Soluzioni dei test della fascia 15-16.
Soluzione del test 1 – Pseudosfera.
In figura,nel piano xz, il grafico della curva trattrice che genera la pseudosfera, per
rotazione attorno all’asse z.
Soluzione del test 2 – Opera di Paul Klee.
Fig. 1
Fig. 1
Fig. 2
La fig. 2 è ottenuta dalla fig. 1 effettuando la simmetria rispetto all’asse a.
La fig. 3 è ottenuta dalla fig. 2 effettuando la simmetria rispetto all’asse b.
Fig. 3
Soluzione del test 3 - Numeri scacciapensieri.
Usando la calcolatrice è facile determinare i primi valori di P(n) e, consultando la lista dei numeri primi, è possibile ricavare i corrispondenti numeri
scacciapensieri:
n
P(n)
S (n)
1
2
3
2
2 3 6
5
3
2 3 5 30
7
4
2 3 5 7 210
13
5 2 3 5 7 11 2310
23
Il successivo prodotto è P(6)
2 3 5 7 11 13 30030 . Il numero S (6) non può essere determinato direttamente dalla lista, ma si può ragionare come segue.
Se m è un intero maggiore di 1 e minore di 14, allora m è divisibile per uno dei primi compresi tra 2 e 13. Pertanto 30030 m è divisibile per questo numero
primo, e quindi non è un numero primo. Di conseguenza S (6) 14. Inoltre S (6) è necessariamente dispari, perché, se m è un intero positivo pari, anche
30030 m è pari, e quindi non è un numero primo. Ora, 30030 15 è divisibile per 3, e quindi non è primo. Invece 30030 17 30047 è un numero primo.
Ciò prova che S (6) 17. Dunque 17 è un numero scacciapensieri.
Per provare che 30047 è un numero primo, si può procedere nel modo seguente. Questo numero è uguale a 2 3 5 7 11 13 17, pertanto non è divisibile per
nessuno dei numeri primi compresi tra 2 e 17. D'altra parte, se non fosse primo, sarebbe divisibile per un numero primo minore o uguale alla sua radice quadrata,
che è un numero irrazionale compreso tra 173 e 174. A questo punto, per completare la dimostrazione, basta verificare che 30047 non è divisibile per nessuno dei
numeri primi compresi tra 19 e 173, che si possono ricavare dalla lista.
Soluzioni dei test della fascia 17-18
Soluzione del test 1- Decomposizione di un cubo.
Il volume del cubo è 6 volte quello di una delle piramidi e tre volte quello del tetraedro.
Soluzione del test 2 – Ciclotomia.
n
4
Costruibile con
riga e compasso
sì
Motivazione
15
sì
15
F0 F1
24
sì
24
23 F0
101
no
101 è un numero primo e non è un primo di Fermat
102
sì
102
2 F0 F2
150
no
150
2 F0 F12
340
sì
340
2 2 F1 F2
598233850
no
598233850 è divisibile per F12
4 22
Soluzione del test 3 – Favola medioevale.
In un prato ballano delle fanciulle. Un’altra fanciulla, passando, dice:
« vi auguro di salvarvi tutte e 100». Allora una delle fanciulle risponde: «Noi non siamo 100, bensì siamo un numero tale che aggiungendovi un numero uguale,
poi la sua metà, poi il suo quarto, con te saremmo 100».
Informazioni per il procedimento aritmetico:
- se non si conta la fanciulla che passa, il totale sarebbe 99.
- 99 è ottenuto dal doppio del numero di fanciulle trovate, sommato alla sua metà e al suo quarto
- indicato con x tale numero, raddoppiandolo ed aggiungendo la metà ed il quarto si ha:
99=2 x+1/2 x+1/4 x=11/4 x da cui x=36
Il procedimento risolutivo, illustrato nel testo, richiede che il numero delle fanciulle sia divisibile per 4 e quindi multiplo di 4 secondo un fattore da determinare.
Supposto che le fanciulle siano 4, il procedimento dà come risultato 11. Allora 99 è multiplo di 11 con lo stesso fattore che è quindi 9. Le fanciulle sono pertanto
4 9 cioè 36.
