X - UniTE

1. Richiami di Statistica
Metodi Statistici per il Credito e la Finanza
Stefano Di Colli
Dati: Fonti e Tipi
• I dati sperimentali sono provenienti da un
contesto delimitato, definito per rispettare le
caratteristiche del modello in esame e
controllato
• I dati non sperimentali derivano dall’
osservazione del comportamento reale delle
variabili di interesse, al di fuori di un contesto
sperimentale
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2
Dati: Fonti e Tipi
• I dati su entità diverse osservati per un solo
periodo sono detti dati sezionali (cross
section)
• I dati su una singola entità raccolti in momenti
diversi scadenzati per unità temporali sono detti
serie storiche (time series)
• I dati panel (o longitudinali) sono relativi a
entità diverse e riferibili a due o più unità
temporali
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Probabilità
• Definizione classica
La probabilità di un risultato è la proporzione tra il
numero di casi in cui esso si verifica (favorevoli) e il
totale dei casi possibili
n
Pr( e ) = lim
n→∞
e
n
• L’insieme di tutti i casi possibili è detto spazio
campionario Ω . L’evento è un sottoinsieme
dello spazio campionario
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Variabili casuali
Definizione:
La Variabile Casuale (vc) è una funzione definita nello
spazio campione Ω, l’insieme degli eventi elementari.
Essa associa ad ogni evento di Ω un numero
reale
• L’insieme dei valori che una vc può assumere in
una prova specifica si dice supporto della vc
• Una vc può essere discreta o continua
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Variabili casuali
• Esempio 1: La variabile casuale che descrive
l’esperimento lancio di un dado associa a
ciascuna faccia del dado un numero intero
compreso fra 1 e 6
• Esempio 2: quotazione di un indice azionario.
La gamma degli esiti possibili è infinita e la
variabile casuale associa a ciascun risultato
dell’attività di contrattazione un numero reale
positivo (il prezzo)
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Variabili casuali discrete
Una v.c. discreta è una corrispondenza tra gli eventi di
Ω ed un insieme discreto (finito o numerabile) di
numeri reali
• Una vc discreta è nota se si conoscono i valori che
può assumere e le rispettive probabilità. In altre
parole ne è nota la distribuzione di probabilità
• Condizione necessaria e sufficiente affinchè la vc
sia ben definita è che le prob. pi soddisfino
∞
1) pi ≥ 0, ∀i = 1,2,...
2) ∑ pi = 1
i =1
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Variabili casuali continue
Una vc è continua se può assumere tutti i valori in un
qualsiasi intervallo reale
• Una vc continua è nota se, per ogni x0 reale e
prefissato, è nota la probabilità che tale vc assuma
un valore in un intervallo di ampiezza infinitesima
Pr( x0 < X ≤ x0 + dx) = f ( x0 )dx
Dove f(x) è la funzione di densità della vc continua
X
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Variabili casuali continue (II)
• Alcune proprietà della funzione di densità
x2
Pr( x1 < X ≤ x2 ) = ∫ f ( x)dx
x1
x0
Pr( X = x0 ) = Pr( x0 < X ≤ x0 ) = ∫ f ( x)dx = 0
x0
• Condizioni necessarie e sufficienti perché una vc
continua sia ben definita sono
+∞
i) f ( x) ≥ 0 ii) ∫ f ( x)dx = 1
−∞
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Funzione di ripartizione
• La funzione di ripartizione è definita nello stesso
modo per entrambi i tipi di vc, anche se il calcolo
si sviluppa con metodi diversi
• La funzione di ripartizione F(x0) di una vc X è
definita dalle relazioni seguenti:
 ∑ pi
 x≤ x
F ( x0 ) = Pr( X ≤ x0 ) =  x
 ∫ f ( w)dw
 −∞
0
0
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Funzione di ripartizione (II)
•
È la distribuzione di probabilità cumulata, cioè
la prob che una vc sia < o = a un certo valore
• La funzione di ripartizione ha le seguenti
proprietà:
1) F(x) è non decrescente, cioè x1 < x2 ⇒ F(x1) ≤ F(x2 )
F ( x) = 0; lim F ( x) = 0
2) xlim
→−∞
x→+∞
F ( x ) = F ( x0 )
3) F(x) è continua da destra, cioè: xlim
→x
+
0
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Valore medio di una vc
• Data una vc X ben definita, il valor medio di X è
dato dalle seguenti quantità:
∞

xi pi
 ∑
i =1
E ( X ) =  +∞
 ∫ xf ( x)dx
 − ∞
Il simbolo E(X) deriva dall’inglese Expectation, ad
indicare che si tratta di un termine di sintesi della
vc X.
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Valore medio di una vc (II)
• Si può anche definire il valore medio di una
funzione di X, come X2, X3,…, Xr. In questo
caso i valori E(X), E(X2), E(X3), …, E(Xr) si
chiamano momenti della vc.
• Proprietà: Se esiste (finito) il valore E(Xr), allora
esistono anche i momenti E(Xs) per tutti i valori s ≤ r
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Valore medio di una vc (III)
• L’operatore E è lineare, cioè per ogni α e β
costanti si ha
E(αX + βY ) = αE( X ) + βE(Y ) da cui, ponendo β = 0,
si ha E(αX) = αE(X).
Invece, ponendo α = 1 e β =1:
E( X ± Y ) = E( X ) ± E(Y )
cioè il valor medio di una somma o di una
differenza è uguale alla somma (differenza) dei
valori medi
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Valore medio di una vc (IV)
• Dato che una costante c è una vc discreta X che
assume valore c con prob 1, il valor medio di una
costante è
E(c)=c Pr (X=c)= c 1 = c
• La relazione di linearità può essere generalizzata
ad una successione di costanti αi e di vc Xi
∞
∞
i =1
i =1
E( ∑ αi X i ) = ∑ αi E( X i )
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La variabile casuale scarto
• Se si sottrae alla vc X una costante µ = E(X), la
vc che ne deriva, X – µ, si definisce scarto.
• Il valor medio dello scarto è sempre 0
E(X – µ) = E(X) – E[E(X)] = 0
• La distribuzione della vc scarto consente di
valutare il rischio attraverso il valor medio del
quadrato dello scarto
E(X – µ)2
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La Varianza
• La varianza di una vc X è data dalla quantità
 ∞ ( x − µ )2 p
∑ i
i

=
1
i

Var ( X ) = E( X − µ )2 = +∞
 ∫ ( x − µ )2 f ( x )dx
−∞
• La varianza gode di alcune proprietà
i) Var (X) = 0 se e solo se Pr (X = c) = 1
ii) Var (cX) = c 2 Var (X)
iii) Var(X±c) = Var (X)
iv) Var(X) = E(X2) – [E(X)]2
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Variabili casuali standardizzate
• Se la vc non è degenere e possiede valor medio
E(X) = µ e varianza Var(X) = E(X – µ)2 =σ 2 si
può definire la vc standardizzata Z come
X − E( X ) X − µ
Z=
=
σ
Var ( X )
dove E(Z) = 0 e Var(Z) = 1
• Il coefficiente di asimmetria e di curtosi di X
3
4
X −µ
X −µ


3
4
=
=
=
Asym( X ) = E
E
Z
;
Kurt
X
E
E
Z
(
)
(
)
(
)



 σ 
 σ 
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La Covarianza
• Date due vc discrete X e Y con valori medi
E(X)= µx e E(Y)= µy , si definisce covarianza il
valore medio del prodotto degli scarti:
(
)
Cov ( X , Y ) = E ( X − µx ) ( Y − µ y ) = ∑∑( xi − µx ) ( y j − µ y ) pij
k
h
i =1 j =1
• Da cui Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
• La covarianza misura la variazione congiunta
tra le vc considerate
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La Covarianza
•
Per qualsiasi costante a, b, c, d la covarianza
gode delle seguenti proprietà
i)
ii)
iii)
iv)
Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
Cov(X,X)=Var(X)
Cov(a +b X, Y)=Cov(X, a +bY)=b Cov(X, Y)
Cov(a +b X, c +dY)= bd Cov(X,Y)
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La Correlazione
• Si prenda la covarianza tra le variabili standard., si
ottiene il coefficiente di correlazione lineare di
Bravais e Pearson
 X − µx Y − µ y 
σxy
Cov ( X,Y )
Corr ( X,Y ) = E
=
 =
 σ
σ y  Var ( X)Var ( X ) σxσ y
 x
• Tenuto della relazione tra covarianza, varianza e
valori medi, si può calcolare anche come
E( XY ) − E( X ) E( Y )
Corr ( X,Y ) =
E( X2 ) −[ E( X )]2 E( Y 2 ) −[ E( Y )]2 



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La variabile casuale Normale
•
Una vc continua si dice Normale (o Gaussiana)
con parametri µ e σ 2 e si indica con N~(µ, σ 2) se
è definita su tutto l’asse reale con funz. di densità
f (x ) =
1
2̟σ
2̟σ
•
i)
ii)
iii)
2
e
 1 ( x − µ )2 
−

2
2
σ


La Normale è importante per tre motivi:
diversi fenomeni continui seguono una normale,
può approssimare varie distr. discrete;
è alla base dell’inferenza statistica
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La variabile casuale Normale (II)
•
I momenti caratteristici della Normale sono
E(X)= µ ; Var(X)= σ 2; Asym(X)=0; Kurt(X)=3
• Le principali caratteristiche sono:
i) La funzione f(x) è definita su tutto l’asse reale
ii) È simmetrica rispetto alla media (retta x = µ)
iii) Moda e mediana coincidono con il valor medio
iv) Ha forma a campana
v) È completamente individuata da µ e σ
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La Normale standardizzata
1
• La Normale standardizzata
−
z
1
2
φ( z ) =
e
ha la funzione di densità:
2̟
• Ha media zero e varianza unitaria
• Si dispone di appropriate tavole statistiche che
forniscono valori delle aree sotto la curva
(probabilità)
• La combinazione lineare di vc Normali e
indipendenti è ancora una vc normale
2
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La Chi-quadrato
• La somma di g vc Normali standardizzate e
indipendenti al quadrato è una vc continua sul
supporto (0, +∞) detta Chi-quadrato X~χ 2(g)
• È caratterizzata dal parametro g, detto gradi di
libertà della vc Chi-quadrato
• La funzione di densità è asimmetrica positiva
• I momenti caratteristici sono
E(X)=g ; Var(X)=2g; Asym(X)= 8/ g ; Kurt(X)=3+12/g
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25
La Chi-quadrato
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La F di Fisher
• È il rapporto tra due vc Chi-quadrato
indipendenti tra loro e divise per i rispettivi gradi
di libertà
• Se X1~χ 2(g1) e X2~χ 2(g2) sono due Chi-quadrato
indipendenti si definisce vc F di Fisher, indicata
da X~F(g1, g2), la vc
X 1 / g1
X=
X2 / g2
• Ha una funzione di densità asimmetrica positiva
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La t di Student
• Se Z~N(0, 1) e indipendente da Y~χ 2(g), allora si
definisce t di Student (Y~ t(g)) la vc
X =Z/
Y
g
• Il quadrato di una t è una F con g1=1 e g2=2
• Ha fd simmetrica, con media 0 e tende a una N
• Per valori di g piccoli è leptocurtica, il che la
rende adatta a fenomeni che assumono con più
frequenza valori estremi
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La t di Student
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29
Convergenza
• La successione di vc Xn (per n =1,2,…) converge
alla vc Y per n che tende a +∞ se:
• Convergenza in distribuzione: la funzione di
ripartizione di Xn tende per n → +∞ ad
approssimare la funzione di ripartizione di Y
• Convergenza in media quadratica: il valore
medio E(Xn - Y)2 → 0 per n → +∞
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Legge dei grandi numeri
• Constatazioni sperimentali:
a) Ripetendo nelle medesime condizioni un
esperimento casuale, al crescere del numero
delle prove la frequenza relativa di un evento
tende a stabilizzarsi
b) La media rilevata su un campione di
osservazioni si stabilizza al crescere della
dimensione campionaria convergendo verso la
media della popolazione
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Legge dei grandi numeri
“La
frequenza relativa di un evento
converge alla sua probabilità ”
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Teorema del Limite Centrale
• Il Teorema del Limite Centrale è stato definito
“centrale” da Polya (1920) perché vc di forma
qualunque tendono a convergere verso una
distribuzione centrata sulla media, la Normale
• Il TLC asserisce che la somma di una
successione di vc iid e con varianza finita
converge in distribuzione al vc Normale
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Teorema del Limite Centrale
• Nella formulazione di Lindeberg e Lévy
“Se Xn è una successione di vc iid co valore medio µ e
varianza 0 < σ 2 < +∞ allora la vc somma
standardizzata Zn tende ad avere la stessa distribuzione
della vc Normale standardizzata Z ~(0, 1) ”
1n
Xi − µ
∑
Sn − nµ n i =1
d
Zn =
=

→Z ∼ N(0,1)
σ n
σ/ n
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Variabili casuali doppie
• Distribuzioni congiunte: La distribuzione di
probabilità congiunta di due variabili casuali
discrete, X e Y, rappresenta la probabilità che tali
vc assumano simultaneamente valori x e y
• La somma delle probabilità di tutte le possibili
combinazioni (x, y) è pari a uno
• La distribuzione di probabilità congiunta è
espressa dalla funzione Pr(X=x, Y=y)
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Variabili casuali doppie
• Distribuzione di probabilità marginale: è la
distribuzione di probabilità della singola variabile casuale
Y, da distinguersi rispetto alla distribuzione congiunta di
Y rispetto a X
• La distribuzione marginale di Y può essere calcolata a
partire da quella congiunta di Y e X sommando le
probabilità di tutti i possibili risultati per i quali Y assume
un valore specifico
l
Pr(Y = y ) = ∑ Pr( X = xi ,Y = y )
i =1
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Variabili casuali doppie
• Distribuzione condizionata di Y data X: è la
distribuzione di una vc Y condizionatamente al fatto che
un’altra vc X assuma uno specifico valore
• La probabilità condizionata di Y data X=x è
Pr( X = x , Y = y )
Pr(Y = y X = x) =
Pr( X = x )
• Aspettativa condizionata di Y data X: è detta anche
media condizionata di Y data X ed è la media della
distribuzione condizionata di Y data X
k
E(Y X = x) = ∑ yi Pr(Y = yi , X = x)
i =1
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Variabili casuali doppie
• Legge delle aspettative iterate:
E  E (Y X
) = E ( Y
)
ovvero la media di Y è la media ponderata delle aspettative
di Y data X, con pesi dati dalla distribuzione di probabilità
di X. Se X assume l valori x1, …, xl
l
E(Y ) = ∑ E (Y X = xi ) Pr( X = xi )
i =1
• Varianza condizionata di Y data X: è la varianza della
distribuzione condizionata di Y data X
k
var(Y X = x ) = ∑  yi − E (Y X = x ) Pr(Y = yi X = x )
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i =1
2
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Variabili casuali doppie
• Indipendenza: due vc X e Y sono indipendentemente
distribuite se conoscere il valore di una di esse non fornisce
alcuna informazione circa l’altra
• X e Y si dicono indipendenti se la distribuzione di Y data
X è uguale alla distribuzione marginale di Y
Pr(Y = y X = x ) = Pr (Y = y )
• da cui si può affermare che la distribuzione congiunta di di
due variabili casuali indipendenti è il prodotto delle loro
distribuzioni marginali
Pr( X = x,Y = y) = Pr( X = x) Pr(Y = y)
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Variabili casuali doppie
• La distribuzione normale multivariata: la distribuzione
normale può essere generalizzata per descrivere la
distribuzione congiunta di un gruppo di vc
• Se si considerano soltanto due vc si dice normale bivariata
• 1) Se X e Y hanno una distribuzione normale bivariata con
cov σXY e a e b sono due costanti, allora aX+bY ha una
distribuzione normale
aX + bY ∼ ( aµX + bµY , a2σ X2 + b2σY2 + 2abσ XY )
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Variabili casuali doppie
• 2) Se un gruppo di vc ha una distribuzione normale
multivariata, la distribuzione marginale di ciascuna delle
variabili è normale (segue dalla 1) ponendo a =1 e b =0)
• 3) Se vc con distribuzione normale mulivariata hanno
covarianza nulla, tali variabili sono indipendenti
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