Corso di preparazione alle Olimpiadi
INAF – Osservatorio Astronomico di Teramo
Scuola Secondaria di I Grado «F. Savini» – Teramo
OLIMPIADI ITALIANE
DI ASTRONOMIA
Tempo
Mauro Dolci
INAF - Osservatorio Astronomico di Teramo
SAIt – Società Astronomica Italiana
Comitato Nazionale per le
Olimpiadi Italiane di Astronomia
Elementi di algebra e geometria
PROPORZIONI
a:b=c:d
Proprietà:
1) Conservazione del rapporto degli estremi:
a*d = b*c
2) Proprietà commutativa:
a : b = c : d =>
a:c=b:d
3) Proprietà distributiva:
a : b = c : d =>
=>
(a+b) : b = (c+d) : d
d:b=c:a
…
Elementi di algebra e geometria
LA MISURA DEGLI ANGOLI
Gli angoli si misurano in gradi e in radianti.
Un grado è la 360ma parte di un angolo giro. Un angolo retto
misura dunque 90°, un angolo piatto 180° e un angolo giro 360°.
Il radiante è l’ampiezza dell’angolo che intercetta un arco di
circonferenza di lunghezza pari al raggio. In generale,
l’ampiezza in radianti è data dal rapporto tra la lunghezza
dell’arco di circonferenza intercettato dall’angolo, e quella del
raggio della circonferenza stessa :
=
ℓ
r
Per un angolo giro la lunghezza dell’arco è ℓ = 2r per cui
l’ampiezza in radianti è 2. Per un angolo piatto è e per un
angolo retto è /2 .
IL TEMPO IN ASTRONOMIA
Fin dall’antichità, il moto apparente della volta celeste, legato
alla rotazione terrestre, è stato riconosciuto come un fenomeno
dotato di tale regolarità da essere direttamente legato allo
scorrere (e quindi ad una MISURA) del tempo. Tra gli oggetti
della sfera celeste visibili ad occhio nudo, però, vanno distinti
il Sole, la Luna, i pianeti e le stelle fisse. Per questi oggetti,
infatti, il moto apparente sulla sfera celeste è diverso.
Il moto apparente dei pianeti non è in realtà regolare (lo è
quello assoluto [vedi Leggi di Keplero]: nel moto apparente, al
prevalente moto in avanti, o progrado, si alternano brevi fasi di
moto all’indietro, o retrogrado) e quindi non è utile per il tempo.
Il moto apparente della Luna è invece regolare ed è servito per
un tipo di misura del tempo che ha portato alla definizione di
mese lunare e, di qui, al “mese” come lo conosciamo oggi. Si
tratta tuttavia di una notazione obsoleta e non la tratteremo.
Vedremo quindi solo il moto apprente delle stelle e del Sole.
MOTO DELLE STELLE: GIORNO SIDERALE
Si definisce GIORNO SIDERALE l’intervallo di tempo tra due
passaggi consecutivi della stessa stella (scelta a caso) al
meridiano centrale del luogo di osservazione
MOTO DEL SOLE: GIORNO SOLARE
Si definisce GIORNO SOLARE l’intervallo di tempo tra due
passaggi consecutivi del Sole al meridiano centrale del luogo
di osservazione
GIORNO SIDERALE E GIORNO SOLARE
Come si vede dai disegni che accompagnano le definizioni, a
causa della rivoluzione terrestre la direzione Terra-Sole cambia
continuamente mentre la direzione Terra-Stella (essendo
quest’ultima a distanza pressoché infinita) rimane fissa.
Ciò fa sì che il giorno solare sia più lungo del giorno siderale.
Per definizione, il giorno solare (medio) dura 24 ore:
1 giorno solare = 24h
Il giorno siderale dura leggermente meno, precisamente:
1 giorno siderale = 23h 56m 04s.1
Il giorno siderale anticipa giornalmente di circa 3m 56s rispetto
al giorno solare. Questo anticipo si accumula nel tempo.
ANNO SIDERALE e ANNO SOLARE
Esercizio. Determinare la durata del giorno siderale, sapendo che un
anno siderale è composto di 365.2564 giorni solari.
Soluzione. Nel suo moto apparente lungo l’eclittica, il Sole effettua un giro
completo in un anno siderale. Questo vuol dire che, rispetto al Sole, è come se
la sfera celeste avesse effettuato, in un anno, una rivoluzione completa intorno
all’asse terrestre. Questa rivoluzione si somma alle 365.2564 rivoluzioni (una
al giorno!) effettuate durante l’anno.
Dunque se ne conclude che in un anno siderale sono contenuti 365.2564
giorni solari e 366.2564 giorni siderali, ovvero:
365.2564 giorni solari = 366.2564 giorni siderali
da cui
1 giorno siderale =
365.2564
= 0.997269… giorni solari
366.2564
La durata del giorno siderale sarà quindi
1 giorno siderale = 0.997269… * 24 ore = 23.9344721… ore =
= 23h 56m 04s.0996
IL TEMPO SOLARE
Data la regolarità del moto apparente del Sole dovuto alla
rotazione terrestre (le piccole irregolarità sono legate alla
rivoluzione terrestre per mezzo della II legge di Keplero),
appare naturale non solo definire il giorno solare, ma un
qualsiasi intervallo di tempo come quello impiegato dal Sole a
muoversi di un certo angolo lungo la volta celeste.
Nasce così il TEMPO SOLARE, come il tempo impiegato dal Sole
a percorrere in cielo un’ampiezza angolare (si legge: theta), e
misurato a partire dalla culminazione inferiore del Sole.
Assegnando “ore zero” (mezzanotte locale) a questo punto, è
evidente che la culminazione superiore del Sole (ovvero il
passaggio al meridiano centrale del luogo) corrisponde a “ore
dodici”, ovvero al mezzogiorno locale.
Ovviamente questa notazione dipende dal luogo, ed in
particolare dalla sua longitudine !
IL TEMPO SIDERALE (ST)
Analogamente a quanto visto per il Sole, il moto apparente
delle stelle è altamente regolare ed appare naturale non solo
definire il giorno siderale, ma un qualsiasi intervallo di tempo
come quello impiegato da una stella a muoversi di un certo
angolo lungo la volta celeste.
Nasce così il TEMPO SIDERALE, come il tempo impiegato da
una stella a percorrere in cielo un’ampiezza angolare .
A differenza del caso del Sole, tuttavia, si deve decidere subito
QUALE stella si assume per questa definizione. In caso
contrario, il tempo siderale dipenderebbe dalla stella scelta!
Si conviene pertanto di assegnare TEMPO SIDERALE ZERO
all’istante in cui il punto dell’eclittica passa al meridiano del
luogo.
In tal modo, anche questa notazione dipende solo dal luogo, ed
in particolare dalla sua longitudine !
TEMPI E LONGITUDINE
Qui è
mezzogiorno !
Qui mezzogiorno
deve ancora
arrivare
Qui mezzogiorno
è già passato
Sia il tempo solare che il
tempo siderale dipendono
dalla longitudine del luogo.
Infatti, nell’istante in cui il
Sole o il punto passano al
meridiano in un dato luogo, ciò
sarà già successo per tutti i
luoghi che si trovano ad est del
luogo considerato.
Invece dovrà ancora accadere
per quei luoghi che si trovano
ad ovest del luogo considerato.
EST
OVEST
Asse
terrestre
(TERRA VISTA DAL POLO
NORD CELESTE)
TEMPI E LONGITUDINE
Qui è mezzanotte
siderale !
Qui mezzanotte
siderale è già passata
Qui mezzanotte
siderale deve
ancora arrivare
Sia il tempo solare che il
tempo siderale dipendono
dalla longitudine del luogo.
Infatti, nell’istante in cui il
Sole o il punto passano al
meridiano in un dato luogo, ciò
sarà già successo per tutti i
luoghi che si trovano ad est del
luogo considerato.
Invece dovrà ancora accadere
per quei luoghi che si trovano
ad ovest del luogo considerato.
EST
OVEST
Asse
terrestre
(TERRA VISTA DAL POLO
NORD CELESTE)
TEMPI E LONGITUDINE
Le differenze di orario sono
direttamente proporzionali alle
corrispondenti differenze di
longitudine. La proporzionalità
è espressa dalle proporzioni:
2
t2
3
t3 = t2 + t2,3
1
t1= t2 + t1,2
t : = 1 g. sol. : 360o
(per il tempo solare)
t2,3
t1,2
e
t : = 1 g. sid. : 360o
(per il tempo siderale).
Dunque:
tSOL = (24h / 360o) *
tSID = (23h56m04s.1 / 360o) *
EST
1,2
2,3
OVEST
Asse
terrestre
(TERRA VISTA DAL POLO
NORD CELESTE)
TEMPI E LONGITUDINE
Problema. Quanto tempo passa tra il mezzogiorno solare vero (ovvero il
passaggio del Sole al meridiano) fra Parigi ( = 2o 21’ 07” Est) e Roma
( = 12o 28’ 58” Est) ?
Soluzione. Roma si trova più ad Est di Parigi, quindi il mezzogiorno solare
vero avverrà prima. La differenza di longitudine tra le due città è
= ROMA – PARIGI = 12o28’58” – 02o21’07” = 10o07’51”
Per trovare l’intervallo di tempo, dobbiamo prima convertire tutto in gradi:
= 10o07’51” = 10o.131
Abbiamo quindi
t = (24h / 360o) * 10o.131 = 0.6754h = 40m 31s.44
Il mezzogiorno solare vero a Parigi avviene circa 40 minuti e mezzo dopo
quello di Roma.
TEMPI E LONGITUDINE
Problema. Se in un certo istante a Roma ( = 12o 28’ 58” Est) il tempo
siderale è zero, quanto sarà il tempo siderale, in quell’istante, a
Parigi ( = 2o 21’ 07” Est)?
Soluzione. Nell’istante considerato a Roma si verifica la mezzanotte siderale.
A Parigi, trovandosi più ad Ovest, questa dovrà ancora arrivare. Consideriamo
di nuovo la differenza di longitudine tra le due città:
= ROMA – PARIGI = 12o28’58” – 02o21’07” = 10o07’51”
Convertendo tutto in gradi, = 10o07’51” = 10o.131, possiamo calcolare
l’intervallo di tempo siderale (dobbiamo convertire anche il giorno siderale in
ore: 23h56m04s.1 = 23h.9345):
t = (23h.9345 / 360o) * 10o.131 = 0.6736h = 40m 24s.80
La mezzanotte siderale a Parigi avviene 40m 24s.80 dopo quella di Roma.
Pertanto nell’istante considerato a Parigi il tempo siderale vale
STPARIGI = 23h 56m 04s.1 – 40m 24s.80 = 23h 15m 39s.3
TEMPI E LONGITUDINE
Problema. Se in un certo istante a Roma ( = 12o 28’ 58” Est) il tempo
siderale è ST = 10h, a quale longitudine si starà verificando la
mezzanotte siderale?
Soluzione. Il problema qui è inverso. Abbiamo infatti i due tempi (10h e 0h) e
quindi partiamo dall’intervallo di tempo t = STROMA – STx = 10h .
Dobbiamo ricavare allora l’intervallo di longitudine, invertendo la proporzione:
= (360o / 23h.9345 ) * t = (360o / 23h.9345 ) * 10h =
= 150o.4105 = 150o 24’ 37”.78
Ora possiamo ricavare la longitudine del luogo “x” in cui sta avvenendo la
mezzanote, ma con qualche prudenza. Infatti, visto che a Roma la mezzanotte
è già avvenuta da 10 ore, essa si trova ad Est del luogo considerato. Pertanto,
nel ricavare la longitudine x del luogo “x”, ricaveremo senz’altro un valore
“negativo EST”, che va letto come “positivo OVEST”:
ROMA – x =
x = ROMA – = 12o 28’ 58” – 150o 24’ 37”.78 =
= – 137o 55’ 39”.78 Est = 137o 55’ 39”.78 Ovest
TEMPO SIDERALE VS TEMPO SOLARE
In ogni data località, il tempo siderale ed il tempo solare non
coincidono mai, ad eccezione dell’istante iniziale.
Questo istante è quello in cui simultaneamente il punto passa
al meridiano ed il Sole è all’antimeridiano: si verifica quindi a
mezzanotte solare del giorno in cui il Sole si trova nel punto
opposto al punto .
Noi sappiamo che il Sole si trova nel punto il giorno
dell’equinozio di primavera: dunque esso si troverà nel punto
opposto il giorno dell’equinozio d’autunno.
Se ne conclude che:
TEMPO SOLARE E TEMPO SIDERALE COINCIDONO SOLO
NELL’ISTANTE INZIALE, OVVERO TSIDERALE = TSOLARE= 0,
ALLA MEZZANOTTE SOLARE DELL’EQUINOZIO
D’AUTUNNO (21 settembre).
IL TEMPO UNIVERSALE (UT)
Se per gli usi civili il tempo civile va bene, per quelli scientifici
(dove è necessario spesso confrontare fenomeni osservati in
luoghi diversi) ancora questa notazione non va bene. Ci vuole un
UNICO tempo per tutti i punti della Terra !
Questo tempo è il TEMPO UNIVERSALE, definito nel seguente
modo:
TEMPO UNIVERSALE (UT)= TEMPO SOLARE MEDIO DI GREENWICH
Con questa definizione, sapendo che Greenwich si trova per
definizione a longitudine = 0, si applicano le stesse formule e
gli stessi procedimenti già visti per passare dal tempo solare a
quello siderale e per calcolare il tempo siderale in una data
località, quando sia noto in un’altra località, di modo da
calcolare, per ogni punto della Terra, ad ogni istante di tempo
universale, il tempo siderale.
Esercizio. Calcolare il tempo siderale alle 22h UT del 12 febbraio
a Roma ( = 12o 28’ 58” Est).
Soluzione. Partiamo dalla considerazione che alle 0h UT del 21 settembre, a Greenwich il tempo
siderale è ST = 0h. Con un po’ di pazienza, contiamo il numero di giorni che passano tra il 21 settembre
ed il 12 febbraio:
21 settembre 30 settembre = 10 giorni (il 23 è incluso!)
1 ottobre 11 febbraio = 31+30+31+31+11 giorni (il 12 non va incluso!)
Totale: 10d+31d+30d+31d+31d+11d= 144d
Sapendo che ogni giorno la mezzanotte siderale anticipa di 3m56s, avremo a Greenwich un anticipo
complessivo pari a:
STGREENWICH = 3m56s * 144 = 566m.40 = 9h 26m 24s
Ora, alle 22 UT del 12 febbraio, sarà trascorso dalla mezzanotte (dello stesso giorno) un tempo siderale
leggermente inferiore a 22 ore, e precisamente quello dato dalla proporzione
22h : 24h = x : 23h.9345
x = 21h.9396 = 21h 56m 23s.85
quindi complessivamente il tempo siderale di Greenwich in quel momento sarà
STGREENWICH (22UT, 12/02)= 9h 26m 24s + 21h 56m 23s.85 = 31h 22m 47s.85
che naturalmente va riportato nell’ambito delle 24 ore sottraendo 24:
STGREENWICH(22UT, 12/02)= 7h 22m 47s.85
A questo punto, nota la differenza in longitudine = 12o 28’ 58”, si ottiene finalmente il tempo
siderale di Roma, alle 22 UT del 12 febbraio:
STROMA(22UT, 12/02)= 7h 22m 47s.85 + (23h 56m 04s.1 / 360o) * 12o 28’ 58” =
= 7h 22m 47s.85 + 0h 49m 47s.69 = 8h 12m 35s.54
