PROSPETTO RIEPILOGATIVO SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
2 TERMINI
• Raccoglimento a fattor comune
• Differnza tra due quadrati:
a2 - b2 = (a-b)(a+b)
es. 4x2 - 9y2 = (2x + 3y) (2x - 3y)
• Differenza tra due cubi:
a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)
es. 8x3 - 27b3 = (2x - 3b) (4x2 + 6xb + 9b2)
• Somma tra due cubi:
a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)
es. 64a3 + b3 = (4a + b) (16a2 - 4ab +b2)
• Somma tra due quadrati:
a2 + b2
è IRRIDUCIBILE
es. 9x2 + 16y2 non si scompone, è irriducibile
3 TERMINI
• Raccoglimento a fattor comune
• Quadrato di un binomio
a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2
∗ ci devono essere due quadrati con lo stesso segno;
∗ ci deve essere il doppio prodotto delle due basi.
es. x2 - 12x + 36 = (x - 6)2
• Trinomio di 2° grado o trinomio particolare
x2 + (a + b)x + ab = (x+a)⋅(x + b)
∗ Il coefficiente del termine di 2° grado deve essere 1;
∗ il coefficiente del termine di 1° grado rappresenta la somma di due numeri;
∗ il termine noto rappresenta il prodotto tra gli stessi numeri.
es. x2 + 4x -21 = (x + 7) (x - 3)
• Trinomio:
a2 ± ab + b2
• Il polinomio si scompone con Ruffini
P(x) = ( x - a ) Q(x)
è IRRIDUCIBILE
∗ Occorre trovare un numero a tale che P(a) = 0 nell’insieme dei divisori del termine noto;
∗ si trova il quoziente Q(x) della divisione del polinomio per (x - a) con la regola di Ruffini.
es. x3 - x + 6 = (x + 2) (x2 - 2x +3)
4 TERMINI
• Raccoglimento a fattor comune
• Cubo di un binomio
a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = (a ± b)3
∗ Ci devono essere due cubi;
∗ ci devone essere i tripli prodotti
es. 8 - 12a + 6a2 - a3 = (a - 2)3
•
Raccoglimento parziale
ax - ay + bx - by = (a + b) (x - y)
∗ Non c’è un fattore comune a tutti i monomi;
∗ ci sono fattori comuni ad alcuni monomi;
∗ si può successivamente raccogliere a fattor comune.
es. 3ab - 6b + a2 - 2a = 3b (a - 2) + a (a - 2) = (a - 2) (3b + a)
Prof.ssa Manuela Pucci
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Istituto Tecnico Commerciale “P. Cuppari” - Jesi
• Differenza di due quadrati di cui uno il quadrato di un binomio
a2 +2ab + b2 - c2 = (a + b)2 - c2 = (a + b + c) (a + b - c)
∗ Ci devono essere tre quadrati di cui due con lo stesso segno e uno di segno diverso;
∗ ci deve essere un doppio prodotto relativo ai quadrati con lo stesso segno.
es. 9x2 - a2 + 2a - 1 = 9x2 - (a2 - 2a + 1) = (3x)2 - (a - 1)2 = (3x + a - 1) (3x - a + 1)
•
Il polinomio si scompone con Ruffini
P(x) = ( x - a ) Q(x)
∗ Occorre trovare un numero a tale che P(a) = 0 nell’insieme dei divisori del termine noto;
∗ si trova il quoziente Q(x) della divisione del polinomio per (x - a) con la regola di Ruffini.
es. x3 + 3x2 - 6x - 8 = (x - 2) (x + 4) (x + 1)
5 TERMINI
• Raccoglimento a fattor comune
• E’ una somma o differenza tra due cubi di cui uno è il cubo di un binomio
x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 - 1 = (x + 2y)3 - 1 = (x + 2y - 1) [(x+ 2y)2 +2y(x +2y) + 4y2]=
= (x + 2y - 1) (x2 + 4xy + 4y2 + 2xy + 4y2 + 4y2) =
= (x + y + 1) ( x2 + 6xy + 12y2)
•
E’ una scomposizione mista: un trinomio + un binomio
x2 - 5xy + 4y2 + x3 - x2y = (x - 4y) (x - y) + x2(x - y) = (x - y) (x - 4y + x2)
raccoglimento a fattor comune
trinomio particolare
•
raccoglimento a fattor comune
E’ una scomposizione mista: un trinomio + un binomio
a2 - 10ab + 25b2 -a2x + 25b2x = (a - 5b)2 - x(a2 - 25b2) = (a - 5b)2 - x (a - 5b) (a + 5b) =
differenza tra due quadrati
quadrato di un binomio
raccoglimento a fattor comune
raccoglimento a fattor comune
= (a-5b) (a - 5b - ax + 5bx)
• Il polinomio si scompone con Ruffini
6 TERMINI
• Raccoglimento a fattor comune
• Quadrato di un trinomio a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b +c)2
∗ Ci sono tre quadrati con lo stesso segno ;
∗ ci sono tre doppi prodotti relativi alle basi dei quadrati.
2
2
2
2
es. x + y +z -2xy +2xz - 2yz = (x - y + z)
•
Raccoglimento parziale
ax - ay + bx - by + cx - cy = (a + b + c) (x - y)
∗ Non c’è un fattore comune a tutti i monomi;
∗ ci sono fattori comuni ad alcuni monomi;
∗ si può successivamente raccogliere a fattor comune.
es. 3ab - 6b + a2 - 2a + ax2 - 2x2= 3b (a - 2) + a (a - 2) + x2 (a - 2) = (a - 2) (3b + a + x2)
•
•
E’ una scomposizione mista:
un trinomio + un trinomio oppure
un quadrinomio + un binomio oppure un binomio + un binomio + un binomio.
Si scompone con Ruffini.
7 TERMINI ecc...
• Raccoglimento a fattor comune
• Si tratta di scomposizioni miste di vario tipo.
• Si scompone con Ruffini.
Prof.ssa Manuela Pucci
Istituto Tecnico Commerciale “P. Cuppari” - Jesi
