7 Teoria della Similarità
La teoria della similarità
Un modello fisico di un dato sistema S è un altro sistema fisico M la cui natura sia tale da
permettere una corrispondenza fra le proprie variabili di stato e quelle del prototipo S. Più
precisamente ciò equivale a dire che alle variabili A,B,...P,Q,..., del sistema S corrispondono le
variabili a,b,...p,q,..., del modello M, e l'analogia fra le relazioni interne in S e in M delle rispettive
variabili è tale che dalla successione di stati
a1 , b1 ,... p1 , q1 ,..., etc.
a2 , b2 ,... p2 , q2 ,..., etc.
(1)
an , bn ,... pn , qn ,..., etc.
osservabili (misurabili) in M, si può risalire, almeno entro certi limiti di approssimazione, alla
corrispondente successione di stati di S come se questi fossero direttamente osservati (misurati) in S
stesso.
A1 , B1 ,... P1 , Q1 ,..., etc.
A2 , B2 ,... P2 , Q2 ,..., etc.
(2)
An , Bn ,... Pn , Qn ,..., etc.
Si dice allora che M è un modello fisico, o analogico, di S.
Compito della teoria della similitudine fisica è individuare le relazioni che permettono:
- di calcolare le scale di riduzione delle grandezze da S a M;
- di "tradurre" i dati di M nei corrispondenti di S, assicurando l'analogia delle relazioni interne
(equazioni generali indefinite, condizioni iniziali e al contorno) fra le varie grandezze.
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La similitudine fisica; quest'ultima, generalizzazione di quella geometrica, permette di studiare le
analogie tra due fenomeni e di ottenere le caratteristiche di un fenomeno a partire da quelle di un
altro con opportuni calcoli.
Consideriamo un insieme di fenomeni caratterizzato dal sistema di equazioni
f ( x, y, a, b, c, d ) 0
g ( x, y, a, b, c, d ) 0
(3)
dove a,b,c,d sono i dati sufficienti a definire completamente il fenomeno ed x e y le incognite.
Se esistono dei fattori x',y',a',b',c',d' tali che il sistema
f ( x' x, y' y, a' a, b' b, c' c, d ' d ) 0
g ( x' x, y' y, a' a, b' b, c' c, d ' d ) 0
(4)
sia verificato contemporaneamente al sistema (3) per tutte le soluzioni di questo, si dice che si ha
similitudine nel dominio considerato.
I fattori x',y',...,d' sono detti fattori di scala e, in generale, non possono essere scelti arbitrariamente,
ma sono legati da relazioni del tipo
i ( x' , y' , a' , b' , c' , d' ) 0
(5)
dette relazioni di similitudine, la forma ed il numero delle quali dipende da f e g.
La similitudine è allora la trasformazione che fa passare dal fenomeno definito dalle variabili
x,y,...,d al fenomeno definito dalle variabili x'x,y'y,...,d'd nel dominio considerato. In altre parole, si
dice che si ha similarità fra due quantità quando è possibile metterle in relazione attraverso una
costante adimensionale (indipendente dal sistema di coordinate).
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Più in particolare, similarità fra due processi fisici significa la possibilità di descriverli con
equazioni che si corrispondono attraverso opportune trasformazioni, che equivalgono assai spesso a
contrazioni e dilatazioni degli assi coordinati.
A titolo di esempio, supponiamo che vi siano quattro relazioni del tipo (5), possiamo riscrivere le
relazioni di similitudine ricavando x'e y'
x ' 1 ( a ' , b' , c ' , d ' )
y ' 2 ( a ' , b' , c ' , d ' )
3 (a' , b' , c' , d ' ) 0
4 (a' , b' , c' , d ' ) 0
(6)
(7 ) .
Si può dimostrare che le prime due forniscono semplicemente la scala per passare dalle incognite
x,y corrispondenti ai dati a....d, alle incognite x * x' x e y* y' y corrispondenti ai dati a'a....d'd. Le
relazioni (1.7) sono invece le vere "condizioni di similitudine", che assicurano la similarità dei due
fenomeni. Nella pratica le condizioni di similitudine corrispondono, come vedremo più avanti, alla
conservazione di certe quantità, dette numeri caratteristici, ottenute con l'adimensionalizzazione
delle equazioni, le quali devono essere identiche per i due fenomeni considerati.
Di fondamentale importanza nello studio su modelli è l'analisi dimensionale, il cui teorema
fondamentale è il cosidetto teorema o di Vaschy e Buckingham. Esso afferma che una
combinazione adimensionale della variabile dipendente x può essere espressa come funzione di
(n-k) combinazioni adimensionali i delle variabili indipendenti, n essendo il numero di grandezze
fisiche da cui x dipende e k il numero massimo di grandezze dimensionalmente indipendenti,
sempre minore o uguale al numero di unità fondamentali prescelte. Il numero di grandezze
dimensionalmente indipendenti equivale al rango della matrice dimensionale (ordine del massimo
determinante non nullo estratto da essa). Tale matrice e’ costruita ponendo come righe le grandezze
fondamentali e come colonne le variabili fisiche indipendenti, gli elementi della matrice risultano
essere gli esponenti di ciascuna grandezza fisica relativi alle variabili indipendenti (per esempio se
si considera un volume si avrà un esponente 3 per le lunghezze e esponenti nulli per le altre
grandezze fondamentali).
Supponiamo che un fenomeno fisico sia descritto dalla legge
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x f ( a1 ,..., an )
(8)
allora, per il teorema , questa relazione si può riscrivere nella seguente forma
f (1 ,..., n k )
(9)
dove , 1 , n k sono monomi, detti parametri di similarità o, come abbiamo già ricordato, indici
caratteristici, resi adimensionali con opportune combinazioni di potenze di a1 ,..., ak . Si ha per
esempio
a
x
, 1 m1 k 1 mk
1k
a ,..., ak
a1 ,..., ak
11
1
(10)
L'equazione (9) è detta equazione ridotta e gli indici , 1 , n k rispettivamente incognita e
grandezze ridotte.
Se consideriamo due fenomeni fisici caratterizzati da valori assunti dalle variabili indipendenti della
(8), ( a1 ,..., an ) e ( a' 1 ,..., a' n ), le condizioni di similarità si otterranno uguagliando gli indici
1 ' 1 ,..., nk ' nk . Se il numero n di grandezze in gioco è minore o uguale al numero k di
unità fondamentali le equazioni che descrivono il fenomeno fisico si dicono "auto-similari": si
mantengono quindi inalterate per qualsiasi cambiamento di unità di misura, in quanto non
compaiono più indici caratteristici. Nel caso più frequente in cui n>k si giunge a definire parametri
adimensionali i con i=1...n-k che in fluidodinamica vengono chiamati numeri caratteristici. La
conservazione di questi numeri, assicura nella modellazione fisica la similarità, quindi la
consistenza dei risultati ottenuti su modello e la possibilità di dedurre da questo leggi valide in
natura. Tra i molti numeri caratteristici ricordiamo i più ricorrenti: i numeri di Reynolds, Rossby, di
Froude e di Ekman.
Re
forza inerziale
forze d' attrito
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forza inerziale
forza di Coriolis
forza inerziale
Fr
forza di galleggiamento
forza d' attrito
E
forza di Coriolis
Ro
La teoria basata sul concetto di similarità, oltre a fornire i fondamenti metodologici per quel vasto
settore di ricerca che e’ la modellazione fisica di laboratorio (canali e vasca idrauliche, tunnel a
vento), permette di ricavare leggi fisiche per gli andamenti di numerose quantità medie e turbolente
a partire da alcuni parametri fondamentali. Tutto ciò va sotto il nome di Teoria della Similarita’ di
Monin-Obukhov, qui di seguito faremo alcuni esempi per chiarirne il significato.
Come primo esempio consideriamo il profilo verticale della velocità media per il caso neutro
omogeneo orizzontalmente e stazionario. Esisterà quindi una relazione che lega il gradiente
verticale di velocità con la quota. Supponiamo inoltre che esso dipenda da un parametro, la velocità
frizionale u* che tiene conto della turbolenza meccanica che si sviluppa per attrito con il suolo. Per
le ipotesi fatte non c’è dipendenza dal tempo, dalla temperatura e dalle coordinate orizzontali, si ha
allora:
U
f z, u
z
il numero di grandezze dimensionalmente indipendenti è k=2 e poiché il numero di variabili
indipendenti è n=2, per il teorema abbiamo n-k=0 indici adimensionali corrispondenti alle
variabili indipendenti. Quindi adimensionalizzando la variabile dipendente otteniamo:
U z
cost .
z u
Ponendo la costante uguale a 1/k dove k e’ la costante di von Karman (=0.4) e integrando tra la
quota z0 , in prossimità del suolo dove la velocità si annulla (U(z0)=0) e la generica quota z si ha:
U ( z)
u
z
ln .
k
z0
che e’ la nota legge di profilo logaritmico valida nel caso neutro.
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Se ritorniamo a variabili adimensionali U ' U
k
z
e Z' . otteniamo una relazione valida per
u
z0
infiniti casi distinti per il valore dei parametri u* e z0 :
U ' ln Z '.
La teoria della similarità consente una estensione a condizioni diverse da quelle neutrali e per
variabili diverse da quella del vento medio. Monin e Obukhov (1954) considerando un surface
layer caratterizzato da omogeneità orizzontale considerarono il vento medio e le altre caratteristiche
turbolente dipendenti da quattro variabili, l’altezza dalla superficie (quota), la friction velocity u, il
flusso cinematico di calore w' 'v s e il termine di galleggiamento
g
v
( ' v temperatura potenziale
virtuale).
Questa ipotesi di similarità implica che il flusso, in orizzontale, sia omogeneo e stazionario, i flussi
turbolenti di calore e di momento indipendenti dalla quota, gli scambi molecolari siano trascurabili
comparati con scambi turbolenti, gli effetti di rotazione possano essere trascurati nel surface layer e
l’influenza della rugosità superficiale, l’altezza del Boundary Layer e l’intensità del vento
geostrofico siano completamente determinati per mezzo della u.
Le scale caratteristiche di lunghezza, velocità e temperatura usate per formare gruppi adimensionali
nella teoria della similarità di Monin-Obukhov sono:
z
quota
u
velocità di frizione
w' '
L
v s
temperatura potenziale di scala
u
u
3
g
k w' ' v s
v
lunghezza di Monin-Obukhov
Nell’ipotesi di similarità di Monin-Obukhov abbiamo quindi che, per il profilo di vento medio:
U
f
, z , u , L 0
z
dove, rispetto al caso neutro si ha in più la dipendenza da L. In questo caso si ha quindi n-k=1,
rimanendo sempre k il numero di variabili dimensionalmente indipendenti ma essendo n=3 il
numero di variabili fisiche indipendenti (si noti che in questo caso la relazione è scritta in forma
implicita).
Si ha quindi:
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U L
f1 1
z u
1
z
L
e anche, più convenientemente
U L k
z
'm
z u
L
con k costante di von Karman.
Analogamente per il profilo di temperatura potenziale virtuale:
v
f
, z, , L 0
z
da cui:
v L k
' h 1
z
1
z
L
Le funzioni ’m e ’h , dipendenti solo da z/L, si usano sostituire con funzioni analoghe definite
come:
z
z
z
'm m
L
L
L
z
z
z
'h k
L
L
L
e quindi si ottiene
k z U
z
m
L
u z
k z v
z
h
L
z
In caso di aria secca basta sostituire a v e ’ a ’v nella definizione di , cioè sostituire la
temperatura potenziale a quella potenziale virtuale.
z
z
Le funzioni m e h sono state ottenute a partire da valori sperimentali da diversi autori,
l
L
qui, ad esempio, riportiamo quelle ottenute da Businger et. al (1971).
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z
m 1 a
L
b
Per il caso stabile (z/L > 0):
a 4.7 ; b 1
con z/L che va da 0 a 2, mentre per il caso instabile (z/L<0)
a 15 ; b
1
4
con z/L che va da -2 a 0.
Analogamente abbiamo per h (nel caso di atmosfera secca)
h
0.74
2
3 3
4
z
1 4
L
per il caso instabile e per valori di z/L qualunque, mentre per il caso stabile
z
L
h 0.74 4.7
per valori di z/L compresi tra 0 e 2.
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