ⇔ @ lim f (x)
x→x0
Esempio 16
5.1. DISCONTINUITÀ
• La funzione di Dirichlet ha una discontinuità di seconda specie in ogni
x0 ∈ R
• f (x) = sin x1 ha una discontinuità di seconda specie in x0 = 0
47
48
CAPITOLO 5. FUNZIONI CONTINUE
Capitolo 6
Derivate
In:
(R̂, â)
x, y ⊆ R̂
f :x→y
x0 ∈ D(x) ∩ X
Definizione 39 Definiremo con Rapporto Incrementale il rapporto tra
l’incremento che subisce la funzione f quando la la variabile indipendente
passa da x a x0 fratto l’incremento della variabile indipendente:
f (x)−f (x0 )
x−x0
=
∆f
∆x
Definizione 40 La funzione f è derivabile in x0 se esiste ed è finito il limite
del rapporto incrementale per x che tende a x0
lim ∆f
x→x0 ∆x
= f 0 (x0 )
f 0 (x0 ) e’ la scrittura che indica la derivata di f in x0 .
Significato geometrico di tangente
Considero la retta secante S passante per P0 e P dove:
P0 = (x0 , f (x0 ))
P = (x, f (x))
X , Y saranno le coordinate di un punto generico sulla retta S: l’equazione
della retta secante S è data da
Y −f (x0 )
f (x)−f (x0 )
→ Y − f (x0 ) =
→Y =
=
X−x0
x−x0
f (x)−f (x0 )
x−x0
f (x)−f (x0 )
x−x0
∗ (X − x0 )
∗ (X − x0 ) + f (x0 )
49
50
CAPITOLO 6. DERIVATE
Il rapporto incrementale
f (x)−f (x0 )
x−x0
è coefficiente angolare della retta secante S
Se si va ad eseguire il limite per x che tende ad x0 notiamo che la retta
diventatangente al punto P0 , quindi possiamo dire che la derivata è il
coefficiente angolare della retta tangente il grafico della curva f nel
punto P0 di ascissa x0
Teorema 8 f è derivabile in x0 =⇒ f è continua in x0
Una caratteristica della derivabilita’ e’ la sua relazione con la continuita’; la
continuita’ non e’ sufficiente per la derivabilita’ ma e’ condizione necessaria:
una funzione derivabile deve essere necessariamente continua, ma non e’ detto
che una funzione continua sia derivabile.
Se f è continua in x0 , non è detto che sia derivabile
in x0
(
x x≥ 0
Un esempio è la funzione f (x) = |x| con |x|=
-x x< 0
Basta vedere che la funzione è continua in 0 (i limiti destro e sinistro sono
uguali), ma i limiti destro e sinistro che tendono a 0 del rapporto
incremenntale sono diversi (con risultati rispettivamente di 1 e -1).
f (x) = |x| è continua in x0
lim |x| −→ lim+ x = 0
x→0+
x→0
lim |x| −→ lim x = 0
x→0−
x→0−
∃ lim f (x) = 0 =⇒ f (0)
x→0
È continua
f (x) = |x| non è derivabile in x0
per definizione: lim
x→x0
lim
x−0
f (x)−F (x0 )
x−x0
−→ lim 1 = 1
x→0+ x−0
x→0+
−→
lim
−1
lim −x−0
x−0
x→0−
−x→0−
= −1
@ lim |x|−0
x−0
Il limite quindi non esiste per il Teorema 1 già precedentemente trattato, di
conseguenza la funzione f non è derivabile
6.1. REGOLE GENERALI DI DERIVAZIONE
6.1
51
Regole generali di Derivazione
•
•
•
•
•
•
D [k] = 0
D [x] = 1
D [xn ] = nxn−1
D [ex ] = ex
D [f (x) ± g(x)] = D [f (x)] ± D [g(x)]
D [f (x) ∗ g(x)] = f 0 (x)g(x) + g 0 (x)f (x)
i
h
0
0
(x)f (x)
(x)
= f (x)g(x)−g
• D fg(x)
(g(x))2
• D [f ◦ g] = D [f (g(x))] = f 0 (g(x)) ∗ g 0 (x)
• D f −1 (x) = f 01(x)
• D [log x] = e1y (perchè y = log x cioè → x=e y )
h
i
0
(x)
1
• D f (x)
= − ff(x)
2
6.2
Funzioni Derivabili e Monotonia
6.2.1
Stretta crescenza
In
(R̂, â)
X, Y ⊆ R̂
f : X , Y ⊆ X con x0 ∈X ∩ D(X)
x0 punto di stretta crescenza =⇒ I(x0 ) : ∀x1 , x2 ∈ I(x0 ) =⇒ x1 < x0 < x2
ovvero f (x1 ) < f (x0 ) < f (x2 )
6.2.2
Crescenza
In
(R̂, â)
X, Y ⊆ R̂
f : X , Y ⊆ X con x0 ∈X ∩ D(X)
x0 punto di crescenza ⇔ ∃ I(x0 ) : ∀x1 , x2 ∈ I(x0 ) : x1 ≤ x0 ≤ x2
si ha che f (x1 ) ≤ f (x0 ) ≤ f (x2 )
6.2.3
Stretta decrescenza
In
(R̂, â)
X, Y ⊆ R̂
f : X , Y ⊆ X con x0 ∈ X ∩ D(X)
x0 punto di stretta decrescenza ⇔ I(x0 ) : ∀x1 , x2 ∈ I(x0 ) : x1 > x0 > x2 si
ha che f (x1 ) > f (x0 ) > f (x2 )
52
CAPITOLO 6. DERIVATE
6.2.4
Decrescenza
In
(R̂, â)
X, Y ⊆ R̂
f : X , Y ⊆ X con x0 ∈ X ∩ D(X)
x0 punto di decrescenza ⇔ I(x0 ) : ∀x1 , x2 ∈ I(x0 ) : x1 ≥ x0 ≥ x2
si ha che f (x1 ) ≥ f (x0 ) ≥ f (x2 )
6.3
Teorema di Crescenza di una Funzione
Teorema 9 (R̂, â)
f: X → Y
f è derivabile in x0
x0 ∈ X ∩ D(X)
x0 è di crescenza =⇒ f 0 (x0 ) ≥ 0
Dimostrazione 6 Si ha che:
∃I(x0 ) : ∀x1 < x2 ∈ I(x0 ) tale che x1 < x0 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x0 ) ≤ f (x2 )
Essendo di crescenza si ha
per x < x0
f (x)−f (x0 )
x−x0
≥ 0 ⇒ f 0 (x0 ) ≥ 0 per il Teorema della Permanenza del Segno
Pper x > x0
f (x)−f (x0 )
x−x0
≥ 0 ⇒ f 0 (x0 ) ≥ 0 per il Teorema della Permanenza del Segno.
Osservazione: Se x0 è un punto di stretta crescenza ed f è derivabile in x, non
è detto che f 0 (x0 ) > 0.
6.4
Teorema di Decrescenza di una Funzione
Teorema 10 (R̂, â)
f: X → Y
f è derivabile in x0
x0 ∈ X ∩ D(x)
x0 è di decrescenza =⇒ f 0 (x0 ) ≤ 0
x0 è un punto di decrescenza, tutttavia non è detto che se in un punto x0 la
derivata è ≤ 0 allora il punto x0 sia di decrescenza.
6.5. TEOREMI DI STRETTA CRESCENZA E DECRESCENZA DI UNA FUNZIONE53
Dimostrazione 7 Si ha che:
∃I(x0 ) : ∀x1 < x2 ∈ I(x0 ) tale che x1 > x0 > x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x0 ) ≥ f (x2 )
Essendo x0 punto di decrescenza si ha
per x < x0
f (x)−f (x0 )
x−x0
≤ 0 ⇒ f 0 (x0 ) ≤ 0 per il Teorema della Permanenza del Segno
per x > x0
f (x)−f (x0 )
x−x0
6.5
≤ 0 ⇒ f 0 (x0 ) ≤ 0 per il Teorema della Permanenza del Segno
Teoremi di Stretta crescenza e decrescenza
di una funzione
(R̂, â)
f: X → Y
f è derivabile in x0
x0 ∈ X ∩ D(X)
Se f 0 (x0 ) > 0 =⇒x0 è un punto di stretta crescenza Analogamente, si ha che se
f 0 (x0 ) < 0 =⇒x0 è un punto di stretta decrescenza.
6.6
Derivate di ordine n dove n ≥ 2
(R̂, â)
X, Y ⊆ R̂
f : X →Y
x0 ∈ X ∩ D(x), fè derivabile in x0
f è derivabile n volte =⇒ ∃ finito lim
x→x0
f n−1 (x)−f n−1 (x0 )
x−x0
Esempio 17
f (x) = x2
f 0 (x) = 2x
f 00 (x) = 2
6.7
Concavità di una funzione
(R̂, â)
X, Y ⊆ R̂
f : X , Y ⊆ R̂
f è derivabile due volte nel punto x0
= f n (x0 )
54
CAPITOLO 6. DERIVATE
Definizione 41 Sia Y (x) l’equazione della retta tangente al grafico della
curva f (x) nel punto x0 . Una funzione è concava se
∃I(x0 ) : ∀x ∈ I(x0 ) → Y (x) ≥ f (x)
Se f 00 (x0 ) < 0 =⇒ f è concava in x0 .
6.8
Convessità di una Funzione
(R̂, â)
X, Y ⊆ R̂
f : X , Y ⊆ R̂
f è derivabile due volte nel punto x0
Definizione 42 Sia Y (x) l’equazione della retta tangente al grafico della
curva f (x) nel punto x0 . Una funzione è convessa in x0 se
∃I(x0 ) : ∀x ∈ I(x0 ) → Y (x) ≤ f (x)
Se f 00 (x0 ) > 0 =⇒ f è convessa in x0 .
6.9
Punto di Massimo Relativo
(R̂, â)
X, Y ⊆ R̂
f : X →Y
x0 ∈ X
Definizione 43 x0 è un punto di Massimo Relativo per f ⇐⇒ ∃ I(x0 ): ∀ x ∈
I(x0 ) si ha f (x) ≥ f (x0 )
Il Massimo Assoluto è il più grande tra i Massimi Relativi, i valori assunti
dalla funzione nei punti di non derivabilità della funzione ed i valori assunti
dalla funzione agli estremi del dominio.
6.10
Punto di Minimo Relativo
(R̂, â)
X, Y ⊆ R̂
f : X →Y
x0 ∈ X
Definizione 44 x0 è un punto di Minimo Relativo per f ⇐⇒ ∃ I(x0 ): ∀ x
∈ I(x0 ) si ha f (x) ≤ f (x0 )
Il Minimo Assoluto è il più piccolo tra i minimi relativi, i valori assunti dalla
funzione nei punti di non derivabilità della funzione ed i valori assunti dalla
funzione agli etremi del dominio.
6.11. STUDIO DI UNA FUNZIONE
6.11
55
Studio di una Funzione
1. Simmetrie
2. Funzione pari o dispari
3. Punti di intersezione
4. Periodicità
5. Dominio
6. Studio segno
7. Asintoti
8. Crescenza
9. Concavità
Questo è ciè che viene richiesto quando si deve svolgere uno studio di funzione.
Ora lo vedremmo meglio con un esempio.
Esempio 18
• f (x) = |x + 2|ex
(
Dominio:
(x+2)ex
(−x − 2)ex
x ≥ −2
Quindi D = R
x < −2
La funzione non presenta simmetrie infatti f (x) 6= f (−x) e f (x) 6= −f (−x)
La funzione inoltre non presenta periodicità.
I punti di intersezione per x = 0 e y = 0 sono rispettivamente:
(
(
y=(x+2)ex
y=2
−→
x=0
x=0
(
(
y=(x+2)ex
y=0
−→
y=0
x = −2
Studio del segno: |x + 2|ex ≥ 0 → questo è vero per ∀x ∈ R perchè prodotto
di due funzioni sempre maggiori o uguali a 0 in R.
56
CAPITOLO 6. DERIVATE
Inoltre:
lim |x + 2|ex = ∞ ∗ ∞ = +∞
x→∞
lim |x + 2|ex = −∞ ∗ 0 = 0
x→−∞
Si continua con lo studio del segno della derivata prima per studiare la
crescenza e decrescenza della funzione:
(
(
(x+2)e x con x≥ −2
e x (x + 3) con x ≥ −2
−→
f’(x)=
f (x) =
(−x − 2)ex con x ≤ −2
e x (−x − 3) con x ≤ −2
Si deve studiare:
ex (x + 3) ≥ 0 con x ≥ −2 sia ex (−x − 3) > 0 con x < −2
rispettivamente le soluzioni sono:
x ≥ −2
x < −3
Studiemo la crescenza e la decrescenza della funzione: nei punti di ascissa -3 e
-2 infatti abbiamo che a sinistra di -3 la funzione è crescente, nel tratto
compreso tra -3 e -2 la funzione è decrescente e nel tratto a destra di -2 la
funzione è di nuovo crescente.
Si passa quindi a studiare il segno della derivata seconda che ci darà
invece la concavità della funzione.
(
(
x
(x+3)e
con
x
≥
−2
e x (x + 4) con x ≥ −2
f 0 (x) =
=⇒f”(x)=
x
(−x − 3)e con x < −2
e x (−x − 4) con x < −2
Anche qui si deve studiare:
ex (x + 4) > 0 con x ≥ −2 sia ex (−x − 4) > 0 con x < −2
rispettivamente le soluzioni sono:
x ≥ −2
x < −4
Sudiamo la concavità o la convessità della funzione: nei punti di flesso -4 e -2
infatti abbiamo che a sinistra di -4 la funzione è concava, nel tratto compreso
tra -4 e -2 la funzione è convessa e nel tratto a destra di -2 la funzione è di
nuovo convessa.
6.11. STUDIO DI UNA FUNZIONE
Grafico |x + 2|ex
57
58
CAPITOLO 6. DERIVATE
Capitolo 7
Teoremi
7.1
Teorema di de l’Hopital
f (x)
x→x0 g(x)
Teorema 11 Se si ha lim
=
0
0
f (x)
x→x0 g(x)
oppure lim
=
∞
∞
Si può risolvere una forma indeterminata tramite questo teorema, che afferma:
∃ lim
x→x0
7.2
f 0 (x)
g 0 (x) .
Insieme Compatto.
Sia (S, a) uno spazio topologico, X ⊆ S; sia < =
{Ai : i ∈ J =⇒ Ai ∈ a∀i ∈ J} unaclassediapertidellatopologia.
Definizione 45 Una classe < di aperti della topologia e’un ricoprimento per
X se X e’ contenuto nell’unione di questi aperti.
S
< è un ricoprimento per X ⇐⇒ X ⊆
Ai con Ai ∈ a
Quindi:
Teorema 12 X è compatto ⇐⇒ da ogni ricoprimento < di X (costituito da
aperti), se ne può estrarre uno finito cioè, un ricoprimento costituito da un
numero finito di aperti.
Caratterizzazione dei Compatti in R.
Dato X ⊆ R
X è compatto ⇐⇒ X è chiuso e limitato.
X è limitato se esiste [a, b]: {X ⊆ [a, b] ; a, b ∈ R}
59
60
CAPITOLO 7. TEOREMI
Esempio 19 X= [1, 2] è un compatto.
Esempio 20 X= {1} il singleton è un compatto.
Esempio 21 X = R non è compatto in (R,a)
Infatti esiste almeno un ricoprimento da cui non è possibile estrarre un
ricoprimento di X costituito da un numero finito di aperti:
<: {(−n, n), n ∈ N }
Quindi:
X = R non è compatto in (R,a)
Ma si può dimostrare che:
X = R è compatto in (R̂, â)
7.3
Teorema di Bolzano-Weistrass.
Sia (R, a) uno spazio topologico, X ⊆ S:
Teorema 13
X è infinito e limitato =⇒ X ammette almeno un punto di accumulazione.
Dimostrazione 8
Dire che X è limitato, equivale a dire che ∃ A = [a, b]: a < x < b: X ⊆ [a, b]
Si considera:
A= {x ∈ [a, b] , X
T
[x, b]} è un insieme infinito.
A 6= perchè contiene almeno x = a.
A è limitato perchè A ⊆ [a, b] .
Per la proprietà di completezza di R essendo A limitato, il Sup(A) ∈ R
Sia s = Sup(A)
7.4. TEOREMA DE WEISTRASS GENERALIZZATO.
61
Faremo vedere che s è un punto di accumulazione per X.
Dalla definizione di estremo superiore si ha che: ∀ > 0, s + non appartiene
ad A mentre s − appartiene ad A
Da cui:
(S + , b)
(S − , b)
T
T
X è finito.
X è infinito.
Da cui si ottiene:
∀ > 0 (s − , s + )
T
X−{s}6= 0
E quindi s è un punto di accumulazione. 7.4
Teorema de Weistrass Generalizzato.
Sia (S, a) lo spazio topologico di partenza, (T, B) lo spazio topologico di arrivo
Con X ⊆ S, Y ⊆ T , con f : X −→ Y , e K un insieme compatto ⊆ X.
Teorema 14
Se f è continua su K =⇒ f (K) è un compatto.
7.5
Teorema de Weistrass in R
Sia (R, a) uno spazio topologico, X ⊆ S e K un insieme compatto.
Teorema 15
Se f è continua su K =⇒ f (K) ammette max e min in K.
Dimostrazione 9
Per il teorema di Weistrass generalizzato:
f è continua su K compatto =⇒ f (K) è un compatto di R.
62
CAPITOLO 7. TEOREMI
Quindi dalla caratterizzazione dei compatti in R:
f (K) è chiuso e limitato =⇒ esistono m =inf f (K) e M =sup f (K).
A questo punto non resta altro che dimostrare che inf f (K) e sup f (x)
rispettivamente sono il minimo ed il massimo di f (K).
• Dimostreremo che l’inf f (K) è minimo di f (K):
Supponiamo per Assurdo che m = inf f (K) ∈
/ f (K), ossia non sia minimo.
Per definizione di estremo inferiore:
inf f (K) ∈ F r(K)
E quindi si avrebbe che:
inf f (K) ∈ F r(K)
ma:
inf f (K) ∈
/ f (K)
Poichè:
f (K) è chiuso ∈
/ f (K).
Questa affermazione è assurda e dato che f (K) è chiuso, deve contenere la
sua frontiera:
f (K) ⊆ F r(f (K)).
L’assurdo prova che: m è minimo di f (k).
Stesso discorso per il massimo:
• Dimostreremo che il max f (K) è massimo di f (K):
Supponiamo per Assurdo che M = max f (K) ∈
/ f (K) ossia non sia massimo.
Per definizione di estremo superiore:
max f (K) ∈ F r(K)
E quindi si avrebbe che:
max f (K) ∈ F r(K)
ma:
max f (K) ∈
/ f (K)
Poichè:
f (K) è chiuso ∈
/ f (K).
Questa affermazione è assurda e dato che f (K) è chiuso, deve contenere la
sua frontiera:
f (K) ⊆ F r(f (K)).
L’assurdo prova che: M è massimo di f (k).
7.6. INSIEMI CONNESSI.
7.6
63
Insiemi Connessi.
Sia (S, a), con X ⊆ S:
Teorema 16
( T
A1 A2 = ∅
X è connesso ⇐⇒ @ due aperti: A1 ,A2 ∈ a:
S
A1 A2 = X
Esempio 22 Gli intervalli aperti sono connessi.
Esempio 23 Gli intervalli chiusi sono connessi.
Esempio 24 Il singleton è connesso.
7.7
Teorema di Bolzano Generalizzato.
Sia (S, a) lo spazio topologico di partenza, (T, B) lo spazio topologico di arrivo.
X ⊆ S, Y ⊆ T , con f : X −→ Y , e K un insieme connesso ⊆ X.
Teorema 17 Se f è continua in K =⇒ f (K) è connesso.
7.8
Teorema di Bolzano in R.
Sia (R, a), con X ⊆ R
Teorema 18 Se X è connesso ⇐⇒ X è un intervallo o un punto.
7.9
Teorema dei Valori Intermedi.
Sia (R, a), f : X −→ Y , X, Y ⊆ R,
K connesso ⊆ X, f continua su K, con k = [a, b]
Teorema 19 ∀ f (C1 ), f (C2 ) ∈ f (K), ∃ x ∈ K: C1 < f (x) < C2
64
CAPITOLO 7. TEOREMI
7.10
Teorema degli zeri.
Sia (R, a), f : X −→ Y , X, Y ⊆ R.
K connesso ⊆ X, f continua su K
Teorema 20
• ∃ x1 , x2 ∈ K: f (x1) · f (x2 ) < 0
• ∃ x̄ ∈ K: f (x̄) = 0
7.11. TEOREMA DI ROLLE.
7.11
65
Teorema di Rolle.
Dato (R, a), f : X −→ Y , X, Y ⊆ R.
Sia f continua in [a, b] ⊆ X, f derivabile in (a, b) ⊆ X ed f (a) = f (b)
Teorema 21 ∃ c ∈ (a, b) =⇒ f 0 (c) = 0
Dimostrazione 10
Poichè f è continua in [a, b] compatto di R =⇒ per il teorema di Weistrass in
R ∃ m, M ∈ < : m ≤ f (x) ≤ M
Supponiamo:
• m = M , questo significa che f (x) = costante ∀ x ∈ [a, b]
Poichè è derivabile in (a, b), ∀ x ∈ (a, b) =⇒ f 0 (x) = 0
Supponiamo:
• m<M
Poichè f (a) = f (b) o il minimo e/o il massimo sono assunti in un punto
interno dell’intervallo (a, c), supponiamo ad esempio:
∃ c ∈ (a, b) : f (c) = M
Essendo f derivabile in (a, b) e la derivata in un punto di massimo è nulla si ha:
f 0 (c) = 0 66
CAPITOLO 7. TEOREMI
7.12
Teorema di Lagrange
Sia (R, a), f : X −→ Y , X, Y ⊆ R.
f continua in [a, b] ⊆ X, f derivabile in (a, b) ⊆ X
Teorema 22 ∃ c ∈ (a, b) =⇒
f (b)−f (a)
b−a
= f 0 (c)
Interpretazione geometrica:
Nelle ipotesi del teorema esiste una retta tangente il grafico della funzione f in
un punto di ascisse x ∈ (a, b) parallela alla secante il grafico della curva nei
punti di ascissa a e b
Dimostrazione 11 Si considera la funzione ausiliare:
ϕ(x) = f (x) − f (a) −
f (b)−f (a)
b−a
ϕ(x) soddisfa l’ipotesi di Rolle:
• ϕ(x) è continua in [a, b], perchè somma algebrica di funzione continua in
[a, b]
• ϕ(x) è derivabile in (a, b), perchè somma algebrica di funzione continua
in (a, b)
• ϕ(a)=ϕ(b) = 0
Siccome per il teorema di Rolle ∃ c ∈ (a, b) =⇒ ϕ0 (c) = 0
7.13. TEOREMA DI CAUCHY
67
Quindi:
ϕ(x) = f (x) − f (a) −
ϕ0 (x) = f 0 (x) −
ϕ0 (c) = f 0 (c) −
f 0 (c) =
7.13
f (b)−f (a)
(x
b−a
− a)
f (b)−f (a)
b−a
f (b)−f (a)
b−a
f (b)−f (a)
.
b−a
=0
Teorema di Cauchy
Sia (R, a), f · g : X −→ Y , X, Y ⊆ R.
f, g continue in [a, b] ⊆ X, f, g derivabili in (a, b) ⊆ X
Teorema 23 ∃ c ∈ (a, b) =⇒ f 0 (c) [g(b) − g(a)] = g 0 (c) [f (b) − f (a)]
Dimostrazione 12 Si considera la funzione ausiliare:
ϕ(x) = [f (x) − f (a)] · [g(b) − g(a)] − [g(x) − g(a)] [f (b) − f (a)]
ϕ(x) soddisfa l’ipotesi di Rolle:
• ϕ(x) è continua in [a, b], perchè somma algebrica di funzione continua in
[a, b]
• ϕ(x) è derivabile in (a, b), perchè somma algebrica di funzione continua
in (a, b)
• ϕ(a)=ϕ(b) = 0
Per il teorema di Rolle:
∃ c ∈ (a, b) =⇒ ϕ0 (c) = 0
Quindi:
ϕ0 (x) = f 0 (x) [g(b) − g(a)] − g 0 (x) [f (b) − f (a)]
ϕ0 (c) = f 0 (c) [g(b) − g(a)] − g 0 (c) [f (b) − f (a)] = 0 68
CAPITOLO 7. TEOREMI
Capitolo 8
Sviluppo Mediante il
Polinomio di Taylor.
Lo sviluppo di Taylor, permette di approssimare sotto opportune ipotesi di
derivabilità, una funzione derivabile in un intorno ad un dato punto mediante
il polinomio di Taylor.
T
Se f : X −→ Y , x0 ∈ X D(x) con f derivabile n-volte in x0 ,
ed ∃ I(x0 ) : ∀ x ∈ I(x0 ), ed f sia derivabile (n − 1)volte in x
8.1
Sviluppo con il resto di Peano.
f (x) = f (x0 ) + P n(x) + W n(x)
• f (x0 ) = è la funzione di partenza valutata nel punto x0 .
• P n(x) = è il polinomio di Taylor di grado n e ordine di derivazione n.
n
P
f k (x0 )(x−x0 )k
P n(x) =
con K! = 1 · 2 · 3 · ... · K
K!
K=1
0
P n(x) =
f (x0 )(x−x0 )1
1!
00
+
f (x0 )(x−x0 )2
2!
+
f
000
(x0 )(x−x0 )1
3!
+ ... +
f n (x0 )(x−x0 )n
n!
• W n(x) = è il resto di Peano cioè, l’errore dell’approssimazione, e non è
possibile calcolarlo preciso. Il resto di Peano soddisfa le seguenti
condizioni:
1. W n(x0 ) = 0
2. W n(x) è derivabile n-volte e W n0 (x0 ) = W n00 (x0 ) = ... = W nn (x0 ) = 0
W n(x)
n
x→x0 (x−x0 )
3. lim
=0
69
70
CAPITOLO 8. SVILUPPO MEDIANTE IL POLINOMIO DI TAYLOR.
Dimostrazione 13
1. W n(x0 ) = 0
f (x) = f (x0 ) + P n(x) + W n(x)
W n(x) = f (x) − f (x0 ) − P n(x) = 0
W n(x) = f (x) − f (x0 ) −
n
P
K=1
f k (x0 )(x−x0 )k
K!
=0
W n(x) = 0 se soltanto se, il punto x coincide con x0 .
2. W n(x) è derivabile n-volte e W n0 (x0 ) = W n00 (x0 ) = ... = W nn (x0 ) = 0
f (x) = f (x0 ) + P n(x) + W n(x)
W n(x) = f (x) − f (x0 ) − P n(x) = 0
W n(x) = f (x) − f (x0 ) −
n
P
K=1
f k (x0 )(x−x0 )k
K!
=0
W n(x) è derivabile n-volte perchè somma algebrica di funzioni derivabili
n-volte.
Quindi:
W n0 (x) = f 0 (x) − f 0 (x0 ) − f 0 (x0 ) −
2f 00 (x0 )(x−x0 )
2!
− ... −
nf n (x0 )(x−x0 )n−1
n!
W n0 (x) = f 0 (x) − f 0 (x0 ) − f 0 (x0 ) − f 00 (x0 )(x − x0 ) − ... −
nf n (x0 )(x−x0 )n−1
n!
W n0 (x0 ) = 0 − 0 − 0 − 0 − ... − 0
W n0 (x0 ) = 0
W n00 (x) = f 00 (x) − f 00 (x0 ) − f 00 (x0 ) − f 00 (x0 ) − ... −
nf n (x0 )(x−x0 )n−1
n!
W n00 (x0 ) = 0 − 0 − 0 − 0 − ... − 0
W n00 (x0 ) = 0
W nn (x) = f n (x) − f n (x0 ) − f n (x0 ) − f n (x0 ) − ... −
nf n (x0 )(x−x0 )n−1
n!
W nn (x0 ) = 0 − 0 − 0 − ... − 0
W nn (x0 ) = 0
E si verifica che:
W n0 (x0 ) = W n00 (x0 ) = ... = W nn (x0 ) = 0
W n(x)
n
x→x0 (x−x0 )
3. lim
=0
8.2. SVILUPPO CON IL RESTO DI LAGRANGE.
lim W n(x)n
x→x0 (x−x0 )
W n0 (x)
n−1
n(x−x
0)
x→x0
lim
71
= si ha l’indeterminazione 00 ,quindi si applica de l’Hopital.
= abbiamo ancora l’indeterminazione 00 , si applica ancora de
l’Hopital.
W n00 (x)
lim
n−2
x→x0 n(n−1)(x−x0 )
W nn (x)
lim
n−n
x→x0 n!(x−x0 )
= indeterminazione 00 , si applica de l’Hopital n-volte.
= indeterminazione 00 , ma per la teoria degli infinitesimi ci
rendiamo conto che il numeratore va a zero più velecemente del numeratore.
Quindi:
lim
x→x0
W nn (x)
n!
=
0
C
=0
E si dimostra che:
lim W n(x)n
x→x0 (x−x0 )
8.1.1
=0
Sviluppo di Mclaurin.
È un caso particolare dello Sviluppo di Taylor, quindi partendo sempre dallo
Sviluppo di Taylor:
f (x) = f (x0 ) + P n(x) + W n(x)
Si ha lo Sviluppo di Mclaurin, se soltanto se:
x0 = 0
8.2
Sviluppo con il Resto di Lagrange.
Sia f : X −→ Y , x0 ∈ X
T
D(x) con f derivabile n-volte in x0 ,
ed ∃ I(x0 ) : ∀ x ∈ I(x0 ) − {x0 } , ed f sia derivabile (n + 1) volte in x
Partendo sempre dallo sviluppo di Taylor:
(x) = F (x0 ) + P n(x) + R(x)
Si ha il resto di Lagrange:
R(x) =
f n+1 (c)(x−x0 )n+1
(n+1)!
(
c ∈ (x0 , x)x0 < x
c ∈ (x, x0 )x < x0
Esempio
√ 25 Calcolare mediante il Polinomio di Taylor del quarto ordine il
valore e, inoltre dare una maggiorazione dell’errore commesso.
72
CAPITOLO 8. SVILUPPO MEDIANTE IL POLINOMIO DI TAYLOR.
Scegliamo x0 = 0
Consideriamo lo sviluppo di Mclaurin:
√
1
f (x) = ex =⇒ e = e 2 =⇒ x =
1
2
f (x) = f (x0 ) + P n(x) + R(x)
f (x)∼
= f(x0 ) + P n(x)
f (x) = f (x0 ) +
f 0 (x0 )(x−x0 )
1!
+
f 00 (x0 )(x−x0 )2
2!
f 000 (x0 )(x−x0 )3
3!
+
+
f 0 (x) = ex =⇒ f 0 (0) = 1
f 00 (x) = ex =⇒ f 00 (0) = 1
f 000 (x) = ex =⇒ f 000 (0) = 1
f 0000 (x) = ex =⇒ f 0000 (0) = 1
Sostituendo nell’espressione della f (x) si ha:
f (x) = 1 +
x
1!
f ( 12 ) = 1 +
1!
1
2
+
+
f ( 12 ) = 1 +
1
2
+
f ( 12 ) = 1 +
1
2
+
f ( 12 ) =
x2
2!
12
2
2!
1
4
2
1
8
+
+
3!
x4
4!
+
13
2
1
8
+
+
x3
3!
+
14
2
4!
1
16
6
+
24
1
48
+
1
384
384+192+48+8+1
384
f ( 21 ) =
633
384
f ( 12 ) = 1.6484375
Esplicitiamo il resto di Lagrange:
f ( 21 ) = 1.6484375 + R(x)
R4 (x) =
f v (c)(x−x0 )5
5!
con C ∈ (0, 12 )
f v (x) = ex =⇒ f v (c) = ec con x0 = 0 e x =
R4 (x) =
ec x5
5!
Si fa una maggiorazione:
ec <
e1
2
< e1 < 3
1
2
f 0000 (x0 )(x−x0 )4
4!
8.2. SVILUPPO CON IL RESTO DI LAGRANGE.
R4 (x) =
ec x 5
5!
R4 (x) ≤
≤
3x5
5!
3x5
5!
R4 (x) ≤
3( 12 )5
32
R4 (x) ≤
3
120·32
R4 (x) ≤ 7.8x10−4 con un ordine di grandezza di 10−4 .
Quindi:
f ( 12 ) = 1.6484375 + Rn(x)
f ( 12 ) = 1.6484375 + 7.8x10−4
f ( 21 ) = 1.6492175
73
Capitolo 9
Calcolo Integrale
Il Calcolo Integrale nasce dall’esigenza di calcolare l’area di regioni del piano
dai contorni curvilinei.
9.1
Funzioni Integrabili Secondo Riemann
Siano X, Y ⊆ R, f : X −→ Y con [a, b] ⊆ X, f integrabile in [a, b]:
9.1.1
Partizione dell’intervallo [a,b].
Definizione 46 Una partizione dell’intervallo [a, b] è una famiglia di
intervalli.
P = {[xi , xi + 1] , i = (0, n − 1)}
75
76
CAPITOLO 9. CALCOLO INTEGRALE
Tali che siano soddisfatte le seguenti condizioni:
• Gli intervalli [xi , xi + 1] , i = (0, ..., n − 1) non hanno punti interni comuni.
•
n−1
S
[xi , xi + 1] = [a, b]
i=0
9.1.2
Ampiezza di una partizione P.
Definizione 47 L’ampiezza di una partizione è l’estremo superiore delle
ampiezze dei singoli intervalli della funzione.
δ = Sup {[xi + 1 − xi ] , i = {0.., n − 1}}
9.1.3
Somma integrale σ della funzione f(x) relativa alla
partizione P.
Definizione 48 La somma integrale σ (f (x), P ) =
n−1
P
i=0
f (Ci ) (xi + 1 − xi )
9.2. DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE DERIVABILE.
9.1.4
77
f (x) è integrabile secondo Riemann in [a, b].
Definizione 49 f (x) è integrabile secondo Riemann in [a, b] ⇐⇒
∃ finito lim σ (f (x), P ) ⇐⇒ lim
δ→0
n−1
P
δ→0 i=0
Rb
f (Ci ) (xi + 1 − xi )= a f dx
Che nel limite δ tenda a zero significa che le ampiezze tendono a zero, questo
ha lo scopo di rendere i rettangoli molto piccoli in modo tale di avere più
precissione al momento di calcolare le aree.
9.2
Differenziale di una funzione derivabile.
Il differenziale è il polinomio di Taylor di grado 1.
Siano f : X =⇒ Y x0 ∈ D(x)
T
X; f derivabile in x0
Consideriamo lo sviluppo mediante il polinomio di Taylor di grado 1:
∼ f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )
f (x) =
Si definiscono:
Definizione 50 Differenziale della variabile indipendente.
dx = (x − x0 )
Definizione 51 Differenziale della variabile dipendente.
df = f 0 (x0 )(x − x0 )
Definizione 52 Incremento della variabile dipedente.
∆f = f (x) − f (x0 )
Si ha che:
f (x) ∼
= f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) =⇒ f (x) − f (x0 ) ∼
= f 0 (x0 )(x − x0 )
Da cui:
Definizione 53 df ∼
= f 0 (x0 )dx = ∆f
Ossia il differenziale dà una approssimazione dell’incremento della variabile
indipendente
78
9.3
CAPITOLO 9. CALCOLO INTEGRALE
Esempio di una funzione non integrabile.
Siano X, Y ⊆ R, f : X −→ Y con [a, b] ⊆ X Sia:
(
T
1 x ∈ Q [a, b]
La funzione di Dirichlet f (x) =
T
0 x ∈ R − Q [a, b]
La funzione di Dirichlet non è integrabile in [a, b].
Dimostrazione 14
Ricordiamo che una funzione è integrabile se soltanto se:
∃ finito lim σ (f (x), P ) ⇐⇒ lim
δ→0
n−1
P
δ→0 i=0
f (Ci ) (xi + 1 − xi )⇐⇒
Rb
a
f dx
Supponiamo per assurdo che sia integrabile ossia:
∃ finito lim σ (f (x), P ) = L
δ→0
T
∀I(l) ∈ J(l) ∃ j(0) ∈ J(0) : ∀X ∈ j(0) x − {0} =⇒ l − < σ (f (x), P ) < l + Allora:
x∈Q
T
[a, b] =⇒ f (x) = 1 =⇒ σ (f (x), P ) = b − a
T
x ∈ R − Q [a, b] =⇒ f (x) = 0 =⇒ σ (f (x), P ) = 0
l−< 0 <l+
l−<b−a<l+
Se si sceglie l’intervallo [a, b] =⇒ [0, 1] e diamo a un valore di 1/2 si ottiene:
l − 1/2 < 0 < l + 1/2
l − 1/2 < b − a < l + 1/2
quindi:
l − 1/2 < 0 < l + 1/2
l − 1/2 < 1 < l + 1/2
si prendono in considerazione:
l − 1/2 < 1
0 < l + 1/2
e abbiamo:
l < 1/2
l > 1/2 Siccome non esiste un valore contemporanemente maggiore di 1/2 e minore di
1/2 si dimostra per assurdo che la funzione di Dirichlet non è integrabile cioè,
non esiste il limite della somma integrale della funzione.
9.4. TEOREMI SULLE FUNZIONI INTEGRABILI.
9.4
79
Teoremi sulle funzioni integrabili.
Siano X, Y ⊆ R, f : X −→ Y con [a, b] ⊆ X, f integrabile in [a, b]:
Teorema 24 f : X −→ Y è continua in [a, b] =⇒ f è integrabile.
Ma non è detto che se f è integrabile sia anche continua.
Esempio 26
f (x) : [x] con x ∈ [0, 3]
è discontinua di prima specie, ma è integrabile.
Teorema 25 f : X −→ Y è monotona e limitata =⇒ f è integrabile.
Osservazione: non sempre se f (x) è limitata sarà anche integrabile.
Esempio 27 La funzione di Dirichlet, è limitata ma non integrabile.
9.5
Proprietà degli Integrali.
Siano X, Y ⊆ R, f : X −→ Y con [a, b] ⊆ X, f integrabile in [a, b]:
9.5.1
Linearità.
Date α e β due costanti, f e g integrabili:
R
R
R
Definizione 54 (αf + βg)dx =⇒α f dx + β gdx
9.5.2
Confronto.
f, g integrabili tale che ∀ X ∈ [a, b] : f (x) ≤ g(x)
R
R
Definizione 55 f (x)dx ≤ g(x)dx
9.5.3
Additività dell’Integrale.
Sia c un punto ∈ [a, b]
Definizione 56
9.6
Rb
a
f (x)dx ⇐⇒
Rc
a
f (x)dx +
Rb
c
f (x)dx
Primitiva di una funzione integrabile.
Siano X, Y ⊆ R, f : X −→ Y con [a, b] ⊆ X, f integrabile in [a, b]:
Definizione 57
F (x) è primitiva di f (x) se soltanto se:
• F (x) è continua.
• F (x) è derivabile e F 0 (x) = f (x), ∀ punto di continuità per f (x)
80
CAPITOLO 9. CALCOLO INTEGRALE
9.7
Integrale Indefinito.
Siano X, Y ⊆ R, f : X −→ Y con [a, b] ⊆ X, f integrabile in [a, b]:
R
Definizione 58 f (x)dx rappresenta la totalità delle primitive di f (x).
9.8
Teorema della Media Integrale.
Teorema 26 Siano X, Y ⊆ R, f : X −→ Y con [a, b] ⊆ Y , f integrabile in
[a, b]:
∃ m, M ∈ R: m ≤ f (x) ≤ M ∀x ∈ [a, b] =⇒ m≤
Rb
1
b−a
a
f (x)dx ≤ M
Dimostrazione 15
f è limitata in [a, b] =⇒ ∃ m,M ∈ R [a, b] : m ≤ f (x) ≤ M
Per il teorema del confronto:
Rb
Rb
Rb
m(x)dx ≤ a f (x)dx ≤ a M (x)dx
a
• Per
Rb
a
Rb
a
m(x)dx :
mdx = lim δ (m, P ) =⇒ lim
γ→0
γ→0 i=0
Rb
a
n−1
P
mdx = m lim
γ→0 i=0
Rb
a
a
(xi + 1, xi) = m lim (b − a)
γ→0
mdx = m(b − a)
M (x)dx :
Analogamente si ha:
Rb
a
M dx = M (b − a)
Quindi:
Rb
a
m(x)dx ≤
Rb
m(b − a) ≤
m≤
n−1
P
γ→0 i=0
γ→0
a
Rb
(xi + 1, xi)m =⇒ m lim
mdx = m lim (b − a)
Rb
• Per
n−1
P
a
f (x)dx ≤
Rb
1
(b−a)
a
Rb
a
M (x)dx
f dx ≤ M (b − a)
Rb
a
f dx ≤ M. (xi + 1, xi)
9.9. TEOREMA DI TORRICELLI-BARROW.
81
Interpretazione Geometrica: il teorema della media integrale afferma che
l’area sottesa al grafico della curva f (x) limitatamente all’intervallo [a, b] è
compresa tra l’area del rettangolo di base [a, b] e altezza m, e l’area del
rettangolo di base [a, b] e altezza M
Osservazione: Se in aggiunta alle ipotesi del teorema f è anche continua, per
il teorema dei valori intermedi f assume tutti i valori compresi tra m, e M e
quindi:
∃ c ∈ (a, b)
Tale che:
f (c) =
1
(b−a)
Rb
f dx
a
Rb
f (c)(b − a) = a f dx
L’area dell’integrale è uguale all’area del rettangolo di base (b − a) e altezza
f (c) per un opportuno punto di ascissa C.
9.9
Teorema di Torricelli-Barrow.
Teorema 27 Sia X, Y ⊆ R, f : X −→ Y, con [a, b] ⊆ X, f integrabile in
[a, b], a < x < b, definiamo la funzione:
Rx
F (x) = a f (t)dt
Detta funzione integrale F (x) è una primitiva di f (x).
E possiamo affermare che:
• F (x) è continua ∀ x0 ∈ [a, b].
• F (x) è derivabile in [a, b], e F 0 (x) = f (x) ∀ x di continuità per f .
Dimostrazione 16
• F (x) è continua in [a, b] ⇐⇒ ∀ x0 ∈ [a, b] si ha lim F (x) = F (x0 )
x→x0
82
CAPITOLO 9. CALCOLO INTEGRALE
Poniamo x come: x = x0 + h
Quindi:
F (x) =
F (x) − F (x0 ) =
Rx
a
R x0 +h
a
f (t)dt
f (t)dt −
R x0
a
f (t)dt
Per la proprietà di Additività:
f (t)dt +
R x0 +h
F (x) − F (x0 ) =
R x0 +h
F (x) − F (x0 ) =
R x0
a
|F (x) − F (x0 )| = |
R x0 +h
x0
x0
x0
f (t)dt −
R x0
a
f (t)dt
f (t)dt
f (t)dt| ≤
R x0 +h
x0
|f (t)dt|
Per il teorema della Media Integrale:
|F (x) − F (x0 )| = |
R x0 +h
x0
f (t)dt| ≤
R x0 +h
x0
|f (t)dt| ≤ M · h
Cioè:
0 ≤ |F (x0 + h) − F (x0 )| ≤ M · h
Calcolando il limite per h che tende a zero, dal teorema del confronto per i
limiti si ha::
Si ha che:
0 ≤ lim |F (x0 + h) − F (x0 )| ≤ 0
h→0
Ossia:
lim |F (x0 + h) − F (x0 )| = 0
h→0
da cui:
lim F (x) = F (x0 ). x→x0
Dimostrazione 17
• F (x) è derivabile in [a, b], e F 0 (x) = f (x) ∀x di continuità per f .
9.9. TEOREMA DI TORRICELLI-BARROW.
83
Poniamo x come: x = x0 + h, e dimostriamo che:
F (x)−F (x0 )
x−x0
=
F (x0 +h)−F (x0 )
h
=
∃ lim
x→x0
lim
h→0
1
h→0 h
lim
1
h→0 h
lim
[F (x0 + h) − F (x0 )] =
hR
x0 +h
a
f (t)dt −
R x0
a
i
f (t)dt =
Per l’Additività dell’integrale:
1
h→0 h
lim
hR
x0
a
f (t)dt +
1
h→0 h
lim
R x0 +h
a
f (t)dt −
hR
x0 +h
a
R x0
a
i
f (t)dt =
i
f (t)dt
Sia x0 un punto di continuità per f (x) e per il teorema della Media Integrale si
ha:
1
h→0 h
lim
hR
x0 +h
a
i
f (t)dt = lim f (c) con c ∈ (x0 , x0 + h)
h→0
Quindi:
lim f (c) = f (x). h→0
84
CAPITOLO 9. CALCOLO INTEGRALE
9.10
Teoremi sulle primitive.
Siano X, Y ⊆ R, f : X −→ Y con [a, b] ⊆ X, f integrabile in [a, b]:
Teorema 28 I Teorema sulle primitive:
Sia f : X −→ Y, f integrabile in [a, b], a < x < b, consideriamo la funzione
integrale:
Rx
F (x) = a f (t)dt e ∀ c ∈ R sia:
G(x) = F (x) + c
Allora:
G(x) è una primitiva di f (x).
Dimostrazione 18
G(x) è una primitiva di f (x) se soltanto se:
• G(x) è continua in [a, b].
• G(x) è derivabile, G0 (x) = f (x) ∀ x di continuità per f .
Allora:
• G(x) è continua in [a, b] perchè somma di funzioni continue in [a, b],
infatti F (x) è continua per il teorema di Torricelli-Barrow e c è continua
perchè costante.
• G(x) = F (x) + c, G(x) è derivabile perchè somma di funzione derivabile e
per il teorema di Toricelli-Barrow ∀ x di continuità per f .
Quindi:
G0 (x) = F 0 (x) + 0
F 0 (x) = f (x). Teorema 29 II Teorema sulle primitive:
Sia f : X −→ Y, f integrabile in [a, b], a < x < b, consideriamo la funzione
integrale:
Rx
F (x) = a f (t)dt
Si può affermare che:
Rb
a
f (t)dt = G(b) − G(a) con G primitiva di f .
9.11. CALCOLO DI INTEGRALI.
85
Dimostrazione 19
Dalla definizione di funzione integrale si ha che:
Rb
F (b) = a f (t)dt
Ra
F (a) = a f (t)dt = 0
Per il I teorema sulle primitive:
G(b) − G(a) = F (b) + c − [F (a) + c]
F (b) + c − [F (a) + c] =
F (b) + c - F (a) − c =
F (b) − F (a) =
Rb
f (t)dt. a
9.11
Calcolo di Integrali.
9.11.1
Integrali Inmediati.
•
R
dx = x + c
•
R
kdx = kx + c
•
R
xn dx =
•
R
ex dx = ex + c
•
R
1
x dx
•
R
sen(x)dx = −cos(x) + c
•
R
cos(x)dx = sen(x) + c
9.11.2
x( n+1)
n+1
+c
= ln(|x|) + c
Integrazione per Sostituzione.
Definizione 59
R
f [g(t)] g 0 (t)dt = f (g(t)) + c
Esempio 28
R
e2x dx
1
2
R
et dt
1 t
2e
+c
Si pone t = 2x =⇒ dt = 2dx
R
e2x dx = 12 e2x + c
86
CAPITOLO 9. CALCOLO INTEGRALE
9.11.3
Integrazione per Parti.
Definizione 60
f (x)g 0 (x)dx = f (x)g(x) −
R
R
R
f 0 (x)g(x)dx
f (x)g 0 (x)dx = con f (x) fattore finito e g 0 (x) fattore derivato.
Dimostrazione 20
Si parte dalla regola del prodotto di due funzioni:
d [f (x)g(x)] = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
Prendendo l’integrale indefinito di entrambi i membri:
R
R
R
d [f (x)g(x)] = f 0 (x)g(x)dx + f (x)g 0 (x)dx
Si ha:
f (x)g(x) =
R
f 0 (x)g(x)dx +
R
f (x)g 0 (x)dx
E si dimostra:
R
F (x)g 0 (x)dx = f (x)g(x) −
R
f 0 (x)g(x)dx. Esempio 29
R
• xex dx
f.f. = x, f.d = ex dx
R x
R
xe dx = f (x)g(x) − f (x)g 0 (x)dx
R
xex dx = xex −
R
xex dx = xex − ex + c
R
ex dx
Esempio 30
R
• log(x)dx
f.f. = log(x), f.d = dx
R
R
log(x)dx = f (x)g(x) − f (x)g 0 (x)dx
R
R
log(x)dx = xlog(x) − xx dx
R
R
log(x)dx = xlog(x) − dx
R
log(x)dx = xlog(x) − x + c
Capitolo 10
Equazioni Differenziali.
Un’equazione differenziale è una equazione che lega una funzione incognita
(dipendente da una o più variabili) con le sue derivate.
Queste equazioni hanno la seguente forma:
f (x, y(x), y 0 (x), y 00 (x), ..., y ( n)(x)) = 0
Lo scopo delle equazioni differenziali è trovare una famiglia di curve che
soddisfino l’equazione data.
Ordine delle Equazioni Differeniali
Definizione 61 L’ordine di un’equazione differenziale è il massimo grado di
derivazione della funzione incognita.
Esempio 31
y 0 = x2 + 1 equazione in forma esplicita di primo ordine
Esempio 32
y 00 + y 0 + x − cos(x) = 0 equazione in forma implicita di secondo ordine
10.1
Problema di Cauchy.
Data una condizione iniziale si vuole trovare, tra tutte le funzioni che
soddisfano l’equazione differenziale data, quella che soddisfa la condizione
iniziale:
y(x0 ) = y0
(
y 0 = f (x, y)
y(x0 ) = y0
la soluzione esiste ed è unica.
87
88
10.2
CAPITOLO 10. EQUAZIONI DIFFERENZIALI.
Equazioni a Variabili Separabili.
Definizione 62 Le equazione a variabili separabili hanno la seguente forma:
y 0 = f (x)g(y)
Metodo di risoluzione:
Dobbiamo ricordare che il differenziale di una funzione dipendente è dato da
dy = y 0 dx
Quindi:
y0 =
dy
dx
sostituendo nell’equazione differenziale si ha
dy
dx
R
= f (x)g(y)
dy
g(y)
= f (x)dx
dy
g(y)
=
R
f (x)dx
G(g(y)) = F (x) + C
Esempio 33
Risolvere l’equazione:
y 0 = 5xy
Soluzione:
dy
dx
R
= 5xy
dy
y
= 5xdx
dy
y
=
|y| = e
Esempio 34
Risolvere il problema di Cauchy:
5xdx
5x2
2
ln|y| =
y=e
R
5x2
2
5x2
2
+C
· eC
· C0
10.3. EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI.
89
(
(x2 − 1)y 0 + 2xy 2 = 0
√
y( 2) = 1
Soluzione:
dy
= −2xy 2
(x2 − 1) dx
dy
y2
R
R
dy
y2
=
=
−2x
(x2 −1)
R
−2x
(x2 −1) dx
y −2 dy = −
y −1
−1
1
y
R
2x
(x2 −1) dx
= −ln|x2 − 1| + C
= ln|x2 − 1| + C
y=
1
Ln|x2 −1|+C
Imponendo la condizione iniziale si ha y(0) = 1:
1=
√ 12
ln|( 2) −1|+C
1=
1
C
C=1
10.3
Equazioni Differenziali Lineari.
Definizione 63 Le equazioni differenziali del primo ordine hanno una forma
generale:
(
Omogenea con Q(x) = 0
y 0 = P (x)y + Q(x)
Non Omogenea con Q(x) 6= 0
10.3.1
Omogenee.
Definizione 64 Le equazioni differenziali del primo ordine omogenee hanno
la seguente forma:
y 0 = P (x)y
con Q(x) = 0
Metodo di risoluzione:
Si risolvono come equazioni a variabili separabili.
90
10.3.2
CAPITOLO 10. EQUAZIONI DIFFERENZIALI.
Non Omogenee.
Definizione 65 Le equazioni differenziali di primo ordine non omogenee
hanno la seguente forma:
y 0 = P (x)y + Q(x)
con Q(x) 6= 0
Metodo di risoluzione:
Si procede a risolvere l’equazione Omogenea Associata cioè:
y 0 = P (x)y
Quindi si risolve usando il metodo di variabili separabili:
y 0 = P (x)y
R dy R
P (x)dx
y =
dy
y
=
R
P (x)dx
ln|y| =
R
P (x)dx
R
y=e
R
P (x)dx
Consideriamo il Fattore Integrante:
α(x) = e−
R
P (x)dx
Successivamente si moltiplica per il Fattore Integrante l’equazione Non
Omogeneea:
y 0 α(x) = P (x)yα(x) + Q(x)α(x)
R
R
R
y 0 e− P (x)dx = P (x)ye− P (x)dx + Q(x)e−
R
R
R
y 0 e− P (x)dx − P (x)ye− P (x)dx = Q(x)e−
P (x)dx
P (x)dx
Possiamo osservare che il primo membro della precedente uguaglianza è la
derivata di un prodotto
R
R
R
h
i
y 0 e− P (x)dx − P (x)ye− P (x)dx = D y(x)e− P (x)dx
Quindi:
R
h
D y(x)e−
P (x)dx
i
= Q(x)e−
R
P (x)dx
10.3. EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI.
91
Integrando ambo i membri si ottiene
R
R
i R
R h
D y(x)e− P (x)dx = Q(x)e− P (x)dx dx
y(x)e−
R
R y(x)
e
R
Q(x)e− P (x)dx dx
R
R
= Q(x)e− P (x)dx dx
P (x)dx
P (x)dx
y(x) = e
R
=
P (x)dx
R
Q(x)e−
R
R
P (x)dx
dx
Esempio 35
Risolvere l’equazione:
−x
y 0 = ( 1−x
2 )y +
2x
1−x2
Si risolve l’equazione omogenea associata:
R
dy
dx
−x
= ( 1−x
2 )y
dy
y
=
R
−x
1−x2 dx
ln|y| = 12 ln|1 − x2 |
y=
√
1 − x2
E di conseguenza il fattore integrante è:
√
α = − 1 − x2
Quindi:
√
√
−x
y 0 (− 1 − x2 ) = ( 1−x
1 − x2 )y +
2 )(−
√
√
1−x2
y 0 1 − x2 = −( x 1−x
2 )y +
√
√
1−x2
y 0 1 − x2 + ( x 1−x
2 )y =
√
D y 1 − x2 =
R
√
R
D y 1 − x2 =
2x
1−x2 (−
√
2x 1−x2
1−x2
√
2x 1−x2
1−x2
√
2x 1−x2
1−x2
√
2x 1−x2
1−x2 dx
√
√
y 1 − x2 = −2 1 − x2 + C
y = −2 +
√ C
1−x2
√
1 − x2 )
92
10.4
CAPITOLO 10. EQUAZIONI DIFFERENZIALI.
Equazioni Differenziali del Secondo
Ordine a Coefficenti Costanti.
Definizione 66 Le equazioni differenziali del secondo ordine hanno una
forma generale:
(
Omogenea con f (x) = 0
00
0
y + ay + by = f (x)
Non Omogenea con f (x) 6= 0
10.4.1
Omogenee.
Definizione 67 Le equazioni differenziali del seconodo ordine omogenee
hanno la seguente forma:
y 00 + ay 0 + by = 0
con f (x) = 0
Metodo di risoluzione:
Equazione Caratteristica Associata

n

1)∆
>
0
k1 6= k2



n


2)∆ = 0 k1 = k2
k 2 + ak + b = 0
(



3)∆ < 0 k1 = α + iβ


k2 = α − iβ
Se ∆ > 0:
y(x) = C1 ek1 x + C2 xek2 x
Se ∆ = 0:
y(x) = C1 ekx + C2 xekx
Se ∆ < 0:
y(x) = eαx [cos(βx) + isen(βx)]
Esempio 36
Risolvere l’equazione:
y 00 − 2y 0 + y = 0
Scriviamo l’equazione caratteristica associata:
10.4. EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE A COEFFICENTI COSTANTI.93
k 2 − 2k + 1 = 0
(k − 1)2 = 0
Si ha che
k1 = k2 = 1
Ci troviamo al secondo caso, quindi:
∆=0
y(x) = C1 ekx + C2 xekx
y(x) = C1 ex + C2 xex
y(x) = ex (C1 + C2 x)
Esempio 37
Risolvere l’equazione:
y 00 − w2 y 0 = 0
Scriviamo l’equazione caratteristica associata:
k2 + w2 = 0
k 2 = −w2
√
k = −w2
(
√ √
k1 = iw
k = −1 w
k2 = −iw
con α = 0 e β = w
Si ha che:
y(x) = eαx [cos(βx) + isen(βx)]
y(x) = e0·x [C1 cos(wx) + C2 isen(wx)]
y(x) = C1 cos(wx) + C2 isen(wx)
10.4.2
Non Omogenee.
Definizione 68 Le equazioni differenziali del seconodo ordine non omogenee
hanno la seguente forma:
y 00 + ay 0 + by = f (x)
con f (x) 6= 0
94
CAPITOLO 10. EQUAZIONI DIFFERENZIALI.
Soluzione:
y(x) = y0 (x) + Y (x)
Con:
y0 (x) = Equazione omogenea associata
Y (x) integrale particolare che viene calcolato in modo differente bei segunti
casi:
1) f (x) = eax P (x)
• Se a è radice dell’equazione caratteristica:
Y (x) = xr eax Qn (x) con r = moltiplicità di a
• Se a non è radice dell’equazione caratteristica:
Y (x) = eax Qn (x).
2) f (x) = eax [Pn (x)Cos(βx) + iQm (x)Sen(βx)]
• Se a è radice dell’equazione caratteristica:
Y (x) = xr eax [Sm (x)Cos(βx) + iRm (x)Sen(βx)] con r = moltiplicità di a.
• Se a non è radice dell’equazione caratteristica:
Y (x) = eax [Sm (x)Cos(βx) + iRm (x)Sen(βx)].
Esempio 38
Risolvere l’equazione:
y 00 + y 0 = x2 + x + 1
la soluzione sarà:
y(x) = y0 (x) + Y (x)
Quindi per y0 (x) si risolve l’equazione omogenea associata:
y 00 + y 0 = 0
k2 + k = 0
(
k1 = 0
k(k + 1) = 0
k2 = −1
y0 (x) = C1 e0·x + C2 e−x
10.4. EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE A COEFFICENTI COSTANTI.95
y0 (x) = C1 + C2 e−x
Ora calcoliamo Y (x)
Osserviamo che siamo nel caso 1:
f (x) = eax Pn (x)
f (x) = x2 + x + 1
In questo caso abbiamo che a = 0 (ed è soluzione dell’equazione omogenea
associata con molteplicità 1), con n = 2 che sarà il grado del polinomio Qn (x)
quindi:
Y (x) = x1 e0·x Qn (x)
Y (x) = x(Ax2 + Bx + C)
Y (x) = Ax3 + Bx2 + Cx
Si calcolano la Y 0 (x) e Y 00 (x) :
Y 0 (x) = 3Ax2 + 2Bx + C
Y 00 (x) = 6Ax + 2B
E si sostituiscono nell’equazione:
y 00 + y 0 = x2 + x + 1
6Ax + 2B + 3Ax2 + 2Bx + C = x2 + x + 1
Si uguagliano i coefficienti dei termini dello stesso grado:


3A = 1
6A + 2B = 1


2B + C = 1
3A = 1
A=
1
3
6A + 2B = 1
2B = 1 − 6( 13 )
B = − 12
E siccome avevamo:
Y (x) = Ax3 + Bx2 + Cx
Y (x) = 13 x3 − 12 x2 + 2x
2B + C = 1
2( −1
2 )+C =1
C=2
96
CAPITOLO 10. EQUAZIONI DIFFERENZIALI.
Quindi la soluzione dell’equazione è:
y(x) = C1 e−x + C2 + 13 x3 − 12 x2 + 2x
Esempio 39
Risolvere l’equazione:
y 00 + y 0 − 2y = e−x
la soluzione sarà:
y(x) = y0 (x) + Y (x)
Quindi per y0 (x) si calcola l’equazione omogenea associata:
y 00 + y 0 − 2y = 0
(
k1 = −2
k2 + k − 2 = 0
k2 = 1
y0 (x) = C1 e−2x + C2 ex
Ora calcoliamo Y (x)
Osserviamo che siamo nell caso 1:
f (x) = eax Pn (x)
f (x) = e−x
In questo caso abbiamo che a = −1 (non è soluzione dell’equazione omogenea
associata), con n = 0 che sarà il grado del polinomio Qn (x) quindi:
Y (x) = e−x Qn (x), con Qn (x) = C3 visto che ci serve un polinomio di grado 0.
Y (x) = e−x C3
Si calcolano la Y 0 (x) e Y 00 (x) :
Y 0 (x) = −e−x C3
Y 00 (x) = e−x C3
Si sostituiscono nell’equazione:
y 00 + y 0 − 2y = e−x
10.4. EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE A COEFFICENTI COSTANTI.97
C3 e−x − C3 e−x − 2C3 e−x = e−x
−2C3 e−x = e−x
−2C3 = 1
C3 = − 21
Da cui:
Y (x) = e−x C3
Y (x) = − 21 e−x
Quindi la soluzione dell’equazione è:
y(x) = C1 e−2x + C2 ex − 12 e−x .
98
CAPITOLO 10. EQUAZIONI DIFFERENZIALI.