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Questionario n. 6
Matematica
(Aritmetica, Algebra, Geometria)
1) Quale delle seguenti affermazioni sull’insieme dei numeri naturali è errata?
A è un insieme ordinato
B in esso sono definite le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione
C è un insieme infinito
D è un sottoinsieme dei numeri relativi
2) Nel contesto dei numeri naturali lo zero costituisce:
A il più grande dei numeri positivi
B il più piccolo dei numeri positivi
C il minore dei numeri negativi
D nessuno dei precedenti
3) La somma di quattro numeri dispari è un numero:
A decimale
B frazionario
C dispari
D pari
A pari
B irrazionale
C dispari
D decimale
A 12, 16, 19, 23
B 10, 16, 22, 28
C 3, 6, 9, 15
D 5, 10, 20, 25
4) La somma di tre numeri pari è un numero:
5) Quali dei seguenti numeri rappresentano i termini di una progressione
aritmetica?
6) Una progressione si dice geometrica quando:
A tutti i suoi termini sono i vertici di una figura geometrica
B tutti i suoi termini sono costanti
C il quoziente tra ciascuno dei suoi termini e il suo precedente è sempre costante
D tutti i suoi termini sono esclusivamente numeri naturali
Matematica (Aritmetica, Algebra, Geometria)
143
7) Quale delle seguenti affermazioni è vera?
A tutte le potenze con base diversa da zero sono uguali a zero
B non esiste alcuna potenza con base diversa da zero che sia uguale a zero
C esiste solo una potenza con base diversa da zero che sia uguale a zero
D solo in alcuni casi le potenze con base diversa da zero sono uguali a zero
8) Cosa s’intende per potenza di potenza?
A una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli
esponenti
B una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli
esponenti
C una potenza che ha lo stesso esponente e per base la potenza della base
D una potenza avente lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi
9) Calcolare il risultato delle seguenti potenze: (62)3, [(54)2]3, (20)9.
A 66 - 522 - 29
B 67 - 518 - 217
C 66 - 524 - 1
D 66 - 524 - 29
A 220
B 212
C 24
D 25
A per nessun numero
B per 11 e per 18
C per 5 e per 13
D per 2 e per 5
A nessuno
B 55 e 122
C tutti
D 36, 84, 33
10) Il quoziente delle potenze 216 : 24 e 220 : 28 è uguale a:
11) Per quali numeri è divisibile 1.250?
12) Indicare quali dei seguenti numeri sono divisibili per 3: 84, 33, 55, 36, 122.
13) Cosa significa scomporre i numeri in fattori primi?
A sommarli tra loro
B dividerli tra loro
C trovare quei numeri primi il cui prodotto sia uguale al numero dato
D trovare quei numeri primi la cui somma sia uguale al numero dato
14) Due numeri si dicono primi tra loro quando:
A sono scomponibili per lo stesso numero
B si possono dividere tra loro
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Questionario n. 6
C sono divisibili per 1 e per sé stessi
D non hanno altri divisori comuni al di fuori dell’unità
15) Il Massimo Comune Divisore di due o più numeri:
A esiste sempre
B esiste solo per i numeri decimali
C non esiste mai
D esiste solo per i numeri primi
A 14 e 25
B 81 e 33
C 26 e 31
D 9 e 34
A 2.125
B 512
C 4.900
D 4.800
16) Calcolare il M.C.D. tra i seguenti numeri: 324 e 729; 561 e 660.
17) Qual è il m.c.m. tra i numeri 175, 98, 196, 20?
18) La frazione
2
:
3
A è equivalente a 2 9
B non è equivalente ad alcuna frazione
C è equivalente a 6
9
4
D è equivalente a
9
19) Se ad una frazione si aggiunge la sua complementare si ottiene:
A 1
B un numero maggiore di 1
C un numero minore di 1
D un numero decimale
A sono uguali
B non sono uguali
C sono equivalenti
D sono uguali per convenzione
20) I numeri 4,5 e 4,5 :
21) Due grandezze si dicono inversamente proporzionali se all’aumentare
dell’una aumenta anche l’altra (e viceversa)?
A sì
B no
C solo in alcuni casi
D due grandezze non possono mai essere inversamente proporzionali
Matematica (Aritmetica, Algebra, Geometria)
145
22) A cosa è uguale il grado di un polinomio?
A a zero
B al grado del suo monomio di grado più basso
C al grado del suo monomio di grado più alto
D a uno
23) Qualunque sia il numero «a» (monomio), il numero a2 è sempre maggiore di zero?
A sì
B no
2
2
24) I monomi + a2 x e − a2 x si dicono:
3
3
A simili
B opposti
C solo in alcuni casi
D solo se è un numero pari
C uguali
D omologhi
25) Calcolare il risultato del seguente quoziente: (5a3bc2) : (–3abc).
A a2c
B
5 2
a c
3
5
C − a2c
3
3
D − a2c
5
26) Un polinomio si dice omogeneo quando tutti i monomi che lo compongono:
A sono dello stesso grado
B sono di grado 1
C sono opposti
D hanno un termine nullo
A tre
B cinque
C sei
D due
27) Di quanti termini (monomi) consiste il quadrato di un trinomio?
28) Verificare un’equazione significa:
A risolvere l’equazione
B accertare che la radice o le radici siano esatte
C uguagliare l’equazione a 0
D accertare che il coefficiente o i coefficienti siano esatti
29) Se a = –2, la relazione 2a – 3 > a –2 è:
A vera
B impropria
146
C impossibile
D falsa
Questionario n. 6
30) Un’equazione di 2° grado del tipo 6x2 – 54 = 0 si dice:
A pura
B spuria
C identità
D trinomia
A 1
B 12
C 35
D 0
A 1
B 7
C –7
D 12
A binomia
B trinomia
C reciproca
D nulla
31) Nell’equazione x2 + 12x + 35 = 0 quale coefficiente numerico indica la somma delle radici?
32) Nell’equazione x2 –7x + 12 = 0 quale coefficiente numerico indica il prodotto delle radici?
33) L’equazione x4 + 7x2 + 6 = 0 è detta:
34) In un rettangolo dal perimetro di 40 m l’altezza è i
3
della base. Calcolare
7
la lunghezza dei lati del poligono, mediante la risoluzione di un’equazione.
A 14 e 6
B 13 e 5
C 3 e 7
D 7 e 9
A 3
B 6
C 7
D 11
35) Qual è il numero che, aumentato del suo doppio, dà come risultato 21?
36) Qual è il numero che, aumentato dei suoi
3
, dà come risultato 8?
5
A 2
B 3
C 5
D 7
A 10
B 13
C 18
D 21
37) Qual è il numero la cui metà supera di 3 la sua quinta parte?
Matematica (Aritmetica, Algebra, Geometria)
147
38) Qual è il numero i cui
4
del successivo superano di 1 il suo precedente?
5
A 1
B 3
39) La divisione 0 : 0 è:
C 4
D 7
A indeterminata
B determinata, con quoziente uguale a 0
C determinata, con quoziente uguale a 1
D impossibile
40) La divisione 0 : 3 è:
A impossibile
B determinata, con quoziente uguale a 0
C indeterminata solo nell’insieme dei numeri naturali
D indeterminata in assoluto
41) Qual è il valore del prodotto 42 × 46?
A 1412
B 168
C 166
D 48
A n (x × y × z)
B (x × y × z)n
C (x × y × z)3n
D (x + y + z)n
42) Il prodotto xn × yn × zn è uguale a:
43) Una frazione si dice propria quando:
A genera un numero intero
B genera un numero decimale non periodico
C operando con essa su una grandezza, si ottiene una grandezza omogenea e
più piccola di quella data
D il numeratore è maggiore del denominatore
44) Sono frazioni fra loro complementari:
A 12 e 12 8
4
B 3 e 2 5 5
148
C 2 e 6
7 7
D 1 e 6
4 4
Questionario n. 6
45) La frazione n :
0
A è uguale a 1
B è uguale a 0
C è uguale a n
D non ha senso
46) Quale delle seguenti simbologie esprime la proprietà invariantiva delle
frazioni?
a a×n
n
⎛ ⎞
A a = a C b = b × n
b ⎜⎝ b ⎟⎠
a a−n
a a+n
B =
D =
b b− n
b b+ n
47) In una frazione apparente:
A il numeratore è uguale al denominatore o è un multiplo di esso
B il denominatore è la metà del numeratore
C il numeratore è uguale a zero
D il numeratore è minore del denominatore
48) Che differenza c’è tra un numero decimale periodico semplice e un numero decimale periodico misto?
A il primo è un numero decimale che include, subito dopo la virgola, una cifra
o un gruppo di cifre che si ripetono, mentre il secondo è un numero decimale in cui la cifra o il gruppo di cifre che si ripetono non si presentano subito
dopo la virgola
B sono entrambi numeri decimali in cui esiste una cifra o un gruppo di cifre che
si ripetono dopo la virgola, ma mentre nel primo tali cifre si ripetono all’infinito, nel secondo hanno invece un termine
C sono entrambi numeri decimali in cui esiste una cifra o un gruppo di cifre che
si ripetono dopo la virgola, ma mentre nel primo la parte intera è un numero maggiore di zero, nel secondo essa è invece uguale a zero
D sono entrambi numeri decimali, ma mentre nel primo la cifra o il gruppo di
cifre dopo la virgola non si ripetono, nel secondo si ripetono all’infinito
49) Un numero è un quadrato perfetto se:
A il numero dei suoi fattori primi è pari
B è il quadrato di un numero compreso tra 2 e 10, ed è quindi un numero compreso tra 4 e 100
C scomposto in fattori primi, risulta uguale al prodotto di fattori tutti con esponente pari
D i suoi fattori primi sono tutti pari
Matematica (Aritmetica, Algebra, Geometria)
149
50) Quale di queste radici quadrate non è equivalente a
A
B
(7 × 3)(7 × 3) 441 51) Una proporzione si dice continua se ha:
49 × 9 ?
C 7 9
D 49 9
A i medi uguali
B il primo termine uguale al terzo termine
C gli estremi uguali
D il secondo termine uguale al quarto termine
52) In base alla proprietà del comporre, se è vera la proporzione 15 : 3 = 30 : 6,
è vera anche la proporzione:
A 18 : 15 = 36 : 30
B 3 : 30 = 15 : 60
C 3 : 6 = 15 : 30
D 18 : 36 = 6 : 3
53) Il valore di x nella proporzione 162 : 18 = 36 : x è uguale a:
A
B
162
18 × 36
162× 36
18
C
D
162× 18
36
18 × 36
162
54) Quali sono i due numeri il cui rapporto è 3 e la cui differenza è 12?
5
A 36 e 24
B 24 e 12
C 42 e 30
D 30 e 18
A xy = 3
C y =
55) Quale di queste funzioni non è di proporzionalità inversa?
B
y
=7
x
D y =
56) Dati due numeri negativi disuguali, è maggiore:
4
–1
x
12
x
A quello che presenta il segno +
B quello che presenta il segno – e ha modulo maggiore
150
Questionario n. 6
C quello che ha modulo maggiore
D quello che ha modulo minore
57) Il prodotto di due numeri relativi di segno contrario è:
A un numero relativo concorde con il fattore di modulo maggiore e avente per
modulo il prodotto dei moduli dei fattori
B un numero relativo concorde con il fattore di modulo minore e avente per
modulo la somma algebrica dei fattori
C un numero negativo avente per modulo il prodotto dei moduli dei fattori
D un numero positivo se entrambi i moduli dei fattori sono pari. In caso contrario è un numero negativo ed ha per modulo la somma algebrica dei fattori
58) Qual è il valore assoluto di –a, sapendo che a > 0?
A
1
a
B –a
C a
D –a2
⎛ 1⎞ ⎛ 7 ⎞
59) Qual è il risultato della divisione ⎜ − ⎟ : ⎜ − ⎟ ?
⎝ 5 ⎠ ⎝ 10 ⎠
7
7
A + C +
50
5
2
B + 7
D −
5
7
60) La potenza ad esponente naturale di un numero negativo:
A è, per convenzione, uguale a 1
B è sempre positiva ed ha per modulo la potenza del modulo della base, cui si
aggiunge un’unità se l’esponente è pari, mentre si sottrae un’unità se l’esponente è dispari
C è sempre negativa ed ha per modulo la potenza, col dato esponente, del modulo della base
D è positiva se l’esponente è pari, mentre è negativa se l’esponente è dispari,
ed ha per modulo la potenza, col dato esponente, del modulo della base
61) Qual è il risultato di am : an, sapendo che m < n?
A an+m
B an–m
Matematica (Aritmetica, Algebra, Geometria)
⎛ 1⎞
C ⎜ ⎟
⎝ a⎠
⎛ ⎞
D 1
⎜ a⎟
⎝ ⎠
n–m
n+m
151
62) Qual è il Massimo Comune Divisore dei monomi –3a5b4c2, 9ab3c3, 6a2bc?
A 3abc
B 9a5b4c3
63) Qual è la potenza equivalente a ⎛ a ⎞
⎜ b⎟
⎝ ⎠
2
⎛ b⎞
A
⎜ a⎟
⎝ ⎠
−2
C 6a2b3c2
D 54a7b8c5
?
C
a2
B
b
a
b2
⎛ ⎞
D – a
⎜ b⎟
⎝ ⎠
64) Cosa sono le radici dei polinomi?
2
A i monomi, facenti parte dei polinomi, che presentano coefficiente pari a 1
B i valori che, assegnati alla variabile, rendono nulli i polinomi
C le radici quadrate dei monomi costituenti i polinomi
D i monomi, facenti parte dei polinomi, costituiti solo da un numero, cioè mancanti della parte letterale
65) Il polinomio x2 – y2 è uguale a:
A x4 + y4 – 2x2y2
B (x – y) C (x + y) (x – y)
D – (x2 + y2)
A hanno la stessa parte letterale
B hanno la stessa parte numerica
C hanno lo stesso grado
D il loro prodotto è uguale a 1
A a2 + b2
C 2 (a + b)2
D (a – b)2
2
66) Due monomi si dicono simili quando:
67) Il trinomio a2 – 2ab + b2 è uguale a:
B a2 – b2
68) Qual è l’espressione equivalente a
b
3
b
B a + 3
A 3a +
152
3a + b
?
3
C a + b
D 9a + 3b
Questionario n. 6
69) La somma di due frazioni aventi lo stesso denominatore è uguale a:
A una frazione avente per numeratore la somma dei numeratori e per denominatore il denominatore stesso
B una frazione avente per numeratore la somma dei numeratori e per denominatore il quadrato del denominatore
C una frazione avente per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il denominatore stesso
D 1
2
⎛
⎞
è uguale a:
70) La potenza − a
⎜ 2b ⎟
⎝
⎠
a2
A
4b2
2
C −
a2
4b2
2
B a 2b
D − a
2b
A 60°
B 90°
C 180°
D 270°
A tre
B due
C una
D nessuna
A 90°
B 180°
C 270°
D 360°
71) Due angoli complementari misurano:
72) Quante altezze ha un triangolo?
73) A quanto equivale la somma degli angoli interni di un quadrilatero?
74) Una retta incidente ad un piano ha:
A due punti in comune con il piano
B un punto in comune con il piano
C nessun punto in comune con il piano
D infiniti punti in comune con il piano
75) Un solido il cui volume si ottiene elevando al cubo lo spigolo di base è:
A un prisma a base triangolare
B un parallelepipedo
Matematica (Aritmetica, Algebra, Geometria)
C un cubo
D un cono
153
76) Applicando la formula secondo cui d = a2 + b2 + c2 si ottiene la misura
della diagonale di quale solido?
A parallelepipedo
B piramide
C cilindro
D cono
A complementari
B supplementari
C divergenti
D equivalenti
A 45° e 45°
B 30° e 60°
C 40° e 50°
D 35° e 55°
A occorre la misura dell’ortocentro
B occorre la misura della base
C no
D sì
77) In un quadrilatero inscritto in una circonferenza gli angoli opposti sono:
78) Un triangolo rettangolo ha l’ipotenusa doppia di un cateto. Quanto misurano gli angoli acuti?
79) È possibile calcolare l’area di un triangolo conoscendo solo la misura dei
lati, ma non quella di alcuna altezza?
80) Quale solido geometrico si ottiene facendo ruotare un trapezio isoscele attorno alla base maggiore?
A un cilindro sormontato da due coni
B un cono sormontato da due cilindri
C un cubo sormontato da una piramide
D un prisma
81) Cosa si ottiene facendo ruotare una semicirconferenza attorno al suo diametro?
A una sfera
B un cono e una sfera
C un cilindro e una sfera
D una semisfera
A 10
B 8
C 6
D 4
82) Quanti spigoli ha un tetraedro regolare?
83) Quali sono gli enti geometrici fondamentali?
A il triangolo, il quadrato, il rettangolo
B il punto, la retta, il piano
154
Questionario n. 6
C il perimetro, la superficie, il volume
D il cono, il cilindro, la sfera
84) Quante rette passano per due punti?
A infinite
B due
C una sola
D non passa alcuna retta
85) Cos’è un angolo?
A ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette aventi origini diverse
B ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette aventi la
stessa origine
C il punto di intersezione di due semirette
D il verso secondo cui si muove un punto che descrive un segmento
86) Qual è la misura di un angolo che è
A 30˚
B 45˚
1
del suo adiacente?
5
C 52˚
D 60˚
87) Due angoli si dicono supplementari quando:
A dalla loro differenza risulta un angolo retto
B hanno la stessa ampiezza
C la loro somma è un angolo giro
D la loro somma è un angolo piatto
88) Due rette si dicono perpendicolari se:
A sono tra loro equidistanti
B incontrandosi formano quattro angoli acuti
C incontrandosi formano quattro angoli retti
D hanno uno o più punti in comune
89) Per un punto fuori di una retta, quante rette parallele alla retta data passano?
A una
B infinite
C nessuna
D due
A uguale a 90˚
B maggiore di 90˚ ma minore di 180˚
C uguale a 180˚
D maggiore di 180˚
90) Nell’intersezione di una trasversale con due rette parallele la somma di
due angoli coniugati è:
Matematica (Aritmetica, Algebra, Geometria)
155
91) Si definisce poligono:
A la parte di piano limitata da un numero pari di lati, in modo che essi siano
uguali due a due
B la parte di piano limitata da una linea spezzata chiusa non intrecciata
C la parte di piano limitata da quattro lati, due dei quali tra loro paralleli
D la parte di piano limitata da una linea curva chiusa
92) Due poligoni si dicono isoperimetri quando:
A il perimetro dell’uno è uguale a sei volte il perimetro dell’altro
B il perimetro dell’uno è diverso dal perimetro dell’altro
C hanno lo stesso numero di lati
D il perimetro dell’uno è uguale al perimetro dell’altro
93) Cos’è la corda di un poligono?
A un segmento che congiunge due punti del suo contorno non appartenenti allo
stesso lato
B un segmento che congiunge due punti del suo contorno appartenenti allo
stesso lato
C una spezzata che congiunge tre punti del suo contorno non appartenenti allo
stesso lato
D un segmento che congiunge due punti del suo contorno appartenenti a due
dei suoi lati tra loro paralleli
94) Qual è la somma degli angoli interni di un esagono?
A 180˚
B 1.080˚
C 360˚
D 720˚
A tutti e tre gli angoli ottusi
B un angolo ottuso e due acuti
C i tre lati disuguali
D i tre angoli disuguali
95) Si dice ottusangolo il triangolo che ha:
96) Quante diagonali ha un triangolo?
A due
B nessuna
C tre
D una sola comune ai suoi tre vertici
97) Che differenza c’è tra la bisettrice e la mediana di un triangolo?
A la prima ha origine in un lato, la seconda in un angolo
B nessuna
156
Questionario n. 6
C la prima divide un lato in due parti uguali, mentre la seconda divide un angolo in due parti uguali
D la prima divide un angolo in due parti uguali, mentre la seconda divide un
lato in due parti uguali
98) Cos’è un parallelogramma?
A un quadrilatero avente i lati opposti a due a due paralleli
B un quadrilatero le cui diagonali non hanno un punto di incontro preciso
C un quadrilatero le cui diagonali lo dividono in due triangoli tra loro disuguali
D un quadrilatero avente gli angoli disuguali tra loro
99) In base al Teorema di Talete, se un fascio di rette parallele è tagliato:
A da tre trasversali, i segmenti determinati sulle prime due trasversali sono
il triplo dei segmenti corrispondenti della terza trasversale
B da due trasversali, i segmenti determinati su una trasversale sono il doppio
dei segmenti corrispondenti dell’altra
C da due trasversali, i segmenti determinati su una trasversale sono proporzionali ai segmenti corrispondenti dell’altra
D da due o più trasversali, i segmenti determinati su una trasversale sono sempre diversi dai segmenti corrispondenti dell’altra o delle altre
100) Il cerchio può essere definito come:
A il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto apotema
B la parte di piano limitata da una circonferenza
C la parte di circonferenza compresa fra due suoi punti
D una linea curva chiusa
Matematica (Aritmetica, Algebra, Geometria)
157
Risposte al questionario n. 6
1) Risposta esatta: B
L’insieme, infinito, dei numeri naturali è l’insieme base dei numeri. In esso sono definite la relazione d’ordine totale e le operazioni di addizione e di moltiplicazione, con le loro proprietà. L’operazione di sottrazione non è sempre possibile nell’insieme dei numeri naturali: infatti, dati due numeri a e b, con b > a, la differenza a – b non appartiene a tale insieme.
2) Risposta esatta: B
Lo zero è il più piccolo dei numeri positivi, cioè quelli preceduti dal segno +, ma è il maggiore dei
numeri negativi, cioè quelli preceduti dal segno –.
3) Risposta esatta: D
4) Risposta esatta: A
5) Risposta esatta: B
Si dice progressione aritmetica un insieme ordinato di almeno tre numeri reali, tali che la differenza tra ciascuno di essi e il suo precedente sia costante. Nella progressione data si ha:
16 – 10 = 6
22 – 16 = 6
28 – 22 = 6
Pertanto la differenza tra ciascun termine e il suo precedente è sempre pari a 6.
6) Risposta esatta: C
Il quoziente costante tra ciascun termine di una progressione geometrica e il suo precedente si dice
ragione o quoto.
7) Risposta esatta: B
Nessuna potenza con base diversa da zero può essere uguale a zero, in quanto la potenza è il
prodotto di tanti fattori uguali quanti ne indica l’esponente. Pertanto, anche con l’esponente minimo, cioè uguale a 1, si ha il risultato uguale alla base (121 = 12; 7311 = 731 etc.).
8) Risposta esatta: B
La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. Ad esempio:
(23)4 = 23 × 23 × 23 × 23 = 23×4 = 212.
158
Risposte al questionario n. 6
9) Risposta esatta: C
Applicando la regola relativa alla potenza di una potenza si ha:
(62)3 = 62×3 = 66
[(54)2]3 = 54×2×3 = 524
(20)9 = 19 = 1
Si ricordi che qualunque numero elevato alla potenza 0 è uguale a 1.
10) Risposta esatta: B
Il quoziente delle potenze è uguale a una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la
differenza degli esponenti. Pertanto:
216 : 24 = 216-4 = 212
220 : 28 = 220-8 = 212
11) Risposta esatta: D
Qualsiasi numero pari è divisibile per 2, mentre qualsiasi numero che termini per 5 o per 0 è divisibile per 5.
12) Risposta esatta: D
Un numero è divisibile per 3 se la somma delle cifre che lo compongono è un multiplo di 3.
13) Risposta esatta: C
Qualunque numero composto si può scomporre in un prodotto di numeri primi.
14) Risposta esatta: D
Due numeri sono primi fra loro quando non hanno altri divisori comuni al di fuori dell’unità, anche se non sono necessariamente primi.
15) Risposta esatta: A
Infatti, anche se i due numeri sono primi, il M.C.D. è 1, perché sarà il fattore comune con il più piccolo esponente.
16) Risposta esatta: B
Scomponendo i numeri in fattori primi si ha:
324 = 22 × 34
324
162
81
27
9
3
1
2
2
3
3
3
3
729 = 36
Matematica (Aritmetica, Algebra, Geometria)
729
243
81
27
9
3
1
3
3
3
3
3
3
M.c.d. = 34 = 81
159
561
187
17
1
3
11
17
660
330
165
55
11
1
660 = 22 × 3 × 5 × 11
561 = 3 × 11 × 17
2
2
3
5
11
M.c.d. = 3 × 11 = 33
In pratica si moltiplicano i fattori comuni presi una sola volta con il minimo esponente.
17) Risposta esatta: C
175
35
7
1
5
5
7
98
49
7
1
2
7
7
196
98
49
7
1
2
2
7
7
20
10
5
1
2
2
5
Il m.c.m. è 22 × 52 × 72 = 4.900, in quanto si moltiplicano i fattori primi comuni e non comuni presi
una sola volta con il massimo esponente.
18) Risposta esatta: C
Per ottenere una frazione equivalente ad un’altra si moltiplicano o si dividono per uno stesso numero, diverso da zero, sia il numeratore che il denominatore.
19) Risposta esatta: A
La frazione complementare di un’altra è quella che rappresenta la differenza tra l’unità intera
3 1
3
1
e la frazione data. Ad esempio, la frazione complementare di
è , che si ottiene da 1− = .
4 4
4
4
20) Risposta esatta: B
4,5 è un numero decimale finito, mentre 4,5 è un numero decimale periodico semplice.
21) Risposta esatta: B
Due grandezze si dicono inversamente proporzionali quando, diventando una doppia, tripla, quadrupla etc., l’altra diventa la metà, la terza parte, la quarta parte etc.
22) Risposta esatta: C
23) Risposta esatta: A
Il quadrato di un monomio, sia esso positivo o negativo, sarà sempre maggiore di zero, poiché, in
virtù della regola dei segni, anche i numeri negativi diventano positivi.
24) Risposta esatta: B
Monomi simili con segno opposto si dicono opposti.
160
Risposte al questionario n. 6
25) Risposta esatta: C
26) Risposta esatta: A
Un polinomio (somma algebrica di più monomi) si dice omogeneo quando tutti i monomi che lo compongono sono dello stesso grado. Ad esempio:
2
5
6x4 − x3y + x2y2 + 7xy3
3
2
è un polinomio di 4° grado, ordinato secondo le potenze decrescenti della lettera x e crescenti della lettera y.
27) Risposta esatta: C
Il quadrato di un trinomio si ottiene elevando al quadrato ciascun termine costituente il trinomio
ed aggiungendo algebricamente i doppi prodotti del primo termine per il secondo, del secondo per
il terzo, del primo per il terzo.
28) Risposta esatta: B
Verificare un’equazione significa accertare che le radici trovate siano esatte. Per farlo basta sostituire la radice (soluzione dell’equazione) all’incognita e verificare che il valore ottenuto a sinistra
dell’uguale sia coincidente con quello di destra.
29) Risposta esatta: D
Sostituendo alla a il valore –2 la disequazione diventa –7 > –4. Come si vede la relazione è falsa,
perché –7 è minore di –4.
30) Risposta esatta: B
L’equazione di 2° grado completa è del tipo ax2 + bx + c = 0, dove ax2 è il termine di 2° grado, bx quello
di 1° grado, c il termine noto. Nell’equazione proposta dalla domanda manca il termine di 1° grado,
cosicché l’equazione si dice spuria. Quando invece manca il termine noto, l’equazione si dice pura.
31) Risposta esatta: B
In un’equazione di 2° grado il coefficiente del termine di 1° grado rappresenta la somma delle radici
dell’equazione. Quest’ultima, quindi, può essere riscritta secondo tale schema: ax2 + sx + p = 0, dove
s e p stanno appunto, rispettivamente, per somma e prodotto delle radici.
32) Risposta esatta: D
In un’equazione di 2° grado il termine noto rappresenta il prodotto delle radici dell’equazione.
33) Risposta esatta: B
L’equazione proposta nella domanda è detta trinomia perché ha tre termini, è di grado maggiore
del 2° ed è riconducibile al 2° grado. Infatti la risoluzione dell’equazione è la seguente: si pone x2 =
u, cosicché l’equazione diventa u2 + 7u + 6 = 0, che ha come radici u1 = –1 e u2 = –6. Quindi, sostituendo ad u i valori trovati, dovremo solo risolvere le equazioni di 2° grado:
x2 = 1 e x2 = 6
che danno come soluzione, rispettivamente, i valori 1 e –1; 6 e –6.
Matematica (Aritmetica, Algebra, Geometria)
161
34) Risposta esatta: A
Chiamando x un lato, l’altro sarà
b+h=
3
x. Sommando i due lati avremo il semiperimetro del rettangolo
7
P
, quindi potremo impostare l’equazione nel seguente modo:
2
3
x + x = 20
7
che avrà come soluzione x = 14. Con una semplice sottrazione dal semiperimetro l’altro lato sarà
uguale a 6.
35) Risposta esatta: C
Chiamato il numero x, potremo impostare la seguente equazione:
21
x + 2x = 21, da cui 3x = 21; x =
, cioè 7.
3
36) Risposta esatta: C
37) Risposta esatta: A
L’equazione va impostata nel seguente modo:
la cui soluzione è appunto 10.
1
1
x = x+3
2
5
38) Risposta esatta: C
Detto x il numero, i
4
4
del numero successivo si possono indicare con
(x + 1), ed il numero ad
5
5
esso precedente con x – 1. Quindi l’equazione diventa:
la cui soluzione è appunto 4.
4
(x + 1) = (x – 1) + 1
5
39) Risposta esatta: A
La divisione 0 : 0 ha dividendo e divisore nulli. Secondo il concetto di divisione, il suo quoziente deve
essere quel numero che, moltiplicato per 0, dia ancora 0. è noto che qualsiasi numero moltiplicato
per 0 dà ancora 0, sicché il risultato della divisione in questione può essere praticamente uguale a
qualsiasi numero. Ecco il motivo per cui la divisione 0 : 0 è indeterminata.
40) Risposta esatta: B
La divisione ha dividendo nullo e divisore pari a 3, sicché è necessario trovare quel numero che, moltiplicato per 3, dia 0, e questo numero è proprio 0.
162
Risposte al questionario n. 6
41) Risposta esatta: D
Il prodotto di due o più potenze che hanno la stessa base è uguale a una potenza che ha per base
la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.
42) Risposta esatta: B
Il prodotto di tre potenze aventi lo stesso esponente è uguale a una potenza che ha per base il
prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.
43) Risposta esatta: C
Una frazione propria rappresenta una parte più piccola dell’intero. In essa il numeratore è minore del denominatore.
44) Risposta esatta: B
Due frazioni complementari consentono di ottenere due grandezze omogenee la cui somma è congruente alla grandezza data.
45) Risposta esatta: D
Una frazione avente come denominatore lo zero non ha senso, in quanto rappresenterebbe la divisione in «zero» parti uguali di un intero.
46) Risposta esatta: C
Secondo la proprietà invariantiva delle frazioni, moltiplicando o dividendo i termini di una frazione per uno stesso numero (diverso da zero) si ottiene una frazione equivalente a quella data.
47) Risposta esatta: A
48) Risposta esatta: A
I numeri decimali periodici semplici sono numeri che includono, subito dopo la virgola, una cifra o
un gruppo di cifre (periodo) che si ripetono all’infinito. Nei numeri decimali periodici misti, invece,
il periodo non inizia subito dopo la virgola, dal momento che tra questa e il periodo vero e proprio
ci sono una o più cifre che non si ripetono e che prendono il nome di antiperiodo.
49) Risposta esatta: C
Il criterio che consente di riconoscere se per un numero (detto radicando) esiste la radice quadrata
(cioè se esiste un numero che, elevato alla seconda, dia esattamente il numero dato) consiste nello
scomporre in fattori primi il numero: se esso è il prodotto di fattori tutti con esponenti pari, allora
il numero si dice quadrato perfetto.
50) Risposta esatta: D
La radice
49× 9 è uguale a 21, per cui è diversa da 49 9 , a sua volta uguale a 147.
Matematica (Aritmetica, Algebra, Geometria)
163
51) Risposta esatta: A
Una proporzione avente i medi uguali si dice continua. Ad esempio:
a:b=b:c
in cui il numero b si dice «medio proporzionale» e il numero c «terzo proporzionale» (dopo a e b).
52) Risposta esatta: A
In base alla proprietà del comporre, in ogni proporzione la somma del 1˚ e del 2˚ termine sta al
1˚ o al 2˚ termine come la somma del 3˚ e del 4˚ termine sta al 3˚ o al 4˚ termine. Quindi, se è vera la
proporzione 15 : 3 = 30 : 6, è anche vera la proporzione:
(15 + 3) : 15 = (30 + 6) : 30
53) Risposta esatta: D
In una proporzione il valore di un estremo incognito è dato dal prodotto dei medi diviso l’estremo
che si conosce. Nella proporzione 162 : 18 = 36 : x il valore di x è quindi uguale a:
18 × 36
= 4.
162
54) Risposta esatta: D
Siano x e y i due numeri, si ha che:
x – y = 12 e x : y = 5 : 3
Per risolvere il problema si applica alla proporzione la proprietà dello scomporre, per cui nella proporzione la differenza tra il 1˚ e il 2˚ termine sta al 1˚ o al 2˚ termine come la differenza tra il 3˚ e il
4˚ termine sta al 3˚ o al 4˚ termine. Quindi:
da cui:
(x – y) : x = (5 – 3) : 5 per trovare x
(x – y) : y = (5 – 3) : 3 per trovare y
12 : x = 2 : 5 → x =
12 : y = 2 : 3 → y =
12×5
= 30
2
12× 3
= 18
2
Più semplicemente, si divide la loro differenza per la differenza tra numeratore e denominatore, dopodiché il quoziente ottenuto si moltiplica una volta per il numeratore e una volta per il denominatore.
55) Risposta esatta: B
La funzione della proporzionalità inversa è una funzione matematica data dal prodotto costante
h
dei due valori della x e della y ed è del tipo xy = h, ovvero y = .
x
56) Risposta esatta: D
I numeri razionali relativi sono quei simboli formati da un numero razionale assoluto preceduto da
un segno. Sono numeri positivi quelli preceduti dal segno +, mentre sono numeri negativi quelli preceduti dal segno –. Ogni numero relativo è quindi costituito dal suo segno (+ o –) e dal suo numero
assoluto, che si dice modulo o valore assoluto del numero relativo. Di due numeri negativi disuguali, è maggiore quello che ha il modulo minore.
164
Risposte al questionario n. 6
57) Risposta esatta: C
Il prodotto di due numeri relativi di segno contrario è un numero negativo avente per modulo
il prodotto dei moduli dei fattori.
58) Risposta esatta: C
Il valore assoluto o modulo del numero relativo si indica mettendo il numero in questione fra due
sbarrette, per cui:
−a = a.
59) Risposta esatta: B
Il quoto di due numeri relativi, con il secondo diverso da zero, è dato dal prodotto del primo per il reciproco del secondo, con segno + perché il prodotto di due numeri negativi è un numero positivo, per cui:
60) Risposta esatta: D
⎛ 1 ⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 10 ⎞
2
⎜– ⎟ :⎜– ⎟ = ⎜– ⎟ ×⎜– ⎟ = + .
7
⎝ 5 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 7 ⎠
La potenza ad esponente naturale di un numero negativo è positiva o negativa a seconda che
l’esponente sia pari o dispari ed ha per modulo la potenza, col dato esponente, del modulo della base.
61) Risposta esatta: C
In questo caso particolare di quoto di due potenze aventi la medesima base, in cui l’esponente
del primo termine è maggiore dell’esponente del secondo termine, si ha:
⎛ 1⎞
am–n = ⎜ ⎟
⎝ a⎠
n–m
È quindi possibile trarre la regola per cui la potenza ad esponente intero negativo di un numero relativo è uguale ad una potenza avente esponente opposto e per base il reciproco della base.
62) Risposta esatta: A
Il Massimo Comune Divisore di due o più monomi è un monomio avente per coefficiente il M.C.D.
dei coefficienti dei monomi dati (se essi sono tutti interi) e per parte letterale il prodotto dei fattori letterali comuni a tutti i monomi, presi una sola volta, e col minore degli esponenti con i quali tali
lettere compaiono in ciascuno dei monomi.
63) Risposta esatta: A
La potenza di una frazione algebrica avente per esponente un numero negativo è equivalente alla potenza avente per base il reciproco della frazione data e per esponente lo stesso esponente preso con segno positivo.
2
a
⎛ a⎞
bisogna quindi considerare il reciproco di
che è b ,
⎜ ⎟
b
a
⎝ b⎠
avente per esponente il numero 2 preso con segno positivo. La frazione in questione va messa tra
parentesi, dal momento che, in caso contrario, l’esponente si riferirebbe solo al numeratore.
Per ottenere la potenza equivalente a
Matematica (Aritmetica, Algebra, Geometria)
165
64) Risposta esatta: B
Il polinomio è la somma algebrica di due o più monomi. I valori che, assegnati alla variabile, rendono nullo il polinomio si dicono zeri del polinomio o radici del polinomio.
65) Risposta esatta: C
Il polinomio x2 – y2 esprime la differenza di due quadrati, che è uguale al prodotto della somma
delle loro basi per la loro differenza, ossia: (x + y) (x – y).
66) Risposta esatta: A
Due monomi si dicono simili quando hanno la stessa parte letterale, quindi le medesime lettere e
ciascuna con lo stesso esponente.
67) Risposta esatta: D
Il quadrato di un binomio è uguale alla somma algebrica dei quadrati dei due monomi e del doppio prodotto di questi monomi, per cui il trinomio a2 – 2ab + b2 è proprio il quadrato di un binomio
e precisamente del binomio (a – b).
68) Risposta esatta: B
L’espressione 3a + b , scindendo la frazione in due, è uguale a: 3a + b = a + b .
3 3
3
3
69) Risposta esatta: A
La somma di due frazioni aventi lo stesso denominatore è uguale a una frazione avente per numeratore la somma dei numeratori e per denominatore il denominatore stesso. Ad esempio:
a 1 a +1
+ =
b b
b
in quanto il minimo comune multiplo della somma di due frazioni aventi lo stesso denominatore è
uguale al denominatore stesso.
70) Risposta esatta: A
2
2
⎛
⎞
La potenza – a
è uguale a a in quanto, trattandosi della potenza di una frazione, è uguale
⎜
⎟
⎝ 2b ⎠
4b2
a una frazione avente per numeratore la potenza del numeratore e per denominatore la potenza del
denominatore. Inoltre, la frazione risultante sarà positiva perché il quadrato di un numero negativo
è un numero positivo.
71) Risposta esatta: B
Due angoli si dicono complementari quando la loro somma è 90°.
72) Risposta esatta: A
Un triangolo ha tre altezze, ciascuna relativa ad un suo lato.
166
Risposte al questionario n. 6
73) Risposta esatta: D
La somma degli angoli interni di un quadrilatero è 360°. Infatti esso, mediante una sua diagonale, può
essere sempre diviso in due triangoli, ciascuno dei quali ha la somma degli angoli interni uguale a 180°.
74) Risposta esatta: B
Una retta incidente ad un piano ha un solo punto in comune con esso.
75) Risposta esatta: C
Il volume del cubo, infatti, si ottiene elevando al cubo il lato del quadrato di una delle sue facce.
76) Risposta esatta: A
La diagonale di un parallelepipedo si ottiene dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle sue tre dimensioni.
77) Risposta esatta: B
Un quadrilatero inscritto in una circonferenza ha gli angoli opposti supplementari (la loro somma è 180°).
78) Risposta esatta: B
In un triangolo rettangolo con gli angoli acuti di 30° e 60° l’ipotenusa è il doppio del cateto minore,
mentre l’altro cateto si calcola moltiplicando la lunghezza dell’ipotenusa per
79) Risposta esatta: D
3.
2
Con la formula di Erone ⎡ p(p − a)×(p − b)×(p − c) ⎤ per calcolare l’area di un triangolo è sufficien⎣⎢
⎦⎥
te conoscere la misura dei tre lati. La formula consiste nell’estrarre la radice quadrata del prodotto
del semiperimetro (p) per il semiperimetro diminuito della misura di ciascun lato.
80) Risposta esatta: A
81) Risposta esatta: A
82) Risposta esatta: C
Il tetraedro regolare è un poliedro limitato da 4 triangoli equilateri, con 4 facce, 4 vertici e 6 spigoli.
83) Risposta esatta: B
Gli enti geometrici fondamentali sono il punto, la retta, il piano. Sono concetti primitivi e, in quanto tali, non si definiscono.
Per essi valgono i seguenti postulati fondamentali:
— esistono infiniti punti;
— esistono quante rette si vogliono;
— esistono quanti piani si vogliono.
Matematica (Aritmetica, Algebra, Geometria)
167
84) Risposta esatta: C
85) Risposta esatta: B
Le due semirette si dicono lati dell’angolo, l’origine comune vertice e l’insieme dei due lati contorno.
86) Risposta esatta: A
Due angoli si dicono adiacenti quando, oltre ad essere consecutivi, hanno i lati non comuni appartenenti alla stessa retta.
B
C
0
A
Dalla figura si evince che gli angoli AÔB e BÔC sono adiacenti e formano un angolo piatto (cioè un
angolo di 180°).
87) Risposta esatta: D
Si dicono supplementari due angoli la cui somma sia un angolo piatto. Ognuno dei due angoli si dice
supplementare o supplemento dell’altro.
88) Risposta esatta: C
La presenza di angoli retti prova l’esistenza delle rette perpendicolari. Per riconoscere se due rette
sono perpendicolari, infatti, basta verificare che esse formino, intersecandosi, un solo angolo retto,
oppure due angoli adiacenti uguali (vale a dire quattro angoli retti).
89) Risposta esatta: A
Due rette di un piano si dicono parallele se non hanno punti in comune. Il postulato di Euclide sulle parallele afferma che «per un punto fuori di una retta passa una sola parallela alla retta data».
90) Risposta esatta: C
Si dicono coniugati interni due angoli interni, posti dalla stessa parte della trasversale, mentre si
dicono coniugati esterni due angoli esterni, posti dalla stessa parte della trasversale. Due angoli coniugati interni, o coniugati esterni, sono supplementari. In riferimento alla figura della risposta precedente, sono coniugati interni gli angoli 3 e 6, 4 e 5; sono, invece, coniugati esterni gli angoli 1 e 8, 2 e 7.
91) Risposta esatta: B
Si chiama poligonale o spezzata la figura formata da più segmenti consecutivi appartenenti ad uno
stesso piano. Dalla definizione di poligonale deriva quella di poligono, inteso come la figura formata da una poligonale chiusa non intrecciata e dalla parte di piano da essa racchiusa.
92) Risposta esatta: D
Si definisce perimetro di un poligono la somma dei suoi lati. Due poligoni si dicono isoperimetri
quando hanno lo stesso perimetro.
168
Risposte al questionario n. 6
93) Risposta esatta: A
La corda di un poligono è il segmento che congiunge due punti del suo contorno non appartenenti allo stesso lato.
94) Risposta esatta: D
La somma degli angoli interni di un poligono è uguale a tanti angoli piatti quanti sono i lati meno
due. Per l’esagono, quindi, si ha:
95) Risposta esatta: B
S = 180˚ × (6 –2) = 180˚ × 4 = 720˚.
Rispetto agli angoli un triangolo può essere: rettangolo (se ha un angolo retto e due acuti), acutangolo (se ha tre angoli acuti), ottusangolo (se ha un angolo ottuso e due acuti). Rispetto ai lati,
invece, può essere: equilatero (se ha i tre lati uguali), isoscele (se ha due lati uguali), scaleno (se ha
i tre lati disuguali).
96) Risposta esatta: B
La diagonale è un segmento che unisce due vertici non consecutivi di un poligono. è evidente che
un triangolo non ha alcuna diagonale, dato che in tale poligono non esistono due vertici non
consecutivi.
97) Risposta esatta: D
La bisettrice di un triangolo relativa ad un suo angolo, intesa come il segmento compreso tra il
vertice dell’angolo considerato e il lato opposto, divide l’angolo in due parti uguali. La mediana
di un triangolo relativa ad un suo lato è invece il segmento che ha per estremi il punto medio del
lato considerato e il vertice opposto.
98) Risposta esatta: A
Il parallelogramma è un quadrilatero convesso diviso da ogni diagonale in due triangoli uguali.
Ha gli angoli opposti uguali, come pure i lati opposti uguali.
99) Risposta esatta: C
Si dice fascio di rette parallele l’insieme di tutte le rette di un piano parallele ad una retta data. Una
retta che incontri una retta del fascio incontra tutte le altre e si dice trasversale del fascio. Tagliando un fascio di rette parallele con due trasversali, si diranno corrispondenti due segmenti determinati dalla stessa coppia di parallele sulle due trasversali. In base al Teorema di Talete: «Se un fascio di rette parallele è tagliato da due trasversali, esso stacca sulla prima trasversale segmenti direttamente proporzionali ai segmenti corrispondenti dell’altra trasversale».
100) Risposta esatta: B
Il cerchio è la parte di piano limitata da una circonferenza. Dunque, mentre il cerchio è una superficie, la circonferenza è una linea.
Matematica (Aritmetica, Algebra, Geometria)
169